全等三角形 完整版

全等三角形第一頁(yè)，共二十三頁(yè)。一、全等三角形1.什么是全等三角形？一個(gè)三角形經(jīng)過(guò)哪些變化(biànhuà)可以得到它的全等形？2：全等三角形有哪些(nǎxiē)性質(zhì)？能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做(jiàozuò)全等三角形。一個(gè)三角形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可以得到它的全等形。（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。（2）全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等。（3）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。第二頁(yè)，共二十三頁(yè)。知識(shí)(zhīshi)回顧：一般(yībān)三角形

全等的條件：1.定義(dìngyì)（重合）法；2.SSS；3.SAS；4.ASA；5.AAS.直角三角形全等特有的條件：HL.包括直角三角形不包括其它形狀的三角形解題中常用的4種方法第三頁(yè)，共二十三頁(yè)。三角形全等的判定(pàndìng)方法：邊邊邊：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“SSS”)邊角邊:兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“SAS”)角邊角:兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“ASA”)角角邊:兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“AAS”)斜邊.直角(zhíjiǎo)邊：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“HL”)第四頁(yè)，共二十三頁(yè)。方法(fāngfǎ)指引證明(zhèngmíng)兩個(gè)三角形全等的基本思路：（1）：已知兩邊(liǎngbiān)----

找第三邊(SSS)找?jiàn)A角（SAS)(2):已知一邊一角---已知一邊和它的鄰角找是否有直角(HL)已知一邊和它的對(duì)角找這邊的另一個(gè)鄰角(ASA)找這個(gè)角的另一個(gè)邊(SAS)找這邊的對(duì)角(AAS)找一角(AAS)已知角是直角，找一邊(HL)(3):已知兩角---找兩角的夾邊(ASA)找?jiàn)A邊外的任意邊(AAS)練習(xí)第五頁(yè)，共二十三頁(yè)。1.證明兩個(gè)三角形全等，要結(jié)合題目的條件和結(jié)論，選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?.全等三角形，是證明兩條線段或兩個(gè)角相等(xiāngděng)的重要方法之一，證明時(shí)

①要觀察待證的線段或角，在哪兩個(gè)可能全等的三角形中。②分析要證兩個(gè)三角形全等，已有什么條件，還缺什么條件。③有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊，有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角，有對(duì)頂角，對(duì)頂角也是對(duì)應(yīng)角總之，證明過(guò)程中能用簡(jiǎn)單方法的就不要繞彎路。

第六頁(yè)，共二十三頁(yè)。角的內(nèi)部到角的兩邊(liǎngbiān)的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。用法(yònɡfǎ)：

∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離(jùlí)相等.用法：∵

QD⊥OA,QE⊥OB,

點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上∴QD＝QE二、角的平分線1.角平分線的性質(zhì)：2.角平分線的判定：第七頁(yè)，共二十三頁(yè)。1.如圖：在△ABC中，∠C=900，AD平分(píngfēn)∠

BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，則DE=

。12cABDE三.練習(xí)(liànxí)：第八頁(yè)，共二十三頁(yè)。2.如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,

求證(qiúzhèng)：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等∵BM是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上,ABCPMNDEF∴PD=PE

(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)(zhège)角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離(jùlí)相等證明：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F第九頁(yè)，共二十三頁(yè)。3.如圖，已知△ABC的外角(wàijiǎo)∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．證明(zhèngmíng)：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于MGHM∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC∴FG＝FM又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上第十頁(yè)，共二十三頁(yè)。4.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在一條(yītiáo)直線上求證：BE=AD

EDCAB變式：以上條件不變，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定角度（大于零度(línɡdù)而小于六十度），以上的結(jié)論海成立嗎？證明：∵△ABC和△ECD都是等邊三角形∴AC=BCDC=EC∠BCA=∠DCE=60°∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠DCA在△ACD和△BCE中

AC=BC∠BCE=∠DCADC=EC∴△ACD≌△BCE(SAS)∴BE=AD第十一頁(yè)，共二十三頁(yè)。5：如圖，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么(nàme)AC等于AD嗎？為什么？4321EDCBA解：AC=AD理由：在△EBC和△EBD中∠1=∠2∠3=∠4EB=EB∴△EBC≌△EBD(AAS)∴BC=BD在△ABC和△ABD中

AB=AB

∠1=∠2BC=BD∴△ABC≌△ABD(SAS)

∴AC=AD第十二頁(yè)，共二十三頁(yè)。練習(xí)6：如圖，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。請(qǐng)問(wèn)圖中有那幾對(duì)全等三角形？請(qǐng)任選一對(duì)給予證明。FEDCBA答：△ABC≌△DEF證明(zhèngmíng)：∵AB∥DE∴∠A=∠D∵AF=DC∴AF+FC=DC+FC∴AC=DF在△ABC和△DEF中

AC=DF

∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌△DEF（SAS）第十三頁(yè)，共二十三頁(yè)。練習(xí)(liànxí)7：如圖，已知，EG∥AF，請(qǐng)你從下面三個(gè)條件中，再選出兩個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，推出一個(gè)正確的命題。（只寫(xiě)出一種情況）①AB=AC②DE=DF③BE=CF

已知：EG∥AF

求證：GFEDCBA高第十四頁(yè)，共二十三頁(yè)。拓展(tuòzhǎn)題8.已知AB=AE,AC=AD,AC⊥AD,AB⊥AE;ECAB21D(2)怎樣(zěnyàng)變換△ABC和△AED中的一個(gè)位置,可使它們重合?(3)觀察△ABC和△AED中對(duì)應(yīng)(duìyìng)邊有怎樣的位置關(guān)系?(4)試證ED⊥BC(1)觀察圖中有沒(méi)有全等三角形?第十五頁(yè)，共二十三頁(yè)。拓展(tuòzhǎn)題9.如圖,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證(qiúzhèng):BC∥EFBCAFED第十六頁(yè)，共二十三頁(yè)。拓展(tuòzhǎn)題10.如圖,已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，則AB與AC+BD相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明(shuōmíng)理由。ACEBD要證明(zhèngmíng)兩條線段的和與一條線段相等時(shí)常用的兩種方法：1、可在長(zhǎng)線段上截取與兩條線段中一條相等的一段，然后證明剩余的線段與另一條線段相等。（割）2、把一個(gè)三角形移到另一位置，使兩線段補(bǔ)成一條線段，再證明它與長(zhǎng)線段相等。（補(bǔ)）第十七頁(yè)，共二十三頁(yè)。11.如圖：在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，連接AE、BE并延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，給出下列5個(gè)關(guān)系式：：①AD∥BC，②，DE=EC③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤AD+BC=AB。將其中三個(gè)關(guān)系式作為已知，另外兩個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成正確的命題。請(qǐng)用序號(hào)寫(xiě)出兩個(gè)正確的命題：（書(shū)寫(xiě)形式：如果(rúguǒ)……那么……）（1）

；（2）

；第十八頁(yè)，共二十三頁(yè)。12.如圖，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延長(zhǎng)線于E，求證(qiúzhèng)：BC垂直且平分DE.第十九頁(yè)，共二十三頁(yè)。13.已知：如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊(liǎngbiān)上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長(zhǎng)線上截取CG=AB，連結(jié)AD、AG。求證：△ADG為等腰直角三角形。第二十頁(yè)，共二十三頁(yè)。14.已知：如圖21，AD∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC，

求證(qiúzhèng)：EB=FC第二十一頁(yè)，共二十三頁(yè)?？偨Y(jié)(zǒngjié)提高學(xué)習(xí)全等三角形應(yīng)注意以下(yǐxià)幾個(gè)問(wèn)題：（1):要正確區(qū)分“對(duì)應(yīng)邊”與“對(duì)邊”，“對(duì)應(yīng)角”與“對(duì)角”的不同(bùtónɡ)含義；（2）：表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母要寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上；（3）：要記住“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”或“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)三角形不一定全等；（4）：時(shí)刻注意圖形中的隱含條件，如“公共角”、“公共邊”、“對(duì)頂角”第二