新教材老高考適用2023高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 課時(shí)規(guī)范練36直線平面垂直的判定與性質(zhì)北師大版

課時(shí)規(guī)范練36直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

基礎(chǔ)鞏固組

1.（2021湖南師大附中模擬）若處〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面,且以，a,nuβ,

則“加〃〃”是“a_L￡”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.已知平面直線∕7Ua,直線歸￡,則下列命題正確的是（）

A.4〃￡=勿〃〃

B.。_L￡=R_LZ7

C.ml.。。J.￡

D.ml.∕τ=>RJ_o

3.如圖，四棱錐ST四的底面為正方形,助，底面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是（）

S卜

A.ACVSB

B.ADLSC

C.平面SIA平面皿

D.BDLSA

4.已知月月是圓柱上底面的一條直徑,C是上底面圓周上異于Ai8的一點(diǎn),〃為下底面圓周上一點(diǎn),且

力〃垂直圓柱的底面,則必有（）

A.平面平面BCD

B.平面6G9，平面ACD

C.平面/勿_L平面ΛCD

D.平面8儀〃_平面ABD

5.（2021浙江,6）如圖，己知正方體ABCD-AyBxQDi,M,N分別是4〃48的中點(diǎn)，則（）

A.直線4〃與直線垂直,直線物V〃平面ABCD

B.直線4。與直線BB平行,直線助VL平面BDDB

C.直線4,與直線46相交,直線,楙〃平面ABCD

D.直線4〃與直線異面,直線，敗L平面BDD1R

6.如圖,在以下四個(gè)正方體中，直線四與平面板垂直的是（）

E

③④

A.①③B.②④C.①④D.②③

7.（2021北京人大附中模擬）已知α,P是兩個(gè)不同的平面，，,勿是兩條不同的直線，歸￡,下

列四個(gè)命題:①α〃￡=Iln1；②aJ_￡=/〃z?;③_Z_L"Qa//β?,④IjjgaA_β.其中正確的命題

是.（寫出所有正確命題的序號(hào)）

8.如圖，已知如垂直于正方形所在的平面,連接PB,PC,PA,AC,BD,則一定互相垂直的平面有一

對(duì).

9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為a的正方形,側(cè)棱PD=a,PA=PC增a.

求證：⑴/YU平面ABCD-,

（2）平面為。L平面PBD.

綜合提升組

10.若￡是兩個(gè)相交平面,則在下列命題中,正確的是（）

A.若直線m_La,則在平面￡內(nèi)，一定不存在與直線加平行的直線

B.若直線mLa,則在平面β內(nèi)，不存在無(wú)數(shù)條直線與直線m垂直

C.若直線m。，則在平面￡內(nèi)，一定存在與直線而異面的直線

D.若直線歸則在平面￡內(nèi)，一定存在與直線必垂直的直線

11.如圖,在正方體中，。為底面的中心,。為所在棱的中點(diǎn),MN為正方體的頂點(diǎn).則滿足拗5⑺的是

()

A.①③B.①④C.②③D.②④

12.（2021河北遷西第一中學(xué)模擬）如圖,在三棱柱ABe-ABG中，己知A4」平面ABC,BC=CCh當(dāng)?shù)酌?/p>

/以G滿足條件時(shí),有｛笈，6G.（注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能

的情況）

13.在矩形ABCD中，AB<BC,現(xiàn)將△力做沿矩形的對(duì)角線即所在的直線進(jìn)行翻折,在翻折的過(guò)程中，給

出下列結(jié)論：

①存在某個(gè)位置,使得直線4。與直線劭垂直;

②存在某個(gè)位置,使得直線46與直線切垂直;

③存在某個(gè)位置,使得直線/〃與直線比'垂直.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

14.(2021廣東珠海第二中學(xué)模擬)在五面體EF-ABCD中,正方形詼'所在平面與平面ABa)垂直,四

邊形力靦為等腰梯形,AB//CD,AD=DC=B吟AB.

(1)求證:平面BCFL平面ACE-,

(2)若三棱錐4-赦的體積為竽,求線段AB的長(zhǎng).

創(chuàng)新應(yīng)用組

15.劉徽注《九章算術(shù)?商功》“斜解立方,得兩塹堵.斜解塹堵,其一為陽(yáng)馬,一為鱉蠕.陽(yáng)馬居二,

鱉席居一,不易之率也.合兩鱉席三而一,驗(yàn)之以恭,其形露矣.”如圖1解釋了由一個(gè)長(zhǎng)方體得到

“塹堵”“陽(yáng)馬"''鱉嚅”的過(guò)程.塹堵是底面為直角三角形的直棱柱;陽(yáng)馬是一條側(cè)棱垂直于底

面且底面為矩形的四棱錐;鱉膈是四個(gè)面都為直角三角形的四面體.

在如圖2所示由正方體/敗-/由G"得到的塹堵ABC-ABG中，當(dāng)點(diǎn)。在下列三個(gè)位置中點(diǎn),Alβ

中點(diǎn),4C中點(diǎn)時(shí),分別形成的四面體P-ABC中,鱉膈的個(gè)數(shù)為（）

Λ.OB.1C.2D.3

16.（2021廣東深圳月考）己知某“鞠”（鞠為一種球體）的表面上有四個(gè)點(diǎn)48,滿足

AB=BC=CD=DA=DB=?0CnUC=I5cm,則點(diǎn)/到平面以力的距離為cm,該“鞠”的表面積為一

2

cm.

課時(shí)規(guī)范練36直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

1.A解析:若m//n,'.'ml.a,.,.nl.a.又nuβ,由面面垂直判定定理知，aLβ.

是"a_L￡”的充分條件；

若α_L￡,如圖,在正方體∕8(∕T'8'C'〃'中，記平面BCC'B'為。，記平面ABCD為8"'B'為直線

m,AD為直線n,滿足條件aLβ,ml.a,nuβ,直線nι,n異面.

Λam∕∕nn是“α_L萬(wàn)"的充分不必要條件.

故選A.

2.C解析:若直線〃U。，直線歸β,?！ā?則勿與〃可能異面,可能平行,故A錯(cuò)誤；由直線〃U

α,直線歸β,aJ_￡,則勿與〃可能平行,可能相交,可能異面,故B錯(cuò)誤；由直線歸β,nιL。，可

得α_L￡,故C正確；由直線歸。，直線//Cβ,mLn,則如與?？赡芷叫?，可能相交,故D錯(cuò)誤.故選

C.

3.D解析:M_L底面被力,M在平面/8。的射影8〃與47垂直,則M_L/CA正確；SC在平面川初

的射影DC與垂直,則SCLAD,B正確;利用上述垂直可得4CL平面SBD,且力CU平面SAC,從而有

平面外。L平面SBD,C正確；若被_1$1,則劭垂直必在平面ABCD內(nèi)的射影DA,這不符合題意，D錯(cuò)

誤.故選D.

4.B解析:因?yàn)槿允菆A柱上底面的一條直徑,所以ACVBC.又/〃垂直圓柱的底面,所以ADLBC.因

為ACΓ?AD=A,所以6人平面ACD.又BCU平面BCD,所以平面靦，平面ACD.故選B.

5.A解析:連接ADh在正方體ABCD-ARC由中，

"是4。的中點(diǎn)，所以材為AD1中點(diǎn).

又A'是48的中點(diǎn),所以松〃AB.

因?yàn)榇?平面4?笫,4?U平面ABCD,

所以MN//平面ABCD.

因?yàn)?8不垂直BD,所以,加不垂直BD,

則助V不垂直平面BDDB,所以選項(xiàng)B,D錯(cuò)誤；

在正方體ABCD-4BCD?中,

/8_L平面AAxDxD,所以ABLAλD,

ADy^AB=A,所以平面ABh

4氏平面八BD1,所以AXDLDXB,

且直線A以是異面直線，

所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤,選項(xiàng)A正確.

故選A.

6.B解析:對(duì)于①，由/6與磔'所成角為45°,可得直線48與平面儂不垂直;對(duì)于②，由∕8J,

CE,ABVED,CEΓ}ED=E,可得4?，平面CDE;對(duì)于③，由AB與CE所成角為60°,可得直線4?與平面

彼不垂直；對(duì)于④,連接AC,由￡9,平面ABC,可得EDLAB,同理可得ECLAB,又EDHEC=E,所以AB

_L平面CDE.故選B.

7.①④解析：a//β,l^明所以11β.又犯￡,所以1_L屬①正確;

aLβ,lL。，則/〃￡或Ju￡,所以/,〃可能平行、相交或異面,②錯(cuò)誤；

ILm,11.a,∕∣c萬(wàn)，貝∣J。，￡相交或平行,③錯(cuò)誤；

l∕∕m,71。，則0，。，又忙?所以④正確.

8.7解析:在四棱錐―T8或中，

①因?yàn)棣薒平面ABCD,PDc.平面PAD,所以平面為〃1平面ABCD;

同理可得,平面臉_1_平面ABCD,平面AGZL平面ABCD?

②因?yàn)?_L平面ABCD,ASa平面板所以PDVAB.

因?yàn)榱t為正方形,所以ABLAD.

又PD,4。在平面∕?9內(nèi)，且相交于點(diǎn)D,所以4員L平面PAD.

又ABa平面PAB,所以平面處員L平面PAD.

同理可得,平面"_L平面PCD,平面用UL平面PBD,平面闈9_L平面PAD.

所以一定互相垂直的平面有7對(duì).

9.證明（1）?.?Λ9=a,DC=a,PC5a,：.PC=PHDd,則PDLDC.同理可證PDLAD.

又ADΠDC=D,且AIJci平面ABCD,DCU平面ABCD,

，如，平面ABCD.

⑵（方法1）由⑴知fl9_L平面ABCD,又ACcz平面ABCD,

：.PDLAC.；四邊形ABCD是正方形，：.ACLBD.

又BDCPD=D,且PIJci平面PHD,BDCI平面PBD,

平面PBD.

又ACci平面用C.?.平面用CJ_平面PBD.

（方法2）設(shè)〃?與劭交于點(diǎn)0,連接"X圖略），易知POLAC.ABCD是正方形,：.qBD.

又POCBD=O,POci平面PBD,BDCL平面月切,，｛入平面PBD.

又ACci平面PΛC,.?.平面/CJ_平面PBD.

10.D解析:設(shè)平面?！善矫妗?直線/,

對(duì)于A,當(dāng)平面αJ_平面萬(wàn)時(shí),在平面尸內(nèi)作直線Λ±1,則Λ±。，而如_1.a,則〃〃見(jiàn)故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,小。，則∕Z7±/,則平面戶內(nèi)與/平行的所有直線都與直線加垂直,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)橹本€〃匚α,則勿與/重合時(shí)，即歸β,￡內(nèi)的所有直線都與皿共面,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)心￡時(shí),結(jié)論成立,直線以與￡不垂直時(shí),作與直線而垂直的平面八則y必與￡相交,所

得交線與加垂直,故D正確.故選D.

Il.C解析:設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

對(duì)于①,如圖1所示,連接AC,則助V■〃/G

SN

M[

故N%7（或其補(bǔ)角）為異面直線勿U介所成的角，

在直角三角形OPC0C^∕2,X,故tanNH?==名則必1工利不成立,故①錯(cuò)誤;

√22

對(duì)于②,如圖2所示,取MT■的中點(diǎn)為Q連接PQ,OQ,則OQLMT,PQVMN.

由正方體SBCN-MADT可得SML平面AMDT,而OQa平面AMTDy

故SMLOQ,而SNCMN=N,故優(yōu)U平面SNTM.

又必比平面SNTM,則OQLMN,而OQCPQ=Q,

所以拗U平面OPQ,而Pg平面OPQ,故MNLOP,故②正確；

對(duì)于③,如圖3,連接BD,則BD//MN,由B的判斷可得OPVBD,

故OPLMN,故③正確；

對(duì)于④,如圖4所示,取4。的中點(diǎn)Q,48的中點(diǎn)K,連接AC,PQ,OQ,PK,OK,OA,

圖4

則AC//MN.

因?yàn)镈P=PC,DQ=QA,所以PQ//AC,故PQ//MN,

所以∕QA2（或其補(bǔ)角）為異面直線OP,物『所成的角，

因?yàn)槭?/C√Σ,

22

OQ=y∣AO+AQ=√2∏=√3,

POZPK2+OK2=√4TT=√5,

所以O(shè)Q<PG+OP,

所以NQ/力不是直角，

故OP看,例不垂直,故④錯(cuò)誤.故選C.

12.4GL8C（答案不唯一）解析：當(dāng)?shù)酌?5G滿足條件4G，笈G時(shí),有ABLBC.

證明如下：；力4L平面ABC,BC=Ce“

，四邊形BcCB是正方形，：.BCJBC

'：CQ//AAχ,ΛΛG±CG.

又A?C?B?C?,CC?∩B?C?=C\,CCi,笈GU平面BCC?B?,

...AC平面BCQB,.

勿4G,.?.4C?L平面BCGBy.

,：BCu平面BCCxBx,：.BCxVAC.

'JΛC,BxCc.平面/CB,."G，平面ACBh

當(dāng)?shù)酌?5G滿足條件AlClLBiG時(shí)，有ABiLBQ.

13.②解析:

①假設(shè)"與劭垂直,過(guò)點(diǎn)A作AEA即千點(diǎn)E,連接CE則煞?照［n6ZM平面AEC,則以人笫而

DD?AL）

在平面BCD中,龍與劭不垂直,故假設(shè)不成立,①不正確.②假設(shè)ABVCD,-JABVAD,ACD,

：.ABLAC,由48飩可知,存在這樣的直角三角形,使Aβ±ΛC,故假設(shè)成立,②正確.

③假設(shè)ADLSC,VCDLBC,.?.8CL平面ACD,：.BCVAC,即4/8C為直角三角形,且相為斜邊,而

AB<BC,故矛盾,假設(shè)不成立,③不正確.

14.(1)證明取股中點(diǎn)0,連接CaYAD=DC=BC=ΛB,AB//CD,

四邊形AoCD為嘍形，：.Co=OA=OB,△管為正三角形，.XCLbC

：正方形的所在平面與平面/18⑦垂直,

且平面CDEFC平面ABCD=CD,CDLCF,

,凡二平面ABCD,ACCL平面ABCD,：.FCLAC.BCCFC=C

平面BCF.

VJ6t平面ACE,平面ZlGe?平面BCF.

⑵解設(shè)BC=x,則ABCx,由勾股定理得AC忐X,由⑴可知,平面ABCD,

故%-IiCE=VE-ΛBCqS4ΛBC,ED,

,X?√3xzzyX2,

即更系史I,解得χ2即

63

15.C解析:設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則由題意知,4GFg∕∑a,4戶√∑a,4g后a,當(dāng)P為AiA的中點(diǎn)時(shí),

因?yàn)闉開1_平面ABC,則/為C=N陽(yáng)歷90°,ZABe馮0°.

由3d平面PAB,得BCLPB,即NP