空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖-2023年高考數(shù)學一輪復習（全國通用）（解析版）

考向25空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直

觀圖

（2022年甲卷理）4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方系的邊長為1,則該多面

體的體積為

A.8

B.12

C.16

D.20

【答案】B

【解析】該多面體的體積—個長方體體積減去一個三棱柱的體積得到，即2x4x2-32x2x2",

故選：B.

（2022年浙江卷）5.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體

的體積（單位：cπ?）是（）.

??1A

A.224B.84C.—πD.—π

33

【答案】C

【解析】由三視圖可知該幾何體是由半個球、一個圓柱和一個圓臺組成,

V=_L.3.「+%.F.2+J..".（/+1.2+22）.2=烏乃.

2333

1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進行辨析,

即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例.

2.圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.

3.既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略.

由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認.二要熟悉常見幾何體的三視圖.

4.由三視圖還原到直觀圖的思路

(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面.

(2)根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應的棱、面的位置.

(3)確定幾何體的直觀圖形狀.

y?用毒步)

1.常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖

(1)球的三視圖都是半徑相等的圓.

(2)水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰三角形.

(3)水平放置的圓臺的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰梯形.

(4)水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖均為全等的矩形.

2.在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來，即“眼見

為實、不見為虛在三視圖的判斷與識別中要特別注意其中的虛線.

1.如圖為一圓柱切削后的幾何體及其正視圖，則相應的側(cè)視圖可以是()

【答案】B

【解析】由圓柱切削后的幾何體及其正視圖知，截得的截面為橢圓，結(jié)合正視圖，可知側(cè)視圖中右邊的輪

廓線不可見，故用虛線表示，故選B.

2.將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何

體的側(cè)視圖為()

正視圖

0

俯視圖

日□□□

ABCD

【答案】B

【解析】由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀圖，如圖所示.

該幾何體的側(cè)視圖為選項B中的圖形.

3.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均為如圖所示的圖形,則在下面的四個圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是

()

C

—①②③④

A.①③B.①④C.②④D.①②③④

【答案】A

【解析】由正視圖和側(cè)視圖知,該幾何體為球與正四棱柱或球與圓柱體的組合體，故①③正確.

4.如圖，在四棱錐P-ABCO中，出_1_平面ABCZX底面ABC。是平行四邊形，NACB=90。，AB=y∣29PA

=BC=I,則此幾何體的側(cè)視圖的面積是()

P

2

C

AAB.lC.]^DI

【答案】D

【解析】由題知，BClAC,BCYPA,又AenΛ4=A,

.?.BUL平面%C,該幾何體的側(cè)視圖為直角三角形，兩直角邊長分別等于PA的長與AC的長，?.?AB=√L

BC=I,.?.AC=1=用，.?.側(cè)視圖的面積S=；XlXl=-

5.已知四棱錐S—ABCD的三視圖如圖所示，則圍成四棱錐S—4BCZ）的五個面中最大面的面積是（）

A.3B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】如圖，由三視圖知四棱錐S—ABCO的側(cè)面SAD與底面ABCO垂直，底面為矩形，矩形的相鄰兩

邊長分別為2,4,底面面積為2x4=8.由正視圖可得該四棱錐的高為產(chǎn)方=小，

ΛΔSΛD的面積為/<4x√^=2√l側(cè)面SAB與側(cè)面SCD為直角三角形，其面積均為$3x2=3.側(cè)面SBC為等

腰三角形，底邊上的高為N（市）2+2占3,

,△SBC的面積為表4義3=6".圍成四棱錐S-4BCE）的五個面中最大面的面積為8.

6.一個幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個面中，面積最小的面的面積為（）

A.8B.4C.4√3D.4√2

【答案】D

【解析】由三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示，由三視圖特征可知，%，平面ABC,平面ABC,

ABJ_AC,PA=AB=DB=2,貝IJ易得S△掰C=S△4BC=8,S&CPD=?2,S梯形AeDP=I2,S△BCD=*4巾x2

=4√2,故選D.

口；

C

7.有以下四個命題：

①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；

②底面是矩形的平行六面體是長方體；

③直四棱柱是直平行六面體；

④棱臺的相對側(cè)棱延長后必交于一點.

其中真命題的序號是.

【答案】①④

【解析】命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面

不垂直，故命題②是錯誤的；因為直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故命題③是錯誤的；命題④由棱

臺的定義知是正確的.

8.如圖，點。為正方體A8CD—A0C。的中心，點E為面方BCc的中心，點F為夕C的中點，則空間四邊

形。OEF在該正方體的各個面上的正投影可能是（填出所有可能的序號）.

【答案】①②③

【解析】空間四邊形。OEF在正方體的面。CCTT及其對面ABBA上的正投影是①；在面BCCE及其對面

AoCTr上的正投影是②；在面ABCD及其對面AHCO上的正投影③.

____

一、單選題

1.（2022?山東濟南?二模）如圖是由6個同樣大小的正方體擺成的幾何體.將正方體①移走后，所得幾何體

A.主視圖改變，左視圖改變B.俯視圖不變，左視圖不變

C.俯視圖改變，左視圖改變D.主視圖改變，左視圖不變

【答案】D

【解析】把①拿掉后主視圖和俯視圖發(fā)生改變，左視圖不變.

故選：D

2.（2021?四川遂寧?三模（理））將直角三角形、矩形、直角梯形如圖一放置，它們圍繞固定直線L旋轉(zhuǎn)一周

形成幾何體，其三視圖如圖二，則這個幾何體的體積是（）

附：柱體的體積公式V=S%（S為底面面積，〃為柱體的高）錐體的體積公式V=gs力（S為底面面積，〃為錐體

為臺體的上、下底面面積，人為臺體的高）

等

A.14πB.154CTD?

【答案】C

【解析】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為由圓錐，圓柱和圓臺構(gòu)成的組合體;

如圖所示：

所以VZ=gx（%?32+手^G石7+不?22）x2+Λ??F?2+gχ〃?F?2=等.

故選：C.

3.（2022?陜西咸陽?三模（理））古代勤勞而聰明的中國人，發(fā)明了非常多的計時器，其中計時沙漏制作最

為簡潔方便、實用，該幾何體是由簡單幾何體組合而成的封閉容器（內(nèi)裝一定量的細沙），其三視圖如圖所

示（沙漏尖端忽略不計），則該幾何體的表面積為（）

正視圖側(cè)視圖

A.(>∕5+1)Λ?B.(1+2√5)Λ?C.(>∕5+2)πD.(2+2√5)Λ-

【答案】D

【解析】由題意知，該沙漏由兩個形狀相同的圓錐組成，圓錐底面圓半徑R=I,高為人=2,

則母線長/=J*+R2=收+E=石，則圓錐的側(cè)面積S=g∕?2%R=J^r,

圓錐底面積Sl=TR2=萬，則圓錐表面積為（百+1%,則沙漏表面積為（2石+2%,

故選:D.

4.（2021?江西南昌?二模（理））如圖，正四棱錐P-ABCD的高為12,AB=6五,E,尸分別為PA,PC

的中點，過點B,E,F的截面交PO于點M,截面EBRW將四棱錐分成上下兩個部分，規(guī)定BD為主視圖

方向，則幾何體CDAB-RWE的俯視圖為（）

一

，

八

二

3

D

【解析】研究平面。PB,設(shè)AC與8。的交點為O,BM與EF父點、為N,

瓦廠為PAPC的中點，.?.N為Po的中點，PO=I2,:.ON=OB=6,

PO12

又因為tanNPDB=——=▼=2,過點M作MGJ_OB,設(shè)G8=x,

OD6

X

ZNBO=45°,..GB=MG=X,又DB=?2,.?DG=?2-x,tanZPDB=-------=2,

12-x

.?.x=G3=8,.?.DG為4個格，G8為8個格,

故選：C

5.（2022?四川?射洪中學模擬預測（文））圖形是信息傳播、互通的重要的視覺語言《畫法幾何》是法國著名

數(shù)學家蒙日的數(shù)學巨著，該書在投影的基礎(chǔ)上，用“三視圖”來表示三維空間中立體圖形.其體來說.做一個幾

何的“三視圖”，需要觀測者分別從幾何體正面、左面、上面三個不同角度觀察，從正投影的角度作圖.下圖中

粗實線畫出的是某三棱錐的三視圖，且網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則該三棱錐的外接球的表面積為（）

A.12πB.24;TC.48乃D.96萬

【答案】C

【解析】由三視圖知幾何體為一側(cè)棱垂直底面，底面為直角三角的三棱錐，且由網(wǎng)格紙知同一頂點互相垂

直的三條棱的長為4,如圖，

所以三棱錐的外接球即為三棱錐所在的棱長為4的正方體的外接球，

設(shè)外接球的半徑為R，則（2R）2=42+才+42=48,

所以外接球的表面積S=（2R）2%=48乃，

故選：C

6.（2023?安徽省宣城中學模擬預測）如圖，已知正方體ABCD-A的棱長為2,M,N分別為BB∣,CD

的中點.有下列結(jié)論:

①三棱錐A-MNQ在平面ROCG上的正投影圖為等腰三角形；

②直線MN〃平面AOC∣;

③在棱BC上存在一點E,使得平面AEBll平面MNB；

④若F為棱48的中點，且三棱錐M-Nm的各頂點均在同一求面上，則該球的體積為遙兀.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】對于①，設(shè)CG的中點為連接MMI,DlM,,NM?,

M為BBl的中點，.?.AD1∕∕B,C,≡M,,

又A平面ROCG,..MM1平面ADCC,,

■■點A,M在平面ADCG上的正投影分別為DvMi,

且點N在平面OACG上的正投影分別為其本身，

???三棱錐A-AZNR在平面。刀CCl上的正投影圖為，RM∣N,

又D?N=D?M?=√4+lr=√5,

即-RMN為等腰三角形，①正確;

對于②，以點。為原點，分別以D4,3C,r)。所在直線為χ,y,z軸,

建立空間直角坐標系，如圖,

則E)(0,0,0),A(2,0,2),G(0,2,2),3(2,2,0),A(0,0,2),"(2,2,1),N(OJO),

.?.ΛW=(-2,-1,-1),∩41=(2,0,2),￡>C=(0,2,2)2=(2,2,-2),

DtBDA,=2×2+0×2+2×(-2)=0,:.DλBLDAi,SPD1B1DA1,

D1B-DC1=0×2+2×2+2×(-2)≈0,.-.D1BIDC1,即RB?LQC∣,

又。Acoc∣=o,%u平面A〃G，OClU平面

D1B1.平面A〃C1,

即A8=(2,2,-2)是平面ACG的一個法向量，

rf?D1B-MN=(-2)×2+(-l)×2+(-l)×(-2)≈^1?≠0,

二。3與MN不垂直，,MN不與平面AOq平行，②錯誤;

對于③，如圖

設(shè)BC的中點為E,連接AE,由②知，E(l,2,0),AE=(T,2,0),

=(-2,-1,0),W=(-2,-1,-1),

AE?BN=?×(-2)+2×(-1)+0=0,AELBN，?PAE?BN1

AE?Λ∕∕V=(-l)×(-2)+2×(-l)+0=0,.?,AELMN，KPAEVMN,

又BNCMN=N,BNU平面MNB,MNU平面MNB,

.?.AE±平面MV8,又A￡U平面AEB-，平面AEBlJ_平面MN8,③正確;

對于④，如圖，

若F為棱AB的中點，又N為棱CD的中點、，：.NF"BC,

3C_L平面AABB∣,.?.NF_L平面ΛlABBt,

MFU平面AA8B∣,.?.N/_LM/，

又MBLBN,:.Rt,NFM和RtZJWBN有公共的斜邊MN,

設(shè)MN的中點為。，則點。到M,N,B,F的距離相等，

為三棱錐M-NFB外接球的球心，MN為該球的直徑，

.?.2R=yjBC2+CN2+BM2?√4+l+4?√6?R=等，

該球的體積為V=W成3=gχ［用兀="兀，④正確

綜上所述，正確的結(jié)論為①③④.

故選：D.

二、多選題

7.（2022?湖南?長沙市明德中學二模）如圖，ABC。是底面直徑為2高為1的圓柱Oa的軸截面，四邊形OOQA

繞0。逆時針旋轉(zhuǎn)e（0≤e≤萬）到OOQM,則（）

K

A.圓柱。。的側(cè)面積為4;T

B.當0<6<;T時，ORj-AC

C.當。=W時，異面直線AQ與。。所成的角為E

34

D.ACD面積的最大值為石

【答案】BC

【解析】對于A,圓柱。。的側(cè)面積為2;IXIXl=2萬，A錯誤；

對于B,因為0<〃<萬，所以。RLRC,又。R?LAR,

所以O(shè)A，平面AAC,所以。A，AC,B正確；

對于c,因為A。//。。一所以NnAR就是異面直線與Oa

TT

所成的角，因為/。0|。=彳，所以Q為正三角形，

TT

所以。R=AA=1,因為AAJ?OR,所以/圖。=“C正確;

4

對于D,作RELQC,垂足為E,連接AE,所以E)C，平面AAE,所以AELOC.

2222

在RfAAE中，A1E=√ΛtDl+ED1=y∣?+DtE≤√1+Z)lC>l=√2,

5ACD=→OC×A^≤→2×√2=√2,所以(SAa))3=也，D錯誤.

故選：BC.

8.(2021?福建泉州?二模)四棱錐P-48CO的三視圖如圖所示，平面α過點A且與側(cè)棱尸C垂直，則()

俯視圖

A.該四棱錐的表面積為4√7+4

B.該四棱錐的側(cè)面與底面所成角的余弦值為史

7

C.平面α截該四棱錐所得的截面面積為逑

3

D.平面。將該四棱錐分成上下兩部分的體積比為1:2

【答案】ABD

【解析】由三視圖知原幾何體是正四棱錐，如圖尸-ABC。，2。是棱錐的高，PO=R,M是8C中點，

則PM是斜高，OM=JAB=I,所以PM=UPo2+OM?=幣,

表面積為S=4X,X2X√7+22=4+4√7,A正確；

2

由正四棱錐性質(zhì)知OM±BC,PMLBC,ZPMO是二面角P-BC-O的平面角，

cosZPMO=4==—>B正確；

√77

在APAC內(nèi)過A作AE_LPC于E,在側(cè)面PBC內(nèi)作EF_LPC交尸8于F,同理作出G點（EG_LPC）,則

平面AFEG為平面α,

（因為AECEF=E,AE,EFu平面AfE,所以PC_L平面AFE,同理PC_L平面AGE,所以四邊形AFEG

在同一平面內(nèi)，為截面α）.

△如C中，PA=J（#）2+（夜J=20,PA=PC=AC,Z?B4C是正三角形，則E是尸C中點，

AE=X2?∣2=?/e，PE=V2，

2

,C中，c°s4PC=（2①邛物尸=3,所以人坐=殍，EFW

2×2√2×2√24-3

22

PBC中，AF=y∣PA+PF-IPA-PFcosZAPB=Λ,8+--2×2√2×—×-=—，

V9343

..AEF中，由余弦定理得cosZAEF=色過?士尸=昱，則sinZAEF=?,

2AEEF22

,

s?AEF=所以5"卬=2S"F=,C錯；

匕，"卬=L迪X夜=還，又VPABCD=LC?X巫=還，所以下面一部分的體積為偵-生色=燉,

'-AfEC339p^abcd33399

上下兩部分的體積為1:2,D正確.

故選：ABD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查由三視圖還原原幾何體，考查正四棱錐的性質(zhì)，棱錐的體積.解題關(guān)鍵是

掌握正棱錐的性質(zhì)，特別是正棱錐的直角三角形.作截面時，利用線面垂直的判定定理，即作垂線構(gòu)造出

截面.

三、填空題

9.（2022?陜西?西安中學一模（文））某零件的結(jié)構(gòu)是在一個圓錐中挖去了一個正方體，且正方體的一個面

與圓錐底面重合，該面所對的面的四個頂點在圓錐側(cè)面內(nèi).在圖①②③④⑤⑥⑦⑧中選兩個分別作為該零

件的主視圖和俯視圖，則所選主視圖和俯視圖的編號依次可能為（寫出符合要求的一組答案即可）.

【答案】⑤⑦（或①⑧）

【解析】若俯視圖為圖⑦,則主視圖為圖⑤,

若俯視圖為圖⑧，則主視圖為圖①,

故答案為：⑤⑦（或①⑧）

10.（2022?安徽淮南?二模（理））3。打印又稱增材制造，是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬

或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)為了培養(yǎng)青少年的創(chuàng)新意識和應用技能，某

學校成立了3。打印社團，學生們設(shè)計了一種幾何體，其三視圖如圖所示（網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為ICm）,

如果這種打印原料的密度為1.50g∕cn√,不考慮打印消耗，則制作該模型所需原料的質(zhì)量約為,g?(π

取3.14)

【答案】6.28

【解析】該幾何體下半部為底面半徑為1高為1的圓柱，上半部為半徑為1的球體的四分之一,

144

則該幾何體的體積為兀xFxl+：x；兀Xr=-π

433

4

故制作該模型所需原料的質(zhì)量三兀X1-50=2π≈6.28（g）

故答案為：6.28

-..............-

真題練）

L（2020年全國三卷）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是

【答案】C

【解析】由題2可知：該幾何體是棱長為2的正方體割掉一部分剩下的一個角，如圖所示，其面積為:

S≡3χ-^χ2*2+-*2√2*2√2χsι∏6O-6+2^5?故選：c-

22

2

2.（2021年全國高考甲卷數(shù)學（文）試題）已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30%則該圓錐的側(cè)面

積為.

【答案】39?

1,5

【分析】；V=—?62/=30%ΛA=-

32

=πrl=π×6×—=397.故答案為：39?.

2

3.（2016年全國∏D如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三