中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)集訓(xùn)分類(lèi)訓(xùn)練10 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(含答案)

分類(lèi)訓(xùn)練10二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用命題點(diǎn)1拋物線(xiàn)形問(wèn)題角度1拋物線(xiàn)形運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題1(2022河南)小紅看到一處噴水景觀(guān),噴出的水柱呈拋物線(xiàn)形狀,她對(duì)此展開(kāi)研究:測(cè)得噴水頭P距地面0.7m,水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高,最高點(diǎn)距地面3.2m;建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,并設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=a(x-h)2+k,其中x(m)是水柱距噴水頭的水平距離,y(m)是水柱距地面的高度.(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式.(2)爸爸站在水柱正下方,且距噴水頭P水平距離3m.身高1.6m的小紅在水柱下方走動(dòng),當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí),求她與爸爸的水平距離.角度2拋物線(xiàn)形建筑物問(wèn)題2(2022陜西)現(xiàn)要修建一條隧道,其截面為拋物線(xiàn)形,如圖所示,線(xiàn)段OE表示水平的路面,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)E所在直線(xiàn)為x軸,以過(guò)點(diǎn)O垂直于x軸的直線(xiàn)為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.根據(jù)設(shè)計(jì)要求:OE=10m,該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P到OE的距離為9m.(1)求滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式.(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈,如圖所示,即在該拋物線(xiàn)上的點(diǎn)A,B處分別安裝照明燈.已知點(diǎn)A,B到OE的距離均為6m,求點(diǎn)A,B的坐標(biāo).命題點(diǎn)2以幾何圖形為背景的問(wèn)題3(2022無(wú)錫)某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng),為充分利用現(xiàn)有資源,該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻(墻的長(zhǎng)度為10m),另外三面用柵欄圍成,中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1∶2的矩形,已知柵欄的總長(zhǎng)度為24m,設(shè)較小矩形的寬為xm(如圖).(1)若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36m2,求此時(shí)x的值.(2)當(dāng)x為多少時(shí),矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大?最大值為多少?4(2022揚(yáng)州)如圖是一塊鐵皮余料,將其放置在平面直角坐標(biāo)系中,底部邊緣AB在x軸上,且AB=8dm,外輪廓線(xiàn)是拋物線(xiàn)的一部分,對(duì)稱(chēng)軸為y軸,高度OC=8dm.現(xiàn)計(jì)劃將此余料進(jìn)行切割:(1)若切割成正方形,要求一邊在底部邊緣AB上且面積最大,求此正方形的面積;(2)若切割成矩形,要求一邊在底部邊緣AB上且周長(zhǎng)最大,求此矩形的周長(zhǎng);(3)若切割成圓,判斷能否切得半徑為3dm的圓,請(qǐng)說(shuō)明理由.5(2021陜西)問(wèn)題提出(1)如圖(1),在?ABCD中,∠A=45°,AB=8,AD=6,E是AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在DC上,且DF=5.求四邊形ABFE的面積.(結(jié)果保留根號(hào))問(wèn)題解決(2)某市進(jìn)行河灘治理,優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境.如圖(2)所示,現(xiàn)規(guī)劃在河畔的一處灘地上建一個(gè)五邊形河畔公園ABCDE.按設(shè)計(jì)要求,要在五邊形河畔公園ABCDE內(nèi)挖一個(gè)四邊形人工湖OPMN,使點(diǎn)O,P,M,N分別在邊BC,CD,AE,AB上,且滿(mǎn)足BO=2AN=2CP,AM=OC.已知在五邊形ABCDE中,∠A=∠B=∠C=90°,AB=800m,BC=1200m,CD=600m,AE=900m.為滿(mǎn)足人工湖周邊各功能場(chǎng)所及綠化用地需要,想讓人工湖面積盡可能小.請(qǐng)問(wèn),是否存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最小的四邊形人工湖OPMN?若存在,求四邊形OPMN面積的最小值及這時(shí)點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.圖(1)圖(2)命題點(diǎn)3銷(xiāo)售問(wèn)題6(2022廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū))打油茶是廣西少數(shù)民族特有的一種民俗.某特產(chǎn)公司近期銷(xiāo)售一種盒裝油茶,每盒的成本價(jià)為50元,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),該種油茶的月銷(xiāo)售量y(盒)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)圖象如圖所示.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;(2)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí),該種油茶的月銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?求出最大利潤(rùn).7(2022荊州)某企業(yè)投入60萬(wàn)元(只計(jì)入第一年成本)生產(chǎn)某種產(chǎn)品,按網(wǎng)上訂單生產(chǎn)并銷(xiāo)售(生產(chǎn)量等于銷(xiāo)售量).經(jīng)測(cè)算,該產(chǎn)品網(wǎng)上每年的銷(xiāo)售量y(萬(wàn)件)與售價(jià)x(元/件)之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=24-x,第一年除60萬(wàn)元外其他成本為8元/件.(1)求該產(chǎn)品第一年的利潤(rùn)w(萬(wàn)元)與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)該產(chǎn)品第一年利潤(rùn)為4萬(wàn)元,第二年將它全部作為技改資金再次投入(只計(jì)入第二年成本)后,其他成本下降2元/件.①求該產(chǎn)品第一年的售價(jià);②若第二年售價(jià)不高于第一年,銷(xiāo)售量不超過(guò)13萬(wàn)件,則第二年利潤(rùn)最少是多少萬(wàn)元?命題點(diǎn)4其他問(wèn)題8(2022武漢)如圖,在一條筆直的滑道上有黑、白兩個(gè)小球同向運(yùn)動(dòng),黑球在A(yíng)處開(kāi)始減速,此時(shí)白球在黑球前面70cm處.小聰測(cè)量黑球減速后的運(yùn)動(dòng)速度v(單位:cm/s)、運(yùn)動(dòng)距離y(單位:cm)隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(單位:s)變化的數(shù)據(jù),整理得下表.運(yùn)動(dòng)時(shí)間t/s01234運(yùn)動(dòng)速度v/(cm/s)109.598.58運(yùn)動(dòng)距離y/cm09.751927.7536小聰探究發(fā)現(xiàn),黑球的運(yùn)動(dòng)速度v與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間成一次函數(shù)關(guān)系,運(yùn)動(dòng)距離y與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間成二次函數(shù)關(guān)系.(1)直接寫(xiě)出v關(guān)于t的函數(shù)解析式和y關(guān)于t的函數(shù)解析式(不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍);(2)當(dāng)黑球減速后運(yùn)動(dòng)距離為64cm時(shí),求它此時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度;(3)若白球一直以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng),問(wèn)黑球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)不會(huì)碰到白球,請(qǐng)說(shuō)明理由.分類(lèi)訓(xùn)練10二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1.【參考答案】(1)由題意知,點(diǎn)(5,3.2)是拋物線(xiàn)y=a(x-h)2+k的頂點(diǎn),∴y=a(x-5)2+3.2.又∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0.7),∴0.7=a(0-5)2+3.2,解得a=-0.1,∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=-0.1(x-5)2+3.2(或y=-0.1x2+x+0.7).(2)當(dāng)y=1.6時(shí),1.6=-0.1(x-5)2+3.2,解得x1=1,x2=9,∴3-1=2,9-3=6.答:小紅與爸爸的水平距離為2m或6m.2.【參考答案】(1)依題意可知,頂點(diǎn)P(5,9),設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-5)2+9,將(0,0)代入,得0=a(0-5)2+9,解得a=-925∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=-925(x-5)2+9(2)令y=6,得-925(x-5)2+9=6,解得x1=533+5,x2=-5∴A(5-533,6),B(5+53.【參考答案】(1)如圖,∵BC=x,矩形CDEF的面積是矩形BCFA面積的2倍,∴CD=2x,∴BD=3x,∴AB=CF=DE=13(24-BD)=8依題意,得3x(8-x)=36,解得x1=2,x2=6(不合題意,舍去),答:此時(shí)x的值為2.(2)∵0<BD≤10,∴0<3x≤10,∴0<x≤103設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為Sm2,由(1)得S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48,∵-3<0,0<x≤103∴當(dāng)x=103時(shí),S最大,最大值為140答:當(dāng)x為103時(shí),矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大,最大值為1403m4.【參考答案】(1)由題意,得A(-4,0),B(4,0),C(0,8).可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax2+8,把B(4,0)代入,得0=16a+8,∴a=-12∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-12x2+8易知當(dāng)正方形的面積最大時(shí),它有兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,設(shè)此正方形為正方形EFGH,如圖(1),則GH=FG=2OG.圖(1)設(shè)H(t,-12t2+8)(t>∴-12t2+8=2t解得t1=-2+25,t2=-2-25(舍去),∴正方形EFGH的面積=FG2=(2t)2=4t2=4(-2+25)2=(96-325)(dm2).(2)易知當(dāng)矩形的周長(zhǎng)最大時(shí),它有兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上.如圖(2),設(shè)矩形EFGH的頂點(diǎn)H(k,-12k2+8)(k>圖(2)則矩形EFGH的周長(zhǎng)=2FG+2HG=4k+2×(-12k2+8)=-k2+4k+16=-(k-2)2+∴當(dāng)k=2時(shí),矩形EFGH的周長(zhǎng)最大,最大值是20dm.(3)能切得半徑為3dm的圓.理由:設(shè)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,-12m2+8),N則MN2=(m-0)2+(-12m2+8-3)2=14m4-4m2+記n=m2,則MN2=14n2-4n+25=14(n-8)2∴當(dāng)n=8,即m=±22時(shí),MN的值最小,最小值為3,∴拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)到點(diǎn)N的距離都大于等于3,故能切得半徑為3dm的圓.5.【參考答案】(1)在?ABCD中,設(shè)AB邊上的高為h.∵AD=6,∠A=45°,∴h=ADsin45°=32.∵E是AD的中點(diǎn),∴點(diǎn)E到DC的距離為h2∵DC=AB=8,DF=5,∴FC=3.∴S四邊形ABFE=S?ABCD-(S△DEF+S△BCF)=AB·h-(12·DF·h2+12·FC·h)=242-(1524+(2)存在.如圖,分別延長(zhǎng)AE與CD,交于點(diǎn)F,則四邊形ABCF是矩形,∴AF=BC,AB=FC.∵AM=OC,AN=CP,∴MF=BO,BN=FP.設(shè)AN=xm,則PC=x,MF=BO=2x,BN=FP=800-x,AM=OC=1200-2x,∴S四邊形OPMN=S矩形ABCF-S△ANM-S△BON-S△CPO-S△FMP=800×1200-12×x(1200-2x)-12×2x(800-x)-12×x(1200-2x)-12×2x(800-x)=4x2-2800x+960000=4(x-350)∴當(dāng)x=350時(shí),S四邊形OPMN取最小值,為470000.當(dāng)x=350時(shí),AM=1200-2x=500<900,CP=350<600,∴符合設(shè)計(jì)要求的四邊形OPMN面積的最小值為470000m2,這時(shí)點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離為350m.6.【參考答案】(1)設(shè)y關(guān)于x的解析式為y=kx+b,把(60,200),(80,100)分別代入,得60k+∴y=-5x+500.當(dāng)y=0時(shí),-5x+500=0,解得x=100,結(jié)合題圖,可知自變量x的取值范圍是50<x<100.(2)設(shè)月銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元,根據(jù)題意,得w=(x-50)(-5x+500)=-5(x-75)2+3125.∵-5<0,∴當(dāng)x=75時(shí),w取最大值,為3125.答:當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為75元時(shí),該種油茶的月銷(xiāo)售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是3125元.7.【參考答案】(1)根據(jù)題意,得w=(x-8)(24-x)-60=-x2+32x-252.(2)①令-x2+32x-252=4,解得x1=x2=16.答:該產(chǎn)品第一年的售價(jià)是16元/件.②∵第二年售價(jià)不高于第一年,銷(xiāo)售量不超過(guò)13萬(wàn)件,∴x解得11≤x≤16.第二年除4萬(wàn)元外其他成本下降2元/件,為6元/件,設(shè)第二年的利潤(rùn)是w'萬(wàn)元,則w'=(x-6)(24-x)-4=-x2+30x-148=-(x-15)2+77,∵-1<0,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=15,且11≤x≤16,∴當(dāng)x=11時(shí),w'取最小值,最小值為-(11-15)2+77=61(萬(wàn)元).答:第二年的利潤(rùn)最少為61萬(wàn)元.8.【參考答案】(1)v=-12t+10,y=-14t2+(2)依題意,得-14t2+10t=∴t2-40t+256=0,解得t1=8,t2=32.當(dāng)t1=8時(shí),v=6;當(dāng)t2=32時(shí),v=-6(舍去).答:黑球減速后運(yùn)動(dòng)距離為64cm時(shí)的速度為6cm/s.(3)不