2023年新高考數(shù)學創(chuàng)新題型15 集合（新定義）（解析版）

2023年新高考數(shù)學創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學文

化、新定義）專題15集合專題（新定義）

一、單選題

1.（2023.全國.模擬預測）已知集合A,8滿足AB={1,2,3},若AN8,且/&切，伊&閣表示兩個不

同的28互襯對“，則滿足題意的“AB互襯對”個數(shù)為（）

A.9B.4C.27D.8

2.（2023?全國?高三專題練習）定義集合AgB=HXeA且xe8},已知集合A={-3,-2,2,3},8={-3,T,l,2},

則A?8=（）

A.{-3,2}B.{-l,l}C.{-2,3}D.{0}

3.（2023?全國?高三專題練習）定義集合A*B={z∣z=wx∈A,y∈B},設集合A={-1,0,1},B={-1,1,3）,

則A*B中元素的個數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

4.（2021秋.陜西安康.高一?？茧A段練習）設P,。是兩個非空集合，定義P*0={（α∕）∣ɑwP,beQ},若

P={3,4,5},Q={4,5,6,7},則PXQ中元素的個數(shù)是（）

A.3B.4C.12D.16

5.（2020秋.黑龍江哈爾濱.高一哈爾濱三中?？茧A段練習）設集合的全集為U,定義一種運算，

MN={x∣xeMc（q,N）},若全集U=R,M={x∣∣x∣≤2},N={x∣-3<xvl},則MN=（）

A.{x∣-2≤x<l}B.{x∣l<x≤2}

C.{x∣l≤x≤2}D.{x∣-2≤x≤l}

6.（2022秋?上海浦東新?高一?？计谥校┊斠粋€非空數(shù)集G滿足“如果”、bwG,則a+b、a-b,abwG,

且6*0時，f∈G"時，我們稱G是一個數(shù)域.以下四個關于數(shù)域的命題中真命題的個數(shù)是（）

b

①0是任何數(shù)域中的元素；②若數(shù)域G中有非零元素，則2022∈G;

③集合尸={xb=2A,Z∈Z}是一個數(shù)域；④有理數(shù)集Q是一個數(shù)域.

A.1B.2C.3D.4

7.（2022秋?北京房山?高一統(tǒng)考期中）已知U是非空數(shù)集，若非空集合A,B滿足以下三個條件，則稱（AB）

為集合U的一種真分拆，并規(guī)定（A3）與（B,A）為集合U的同一種真分拆.

①ACB=0；

@AuB=U;

③A的元素個數(shù)不是A中的元素，B的元素個數(shù)不是B中的元素.

則集合U={1,2,3,4,5}的真分拆的種數(shù)是（）

A.4B.8C.10D.15

8.（2023春?湖南長沙?高三湖南師大附中校考階段練習）若一個“位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的"次方和等

于這個數(shù)本身，則稱這個數(shù)是自戀數(shù)，已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合A,集合B={xeZ∣-3<X<4},

則ACB真子集個數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

9.（2023秋?上海徐匯?高一統(tǒng)考期末）若集合A同時具有以下三個性質：（l）0∈A,1∈Λ;（2）若x,y∈A,

則x-yeA；（3）若XWA且xwθ,則則稱A為“好集”.已知命題：①集合{1,0,—1}是好集；②對

任意一個“好集”4若χ,yeA,則x+y∈A.以下判斷正確的是（）

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

_?-?,xiM

10.（2022秋?上海浦東新?高一華師大二附中?？茧A段練習）對于集合M,定義函數(shù)九（X）=,“，對

[l,x∈M

于兩個集合M、N,定義集合，MNV={x∣√M（X）/（X）=-1},已知A={2,4,6,8,10},B={l,2,4,8,16},用IMl

表示有限集合M中的元素個數(shù)，則對于任意集合Λ/,|"44|+|知她|的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

11.（2022秋.天津和平.高一天津市匯文中學?？茧A段練習）若XeA且JeA就稱A是伙件關系集合，集合

X

1，2,3,4）的所有非空子集中，具有伙伴關系的集合個數(shù)為（）

A.15B.16C.64D.128

12.（2022秋?寧夏石嘴山?高一石嘴山市第一中學校考階段練習）已知集合M={2,3,4,5},對它的非空子集A,

可將A中的每一個元素/都乘以（-1）“再求和（如A={2,3,5},可求得和為：2?（-l）2+3?（-l）3+5-（-1）5=-6）,

則對M的所有非空子集執(zhí)行上述求和操作，則這些和的總和是（）

A.18B.16C.-18D.-16

13.(2023?全國?高三專題練習)含有有限個元素的數(shù)集，定義“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從小到大的順

序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù).例如{4,6,9)的交替和是9-6+4=7；而⑸的交替和是5,

則集合M={1,2,3,4,5,6}的所有非空子集的交替和的總和為()

A.32B.64C.80D.192

14.(2022秋.北京海淀.高一人大附中校考期中)若集合4的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，

稱A為互斥集.若A={α,0,c}α{l,2,3,4,5},且4為互斥集，則4+，+1的最大值為()

abc

11°13〃7c47

A.-B.—C.-D.—

612460

15.(2022?上海?高一專題練習)設X是一個集合，T是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①X屬

于T,。屬于T；②t中任意多個元素的并集屬于t；③工中有限個元素的交集屬于t.則稱工是集合X上的一

個拓撲.已知集合X={α,b,c},對于下面給出的四個集合τ:

Q)τ={0,{α},{a,b},{a,c}}；

②t={0,{h},{c},{h,c},{a,h,c}}；

③τ={0,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}；

④τ={0,{a},{c},{a,b,c}}.

其中是集合X上的拓撲的集合T的序號是()

A.②B.①③C.②④D.②③

16.(2022秋?上海浦東新?高一上海市建平中學校考開學考試)定義集合運算A-B={x∣xdA且xwB}稱為

集合A與集合B的差集；定義集合運算AS=(A-B)U(B-A)稱為集合4與集合B的對稱差，有以下4個

命題：

①AΔB=8ΔA(2)(AΔδ)?C=Λ?(βΔC)

③41(BAC)=(AlB)?(AIC)④AU(BAC)=(AUB)A(AUC)

則4個命題中是真命題的是()

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

二、多選題

17.(2022秋?江蘇蘇州?高一星海實驗中學?？计谥?整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為Z的所有整數(shù)組成一

個“類”，其中Ze{0,l,2,3},記為因，即岡={x∣x=4"+Z,"eZ},以下判斷正確的是（）

A.2022∈[1]B.-3∈[3]

C.Z=[0][1][2][3]D.若a—be[0],則整數(shù)。，b屬于同一個類

18.（2022秋?山西運城?高一山西省運城中學校期中）1872年德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有

理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無

理數(shù)被認為“無理”的時代，也結束了數(shù)學史上的第一次大危機.將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集”與N,

且滿足MUN=Q,MCN=0,M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱（M,N）為戴德金分割.

試判斷下列選項中，可能成立的是（）

A.M={xeQ∣x<√5},N={xeQ∣x≥√^滿足戴德金分割

B.M沒有最大元素，N有一個最小元素

C.M沒有最大元素，N沒有最小元素

D.M有一^最大元素，N有一個最小元素

19.（2022秋?四川眉山?高一校考階段練習）給定集合A,若對于任意α,b≡A,有α+6eA,S,a-beA,

則稱集合A為閉集合，以下結論正確的是（）

A.集合A={0}為閉集合；

B.集合A={Y,-2,024}為閉集合；

C.集合A={"∣"=3Z,壯Z}為閉集合；

D.若集合4、A為閉集合，則4=4為閉集合.

三、填空題

20.（2022秋?江蘇常州?高一常州高級中學校考期中）設集合∕={1,2,3},A=/,若把集合MUA=/的集合M

叫做集合A的配集，貝∣JA={1,2}的配集有個.

21.（2023?全國?高三專題練習）對于非空集合H={q,%,如q}（4,?≥0,i=l,2,3,〃），其所有元素的幾何

平均數(shù)記為E（A）,即E（A）=W,「七.七”?若非空數(shù)集8滿足下列兩個條件：①8A；②E（B）=E（A）,

則稱8為A的一個“保均值真子集”，據(jù)此，集合{1,2,4,8,16}的“保均值真子集”有一個.

22.（2020秋.上海閔行.高一上海市七寶中學?？茧A段練習）設集合S,,={1,2,3,,〃},若XU5“，把X的

所有元素的乘積稱為X的容量（若X中只有一個元素，則該元素的數(shù)值即為它的容量，規(guī)定空集的容量為

0）.若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱X為S“的奇（偶）子集，則Ss的所有奇子集的容量之和為.

23.（2022秋.河北滄州.高一任丘市第一中學?？茧A段練習）設A是整數(shù)集的一個非空子集，對于Z∈4,若

k-?iA,且4+leA,則稱R是A的一個“孤立元”，集合T={1,2,3,5}中的“孤立元”是；對

給定的集合S={1,2,3,4,5.6）,由S中的4個元素構成的所有集合中，不含"孤立元''的集合有

個.

24.（2021秋?上海徐匯?高一位育中學?？茧A段練習）若一個非空數(shù)集尸滿足：對任意“∕eF,有a+b,a—b,

ObGF,且當方HO時，有feF,則稱尸為一個數(shù)域，以下命題中：

b

（1）0是任何數(shù)域的元素；（2）若數(shù)域尸有非零元素，則2021eF;

（3）集合P={x∣x=3A,AwZ}為數(shù)域；（4）有理數(shù)集為數(shù)域；

真命題的個數(shù)為

25.（2022秋.北京.高一?？茧A段練習）已知集合A,B滿足：（I）AB=Q,ACB=0；（2）Vx1∈A,若

x?eQ且與<%，則x?eA；（3）Vyl∈B,若且%>%，則％eB.給出以下命題：

①若集合A中沒有最大數(shù)，則集合B中有最小數(shù)；

②若集合A中沒有最大數(shù)，則集合8中可能沒有最小數(shù)；

③若集合A中有最大數(shù)，則集合B中沒有最小數(shù)；

④若集合A中有最大數(shù)，則集合8中可能有最小數(shù).

其中，所有正確結論的序號是.

26.（2022秋.江蘇淮安?高三校聯(lián)考期中）用CWd（A）表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義

)

Card(A)-Card(B,Card(A)≥Card(B)若A={2,3},β={x∣(x2+"7x)(f+WU+1)=0

jCard(B)-Card(A),Card(A)<Card(B)且

A8=1,若B中元素取最少個數(shù)時機=.若B中元素取最多個數(shù)時，請寫出一個符合條件的集合

B=.

27.（2022秋?上海浦東新?高一上海南匯中學?？茧A段練習）對于集合{x∣n≤x≤b},我們把6一。稱為該集

合的長度，設集合A={x∣α≤x≤α+1927},B={x∣f-（26-1094）x+bS-1094）≤0},且AB都是集合

U={x∣0≤x≤2022}的子集，則集合ACB的長度的最小值是.

28?(2023?全國?高一專題練習)設S、T是R的兩個非空子集，如果存在一個從S到T的函數(shù)y=∕(x)滿足:

(i)7={"x)∣x∈S};(ii)對任意Λ1,weS,當為時，恒有Fa)</(受).那么稱這兩個集合“保

序同構現(xiàn)給出以下3對集合：

①A=N,B為正整數(shù)集；

②A={x∣-l≤x≤3},β=∣x∣-8≤x≤1()}；

③A={x∣O<x<l},B=R.

其中，“保序同構”的集合對的序號.(寫出所有“保序同構'’的集合對的序號)

四、解答題

29.(2022秋?河北滄州?高一任丘市第一中學?？茧A段練習)已知M是滿足下列條件的集合:①OwΛ∕,IeM;

②若x,y∈M,貝IJX-yeΛ∕;③若χwΛ∕且XH0,則LeM.

X

(1)判斷τ∈"是否正確，說明理由；

(2)證明：∣∈M;

(3)證明：若x,yeM,則x+yeΛ∕且AyeM.

30.(2022秋?北京?高一北京市第十三中學?？计谥?設A是實數(shù)集的非空子集，稱集合

B={w+v∣u,v∈Afiw≠v)為集合A的生成集.

(1)當A={2,3,5}時，寫出集合A的生成集B；

(2)若A是由5個正實數(shù)構成的集合，求其生成集B中元素個數(shù)的最小值.

專題15集合專題（新定義）

一、單選題

1.（2023?全國?模擬預測）已知集合A,8滿足AB={1,2,3},若A≠3,且恒&句，［B&A］表示兩個不

同的“AB互襯對“，則滿足題意的互襯對"個數(shù)為（）

A.9B.4C.27D.8

【答案】C

【分析】直接列舉可得.

【詳解】當A=0時，集合5可以為{123}；

當A={l}時，集合B可以為{Z3},{1,2,3};

當A={2}時，集合8可以為{1,3},{1,2,3}；

當A={3}時，集合=可以為{1,2},{1,2,3};

當A={1,2}時，集合B可以為{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}；

當A={l,3}時，集合B可以為{2},{1,2},{2,3},{1,2,3};

當A={2,3}時，集合B可以為{1},{1,2},{1,3},{1,2,3};

當A={l,2,3}時，集合3可以為0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.

故滿足題意的“A8互襯對”個數(shù)為27.

故選：C

2.（2023?全國?高三專題練習）定義集合AoB={dx∈A且X任B},已知集合A={-3,-2,2,3},B={-3,-l,l,2},

貝|JA?8=（）

A.{-3,2}B.{-l,l}C.{-2,3}D.{0}

【答案】C

【分析】根據(jù)集合新定義即可求解.

【詳解】因為集合A8B={x∣x∈4且x∕B},A={-3,-2,2,3},8={-3,-1,1,2},

所以4（8）3={-2,3}

故選：C

3.（2023?全國?高三專題練習）定義集合A*B={z∣Z=職x∈A,ywb},設集合A={T,O,1},B={T,1,3},

則A*B中元素的個數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】根據(jù)集合的新定義求得A*B,從而確定正確答案.

【詳解】因為A={—l,O,l},β={-l,l,3},

所以A*B={-3,T,0,l,3},

故A*8中元素的個數(shù)為5.

故選：B.

4.(2021秋?陜西安康?高一?？茧A段練習)設P,。是兩個非空集合，定義PXQ={(α∕)∣”wP,6∈Q},若

P={3,4,5},Q={4,5,6,7},則PXQ中元素的個數(shù)是()

A.3B.4C.12D.16

【答案】C

【分析】根據(jù)集合新定義，利用列舉法寫出集合的元素即可得答案.

【詳解】因為定義尸義。={(凡。)|。€尸,丑。},且尸={3,4,5},Q={4,5,6,7},

所以PXQ={(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(5,4),(5,5),(5,61(5,7)},

PXQ中元素的個數(shù)是12,

故選：C.

5.(2020秋?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中?？茧A段練習)設集合的全集為U,定義一種運算，

M∕V={ψeMn(?,N)},若全集U=R,M=HW≤2},N={x∣-3<x<l},則MN=()

A.{x∣-2≤x<l}B.{x∣l<x≤2}

C.{x∣l≤x≤2}D.{x∣-2≤x≤l}

【答案】C

【分析】解不等式求得集合M,求得根據(jù)集合運算新定義，即可求得答案.

【詳解】由題意得M={M*2}={X∣-24X≤2},q,N={x∣x≤-3或X≥1},

則MN={x∣l≤x≤2},

故選：C

6.（2022秋?上海浦東新?高一?？计谥校┊斠粋€非空數(shù)集G滿足“如果“、beG,則a+。、a-b.abeG,

且bwθ時，feG”時，我們稱G是一個數(shù)域.以下四個關于數(shù)域的命題中真命題的個數(shù)是（）

b

①0是任何數(shù)域中的元素；②若數(shù)域G中有非零元素，則2022∈G;

③集合P={x∣x=2Z,keZ}是一個數(shù)域；④有理數(shù)集Q是一個數(shù)域.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)域定義逐一驗證即可.

【詳解】由定義可知，a-a≡G,即0是任何數(shù)域中的元素，①正確；

若域G中有非零元素小則q=leG,所以l+l=2eG,1+2=3∈G,l+2021=2022∈G.②正確；

a

記a=2,Z>=4,則a,beP,但f=（eP,故③錯誤；

b2

易知任意兩個有理數(shù)的和差積仍是有理數(shù)，當分母不為0時，兩個有理數(shù)的商仍為有理數(shù)，故④正確.

故選：C

7.（2022秋?北京房山?高一統(tǒng)考期中）已知U是非空數(shù)集，若非空集合A,B滿足以下三個條件，則稱（AI）

為集合。的一種真分拆，并規(guī)定（AB）與（B,A）為集合U的同一種真分拆.

φAnB=0;

②AuB=U;

③A的元素個數(shù)不是A中的元素，B的元素個數(shù)不是B中的元素.

則集合U={1,2,3,4,5}的真分拆的種數(shù)是（）

A.4B.8C.10D.15

【答案】A

【分析】理解真分拆的定義，采用列舉法一一列出即可求解.

【詳解】根據(jù)真分拆定義，當集合A只有一個元素時，B有四個元素，此時只能是A={4},B∣={123,5};當

集合A有兩個元素時，8有三個元素，此時包括4={3,1},層={2,4,5}、A,={3,4},員={2,1,5}、

A={3,5},Z={2,1,4},因為（AB）與（8,A）為集合U的同一種真分拆，故只有四種真分拆.

故選：A

8.（2023春?湖南長沙?高三湖南師大附中?？茧A段練習）若一個〃位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的“次方和等

于這個數(shù)本身，則稱這個數(shù)是自戀數(shù)，已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合A,集合B={xeZ卜3<x<4},

則ACB真子集個數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)題中定義，結合集合交集的定義、真子集個數(shù)公式進行求解即可.

【詳解】由題中定義可知4={1,2,3,4,5,6,7,8,9},而5={xeZ∣-3<x<4},

所以A3={1,2,3},因此ACB真子集個數(shù)為237=7,

故選：C

9.（2023秋,上海徐匯?高一統(tǒng)考期末）若集合A同時具有以下三個性質：（I）Oe4,IeA;（2）若x,yeA,

則x-），eA；（3）若XeA且XW0,則ge4.則稱A為“好集”.已知命題：①集合{1,0,—1}是好集；②對

任意一個“好集”A,若x,ye4,則x+yeA.以下判斷正確的是（）

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

【答案】D

【分析】根據(jù)“好集”的定義逐一判斷即可.

【詳解】對于①，因為l∈{l,0,T},Tw{L0,T},而-17=—2e{1,0,—1},

所以集合{1,0,-1}不是好集，故①錯誤；

對于②，因為集合A為“好集”，

所以OeA,O-y=-y∈A,

所以x-（-y）=x+yeA,故②正確，

所以①為假命題，②為真命題.

故選：D.

10.（2022秋?上海浦東新?高一華師大二附中?？茧A段練習）對于集合M,定義函數(shù)EW（X）=IA,，對

[l,x∈Λ∕

于兩個集合M、N,定義集合，MZW={x∣"（x）?∕v（x）=T},已知A={2,4,6,8,10},B={l,2,4,8,16},用IMl

表示有限集合M中的元素個數(shù)，則對于任意集合M,∣MΔA∣+∣MΔB∣的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】先根據(jù)定義化簡MΔ4,M?fi,再根據(jù)文恩圖確定∣MΔA∣+∣MΔB∣最小值取法，即得結果.

[-1,XiM

【詳解】解：因為九3=「山

"，xeM

所以MV/=k"“(%)￡(μ=一1}=3幾(%)=1,八%)=一1}3為1小(冷=-1，加力=1}，

={無Ix∈Λ∕,XegN}<J{x∣xe瘠M,xeN}=(M「)ON)(N7”)，

所以，MΔ4=(M嘮4)(AUM).MΔB=(M(β'vM),

所以，當〃C(ACB)元素個數(shù)最多且M中不含有A,8的元素之外的元素時，∣MΔA∣+∣MΔβ∣最小，

因為AB={2,4,81,

所以當M=ACB={2,4,8}時，∣Λ∕ΔA∣+∣MΔB∣最小，為|{6,10}|+|{1,16}|=2+2=4,

故選：B

11.(2022秋?天津和平?高一天津市匯文中學校考階段練習)若XeA且LeA就稱A是伙件關系集合，集合

X

μ={-1，0，；，，1，2,3,41的所有非空子集中，具有伙伴關系的集合個數(shù)為()

A.15B.16C.64D.128

【答案】A

【分析】首先確定具有伙伴集合的元素有1,-1,“3和1”，“2和9'四種可能，它們組成的非空子集的個

數(shù)為即為所求.

【詳解】因為IwA,∣=1∈A;—1∈A,L=TeA；

1-I

2∈√4,—∈A;3∈A,—GA；

23

這樣所求集合即由1,-1,“3和g”，“2和F’這“四大”元素所組成的集合的非空子集.

所以滿足條件的集合的個數(shù)為24-1=15，

故選:A.

12.(2022秋?寧夏石嘴山?高一石嘴山市第一中學?？茧A段練習)已知集合M={2,3,4,5},對它的非空子集A,

可將A中的每一個元素%都乘以(-1)*再求和(如A={2,3,5},可求得和為：2?(T)2+3?(-lY+5?(-17=4),

則對M的所有非空子集執(zhí)行上述求和操作，則這些和的總和是()

A.18B.16C.-18D.-16

【答案】D

【分析】由己知，先求解出集合”的所有非空子集分別出現(xiàn)的次數(shù)，然后，再根據(jù)范例直接計算總和即嘰

【詳解】由已知，因為M=｛2,3,4,5｝,那么每個元素在集合M的所有非空子集分別出現(xiàn)23個，

則對于M的所有非空子集執(zhí)行乘以(-琰再求和的操作，則這些數(shù)的總和為：

2,[2?(-l)2+3?(-l)3+4?(-l)4+5?(-l)5]=-16.

故選：D.

13.(2023?全國?高三專題練習)含有有限個元素的數(shù)集，定義“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從小到大的順

序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù).例如｛4,6,9｝的交替和是9-6+4=7；而⑸的交替和是5,

則集合M=｛1,2,3,4,5,6｝的所有非空子集的交替和的總和為()

A.32B.64C.80D.192

【答案】D

【分析】依次計算集合｛1｝,｛1,2｝,｛1,2,3｝,｛1,2,3,4)的所有非空子集的交替和的總和，然后歸納猜想出規(guī)律即可

得.

【詳解】集合⑴的所有非空子集的交替和的總和為H=I,

集合｛1,2｝的所有非空子集的交替和的總和為52=1+2+(2-1)=4,

集合｛1,2,3｝的所有非空子集的交替和的總和為5,=1+2+3+(2-1)+(3-2)+(3-1)+(3-2+1)=12,

集合｛1,2,3,4｝的所有非空子集的交替和的總和為S4=1+2+3+4+(2-1)+(3-2)+(4-3)+(3-1)

+(4-2)+(4-1)+(3-2+1)+(4-3+2)+(4-2+1)+(4-3+1)+(4-3+2-1)=32,

由此猜測集合｛1,2,3,,〃｝的所有非空子集的交替和的總和為S"="?2"τ,

證明如下：將集合｛1,2,3,,〃｝中所有的子集分為兩類：第一類，集合中無〃，第二類，集合中有"這個元素，

每類中集合的個數(shù)為2"τ

我們在兩類集合之間建立如下一一對應關系：

第一類中集合A對應著第二類中集合A;｛〃｝,

此時這兩個集合的交替和為〃，

故集合｛1,2,3,,〃｝的所有非空子集的交替和的總和為S"="?2"-’,

所以4=6x25=192.

故選：D.

14.(2022秋?北京海淀?高一人大附中?？计谥?若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同,

稱A為互斥集.若A={α,A,c}u{l,2,3,4,5},且4為互斥集，則的最大值為（）

abc

11c13-7-47

A.—B.—C.-D.—

612460

【答案】C

【分析】由集合的新定義先確定集合A,而要想L+?+1取得最大值，則α,b,c要最小，從而確定”,"c,

abc

即可求解

【詳解】因為A={α,A,c}α{l,2,3,4,5},

所以A為{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5}

又且A為互斥集，

所以A為{LZ4},{1,2,5},{1,3,5},{2,3,4},{2,4,5},{3,4,5},

要想!+!+!取得最大值，

abc

則α,6,c要最小，此時α,?,c∈{l,2,4}.

Fg?…C,1111117

不妨令。=1/=2,c=4,則π—I--F-=-H--F—=—,

π?c1244

故選：C

15.（2022?上海?高一專題練習）設X是一個集合，τ是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①X屬

于T,。屬于T；②t中任意多個元素的并集屬于T；③T中有限個元素的交集屬于t.則稱工是集合X上的一

個拓撲.己知集合X={α,b,c},對于下面給出的四個集合t：

①τ={0,{a},{a,b},{a,c}};

②τ={0,{h},{c},{b,c},{a,b,c}}；

③τ={0,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}；

④τ={0,{a},{c},{a,b,c}}.

其中是集合X上的拓撲的集合T的序號是（）

A.②B.①③C.②④D.②③

【答案】D

【分析】利用集合X上的拓撲的3個要求，依次判斷即可.

【詳解】解：①中由于{α,b}U[a,c}={a,b,c}缸，故①不是集合X上的一個拓撲；

②中滿足拓撲集合的3個要求，故②是集合X上的一個拓撲；

③中滿足拓撲集合的3個要求，故③是集合X上的一個拓撲：

④中{α}U{c}={α,c}缸，故④不是集合X上的一個拓撲;

因此集合X上的拓撲的集合T的序號是②③，

故選：D.

16.(2022秋?上海浦東新?高一上海市建平中學?？奸_學考試)定義集合運算A-8={x∣xeA且X0B}稱為

集合A與集合8的差集；定義集合運算W=(A-B)U(B-A)稱為集合A與集合B的對稱差，有以下4個

命題：

ΦΛΔB=BΔA(2)(ΛΔB)?C=A?(BΔC)

③AI(3AC)=(AIB)?(AIC)④AU(BZC)=(AUB)A(AUC)

則4個命題中是真命題的是()

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】B

【分析】利用題中定義可判斷①的正誤；利用韋恩圖法可判斷②④；利用題中定義與集合運算可判斷③的

正誤.

［詳解】對于①，BΔA=(B-A)(Λ-B)=(A-β),∣(β-A)=ΛΔB,①對；

對于②，4-8={x∣xwA且xe8}={x∣xeA且X拓(AC8)}=4-(4CB),

同理B-A=B-(AB),

則AAB=(A-B)(B-Λ)=(Λβ)-(Λ∣B),

所以，(AΔB)AC=(AΔB)C-(AAB)IC表示的集合如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：

同理AA(BAC)=A(BAC)-A(3Ae)也表示如上圖陰影部分區(qū)域所示,

故(AAB)AC=AA(BZkC),②對;

對于③，A(BΔC)=A(BC-BC)=A(BC)-A(BC)

=(AB)(AC)-(AB)(AC)=(Aβ)?(AC),③對;

對于④，如下圖所示：

4u(β?O(XVJBMMUO

所以，AU(BΔC)≠(AUβ)?(AUC),④錯.

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查集合中的新定義問題，解題的關鍵在于利用韋恩圖法來表示集合，利用數(shù)

形結合思想來進行判斷.

二、多選題

17.(2022秋?江蘇蘇州?高一星海實驗中學?？计谥?整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為Z的所有整數(shù)組成一

個“類”，其中壯{0,1,2,3},記為因，即因={小=4〃+匕”eZ},以下判斷正確的是()

A.2022∈[1]B.-3∈[3]

C.Z=[0][1][2][3]D.若α-be[0],則整數(shù)α,b屬于同一個類

【答案】CD

【分析】根據(jù)給定的定義，計算判斷A,B；推理判斷C,D作答.

【詳解】kw{0,l,2,3},伙]={x∣x=4"+Z,"∈Z},

2022=4×505+2,即2022w⑵,而0][2]=0,因此2022e[1],A不正確;

-3=4×(-l)+l,即-3∈[1],而[1][3]=0,因此-3任[3],B不正確；

因任意一整數(shù)除以4,所得余數(shù)只能為0或1或2或3,即Zq([0]31]32]33]),

反之，集合[0]u[l]u[2]u同中任一數(shù)都是整數(shù)，即(網(wǎng)31]32]33])=Z,所以Z=[0][1][2][3],

C正確;

α,?∈Z,不妨令α=4〃[+仁,/?=4〃2+A2,“∣,n2eZ,kυk2∈{0,l,2,3),

則α-b=4("∣-%)+(K-&),因α-bw[0],于是得占-他=°，即仁=&，因此整數(shù)。，b屬于同一個類，

D正確.

故選：CD

18.(2022秋.山西運城.高一山西省運城中學校期中)1872年德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有

理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)(史稱“戴德金分割”)，并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無

理數(shù)被認為“無理”的時代，也結束了數(shù)學史上的第一次大危機.將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集”與N,

且滿足MUN=Q,MCN=0,M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱(M,N)為戴德金分割.

試判斷下列選項中，可能成立的是()

A.知={*€(2?<垃},%=卜€(wěn)(3|.X^血}滿足戴德金分割

B.M沒有最大元素，N有一個最小元素

C.M沒有最大元素，N沒有最小元素

D.M有一個最大元素，N有一個最小元素

【答案】ABC

【分析】根據(jù)戴德金分割的定義可判斷A；舉例知=口€(2?<0},汽=卜6(2卜&0}判斷8;結合人中例子可

判斷C;假設M有一個最大元素N有一個最小元素〃,根據(jù)戴德金分割定義判斷D.

【詳解】對于A,M={xeQ∣x<血},N={xeQ∣x≥√^滿足戴德金分割的定義，A正確；

對于B,取M={xeQ∣X<0},N={x∈Q∣X≥0},符合戴德金分割，

何沒有最大元素，、有一個最小元素，B正確；

對于C,取M={xeQ∣x<√^},N={xeQ∣xN√^滿足戴德金分割的定義，

M沒有最大元素，N沒有最小元素，C正確；

對于D,假設M有一個最大元素，"，N有一個最小元素”,根據(jù)戴德金分割定義，

必有則無法滿足MUN=Q.D錯誤，

故選：ABC.

19.(2022秋?四川眉山?高一?？茧A段練習)給定集合A,若對于任意。，b≡A,^a+b≡A,S.a-beA,

則稱集合A為閉集合，以下結論正確的是()

A.集合A={0}為閉集合；

B.集合A={T,-2,0,2,4}為閉集合：

C.集合A={"∣"=3A,及eZ}為閉集合；

D.若集合4、4為閉集合，則Au4為閉集合.

【答案】AC

【分析】根據(jù)閉集合的定義和集合知識綜合的問題,分別判斷α+6eA,且α-beA是否滿足即可得到結論.

【詳解】對于A：按照閉集合的定義，0+0=0,0-O=O,OeA故A正確；

對于B：當。=工6=-2時,4+6=(=1)+(—2)=-6任人故4={<—2,0,2,4}不是閉集合.故8錯誤；

對于C：由于任意兩個3的倍數(shù),它們的和、差仍是3的倍數(shù),故A={〃∣w=3Z,%eZ}是閉集合.故C正確；

對于D：假設A=HI"=3Z,%eZ},A2={川"=5Z,AeZ}.不妨取3eA，5w4,但是,3+5=8eA=A,則

A。4不是閉集合.故D錯誤.

故選：AC

三、填空題

20.(2022秋?江蘇常州?高一常州高級中學?？计谥?設集合/={123},Aq/,若把集合MUA=/的集合M

叫做集合A的配集，則A={1,2}的配集有個.

【答案】4

【分析】直接按定義求出符合條件的集合M，計算個數(shù)，得到答案.

【詳解】解：由題意，M可以是{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},共4個.

故答案為：4.

21.(2023?全國?高三專題練習)對于非空集合A={qg,%,M,,}(a,?≥Qi=l,2,3,〃)，其所有元素的幾何

平均數(shù)記為E(A),即E(A)=Vq.%.?%.若非空數(shù)集8滿足下列兩個條件：①B4②E(B)=E(A),

則稱8為A的一個“保均值真子集”，據(jù)此，集合{1,2,4,8,16}的“保均值真子集”有_個.

【答案】6

【分析】求出E(A)=4,由此利用列舉法能求出集合{1,2,4,8,16}的“保均值真子集”的個數(shù).

【詳解】因為集合A={l,2,4,8,16},則E（A）=MX2x4x8x16=4,

所以，集合{1,2,4,8,16}的“保均值真子集”有:{4}、{1,16}、{2,8}、{1,4,16}、

{2,4,8},{1,2,8,16},共6個.

故答案為：6.

22.（2020秋?上海閔行?高一上海市七寶中學校考階段練習）設集合S,,={1,2,3,,〃},若Xa5“，把X的

所有元素的乘積稱為X的容量（若X中只有一個元素，則該元素的數(shù)值即為它的容量，規(guī)定空集的容量為

0）.若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱X為S”的奇（偶）子集，則臬的所有奇子集的容量之和為.

【答案】47

【分析】寫出所有的奇子集，從而求出所有奇子集的容量之和.

【詳解】當〃=5時，S5={1,2,3,4,5）,

含有一個元素的奇子集為{1},{3},{5},

含有兩個元素的奇子集為{1,3},{1,5},{3,5},

含有三個元素的奇子集為{1,3,5},

故所有奇子集的容量之和為1+3+5+1x3+1x5+3x5+1x3x5=47.

故答案為：47.

23.（2022秋?河北滄州?高一任丘市第一中學?？茧A段練習）設A是整數(shù)集的一個非空子集，對于keA,若

k-?^A,且上+1任A,則稱％是A的一個“孤立元”，集合T={1,2,3,5}中的“孤立元”是；對

給定的集合S={1,2,3,4,5.6},由S中的4個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有

個.

【答案】56

【分析】①根據(jù)題意，依次判斷每個元素是否為“孤立元”即可：

②根據(jù)①中分析可知，不含"孤立元''是指在集合中有與A相鄰的元素，依次寫出滿足不含"孤立元''的集合即

可.

【詳解】解：①對于1,1+1=2∈T,則1不是“孤立元”；

對于2,2-?=?GT,且2+l=3∈T,則2不是“孤立元”；

對于3,3—1=2∈T,則3不是“孤立元”；

對于5,5-l=4gT,且5+1=6（27,則5是“孤立元”：

②根據(jù)①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有與k相鄰的元素，

所以由S中的4個元素構成的所有集合中,不含“孤立元”的集合有{1,2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,5,6},{2J3,4,5},

{2,3,5,6},{3,4,5,6},共6個,

故答案為：5；6.

24.（2021秋?上海徐匯?∣?一位育中學?？茧A段練習）若一個非空數(shù)集尸滿足:對任意4"∈F,有

abeF,且當6工0時，有1eF,則稱尸為一個數(shù)域，以下命題中：

（1）0是任何數(shù)域的元素；（2）若數(shù)域尸有非零元素，貝∣]2021eF;

（3）集合P={x∣x=3A,keZ}為數(shù)域；（4）有理數(shù)集為數(shù)域；

真命題的個數(shù)為

【答案】3

【分析】根據(jù)新定義逐一判斷即可求解

【詳解】（1）當α=6時，α-b=O屬于數(shù)域，故（1）正確，

（2）若數(shù)域F有非零元素，則I=Ie尸，

b

從而l+l=2eR2+leF,,2020+1=2021∈F,故（2）正確；

（3）由集合戶的表示可知得X是3的倍數(shù)，當ɑ=6,b=3時，：=《=2史P,故（3）錯誤，

b3

（4）若尸是有理數(shù)集，則當。，b&F,則α+8,a-b,abwF,且當bwθ時，feF”都成立，故（4）

b

正確，

故真命題的個數(shù)是3.

故答案為：3

25.（2022秋?北京?高一?？茧A段練習）已知集合A,B滿足：（1）AB=Q,AcB=0;（2）‰l∈Λ,若

J?eQ且?x