2024年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn)總結(jié)題型專訓(xùn)專題08三角形綜合篇（原卷版+解析）

專題07三角形的綜合知識(shí)回顧知識(shí)回顧角平分線的性質(zhì)：①平分角。②角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等。角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊相等的點(diǎn)一定在角平分線上。角平分線的尺規(guī)作圖：具體步驟：①以角的頂點(diǎn)O為圓心，一定長(zhǎng)度為半徑畫(huà)圓弧，圓弧與角的兩邊分別交于兩點(diǎn)M、N。如圖①。②分別以點(diǎn)M與點(diǎn)N為圓心，大于MN長(zhǎng)度的一半為半徑畫(huà)圓弧，兩圓弧交于點(diǎn)P。如圖②。③連接OP，OP即為角的平分線。垂直平分線的性質(zhì)：①垂直且平分線段。②垂直平分線上任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。垂直平分線的判定：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)一定在線段的垂直平分線上。垂直平分線的吃規(guī)作圖：具體步驟：①以線段兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，大于線段長(zhǎng)度的一半為半徑畫(huà)圓弧，兩圓弧在線段的兩側(cè)別分交于M、N。如圖①②連接MN，過(guò)MN的直線即為線段的垂直平分線。如圖②中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩腰相等。②等腰三角形的兩底角相等。（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）③等腰三角形底邊的中線、高線以及頂角平分線相互重合。（簡(jiǎn)稱底邊上三線合一）等腰三角形的判定：①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。②有兩個(gè)底角相等的三角形是等腰三角形。（等角對(duì)等邊）③若一個(gè)三角形某一邊上存在“三線合一”，則三角形是等腰三角形。等邊三角形的性質(zhì)：①等邊三角形的三條邊都相等，三個(gè)角也相等，且三個(gè)角都等于60°。②等邊三角形三條邊都存在“三線合一”③等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸。④等腰三角形的面積等于（為等腰三角形的邊長(zhǎng)）。等腰三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形。②三個(gè)角都相等（兩個(gè)角是60°）的三角形是等腰三角形。③底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形。④有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。直角三角形的性質(zhì)：①直角三角形的兩銳角互余。②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。③含30°的直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。④直角三角形的兩直角邊的成績(jī)等于斜邊乘以斜邊上的高線。⑤直角三角形的勾股定理。勾股定理的內(nèi)容：在直角三角形中，兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方。若直角三角形的兩直角邊是，斜邊是，則。勾股定理的逆定理：若三角形的三條邊分別是，且滿足，則三角形是直角三角形，且∠C是直角。特殊三角形三邊的比：①含30°的直角三角形三邊的比例為（從小打大）：。②45°的等腰直角三角形三邊的比例為（從小到大）：。兩點(diǎn)間的距離公式：若點(diǎn)與點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為：。專題練習(xí)專題練習(xí)1．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求證：CE＝CM．（2）若AB＝4，求線段FC的長(zhǎng)．2．如圖1，將長(zhǎng)為2a+3，寬為2a的矩形分割成四個(gè)全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大小兩個(gè)正方形．（1）用關(guān)于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長(zhǎng)．（2）當(dāng)a＝3時(shí)，該小正方形的面積是多少？3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，點(diǎn)D在AC上，CD＝3，連接DB，AD＝DB，點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D，C重合），過(guò)點(diǎn)P作AC的垂線，與AB相交于點(diǎn)Q，連接DQ，設(shè)AP＝x，△PDQ與△ABD重疊部分的面積為S．（1）求AC的長(zhǎng)；（2）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍．4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．（1）如圖1，點(diǎn)E、F分別是線段BD、AD上的點(diǎn)，且DE＝DF，AE與CF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，則AE與CF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）如圖2，點(diǎn)E、F分別在DB和DA的延長(zhǎng)線上，且DE＝DF，EA的延長(zhǎng)線交CF于點(diǎn)M．①（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②連接DM，求∠EMD的度數(shù)；③若DM＝6，ED＝12，求EM的長(zhǎng)．5．【圖形定義】有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形、例如：如圖①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分別是BC和B'C'邊上的高線，且AD＝A'D'、則△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性質(zhì)探究】如圖①，用S△ABC，S△A'B'C′分別表示△ABC和△A′B′C′的面積，則S△ABC＝BC?AD，S△A'B'C′＝B′C′?A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性質(zhì)應(yīng)用】（1）如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)．若BD＝3，DC＝4，則S△ABD：S△ADC＝；（2）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，則S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，則S△CDE＝．6．在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點(diǎn)．若△OAB≌△OCD，則點(diǎn)O叫做該四邊形的“等形點(diǎn)”．（1）正方形“等形點(diǎn)”（填“存在”或“不存在”）；（2）如圖，在四邊形ABCD中，邊BC上的點(diǎn)O是四邊形ABCD的“等形點(diǎn)”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，連接AC，求AC的長(zhǎng)；（3）在四邊形EFGH中，EH∥FG．若邊FG上的點(diǎn)O是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，求的值．7．兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊．求證：BD＝CE；（2）解決問(wèn)題：如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．8．在△ABC中，AC＝BC，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使DE＝CD，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，交直線AB于點(diǎn)F．（1）如圖1，若∠ACB＝120°，請(qǐng)用等式表示AC與EF的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2．若∠ACB＝90°，完成以下問(wèn)題：①當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的異側(cè)時(shí)，請(qǐng)用等式表示AC，AD，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的同側(cè)時(shí)，若DF＝1，AD＝3，請(qǐng)直接寫(xiě)出AC的長(zhǎng)．9．已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．（1）如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；（2）如圖2，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度數(shù)．10．問(wèn)題提出（1）如圖1，AD是等邊△ABC的中線，點(diǎn)P在AD的延長(zhǎng)線上，且AP＝AC，則∠APC的度數(shù)為．問(wèn)題探究（2）如圖2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．過(guò)點(diǎn)A作AP∥BC，且AP＝BC，過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥BC，分別交AB、BC于點(diǎn)O、E，求四邊形OECA的面積．問(wèn)題解決（3）如圖3，現(xiàn)有一塊△ABC型板材，∠ACB為鈍角，∠BAC＝45°．工人師傅想用這塊板材裁出一個(gè)△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人師傅在這塊板材上的作法如下：①以點(diǎn)C為圓心，以CA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD；②作CD的垂直平分線l，與CD交于點(diǎn)E；③以點(diǎn)A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線l于點(diǎn)P，連接AP、BP，得△ABP．請(qǐng)問(wèn)，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？請(qǐng)證明你的結(jié)論．11．如圖，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E．P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連結(jié)AP，將△APC沿AP翻折得△APD，連結(jié)DC，記∠BCD＝α．（1）如圖，當(dāng)P與E重合時(shí)，求α的度數(shù)．（2）當(dāng)P與E不重合時(shí)，記∠BAD＝β，探究α與β的數(shù)量關(guān)系．12．綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，∠ADC＝∠ACB．求證∠ACD＝∠ABC．獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問(wèn)題．實(shí)踐探究：（2）在原有問(wèn)題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問(wèn)題，請(qǐng)你解答．“如圖2，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)E，使CE＝BD，BE與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在圖中找出與BH相等的線段，并證明．”問(wèn)題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，若給出△ABC中任意兩邊長(zhǎng)，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段長(zhǎng)均可求．該小組提出下面的問(wèn)題，請(qǐng)你解答．“如圖3，在（2）的條件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的長(zhǎng)．”13．如圖1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)，沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，與△ABC的直角邊AC（或BC）相交于點(diǎn)E．設(shè)線段AD的長(zhǎng)為a（cm），線段DE的長(zhǎng)為h（cm）．（1）為了探究變量a與h之間的關(guān)系，對(duì)點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不同時(shí)刻AD，DE的長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量，得出以下幾組數(shù)據(jù)：變量a（cm）00.511.522.533.54變量h（cm）00.511.521.510.50在平面直角坐標(biāo)系中，以變量a的值為橫坐標(biāo)，變量h的值為縱坐標(biāo)，描點(diǎn)如圖2﹣1；以變量h的值為橫坐標(biāo)，變量a的值為縱坐標(biāo)，描點(diǎn)如圖2﹣2．根據(jù)探究的結(jié)果，解答下列問(wèn)題：①當(dāng)a＝1.5時(shí)，h＝；當(dāng)h＝1時(shí)，a＝．②將圖2﹣1，圖2﹣2中描出的點(diǎn)順次連接起來(lái)．③下列說(shuō)法正確的是．（填“A”或“B”）A．變量h是以a為自變量的函數(shù)B．變量a是以h為自變量的函數(shù)（2）如圖3，記線段DE與△ABC的一直角邊、斜邊圍成的三角形（即陰影部分）的面積（cm2）為s．①分別求出當(dāng)0≤a≤2和2＜a≤4時(shí)，s關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)s＝時(shí)，求a的值．14．已知CD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，AD＝m，BD＝n，△ADE與△BDF的面積之和為S．（1）填空：當(dāng)∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC時(shí)，①如圖1，若∠B＝45°，m＝5，則n＝，S＝；②如圖2，若∠B＝60°，m＝4，則n＝，S＝；（2）如圖3，當(dāng)∠ACB＝∠EDF＝90°時(shí)，探究S與m，n的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖4，當(dāng)∠ACB＝60°，∠EDF＝120°，m＝6，n＝4時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出S的大?。?5．回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分線．求證：BD＝CE．②點(diǎn)D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，連接BD，CE．求證：BD＝CE．（從①②兩題中選擇一題加以證明）猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察經(jīng)過(guò)做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在△ABC中，AB＝AC，D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合）．對(duì)于點(diǎn)D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個(gè)與其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E，使得BD＝CE．進(jìn)而提出問(wèn)題：若點(diǎn)D，E分別運(yùn)動(dòng)到邊AC，AB的延長(zhǎng)線上，BD與CE還相等嗎？請(qǐng)解決下面的問(wèn)題：（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并證明．探究：用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)（3）如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E為邊AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），F(xiàn)為邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．判斷BF與CE能否相等．若能，求CF的取值范圍；若不能，說(shuō)明理由．專題07三角形的綜合知識(shí)回顧知識(shí)回顧角平分線的性質(zhì)：①平分角。②角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等。角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊相等的點(diǎn)一定在角平分線上。角平分線的尺規(guī)作圖：具體步驟：①以角的頂點(diǎn)O為圓心，一定長(zhǎng)度為半徑畫(huà)圓弧，圓弧與角的兩邊分別交于兩點(diǎn)M、N。如圖①。②分別以點(diǎn)M與點(diǎn)N為圓心，大于MN長(zhǎng)度的一半為半徑畫(huà)圓弧，兩圓弧交于點(diǎn)P。如圖②。③連接OP，OP即為角的平分線。垂直平分線的性質(zhì)：①垂直且平分線段。②垂直平分線上任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。垂直平分線的判定：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)一定在線段的垂直平分線上。垂直平分線的吃規(guī)作圖：具體步驟：①以線段兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，大于線段長(zhǎng)度的一半為半徑畫(huà)圓弧，兩圓弧在線段的兩側(cè)別分交于M、N。如圖①②連接MN，過(guò)MN的直線即為線段的垂直平分線。如圖②中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩腰相等。②等腰三角形的兩底角相等。（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）③等腰三角形底邊的中線、高線以及頂角平分線相互重合。（簡(jiǎn)稱底邊上三線合一）等腰三角形的判定：①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。②有兩個(gè)底角相等的三角形是等腰三角形。（等角對(duì)等邊）③若一個(gè)三角形某一邊上存在“三線合一”，則三角形是等腰三角形。等邊三角形的性質(zhì)：①等邊三角形的三條邊都相等，三個(gè)角也相等，且三個(gè)角都等于60°。②等邊三角形三條邊都存在“三線合一”③等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸。④等腰三角形的面積等于（為等腰三角形的邊長(zhǎng)）。等腰三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形。②三個(gè)角都相等（兩個(gè)角是60°）的三角形是等腰三角形。③底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形。④有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。直角三角形的性質(zhì)：①直角三角形的兩銳角互余。②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。③含30°的直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。④直角三角形的兩直角邊的成績(jī)等于斜邊乘以斜邊上的高線。⑤直角三角形的勾股定理。勾股定理的內(nèi)容：在直角三角形中，兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方。若直角三角形的兩直角邊是，斜邊是，則。勾股定理的逆定理：若三角形的三條邊分別是，且滿足，則三角形是直角三角形，且∠C是直角。特殊三角形三邊的比：①含30°的直角三角形三邊的比例為（從小打大）：。②45°的等腰直角三角形三邊的比例為（從小到大）：。兩點(diǎn)間的距離公式：若點(diǎn)與點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為：。專題練習(xí)專題練習(xí)1．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求證：CE＝CM．（2）若AB＝4，求線段FC的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得MC＝MA＝MB，根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠MEC＝∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；（2）根據(jù)CE＝CM先求出CE的長(zhǎng)，再解直角三角形即可求出FC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，∴MC＝MA＝MB，∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°，∵∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°，∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM；（2）解：∵AB＝4，∴CE＝CM＝AB＝2，∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，∴FC＝CE?cos30°＝．2．如圖1，將長(zhǎng)為2a+3，寬為2a的矩形分割成四個(gè)全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大小兩個(gè)正方形．（1）用關(guān)于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長(zhǎng)．（2）當(dāng)a＝3時(shí)，該小正方形的面積是多少？【分析】（1）觀察圖形，用直角三角形較長(zhǎng)的直角邊減去較短的直角邊即可；（2）根據(jù)正方形的面積＝邊長(zhǎng)的平方列出代數(shù)式，把a(bǔ)＝3代入求值即可．【解答】解：（1）∵直角三角形較短的直角邊＝×2a＝a，較長(zhǎng)的直角邊＝2a+3，∴小正方形的邊長(zhǎng)＝2a+3﹣a＝a+3；（2）小正方形的面積＝（a+3）2，當(dāng)a＝3時(shí)，面積＝（3+3）2＝36．3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，點(diǎn)D在AC上，CD＝3，連接DB，AD＝DB，點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D，C重合），過(guò)點(diǎn)P作AC的垂線，與AB相交于點(diǎn)Q，連接DQ，設(shè)AP＝x，△PDQ與△ABD重疊部分的面積為S．（1）求AC的長(zhǎng)；（2）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)勾股定理可求出BD，根據(jù)AD＝BD進(jìn)而求出AC，（2）分兩種情況進(jìn)行解答，即點(diǎn)P在點(diǎn)D的左側(cè)或右側(cè)，分別畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)分別用含有x的代數(shù)式表示PD、PE、PQ，由三角形面積之間的關(guān)系可得答案．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝3，∴BD＝＝5，又∵AD＝BD，∴AC＝AD+CD＝5+3＝8；（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，即0＜x＜5，如圖1，此時(shí)重疊部分的面積就是△PQD的面積，∵PQ⊥AC，BC⊥AC，∴PQ∥BC，∴△ABC∽△AQP，∴＝＝＝2，設(shè)AP＝x，則PQ＝x，PD＝AD﹣AP＝5﹣x，∴S重疊部分＝S△PQD＝（5﹣x）×x＝﹣x2+x；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，即5＜x＜8，如圖2，由（1）得，AP＝x，PQ＝x，則PD＝x﹣5，∵PQ∥BC，∴△DPE∽△DCB，∴＝＝，∴PE＝（x﹣5），∴QE＝PQ﹣PE＝x﹣（x﹣5）＝﹣x+，∴S重疊部分＝S△DEQ＝（x﹣5）×（﹣x+）＝﹣x2+x﹣；答：S關(guān)于x的函數(shù)解析式為：當(dāng)0＜x＜5時(shí)，S＝﹣x2+x；當(dāng)5＜x＜8時(shí)，S＝﹣x2+x﹣．4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．（1）如圖1，點(diǎn)E、F分別是線段BD、AD上的點(diǎn)，且DE＝DF，AE與CF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，則AE與CF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）如圖2，點(diǎn)E、F分別在DB和DA的延長(zhǎng)線上，且DE＝DF，EA的延長(zhǎng)線交CF于點(diǎn)M．①（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②連接DM，求∠EMD的度數(shù)；③若DM＝6，ED＝12，求EM的長(zhǎng)．【分析】（1）證明△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，由直角三角形的性質(zhì)證出∠EMC＝90°，則可得出結(jié)論；（2）①同（1）可證△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF，∠E＝∠F，則可得出結(jié)論；②過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，DH⊥CF于點(diǎn)H，證明△DEG≌△DFH（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出DG＝DH，由角平分線的性質(zhì)可得出答案；③由等腰直角三角形的性質(zhì)求出GM的長(zhǎng)，由勾股定理求出EG的長(zhǎng)，則可得出答案．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線，∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，又∵DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠DCF+∠DEA＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF．故答案為：AE＝CF，AE⊥CF；（2）①（1）中的結(jié)論還成立，理由：同（1）可證△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠E＝∠F，∵∠F+∠ECF＝90°，∴∠E+∠ECF＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF；②過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，DH⊥CF于點(diǎn)H，∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，∴△DEG≌△DFH（AAS），∴DG＝DH，又∵DG⊥AE，DH⊥CF，∴DM平分∠EMC，又∵∠EMC＝90°，∴∠EMD＝∠EMC＝45°；③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM，又∵DM＝6，∴DG＝GM＝6，∵DE＝12，∴EG＝＝＝6，∴EM＝GM+EG＝6+6．5．【圖形定義】有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形、例如：如圖①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分別是BC和B'C'邊上的高線，且AD＝A'D'、則△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性質(zhì)探究】如圖①，用S△ABC，S△A'B'C′分別表示△ABC和△A′B′C′的面積，則S△ABC＝BC?AD，S△A'B'C′＝B′C′?A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性質(zhì)應(yīng)用】（1）如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)．若BD＝3，DC＝4，則S△ABD：S△ADC＝；（2）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，則S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，則S△CDE＝．【分析】（1）根據(jù)等高的兩三角形面積的比等于底的比，直接求出答案；（2）同（1）的方法即可求出答案；（3）同（1）的方法即可求出答案．【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，故答案為：3：4；（2）∵BE：AB＝1：2，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，∵S△ABC＝1，∴S△BEC＝；∵CD：BC＝1：3，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；故答案為：，；（3）∵BE：AB＝1：m，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，∵S△ABC＝a，∴S△BEC＝S△ABC＝；∵CD：BC＝1：n，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，∴S△CDE＝S△BEC＝?＝，故答案為：．6．在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點(diǎn)．若△OAB≌△OCD，則點(diǎn)O叫做該四邊形的“等形點(diǎn)”．（1）正方形“等形點(diǎn)”（填“存在”或“不存在”）；（2）如圖，在四邊形ABCD中，邊BC上的點(diǎn)O是四邊形ABCD的“等形點(diǎn)”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，連接AC，求AC的長(zhǎng)；（3）在四邊形EFGH中，EH∥FG．若邊FG上的點(diǎn)O是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，求的值．【分析】（1）根據(jù)“等形點(diǎn)”的定義可知△OAB≌△OCD，則∠OAB＝∠C＝90°，而O是邊BC上的一點(diǎn)．從而得出正方形不存在“等形點(diǎn)”；（2）作AH⊥BO于H，由△OAB≌△OCD，得AB＝CD＝4，OA＝OC＝5，設(shè)OH＝x，則BH＝7﹣x，由勾股定理得，（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2，求出x的值，再利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)即可；（3）根據(jù)“等形點(diǎn)”的定義可得△OEF≌△OGH，則∠EOF＝∠HOG，OE＝OG，∠OGH＝∠OEF，再由平行線性質(zhì)得OE＝OH，從而推出OE＝OH＝OG，從而解決問(wèn)題．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∵△OAB≌△OCD，∴∠OAB＝∠C＝90°，∵O是邊BC上的一點(diǎn)．∴正方形不存在“等形點(diǎn)”，故答案為：不存在；（2）作AH⊥BO于H，∵邊BC上的點(diǎn)O是四邊形ABCD的“等形點(diǎn)”，∴△OAB≌△OCD，∴AB＝CD＝4，OA＝OC＝5，∵BC＝12，∴BO＝7，設(shè)OH＝x，則BH＝7﹣x，由勾股定理得，（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2，解得，x＝3，∴OH＝3，∴AH＝4，∴CH＝8，在Rt△CHA中，AC＝＝＝4；（3）如圖，∵邊FG上的點(diǎn)O是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，∴△OEF≌△OGH，∴∠EOF＝∠HOG，OE＝OG，∠OGH＝∠OEF，∵EH∥FG，∴∠HEO＝∠EOF，∠EHO＝∠HOG，∴∠HEO＝∠EHO，∴OE＝OH，∴OH＝OG，∴OE＝OF，∴＝1．7．兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊．求證：BD＝CE；（2）解決問(wèn)題：如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，證明△ABD≌△ACE（SAS），即可得BD＝CE；（2）根據(jù)△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，可得△ACD≌△BCE（SAS），即有AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，從而可得∠BEC＝∠ADC＝135°，即知∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，由CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，可得DM＝ME＝CM，故AE＝AD+DE＝BE+2CM．【解答】（1）證明：∵△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由如下：如圖：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝90°＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，∴∠BEC＝∠ADC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME，∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM，∴DE＝2CM，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．8．在△ABC中，AC＝BC，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使DE＝CD，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，交直線AB于點(diǎn)F．（1）如圖1，若∠ACB＝120°，請(qǐng)用等式表示AC與EF的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2．若∠ACB＝90°，完成以下問(wèn)題：①當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的異側(cè)時(shí)，請(qǐng)用等式表示AC，AD，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的同側(cè)時(shí)，若DF＝1，AD＝3，請(qǐng)直接寫(xiě)出AC的長(zhǎng)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G，先證明△EDF≌△CDG，得到EF＝CG，然后等腰三角形的性質(zhì)和含30度直角三角形的性質(zhì)，即可求出答案；（2）①過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，與（1）同理，證明△EDF≌△CDH，然后證明△ACH是等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；②過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G，與（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到△ACG是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G，如圖1，∵EF⊥AB，∴∠EFD＝∠CGD＝90°，∵∠EDF＝∠CDG，DE＝CD，∴△EDF≌△CDG（AAS），∴EF＝CG；在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，∴，∴，∴；故答案為：；（2）①過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，如圖2，與（1）同理，可證△EDF≌△CDH，∴DF＝DH，∴AD+DF＝AD+DH＝AH，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAH＝45°，∴△ACH是等腰直角三角形，∴，∴；②如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G，與（1）同理可證，△EDF≌△CDG，∴DF＝DG＝1，∵AD＝3，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)A、D之間時(shí)，有∴AG＝1+3＝4，與①同理，可證△ACG是等腰直角三角形，∴；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A、F之間時(shí)，如圖4：∴AG＝AD﹣DG＝3﹣1＝2，與①同理，可證△ACG是等腰直角三角形，∴；綜合上述，線段AC的長(zhǎng)為或．9．已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．（1）如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；（2）如圖2，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝DC，根據(jù)角平分線的定義得到∠DCB＝∠ACB，證明四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠DEC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明即可；（3）在AD上取點(diǎn)M，使AM＝BC，連接BM，證明△AMB≌△CBD，得到BM＝BD，∠ABM＝∠CDB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案．【解答】（1）證明：∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴∠DCB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠DCB，∴AB∥CD，∴四邊形ABDC為平行四邊形，∵AB＝AC，∴平行四邊形ABDC為菱形；（2）解：∠ACE+∠EFC＝180°，理由如下：∵△ABC≌△DEC，∴∠ABC＝∠DEC，∴∠ACB＝∠DEC，∵∠ACB+∠ACF＝∠DEC+∠CEF＝180°，∴∠CEF＝∠ACF，∵∠CEF+∠ECF+∠EFC＝180°，∴∠ACF+∠ECF+∠EFC＝180°，∴∠ACE+∠EFC＝180°；（3）解：如圖3，在AD上取點(diǎn)M，使AM＝BC，連接BM，在△AMB和△CBD中，，∴△AMB≌△CBD（SAS），∴BM＝BD，∠ABM＝∠CDB，∴∠BMD＝∠BDM，∵∠BMD＝∠BAD+∠MBA，∴∠ADB＝∠BCD+∠BDC，設(shè)∠BCD＝∠BAD＝α，∠BDC＝β，則∠ADB＝α+β，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝α+2β，∴∠BAC＝∠CAD﹣∠BAD＝2β，∴∠ACB＝×（180°﹣2β）＝90°﹣β，∴∠ACD＝90°﹣β+α，∵∠ACD+∠CAD+∠CDA＝180°，∴90°﹣β+α+α+2β+α+2β＝180°，∴α+β＝30°，即∠ADB＝30°．10．問(wèn)題提出（1）如圖1，AD是等邊△ABC的中線，點(diǎn)P在AD的延長(zhǎng)線上，且AP＝AC，則∠APC的度數(shù)為．問(wèn)題探究（2）如圖2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．過(guò)點(diǎn)A作AP∥BC，且AP＝BC，過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥BC，分別交AB、BC于點(diǎn)O、E，求四邊形OECA的面積．問(wèn)題解決（3）如圖3，現(xiàn)有一塊△ABC型板材，∠ACB為鈍角，∠BAC＝45°．工人師傅想用這塊板材裁出一個(gè)△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人師傅在這塊板材上的作法如下：①以點(diǎn)C為圓心，以CA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD；②作CD的垂直平分線l，與CD交于點(diǎn)E；③以點(diǎn)A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線l于點(diǎn)P，連接AP、BP，得△ABP．請(qǐng)問(wèn)，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝AC，∠BAC＝60°，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到∠PAC＝30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（2）連接PB，證明四邊形PBCA為菱形，求出PB，解直角三角形求出BE、PE、OE，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；（3）過(guò)點(diǎn)A作CD的平行線，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線，兩條平行線交于點(diǎn)F，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PA＝PF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠PAF＝60°，進(jìn)而求出∠BAP＝15°，根據(jù)要求判斷即可．【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵AD是等邊△ABC的中線，∴∠PAC＝∠BAC＝30°，∵AP＝AC，∴∠APC＝×（180°﹣30°）＝75°，故答案為：75°；（2）如圖2，連接PB，∵AP∥BC，AP＝BC，∴四邊形PBCA為平行四邊形，∵CA＝CB，∴平行四邊形PBCA為菱形，∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°﹣∠C＝60°，∴BE＝PB?cos∠PBC＝3，PE＝PB?sin∠PBC＝3，∵CA＝CB，∠C＝120°，∴∠ABC＝30°，∴OE＝BE?tan∠ABC＝，∴S四邊形OECA＝S△ABC﹣S△OBE＝×6×3﹣×3×＝；（3）符合要求，理由如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作CD的平行線，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線，兩條平行線交于點(diǎn)F，∵CA＝CD，∠DAC＝45°，∴∠ACD＝90°，∴四邊形FDCA為正方形，∵PE是CD的垂直平分線，∴PE是AF的垂直平分線，∴PF＝PA，∵AP＝AC，∴PF＝PA＝AF，∴△PAF為等邊三角形，∴∠PAF＝60°，∴∠BAP＝60°﹣45°＝15°，∴裁得的△ABP型部件符合要求．11．如圖，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E．P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連結(jié)AP，將△APC沿AP翻折得△APD，連結(jié)DC，記∠BCD＝α．（1）如圖，當(dāng)P與E重合時(shí)，求α的度數(shù)．（2）當(dāng)P與E不重合時(shí)，記∠BAD＝β，探究α與β的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根據(jù)AE平分∠BAC，P與E重合，即得∠ACD＝∠ADC＝65°，從而α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，可得∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，根據(jù)∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，即可得2α﹣β＝50°；②當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F，由∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD可得90°﹣α＝40°+α+β，2α+β＝50°．【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，P與E重合，∴D在AB邊上，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°，∴α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；答：α的度數(shù)為25°；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，如圖：∵將△APC沿AP翻折得△APD，∴AC＝AD，∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∵∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，∠BAD＝β，∠B＝40°，∴（90°﹣α）+β＝40°+α，∴2α﹣β＝50°，②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F，如圖：∵將△APC沿AP翻折得△APD，∴AC＝AD，∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∵∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD+∠BCD＝40°+β+α，∴90°﹣α＝40°+α+β，∴2α+β＝50°；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，2α﹣β＝50°；當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)，2α+β＝50°．12．綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，∠ADC＝∠ACB．求證∠ACD＝∠ABC．獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問(wèn)題．實(shí)踐探究：（2）在原有問(wèn)題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問(wèn)題，請(qǐng)你解答．“如圖2，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)E，使CE＝BD，BE與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在圖中找出與BH相等的線段，并證明．”問(wèn)題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，若給出△ABC中任意兩邊長(zhǎng)，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段長(zhǎng)均可求．該小組提出下面的問(wèn)題，請(qǐng)你解答．“如圖3，在（2）的條件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的長(zhǎng)．”【分析】（1）利用三角形的外角的性質(zhì)證明即可；（2）結(jié)論：BH＝EF．如圖2中，在CB上取一點(diǎn)T，使得GH＝CT．證明△BGH≌△DCT（SAS），推出BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，再證明△CEF≌△BDT（AAS），推出EF＝DT，可得結(jié)論；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EM∥AD交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．利用平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題即可．【解答】（1）證明：如圖1中，∵∠ADC＝∠ACB，∴∠B+∠DCB＝∠DCB+∠ACD，∴∠ACD＝∠B；（2）解：結(jié)論：BH＝EF．理由：如圖2中，在CB上取一點(diǎn)T，使得GH＝CT．在△BGH和△DCT中，，∴△BGH≌△DCT（SAS），∴BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，∵∠CDT+∠FDT＝180°，∴∠GBH+∠FDT＝180°，∴∠BFD+∠BTD＝180°，∵∠CFE+∠BFD＝180°，∴∠CFE＝∠BTD，在△CEF和△BDT中，，∴△CEF≌△BDT（AAS），∴EF＝DT，∴EF＝BH；（3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EM∥AD交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．∵AD∥EM，∴＝，∴＝．∴EM＝，∵＝＝，∵tan∠ACD＝tan∠ABC＝，∴＝，∵AC＝2，AB＝4，∴AD＝1，BD＝CE＝3，∴AE＝1，∴BE＝＝＝＝，∴EF＝BE＝．13．如圖1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)，沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，與△ABC的直角邊AC（或BC）相交于點(diǎn)E．設(shè)線段AD的長(zhǎng)為a（cm），線段DE的長(zhǎng)為h（cm）．（1）為了探究變量a與h之間的關(guān)系，對(duì)點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不同時(shí)刻AD，DE的長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量，得出以下幾組數(shù)據(jù)：變量a（cm）00.511.522.533.54變量h（cm）00.511.521.510.50在平面直角坐標(biāo)系中，以變量a的值為橫坐標(biāo)，變量h的值為縱坐標(biāo)，描點(diǎn)如圖2﹣1；以變量h的值為橫坐標(biāo)，變量a的值為縱坐標(biāo)，描點(diǎn)如圖2﹣2．根據(jù)探究的結(jié)果，解答下列問(wèn)題：①當(dāng)a＝1.5時(shí)，h＝；當(dāng)h＝1時(shí)，a＝．②將圖2﹣1，圖2﹣2中描出的點(diǎn)順次連接起來(lái)．③下列說(shuō)法正確的是．（填“A”或“B”）A．變量h是以a為自變量的函數(shù)B．變量a是以h為自變量的函數(shù)（2）如圖3，記線段DE與△ABC的一直角邊、斜邊圍成的三角形（即陰影部分）的面積（cm2）為s．①分別求出當(dāng)0≤a≤2和2＜a≤4時(shí)，s關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)s＝時(shí)，求a的值．【分析】（1①）當(dāng)0≤a≤2時(shí)，DE＝AD，即：h＝a；當(dāng)h＝1時(shí)，在0≤a≤2和2＜a≤4各有一個(gè)自變量a與之對(duì)應(yīng)；②連線分別是兩條線段；③根據(jù)函數(shù)的定義判斷；（2）①陰影部分面積分別是等腰直角三角形，邊長(zhǎng)分別是a和4﹣a，進(jìn)而求得結(jié)果；②分別代入①中的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式，求得結(jié)果．【解答】解：（1）①?gòu)膱D1中，當(dāng)a＜2時(shí)，△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝1.5，從圖2，當(dāng)h＝1時(shí)，橫坐標(biāo)a對(duì)應(yīng)1或3，故答案為：1.5；1或3；②如圖，③當(dāng)自變量a變化時(shí)，h隨之變化，當(dāng)a確定時(shí)，h有唯一一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，所以h是a的函數(shù)；當(dāng)自變量h確定時(shí)，a有兩個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，所以a不是h的函數(shù)，故答案為A；（2）①當(dāng)0≤a≤2時(shí)，DE＝AD＝a，S△ADE＝AD?DE＝；當(dāng)2＜a≤4時(shí)，DE＝AB﹣AD＝4﹣a，∴S＝＝，∴S＝；②當(dāng)S＝時(shí)，當(dāng)0≤a≤2時(shí)，＝，∴a1＝1，a2＝﹣1（舍去），當(dāng)2＜≤4時(shí)，＝，∴a3＝3，a4＝5（舍去），綜上所述：當(dāng)S＝時(shí)，a＝1或3．14．已知CD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，AD＝m，BD＝n，△ADE與△BDF的面積之和為S．（1）填空：當(dāng)∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC時(shí)，①如圖1，若∠B＝45°，m＝5，則n＝，S＝；②如圖2，若∠B＝60°，m＝4，則n＝，S＝；（2）如圖3，當(dāng)∠ACB＝∠EDF＝90°時(shí)，探究S與m，n的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖4，當(dāng)∠ACB＝60°，∠EDF＝120°，m＝6，n＝4時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出S的大?。痉治觥浚?）①證明△ADE，△BDF都是等腰直角三角形即可解決問(wèn)題；②解直角三角形求出AE，DE，BF，DF可得結(jié)論；（2）如圖3中，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N．證明△DME≌△DNF（ASA），推出S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，把△BDN繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到右邊△ADN，∠ADN＝90°，AD＝m，DN＝n，可得結(jié)論；（3）如圖4中，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N．證明△DME≌△DNF（AAS），推出S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，把△ADM繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DNT，∠BDT＝60°，DT＝6，DB＝4，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥DT于點(diǎn)H，解直角三角形求出BH，可得結(jié)論．【解答】解：（1）①如圖1中，∵∠ACB＝90°，∠B＝45°，∴CA＝CB，∵CD平分∠ACB，∴AD＝DB＝5，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠A＝∠B＝45°