等差數(shù)列的性質(zhì)(含解析)

等差數(shù)列的性質(zhì)班級(jí)______________姓名______________一、選擇題1．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則a2＋a10＝()A．12 B．16C．20 D．242．在等差數(shù)列{an}中，a2016＝log27，a2022＝log2eq\f(1,7)，則a2019＝()A．0 B．7C．1 D．493．下列說(shuō)法中正確的是()A．若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列B．若a，b，c成等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2c成等差數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列D．若a，b，c成等差數(shù)列，則2a,2b,2c成等差數(shù)列4．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝()A．5 B．8C．10 D．145．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m等于()A．8 B．4C．6 D．126．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a1＋a5＋a9＝π，則cos(a2＋a8)的值為()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)7．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，則|m－n|＝()A．1 B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,8)8．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中《均屬章》有如下問(wèn)題：今有五人分六錢，令前三人所得與后二人等，各人所得均增，問(wèn)各得幾何？其意思是“已知A，B，C，D，E五個(gè)人分重量為6錢(‘錢’是古代的一種重量單位)的物品，A，B，C三人所得錢數(shù)之和與D，E二人所得錢數(shù)之和相同，且A，B，C，D，E每人所得錢數(shù)依次成遞增等差數(shù)列，問(wèn)五個(gè)人各分得多少錢的物品？”在這個(gè)問(wèn)題中，C分得物品的錢數(shù)是()A.eq\f(2,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(6,5) D.eq\f(7,5)二、填空題9．若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9，平方和為59，則這三個(gè)數(shù)的積為_(kāi)_______．10．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，則k＝________.三、解答題11．在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.12．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，，又已知b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\f(1,8)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．等差數(shù)列的性質(zhì)（解析）班級(jí)______________姓名______________一、選擇題1．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則a2＋a10＝()A．12 B．16C．20 D．24解析：選B因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.2．在等差數(shù)列{an}中，a2016＝log27，a2022＝log2eq\f(1,7)，則a2019＝()A．0 B．7C．1 D．49解析：選A∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴由等差數(shù)列的性質(zhì)可知2a2019＝a2016＋a2022＝log27＋log2eq\f(1,7)＝log21＝0，故a2019＝0.3．下列說(shuō)法中正確的是()A．若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列B．若a，b，c成等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2c成等差數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列D．若a，b，c成等差數(shù)列，則2a,2b,2c成等差數(shù)列解析：選C因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，則2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列．4．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝()A．5 B．8C．10 D．14解析：選B由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.5．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m等于()A．8 B．4C．6 D．12解析：選A因?yàn)閍3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.6．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a1＋a5＋a9＝π，則cos(a2＋a8)的值為()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)解析：選A∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＋a5＋a9＝π，∴a1＋a5＋a9＝3a5＝π，解得a5＝eq\f(π,3)，∴a2＋a8＝2a5＝eq\f(2π,3)，∴cos(a2＋a8)＝coseq\f(2π,3)＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).故選A.7．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，則|m－n|＝()A．1 B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,8)解析：選C設(shè)方程的四個(gè)根a1，a2，a3，a4依次成等差數(shù)列，則a1＋a4＝a2＋a3＝2，再設(shè)此等差數(shù)列的公差為d，則2a1＋3d＝2，∵a1＝eq\f(1,4)，∴d＝eq\f(1,2)，∴a2＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，a3＝eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4)，a4＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,2)＝eq\f(7,4)，∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×\f(7,4)－\f(3,4)×\f(5,4)))＝eq\f(1,2).8．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中《均屬章》有如下問(wèn)題：今有五人分六錢，令前三人所得與后二人等，各人所得均增，問(wèn)各得幾何？其意思是“已知A，B，C，D，E五個(gè)人分重量為6錢(‘錢’是古代的一種重量單位)的物品，A，B，C三人所得錢數(shù)之和與D，E二人所得錢數(shù)之和相同，且A，B，C，D，E每人所得錢數(shù)依次成遞增等差數(shù)列，問(wèn)五個(gè)人各分得多少錢的物品？”在這個(gè)問(wèn)題中，C分得物品的錢數(shù)是()A.eq\f(2,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(6,5) D.eq\f(7,5)解析：選C設(shè)5個(gè)人分得的物品的錢數(shù)為等差數(shù)列中的項(xiàng)a1，a2，a3，a4，a5，則a1＋a2＋a3＝a4＋a5，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝6＝5a3，a3＝eq\f(6,5).二、填空題9．若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9，平方和為59，則這三個(gè)數(shù)的積為_(kāi)_______．解析：設(shè)這三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9，,a－d2＋a2＋a＋d2＝59.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,d＝－4.))∴這三個(gè)數(shù)為－1,3,7或7,3，－1.∴它們的積為－21.答案：－2110．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，則k＝________.解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7，∴a7＝eq\f(17,3).∵a4＋…＋a14＝11a9，∴a9＝7，d＝eq\f(2,3).∴ak－a9＝(k－9)d，即13－7＝(k－9)×eq\f(2,3)，解得k＝18.答案：18三、解答題11．在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.解：法一：由等差數(shù)列的性質(zhì)得a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.法二：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差數(shù)列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差數(shù)列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.12．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an，又已知b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\f(1,8)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：∵b1＋b2＋b3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a1＋a2＋a3＝eq\f(1,8)，∴a1＋a2＋a3＝3.∵a1，a2，a3成等差數(shù)列，∴a2＝1，故可設(shè)a1＝1－d，a