2023屆新教材高考數學二輪復習解答題練習 概率與統(tǒng)計B卷

(8)概率與統(tǒng)計

B卷

1.2020年春節(jié)期間爆發(fā)的新型冠狀病毒(2019-nCoV),是一種可以借助飛沫和接觸傳

播的變異病毒.新冠肺炎的確診要靠新冠病毒核酸的檢測，如果檢測結果呈陽性，則確

診此人體內帶有新型冠狀病毒.某醫(yī)院隔離了一批發(fā)熱病人，其中經檢測帶有新型冠狀

病毒的概率為±現從此醫(yī)院中抽出10個發(fā)熱病人作為樣本進行核酸檢測.

5

(I)若從這10個樣本中隨機取出3個，求至少2人確診的概率；

(II)以此10個樣本的樣本數據來估計這批發(fā)熱病人的總體，若從這批數量很大的發(fā)熱

病人的樣本中任選3個，記《表示抽到的樣本中確診的人數，求J的分布列及數學期

望.

2.某啤酒廠要將一批鮮啤酒用汽車從所在城市甲運至城市乙,已知從城市甲到城市乙只

有兩條公路,運費由廠家承擔.若廠家恰能在約定日期將啤酒送到,則城市乙的銷售商一

次性支付給廠家40萬元;若在約定日期前送到,每提前一天銷售商將多支付給廠家2萬

元;若在約定日期后送到,每遲到一天銷售商將少支付給廠家2萬元.為保證啤酒的新鮮

度,汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā),且只能選擇其中的一條公路運送.已知信息如下：

在不堵車的情在堵車的情況

汽車行駛路線況下到達城市下到達城市乙堵車的概率運費/萬元

乙所需時間/天所需時間/天

公路1~Γ4a2

公路223~β~丁

(1)記選擇公路1運送啤酒時廠家獲得的毛收入為X(單位:萬元),求X的分布列和EX;

(2)若α=g]=[,則選擇哪條公路運送啤廠家獲得的毛收入更多？

注:毛收入=銷售商支付給廠家的費用-運費.

3.習近平總書記在2020年新年賀詞中勉勵大家:“讓我們只爭朝夕,不負韶華,共同迎接

2020年的到來

其中，，只爭朝夕,不負韶華，，旋即成了網絡熱詞,成了大家互相砥礪前行的錚錚皙言,激勵

著廣大青年朋友奮發(fā)有為,積極進取,不負青春,不負時代.

“只爭朝夕,不負韶華”用英文可翻譯為：“SeiZethedaydliveittothefull

(1)求上述英語譯文中,e,ij,44個字母出現的頻率(小數點后面保留兩位有效數字),并比

較4個頻率的大小(用“>”連接)；

(2)在上面的句子中隨機取一個單詞,用X表示取到的單詞所包含的字母個數,寫出X

的分布列,并求出其數學期望；

(3)從上述單詞中任選2個單詞,求其字母個數之和為6的概率.

4.為了推進產業(yè)轉型升級,加強自主創(chuàng)新,發(fā)展高端創(chuàng)造、智能制造.把我國制造業(yè)和實體

經濟搞上去,推動我國經濟由量大轉向質強,許多企業(yè)致力于提升信息化管理水平,一些

中小型工廠的規(guī)模不大,在選擇管理軟件時都要進行調查統(tǒng)計,某一小型工廠自己沒有管

理軟件的高級技術員.欲購買管理軟件服務公司的管理軟件.并讓其提供服務,某一管理

軟件服務公司有如下兩種收費方案：

方案一:管理軟件服務公司每月收取工廠4800元.對于提供的軟件服務.每次另外收費

200元；

方案二:管理軟件服務公司每月收取工廠7600元.若每月提供的軟件服務不超過15次.

不另外收費.若超過15次,超過部分的軟件服務每次另外收費500元.

⑴設管理軟件服務公司月收費為y元.每月提供的軟件服務的次數為％試寫出兩種方案

中y與X的函數關系式.

(2)該工廠對該管理軟件服務公司為另一個工廠過去20個月提供的軟件服務的次數放

進行了統(tǒng)計,得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖.該工廠要調查服務質量,?現從服務次放為13次

和14次的月份中任選3個月.求這3個月恰好是1個13次服務、2個14次服務的概率.

(3)依據條形統(tǒng)計圖中的數據,把頻率視為概率.從節(jié)約成本的角度考慮該工廠選擇.種方

案更合適請說明理由.

5.現有甲、乙兩個規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場,均養(yǎng)有1萬頭豬.根據豬的體重,將其分為三個

成長階段,如下表：

階段幼年期成長期成年期

體重(kg)[2,18)Γ18,82)[82,98]

根據以往經驗,兩個養(yǎng)豬場內豬的體重X均近似服從正態(tài)分布N(50,16).

由于我國有關部門加強對大型養(yǎng)豬場即將投放市場的成年期的豬的監(jiān)控力度,高度重視

其質量保證,為了養(yǎng)出健康的成年期的豬,甲、乙兩個養(yǎng)豬場引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖

模式.已知甲、乙兩個養(yǎng)豬場內一頭成年期的豬能通過質檢合格的概率分別為

54

(1)試估算各養(yǎng)豬場三個階段的豬的數量；

(2)已知甲養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬,若為健康合格的豬,則可盈利400元,若為不合格

的豬,則虧損200元;乙養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬,若為健康合格的豬,則可盈利500元，

若為不合格的豬,則虧損100元.記Y為甲、乙養(yǎng)豬場各出售一頭成年期的豬所得的總

利潤,求隨機變量r的分布列,假設兩個養(yǎng)豬場均能把成年期的豬售完,求兩個養(yǎng)豬場的

總利潤的期望值.

(參考數據:若Z~N(M,4),則

P(,μ-σ<Z<μ+σ)≈0.683,P{μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ<Z<ju+3σ)≈0.997)

6.景泰藍(ClOiSOnne),中國的著名特種金屬工藝品之一,到明代景泰年間這種工藝技術制

作達到了最巔峰,因制作出的工藝品最為精美而聞名,故后人稱這種瓷器為“景泰藍'’.其

制作過程中有“掐絲”這一環(huán)節(jié),某大型景泰藍掐絲車間共有員工10000人,現從中隨機抽

取IOo名對他們每月完成合格品的件數進行統(tǒng)計.得到如下統(tǒng)計表：

每月完成合格品的件數(12,14](14,16](16,18](18,20](20,22]

10453564

女員工人數3221753

(1)若每月完成合格品的件數超過184卜,則車間授予“工藝標兵”稱號,由以一上統(tǒng)計表填寫

下面的2x2列聯表,并判斷是否有95%的把握認為“工藝標兵”稱號與性別有關;

非“工藝標兵''"工藝標兵”總計

^^男員工人數'^^

女員工人數

合計

(2)為提高員工的工作積極性,該車間實行計件工資制:每月完成合格品的件數在12件以

內(包括12件),每件支付員工200元,超出(0,2］的部分,每件支付員工220元,超出(2,4］的

部分,每件支付員工240元,超出4件以上的部分,每件支付員工260元,將這4段頻率視

為相應的概率,在該車間男員工中隨機抽取2人,女員工中隨機抽取1人進行工資調查,

設實得計件工資超過3320元的人數為g,求J的分布列和數學期望.

n{ad-be)2

附：/,其111n=a+b+c+d.

(a+?)(c+d)(a+c)(?+d)

P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

7.為了遏制新冠肺炎疫情,我國科研人員在研究新型冠狀病毒某種疫苗的過程中,利用小

白鼠進行科學試驗.為了研究小白鼠連續(xù)接種疫苗后出現Z癥狀的情況,決定對小白鼠

做接種試驗.該試驗為:①對參加試驗的每只小白鼠每天接種一次;②連續(xù)接種三天為一

個接種周期;③試驗共分3個接種周期.已知每只小白鼠接種后當天出現Z癥狀的概率

均為L假設每次接種后小白鼠當天是否出現Z癥狀與上次接種無關.

4

(1)若某只小白鼠出現Z癥狀,則對其終止試驗,求一只小白鼠至多能參加一個接種周期

試驗的概率；

(2)若某只小白鼠在一個接種周期內出現2次或3次Z癥狀,則在這個接種周期結束后,

對其終止試驗.設一只小白鼠參加的接種周期為X,求X的分布列及數學期望.

8.某校辯論隊計劃在周六、周日各參加一場辯論賽,分別由正、副隊長負責,已知該校辯

論隊共有10位成員(包含正、副隊長),每場比賽除負責人外均另需3位隊員(同一隊員

可同時參加兩天的比賽,正、副隊長只能參加一場比賽).假設正、副隊長分別將各自比

賽通知的信息獨立、隨機地發(fā)給辯論隊8名隊員中的3位,且所發(fā)信息都能收到.

(1)求辯論隊員甲收到正隊長或副隊長所發(fā)比賽通知信息的概率；

(2)記辯論隊收到正隊長或副隊長所發(fā)比賽通知信息的隊員人數為隨機變量X,求X的

分布列及其數學期望.

9.古人云:“腹有詩書氣自華.”習近平總書記倡導全民閱讀,建設書香中國.現在校園讀書

活動熱潮正在興起,某校為統(tǒng)計學生一周課外讀書的時間,從全校學生中隨機抽取200名

學生,獲得了他們一周課外讀書時間(單位：h)的數據如表所示：

組號分組頻數頻率

~Γ(0,2]40.02

2(2,4]60.03

3(4,6]100.05

4(6,8]a0.06

5(8,10]140.07

：

6(10,12]^b0.12

7(12,14]500.25

8(14,16]460.23

9(16,18]340.17

合計200~Γ

⑴求aS的值;如果按讀書時間(0,6],(6,12],(12,18]分組,用分層抽樣的方法從這200名學生

中抽取20人,再從這20人中隨機選取3人,求恰有2人一周課外讀書時間在(12,18]內的

概率.

(2)若將樣本頻率視為概率,從該校學生中隨機選取3人,記X為一周課外讀書時間在

(12,181內的人數,求X的分布列和數學期望,并估計該校一周人均課外讀書的時間.

10.為了引導居民合理用電,國家決定實行合理的階梯電價,居民用電原則上以住宅為單

位(一套住宅為一戶).

階梯級別第一階梯第二階梯第三階梯

月用電范圍/(千瓦?時)(0,210](210,4001(400,÷x))

某市隨機抽取10戶同一個月的用電情況,得到統(tǒng)計表如下:

居民用電編號12345678910

用電量(千瓦?時)538690124132200215225300410

(1)若規(guī)定第一階梯電價每千瓦?時0?5元,第二階梯超出第一階梯的部分每千瓦?時0.6元,

第三階梯超出第二階梯的部分每千瓦?時0.8元,試計算居民用電戶月用電410千瓦.時時

應交電費多少元？

(2)現要在這10戶家庭中任意選取3戶,求取到第二階梯電量的用戶數的分布列與期望.

(3)以表中抽到的10戶作為樣本估計全市居民用電,現從全市中依次抽取10戶,若抽到

k戶月用電量為第一階梯的可能性最大,求k的值.

答案以及解析

L答案：⑴記“若從這10個樣本中隨機取出3個，至少2人確診”為事件A,則所求概

率P（A）=CX圖xg+CX自假.

（II）由題意得自的所有可能取值為0,1,2,3.

則可知…民），

貝IJPe=O)=c；

Pc=I)=c；

PC=2)=CX

PC=3)=C;

所以J的分布列如表所示:

gO123

1124864

P

T25T25125125

所以&的數學期望四）=°'I?+∣'卷+2X需+3X64_30012

125^l25-T-

2.答案：（1）若汽車走公路1,

則不堵車時啤酒廠獲得的毛收入X=40-2+2=40（萬元）,

堵車時啤酒廠獲得的毛收入X=40—2-4=34（萬元），

所以汽車走公路1時啤酒廠獲得的毛收入X的分布列為

X4034

P?-aa

故EX=40(l-α)+34α=40-6α.

⑵當a=l時,由⑴知EX=40-6χJ=38(萬元).

33

當"=2時,設汽車走公路2時啤酒廠獲得的毛收入為r,則不堵車時啤酒廠獲得的毛收

4

入y=40-l=39(萬元),堵車時啤酒廠獲得的毛收入y=40-1-2=37(萬元),所以汽車走公

路2時啤酒廠獲得的毛收入r的分布列為

Y3937

3?

P

44

所以Ey=39x^+37J=38.5（萬元）,

44

由歐得選擇公路2運送啤酒有可能讓啤酒廠獲得的毛收入更多.

3.答案:(1)血＜?4個字母出現的頻率分別為90.17,10.10,/0.14,120.07,

其大小關系為e出現的頻率＞/出現的頻率＞i出現的頻率＞a出現的頻率.

(2)X的分布列為

X2345

242?

P

9999

(3)滿足字母個數之和為6的情況分為兩種：

①從含2個字母的2個單詞中任選一個,再從含4個字母的2個單詞中任選一個,不同的

方法有C?c;種.

②從含3個字母的4個單詞中任選2個,不同的方法有C：種.

C；.C；+C；_4+6_5

故所求的概率P=

C；3618

4.答案：(1)由題意可知,方案一中管理軟件服務公司的月收費y與X的函數關系式為

y=200x+4800,xeN,

7600,x≤15,x∈N

方案二中管理軟件服務公司的月收費y與X的函數關系式為y=

500x+100,x>15,x∈N

(2)記選擇的3個月恰好是1個13次服務,2個14次服務為事件A,則P(A)=等=2,

GO15

⑶對于方案一,設管理軟件服務公司的月收費為。元,由條形統(tǒng)計圖可得。的取值為

7400,7500,7800,8000,8200,

Pg=7400)=0.1,Py=7600)=0.4,

P(ξt=7800)=0.1,P(?=8000)=0.2,

P(?=8200)=0.2.

所以《的分布列為

474007600780080008200

P0.10.40.10.20.2

所以E?)=7400×0.1+7600X0.4+7800×0.1+8(X)0×0.2+820()×0.2=78(X).

對于方案二,設管理軟件服務公司的月收費為多元,由條形統(tǒng)計圖可得幺的取值為

7600,8100,8600,

P{ξ2=7600)=0.6,P(ξ2=8100)=0.2,P(ξ2=8600)=0.2,

所以多的分布列為

760081008600

P0.60.20.2

E&)=7600X0.6+81OOX0.2+8600X0.2=7900.

因為E?)<E6),所以從節(jié)約成本考慮,該工廠選擇方案一更合適.

5.答案：(1)設各階段豬的數量分別為%,%,%,

Q豬的體重X近似服從正態(tài)分布N(50,16),

0997-0954

.?.P(2≤X<18)=P(50-3×16≤X<50-2×16)≈-----------------=0.0215,

2

.?.n,=IOoOOXO.0215=215(頭)；

P(18≤X<82)=P(50-2×16≤X<50+2×16)≈0.954

.?.∕?=10OOOx0.954=9540(?);

0997-0954

P(82≤X≤98)=P(50+2×16≤X≤50+3×16)≈=0.0215,

2

.?.n,=10000×0.0215=215(?).

.?.甲、乙兩個養(yǎng)豬場各有幼年期的豬215頭,成長期的豬9540頭,成年期的豬215頭.

(2)隨機變量Y的所有可能取值為900,300,-300.

43341137111

p(r=9∞)=-×-=-,P(r=300)=-×-+-×-=-,P(r=-300)=-×-!-=-,

5455454205420

.?.y的分布列為

Y900300-300

371

P

52020

?71—

.-.￡：(/)=900×-+300×——3∞×-=630(7G),

52020

由于兩個養(yǎng)豬場均有215頭成年期的豬,且兩個養(yǎng)豬場各出售一頭成年期的豬所得的總

利潤的期望為630元,則總利潤的期望為630x215=135450（元）.

6.答案：（1）2x2歹U聯表如下:

非“工藝標兵”-“工藝標兵”總計

男員工人數48250

女員工人數42850

合計90ioWO

100x(48x8-42x2)-=4>3841

50×50×90×10

所以有95%的把握認為“工藝標兵”稱號與性別有關.

（2）若員工實得計件工資超過3320元,則每月完成合格品的件數需超過16件,由題中統(tǒng)

計表數據可得,男員工實得計件工資超過3320元的概率6=|,女員工實得計件工資超

過3320元的概率6=g.

設隨機抽取的男員工中實得計件工資超過3320元的人數為X,隨機抽取的女員工中實

得計件工資超過3320元的人數為Y,則X~42,|),y

由題意可知，J的所有可能取值為0,1,2,3,

Pc=O)=P(X=O,y=0)=(∣)

321(3V121

Pe=I)=P(X=I,y=0)+P(X=0,y=l)=C2×∣×-×-+Cλ2×l11X-=—,

/9λ213212

A?=2)=P(x=2,y=0)+P(x=ι,r=i)=α×-I×-+c^×-×-×-=-,

P("3)=P(X=2,y=l)=(∣]X；=京，

所以隨機變量g的分布列為

g0123

92182

P

50502525

所以陽)=0x4+lx%+2x導3X1得

7.答案：（1）根據題意,得一只小白鼠第一天接種后當天出現Z癥狀的概率I=L

第二天接種后當天出現Z癥狀的概率g=1x；=怖,

能參加第三天試驗但不能參加下一個接種周期試驗的概率.泊十卷

所以一只小白鼠至多能參加一個接種周期試驗的概率尸=[+2+A=:+V+V=W

（2）設事件C為“小白鼠在一個接種周期內出現2次或3次Z癥狀”,則

P(C)=CI=?

由題意,得隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,則

P(X=I)=P(C)=A,

32

P(X=2)=[1-P(C)].P(C)=(1—備X_5_—_1_3_5_

32~1024'

729

P(X=3)=[1-P(C)]?[I-P(C)]×1=^-,

所以X的分布列為

X~Γ23

5135729

P

321024?024

…、I5C135C7292617

E(X)=IX—+2×------+3×-------=--------

32102410241024

8.答案：（1）設事件A表示:辯論隊員甲收到正隊長的通知信息.

則P(A)=Qa)=：,

OO

設事件B表示:辯論隊員甲收到副隊長的通知信息.

則P(B)=Q由)=：,

ee

設事件C表示:辯論隊員甲收到正隊長或副隊長的通知信息.

則尸?=T而崛~(∣j=?

所以辯論隊員甲收到正隊長或副隊長的通知信息的概率為生.

64

(2)由題意可得,隨機變量X的所有可能取值為3,4,5,6,

則P(X=3)=品=>P(X=4)=簧*,P(X=5)=篝啜,P(X=6)=∣∣<,

所以隨機變量X的分布列為

X456

115155

P

56562828

故數學期望13$+4啜+5X*6*^?

9.答案