2023-2024學年高一上數(shù)學練習：三角函數(shù)的應用（附答案解析）

2023-2024學年高一上數(shù)學：5.7三角函數(shù)的應用

一.選擇題(共5小題)

1.已知函數(shù)y=2-3sin‰則函數(shù)的最大值為()

A.-1B.5C.2D.6

2.若/(x)=Sin^cos'x-sin^xcosx的最大值為()

11√2

A.-B.-C?—D.1

242

3.已知函數(shù)/(X)=silLV÷47COSX,當X=/時，f(x)取得最大值，則。的值為()

A.-√3B.一1C.1D.√3

4.已知函數(shù)/(x)=0si∏Λ+bcosx滿足/(竽)=/(3兀)=V∑,則/(x)的最小值為()

A.-3B.-2C.-2√3D.-2√2

5.已知函數(shù)/(%)=AS仇23%+0)+i(4>o,a)>0,OVsVs)的最大值與最小值的差為2,

其圖象與y軸的交點坐標為(0,2),且圖象的兩個相鄰的對稱中心間距離為2,則/2021)

=()

A.IB.2C.3D.√3

二.填空題(共4小題)

6.已知方程Cos2VMsinx-。=0在x∈[0,π]時有解，則實數(shù)。的取值范圍是.

-TTTC

7.函數(shù)/(x)=2sin(Zr—召)-m,若/(x)WO在x€[0,3]上恒成立，則/n的取值范圍

是.

8.己知函數(shù)/(x)=SinX-COsx,x∈R,則此函數(shù)/(x)最大值為.

9.筒車是--種水利灌溉工具(如圖1所示).筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運

動，筒車轉輪的中心為O,筒車的半徑為r,筒車轉動的周期為24s,如圖2所示，盛水

桶M在PO處距水面的距離為ho,4s后盛水桶M在Pl處距水面的距離為加，若/「∕?O=?r,

則直線On)與水面的夾角為

Pi

圖2

三.解答題(共3小題)

10.已知函數(shù)/(x)=COS(X—今)—2si∏21+1.

(I)求f(0)的值；

(II)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

(III)求函數(shù)/(x)的最大值，并求出取到最大值時X的集合.

11.已知函數(shù)/(x)=(sinx-1)(coslχ+1).

1

(1)若si?Ia-CoSa=2，求/(α);

(2)求f(x)的值域.

12.已知函數(shù)/(x)=2cos2x+2迎StnXCosx.

(1)若x∈R,求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若f(x)在［0,，旬上的最小值為2,求實數(shù)機的取值范圍.

2023-2024學年高一上數(shù)學：5.7三角函數(shù)的應用

參考答案與試題解析

選擇題(共5小題)

1.已知函數(shù)y=2-3sinx,則函數(shù)的最大值為()

A.-1B.5C.2D.6

【解答】解：由-IWSilu≤1,得-3W-3sinxW3,所以-1W2-3sirtvW5,即-IwyW

5,

所以函數(shù)y=2-3SinX的最大值為5.

故選：B.

2.若/'(x)=SinJrcOS年-sin3xcosx的最大值為()

11√2

A?-B.-C.—D.1

242

【解答】解：*.*∕(x)=SirLvcos3X-Sin3XCosx=siarcosx(cos2x-sin2x)=^sin2x?cos2x=

1.4

ξSm4x,

Λ∕(%)mαx=4X1=4.

故選：B.

3.已知函數(shù)/(x)=SinX+αcosx,當X=E時，f(x)取得最大值，則〃的值為()

A.-√3B.-1C.1D.√3

【解答】解：V/(x)=SinX+QCOSX=√1÷α2sm(x+φ),其中tanφ=m

,?∕(x)mαx=Vl÷ɑ2?

又???當X=E時，fG)取得最大值，

2

.?.f4)=Si吟+QCOS-=>1+>2,化簡可得，a-2a+↑=0f解得α=l.

故選：C.

4.已知函數(shù)/(x)="siιιr+bcosx滿足/(苧)=f(3兀)=V∑,則/(x)的最小值為()

A.-3B.-2C.-2√3D.-2√2

【解答】解：依題知卜譏苧+bc°s竽=夜，即一空a+k=佟

?asin3π+bcos3π=V2(―b=√2

所以可得：a=—√6,b——V2,

?'?∕(x)=—V6sin%—?[2cosx=—2√2sfn(x÷看)，

.?√(?)的最小值為一2√Σ

故選：D.

5.已知函數(shù)/(%)=擊譏2(3%+w)+ip>。，ω>0∕OqVm)的最大值與最小值的差為2,

其圖象與y軸的交點坐標為(0,2),且圖象的兩個相鄰的對稱中心間距離為2,則/2021)

=()

A.1B.2C.3D.√3

【解答】解:當sin(ωx+φ)=l時,fmax(x)=A+l,當sin(ωx+φ)=O時，‰m(x)=A×0+l

=1,

??7U)的最大值與最小值的差為2,

ΛA+I-1=2,即A=2,

??7U)其圖象與y軸的交點坐標為(0,2),

?*?Λ0)=2sin2φ+l=2,Stnφ=土號,

VO<φ<J,

?π

??9=ξ,

*.?χx)=2sin2{ωx+^)+1=1—cos(2ωx+.)+1=2+sin2ωx,

又??"U)圖象的兩個相鄰的對稱中心間距離為2,

.τ?r?2兀2TrTr

?G=2,Tr=4λ,2ω=7=彳=2，

TT

Λ∕(x)=2+SinqX,

/(2021)=2+sin^???r=2+sin^=3,

故選：C.

二.填空題(共4小題)

6.已知方程COS2r+4SinX-α=0在x∈[0,π]時有解，則實數(shù)4的取值范圍是“，4].

【解答】解：：方程COS2χ+4SiiU-α=0在Xe[O,E時有解，

Λcos2x+4sirιr=α?x∈[0,π]上有交點，

令/(x)=cos2Λ?+4sinx=-sin2jc+4siar+1,x∈[0,π],

令∕=siιv;,∕∈[0,1],

.?√?⑺=_P+4f+l,

：.f(f)∈[1,4],

.?.”的范圍為[1,4],

故答案為：[1.4].

TrTT

7.函數(shù)/(x)=2sin(2x—石)-m,若/(x)WO在x∈[0,5]上恒成立，則〃7的取值范圍

是⑵+8).

【解答】解：因為x∈[0,—],所以2]-/曰一看，—],

由函數(shù)的單調(diào)性可得當2χ-5=—[時si∏∕zz∕7z(2x—5)=-i,當2x—5=冬時,Sin∏ιaχC2x—5)

OOOZOZO

=1,

TT

所以Fa)WO在x∈[0,5]上恒成立時，m^f(Λ)max=2×}f

所以〃?的取值范圍是[2,+8).

故答案為：[2,+8).

8.已知函數(shù)/(x)=sinχ-cosx,x∈R,則此函數(shù)/(x)最大值為—V2_.

【解答】解：函數(shù)/(無)=Sinx-cos%=√2sin(x-^),x∈R,

所以x—∕ER,所以/(X)〃以M=VΣ,當且僅當X—今=*+2?IΓ,Z∈Z,即X=?^+2?IT,依Z

時取等號.

故答案為：V2.

9.筒車是一種水利灌溉工具(如圖1所示).筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運

動，筒車轉輪的中心為0,筒車的半徑為，?，筒車轉動的周期為24s,如圖2所示，盛水

桶M在尸O處距水面的距離為/?,4s后盛水桶M在P處距水面的距離為加，若加-阮=?r,

Tl

則直線OPo與水面的夾角為

【解答】解：如圖，過。作直線/與水面平行，過PO作PoAJj于A,過PI作尸18_L1

TB.

Λ,TT

設ZTlOPo=a,乙BoPl=β,a=24×2τr=g,

則Sina—^r-，sinβ=,sinβ-sina==八二同=?,

所以sin(α+芻-sbια=*,整理得sin(α—/)=—孝，

則aT=V，即α=各

π

故答案為：

12

=.解答題(共3小題)

10.已知函數(shù)/(X)=COS(X-另一2siM5+1.

(I)求f(0)的值；

(II)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

(IlI)求函數(shù)/(x)的最大值，并求出取到最大值時X的集合.

【解答】解：/(x)=sinx+Cosx=V2sin(x+今).

(I)/(0)=√2sin(0+≡)=1.

(II)最小正周期T=—=2π.

(III)當X+/=*+2∕OT,依Z時，/(x)取得最大值，

最大值為VL且X=A+2∕OT,?∈Z.

故X的集合為{x∣x=*+2kττ,k∈Z}.

11.已知函數(shù)/(x)=(SirLr-I)(CoSX+1).

(1)若Sirla-CoSa=4，求/(ɑ);

(2)求/(X)的值域.

【解答】解：(1)因為S勿α-cosα=：,

所以1一2sinacosa=甲sinacosa=?,

?

從而f(α)=(sina-I)(CoSa÷1)=sinacos