空間幾何體及其表面積和體積-2022年高考數(shù)學(xué)訓(xùn)練（解析版）

備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)專題訓(xùn)練

專題21空間幾何體及其表面積和體積

一、單選題（本大題共12小題，共60分）

1.3D打印屬于快速成形技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬

或塑料等可粘合材料，通過逐層堆疊累積的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)（即“積層造型法”）.過

去常在模具制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)品的直接制造，特

別是一些高價(jià)值應(yīng)用（比如髓關(guān)節(jié)、牙齒或一些飛機(jī)零部件等）.已知利用3D打印技術(shù)制

作如圖所示的模型.該模型為在圓錐底內(nèi)挖去一個(gè)正方體后的剩余部分（正方體四個(gè)頂

點(diǎn)在圓錐母線上，四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐底面上），圓錐底面直徑為10&cm,母線與底面所成

角的正切值為√Σ打印所用原料密度為I，/，，/,不考慮打印損耗，制作該模型所需原

料的質(zhì)量約為（取π=3.14,精確到0.1）（）

A.609.4gB.447.3gC.398.3gD.357.3g

【答案】C

【解析】解：如圖，是兒何體的軸截面，

因?yàn)閳A錐底面直徑為10√Σcm,

所以半徑為5√∑cm.

因?yàn)槟妇€與底面所成角的正切值為VL

所以圓錐的高為IoCm.

設(shè)正方體的棱長為a,

則受=也，解得a=5,

5√210

所以該模型的體積為『-?「，、，?I。-WS（Cinj）.

所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為（等一125）XI=等一125~398.3（g）.

故選C.

2.已知圓柱的上底面圓周經(jīng)過正三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱的中點(diǎn)，下底面圓心為此三棱

錐底面中心O.若三棱錐P-ABC的高為該圓柱外接球半徑的2倍，則該三棱錐的外接球

與圓柱外接球的半徑之比為（）

A.2：1B,7：4C.3：1D.5：3

【答案】B

【解析】解：設(shè)正三棱錐P-ABC的底面邊長為2a,高為h,如圖所示:

則圓柱高為會(huì)底面圓半徑為ga,

利用勾股定理，Uj求得圓柱外接球半徑R=

由h=2R,可求得h=ga.

設(shè)正三棱錐P-ABC的外接球的半徑為r,

則球心到底面距離為h-r,OA=也

3

利用勾股定理產(chǎn)=（h—r）2+（竽a）2,

可得r=[a,故H，

故選：B.

3.“阿基米德多面體''是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對

稱美.如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三

棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體''.若該多面體的棱

長為√Σ,則其體積為（）

【答案】D

【解析】解：將該多面體放入正方體中，如圖所示.

由于多面體的棱長為√Σ,則正方體的棱長為2.

該多面體是由棱長為2的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得的，

所以該多面體的體積為23-8×∣×Q×l×l)×l=y.

故選D.

4.在三棱錐P-ABCΦ,ΔPAC是等邊三角形，平面PAC1平面ABC,AB=√3,AC=2√3,

△CAB=60。，則三棱錐P-ABC的外接球體積為()

?12√3TT

【答案】C

【解析】解：如圖所示:

在AABCψ，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB?AC-coszCAB=(√3)2+(2√3)2-2X

√3X2√3×∣=9,則BC=3,

則有AC?=BC2+AB2,所以AABC是Rt△,取AC的中點(diǎn)D,連接BD,PD,

則^ABC的外心是點(diǎn)D,又因?yàn)椤鱌AC是等邊三角形，所以PDlAC

而平面PAC1?平面ABC,所以PD，平面ABC,

所以外接球球心O必在PD上，連接OB,

設(shè)球半徑為R,AABC外接圓半徑為r,三棱錐的高為h,

則r=∣AC=√3,h=√PA2-AD2=J（2√3）2-（√3）2=3，

ILlOB2=OD2+BD2,即R2=（h-R）2+a,R2=（3_R）2+（百1，

解得R=2,

4?,b）π

所以外接球的體積」-R4^,.

故選C?

5.公元前3世紀(jì)，古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（V）與它的直徑（D）的

立方成正比“，此即V=kD3,歐幾里得未給出k的值.17世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家們對求球的

體積的方法還不了解，他們將體積公式V=kD3中的常數(shù)k稱為“立圓率”或“玉積率”.類

似地，對于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱）、正方體也可利用公式V=kD3求體積（在

等邊圓柱中，D表示底面圓的直徑；在正方體中，D表示棱長）.假設(shè)運(yùn)用此體積公式求

得球（直徑為a）、等邊圓柱（底面圓的直徑為a）、正方體（棱長為a）的“玉積率”分別為七、

k2,k3,那么％：k2:k3等于（）

A.?:?:?B.?。簜€(gè)：2C.2：3：2πD.小：十：1

46π6464

【答案】D

【解析】解：??,K=^πR3=^πφ3=^a3=>k=?;

??ZD1O

223

V2=πRa=π（∣）a=^a=?k2=p

3

V3=a=>k3=1;

故ki：k：k=：工：1.

2364

故選D.

6.已知三棱錐P-ABC的底面是正三角形，PA=a,點(diǎn)A在側(cè)面PBC內(nèi)的射影H是4PBC

的垂心，當(dāng)三棱錐P-ABC體積最大值時(shí)，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為

A.4√3a3B.3πa2C.^πa3D.12a2

【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，延長PH交BC于D,連接AD,

?.?H是APBC的垂心，.?.BClPD,

???AH1平面PBC,BCU平面PBC,

AH1BC,

又AHU平面APD,PDU平面PAD,AHrIPD=H,

二BC_L平面APD,又ADU平面APD,

.?.BC1AD,

連接BH并延長交PC于E,連接AE,

由AH1平面PBC可得AH1PC,

又BE1PC,AH∩BE=H,

PC，平面ABE,.?.AB1PC.

設(shè)P在平面ABC上的射影為O,延長Co交AB于F,連接PF.

???PO1AB,PC∩PO=P,

.?.AB_L平面PCF.

.?.PFlAB,CFlAB.

??.0是△ABC的中心，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，

.?.PB=PA=a=PC,

當(dāng)PA,PB,PC兩兩垂直時(shí)，三棱錐P-ABC體積取得最大值時(shí),

三棱錐P-ABC的外接球的半徑R滿足：

(2R)2=3×a2,解得R='a.

所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積為L(4/3-H'.

7.如圖，圓錐的母線長為4,點(diǎn)M為母線AB的中點(diǎn)，從點(diǎn)M處拉一條繩子，繞圓錐的

側(cè)面轉(zhuǎn)一周達(dá)到B點(diǎn)，這條繩子的長度最短值為2√5,則此圓錐的表面積為()

A.4πB.5πC.6πD.8π

【答案】B

【解析】解：設(shè)底面圓半徑為r,由母線長為4,

所以側(cè)面展開扇形的圓心角為α=平=年；

42

將圓錐側(cè)面展開成一個(gè)扇形，從點(diǎn)M拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)B,

最短距離為BM,如圖所示：

BL

.U

在AABM中，

BM=J42+22-2×4×2×cos≡=^20-16cos≡=2√5,

解得COSU=0,所以r=l，

所以圓錐的表面積為S=π×l2+π×l×4=5π.

故選:B.

8.偉大的科學(xué)家阿基米德逝世后，敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑，在墓碑上刻了一

個(gè)如圖所示的圖案，圖案中球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點(diǎn)為

圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面，則圖案中圓錐、球，圓柱的體積比為

()

A.1:2:3B.1：&：GC.I；√2：3D.2:3:6

【答案】A

【解析】解：?.?球內(nèi)切于圓柱，所以圓柱高h(yuǎn)等于球直徑2R,圓柱底面積S底等于球最大橫

截面面積S,

圓柱體積V圓柱=S底Xh,

球體積V球=(πR3,

球最大橫截面積S=π×R2,

%性S也!ΓΛ?∕1

???圓柱體積與球體積比為：VI

薩Nr

*>

圓錐的體積

???圖案中圓錐、球、圓柱的體積比為1：2：3.

故選A.

9.體積為舊的三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上,PAL平面ABC,PA=2,ZABC=

120。，則球O的體積的最小值為（）

【答案】B

【解析】解：因?yàn)閂P-ABC=[PA?SAABC=1x2x：xABxBCxsinl20°=W,

所以AB?BC=6,

?ΔABC中，由余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB?BCCOSNABC=AB2+BC2+AB?BC≥

3AB?BC=18,

當(dāng)AB=BC時(shí)取等號(hào)，

所以AC≥3√2.

設(shè)AABC外接圓的半徑為r,球O的半徑為R,

則由正弦定理有2r=-^7≥2√^,r≥√5,

SmZ.ABC

又PA_L平面ABC,PA=2,

所以球心O到平面ABC的距離d=1,

所以由球的截面的性質(zhì)有R2=r2+d2≥7,

所以球O的體積「C*.絲3.

33

即球O的體積的最小值Vmin=萼B

故選B.

10.如圖，在直三棱柱ABC-AIBICl的側(cè)面展開圖中，B,C是線段AD的三等分點(diǎn)，且AD=

3√1若該三棱柱的外接球O的表面積為12π,則直三棱柱ABC-AiBiCi的體積為（）

A.延D.乎

【答案】A

【解析】由展開圖可知，直三棱柱ABC-AlBlCI的底面是邊長為√I的等邊三角形,

其外接圓的半徑滿足2r=磊=2,所以r=l,

由4πR2=12π得R=√3,由球的性質(zhì)可知，

球心O到底面ABC的距離為d=√R2—r2=V∑,

結(jié)合球和直三棱柱的對稱性可知，AA1=2d=2√2.

則直三棱柱ABC-AIBiCl的體積為V=—×(√3)2×2√2=—.

故選A.

IL如圖，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，將△DAE,ΔEBF,

△FCD分別沿DE,EF,FD折起，使得A,B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A',若點(diǎn)G及四面體A'DEF

的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則以△DEF為底面的三棱錐G-DEF的高h(yuǎn)的最大值為

()

F

F

A.e+1B.√6+?C.2：V6-iD.2√6-∣

【答案】A

【解析】解：由題意可知AA'EF是等腰直角三角形,且A'D，平面A'EF,三棱錐的底面A'EF擴(kuò)

展為邊長為2的正方形，

然后擴(kuò)展為正四棱柱，此正四棱柱的底面為邊長為2的正方形,高是4,

三楂錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個(gè)球，

正四棱柱的對角線的長度就是外接球的直徑，

直徑為：√4+4+16=√24?

；?球的半徑為R=√6,

???設(shè)4DEF的外接圓的半徑為r,

?.?DE=DF=√22+42=2√5,EF=2√2.

???EF邊上的高為J(2√5)2_(4)2=3或,

???SiPDEF=點(diǎn),

?2r=-2√?5=-10-√2即T

3√23

2√5

.?,球心到面DEF的距離為√R2’一程2

=Jd苧)23

.?.以4DEF為底面的三棱錐G-DEF的高h(yuǎn)的最大值為R+∣=√6+∣.

故選A.

12.如圖兩個(gè)同心球，球心均為點(diǎn)O,其中大球與小球的表面積之比為3：1,線段AB與

CD是夾在兩個(gè)球體之間的內(nèi)弦，其中A、C兩點(diǎn)在小球上，B、D兩點(diǎn)在大球上，兩內(nèi)

弦均不穿過小球內(nèi)部.當(dāng)四面體ABCD的體積達(dá)到最大值時(shí)，此時(shí)異面直線AD與BC

的夾角為仇則Sinm=()

A.立B.立C.回D.辿

64633

【答案】A

【解析】解：設(shè)正方體的邊長為2,則其內(nèi)切球半徑為1,外接球的半徑為生生I=百,

2

???內(nèi)切球和外接球的表面積之比為1：3,符合題意中的小球和大球的比例，

依題意CD,AB最長為J(√3)2_12=√2,AC最長為小球的直徑2.

???三角形的面積S=∕ab?sinC,若a,b為定值，則C=I時(shí)面積取得最大值.

畫出圖象如下圖所示，其中A,C分別是所在正方形的中心，

是正方體內(nèi)切球與外接球的球心，「

OCD〃ADCD=AD1,CB1∕∕AB,CB1=AB.

TVA-BCD=IVABDI-CBID=?,SAABD。AC,故此時(shí)四面體A—BCD的體積最大.

???CE∕∕AB,CE=AB,???四邊形ABCE為平行四邊形，

.?.BC∕∕AE,.??Z?DAE是異面直線BC和AD所成角，：.4DAE=θ,

VAD=AE,設(shè)G是DE的中點(diǎn)，則AG_LDE,

.θGE1_?_√6

'"AE,???sin-=—

2AE√22÷12÷12y/66

故選：A.

二、單空題（本大題共6小題，共30分）

13.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面ABC滿足BA=BC=遍，

-ADC：,若該三棱錐體積的最大值為3,則其外接球的體積為.

【答案】yπ

【解析】解：???△ABC是等腰直角三角形，

???AC為截面圓的直徑，故外接球的球心O在截面ABC中的射影為AC的中點(diǎn)D,

二當(dāng)P,O,D共線且P,O位于截面同一側(cè)時(shí)棱錐的體積最大，

棱錐的最大高度為PD,

.?.∣×∣×√6×√6×PD=3,解得PD=3,

設(shè)外接球的半徑為R，則OD=3-R,OC=R,

在AODC中，CD=TAC=百，

由勾股定理得：（3-R）2+3=R2,解得R=2.

二外接球的體積『-:X2'-.

故答案為苧n.

14.某幾何體由圓錐挖去一個(gè)正三棱柱而得，且正三棱柱的上底面與圓錐內(nèi)接，下底面在圓

錐的底面上，己知該圓錐的底面半徑R=3,正三棱柱的底面棱長a=遮，且圓錐的側(cè)

面展開圖的圓心角為莖，則該幾何體的體積為.

【答案】12ττ-2√5

【解析】解：因?yàn)閳A錐的底面半徑R=3,圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為景，

設(shè)圓錐的母線長為1,則X3XI,解得I=5,

5

所以圓錐的高HI=、52-32=4,圓錐的體積Ii：*3*XI12-,

因?yàn)檎庵牡酌胬忾La=√3.

所以底面三角形的高為gX號(hào)=|，

顯然圓錐的底面圓心為正三棱柱的底面重心，

設(shè)正三棱柱的高為h，則也=上更，即也=!±1,解得電=事

3

H1R43

所以正三棱柱的體積V?=i×√3×∣×∣=2√3,

所以該幾何體的體積為Vi-丫2=12π-2√3.

故答案為12π-2√5.

15.已知三棱錐P-ABC三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=2,M,

N分別為該三棱錐內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)間的距離最大值為

【答案】2+管

【解析】解：由已知可將該三棱錐補(bǔ)成如圖所示正方體.

則三棱錐內(nèi)切球球心0,外接球球心。2，

以及內(nèi)切球與面ABC的切點(diǎn)G三點(diǎn)均在PDl上，JiGO2=iPD1

設(shè)內(nèi)切球半徑為r,外接球半徑為R,則R=T夜&3=√T

由3（SAACP+SABCP+SAABP+SAABC）r=I?SAABP-PC>解得r=1-日，

故M、N兩點(diǎn)間距離的最大值為R+Gθ2+2r=2+竽.

故答案為2+迪.

3

16.《九章算術(shù)》是古代中國的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘歐幾里得的《幾何原

本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.《九章算術(shù)》卷五記載:“今有芻矍，下廣三丈，表四丈，

上袤二丈，無廣，高一丈.問積幾何？”譯文：今有如圖所示的屋脊?fàn)钚wPQ-ABCD,

下底面ABCD是矩形，假設(shè)屋脊沒有歪斜，即“。的中點(diǎn)"在底面ABCD上的投影為

矩形ABCD的中心點(diǎn)O,P（>I。，AB=4,AD=3,PQ=2,OR=I（長度單位：

丈）.則楔體PQ-ABCD的體積為（體積單位：立方丈）.

【答案】5

【解析】解：如圖所示,

該幾何體可看作是由一個(gè)三棱柱和兩個(gè)相同的四棱錐拼接而成，

其中三棱柱的底面為底邊長3,高為I的等腰三角形，三棱柱的高為2,

所以三棱柱的體積為：×3×1×2=3,

每個(gè)四棱錐的底面均為矩形，該矩形相鄰的邊長分別為1、3,四棱錐的高為1,

所以兩個(gè)四棱錐的體積之和為2×∣×1×3×1=2,

所以該楔體PQ-ABCD的體積為3+2=5(立方丈).

故答案為5.

17.已知四面體ABCD內(nèi)接于球0,且AB=BC=√2,AC=2,若四面體ABCD的體積為平,

球心0恰好在棱DA上，則球O的表面積是.

【答案】16ιr

【解析】解：如下圖所示，

在三角形ABC中，

因?yàn)锳B?+BC2=AC2,

所以AABC為直角三角形，

所以三角形ABC的外接圓的圓心為AC的中點(diǎn)Oi,連OOi,

根據(jù)垂徑定理，可得(K)4平面ABC,

球心O恰好在棱DA匕則。為DA的中點(diǎn)，

因?yàn)?,Oi為AD,AC的中點(diǎn)，

001∕∕DC,

可知平面ABC,

所以DC為四面體ABCD的高.

所以工DCχZχ√ΣX√Σ=迪，解得DC=2√1

323

所以AD=/(2√3)2+22=4-

所以四面體ABCD的外接球的半徑為2,

表面積為4nR2=4π×22=16π.

18.在三棱錐P-ABC中,CA=CB=√ΣAClBC,P在平面ABC內(nèi)的投影為AB的中點(diǎn)5，

設(shè)該三棱錐的體積為V,該三棱錐外接球的表面積為s,若v∈則S的取值范圍

【答案】[4π,學(xué)]

【解析】解：因?yàn)镃A=CB=夜，AC1BC,

所以AB=J(√Σ)7+(√∑)2=2，

iill

?V,li,∕l-(Λ('Bhχ>x2-?2?∕∣?l

323231H3

所以heE，2],

因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的投影，AB的中點(diǎn)5，

所以設(shè)球心為O,則O在POl上，

故R2=(k-R)2+I2,

化簡得到R=T+親R,=j-?=?

當(dāng)h∈[?,1]時(shí)，R,≤0;當(dāng)he[1,2]時(shí)，R,≥0,

故函數(shù)R=g+/在he百1]上單調(diào)遞減，在he[1,2]上單調(diào)遞增，

又Rq)=(R(l)=l,R(2)=[,

所以Re[l,∣],

所以S=4xR2e[4π,i