時(shí)等邊三角形的性質(zhì)與判定完整版

13.3.2等邊三角形第十三章軸對(duì)稱(chēng)

優(yōu)

翼

課

件

導(dǎo)入新課講授(jiǎngshòu)新課當(dāng)堂(dānɡtánɡ)練習(xí)課堂(kètáng)小結(jié)第1課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)與判定

八年級(jí)數(shù)學(xué)上（RJ）教學(xué)課件第一頁(yè)，共三十三頁(yè)。學(xué)習(xí)目標(biāo)1．探索(tànsuǒ)等邊三角形的性質(zhì)和判定．（重點(diǎn)）2．能運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和證明．（難點(diǎn)）第二頁(yè)，共三十三頁(yè)。小明想制作一個(gè)三角形的相框，他有四根木條長(zhǎng)度分別(fēnbié)為10cm，10cm，10cm，6cm，你能幫他設(shè)計(jì)出幾種形狀的三角形？問(wèn)題(wèntí)引入導(dǎo)入新課第三頁(yè)，共三十三頁(yè)。等腰三角形等邊三角形一般(yībān)三角形在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是(jiùshì)底與腰相等，即三角形的三邊相等，我們把三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形.第四頁(yè)，共三十三頁(yè)。名稱(chēng)圖形定義性質(zhì)

判定等腰三角形等邊對(duì)等角三線(xiàn)(sānxiàn)合一等角對(duì)等邊兩邊(liǎngbiān)相等兩腰相等(xiāngděng)軸對(duì)稱(chēng)圖形ABC有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形第五頁(yè)，共三十三頁(yè)。等邊三角形的性質(zhì)一講授(jiǎngshòu)新課類(lèi)比(lèibǐ)探究ABCABC問(wèn)題(wèntí)1等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角之間有什么關(guān)系？等腰三角形AB=AC∠B=∠C等邊三角形AB=AC=BCAB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C內(nèi)角和為180°=60°第六頁(yè)，共三十三頁(yè)。結(jié)論：

等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且(bìngqiě)每一個(gè)角都等于60°.已知：AB=AC=BC，

求證(qiúzhèng)：∠A=∠B=∠C=60°.

證明(zhèngmíng)：∵AB=AC.∴∠B=∠C.(等邊對(duì)等角)

同理∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.第七頁(yè)，共三十三頁(yè)。ABCABC問(wèn)題2

等邊三角形有“三線(xiàn)(sānxiàn)合一”的性質(zhì)嗎?等邊三角形有幾條對(duì)稱(chēng)軸？結(jié)論:等邊三角形每條邊上的中線(xiàn)(zhōngxiàn),高和所對(duì)角的平分線(xiàn)都“三線(xiàn)合一”.頂角(dǐnɡjiǎo)的平分線(xiàn)、底邊的高底邊的中線(xiàn)三線(xiàn)合一一條對(duì)稱(chēng)軸三條對(duì)稱(chēng)軸第八頁(yè)，共三十三頁(yè)。圖形等腰三角形

性質(zhì)

每一邊(yībiān)上的中線(xiàn)、高和這一邊(yībiān)所對(duì)的角的平分線(xiàn)互相重合三個(gè)角都相等(xiāngděng)，對(duì)稱(chēng)(duìchèn)軸（3條）等邊三角形對(duì)稱(chēng)軸（1條）兩個(gè)底角相等底邊上的中線(xiàn)、高和頂角的平分線(xiàn)互相重合且都是60o兩條邊相等三條邊都相等知識(shí)要點(diǎn)第九頁(yè)，共三十三頁(yè)。例1

如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)(yīdiǎn)，D是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.典例精析第十頁(yè)，共三十三頁(yè)。方法總結(jié)：等邊三角形是特殊的三角形，它的三個(gè)內(nèi)角都是60°，這個(gè)性質(zhì)常應(yīng)用在求三角形角度的問(wèn)題(wèntí)上，一般需結(jié)合“等邊對(duì)等角”、三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì).第十一頁(yè)，共三十三頁(yè)。變式訓(xùn)練(xùnliàn)：如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分(píngfēn)∠ABC，延長(zhǎng)BC到E，使得CE=CD．求證：BD=DE．證明(zhèngmíng)：∵△ABC是等邊三角形，BD是角平分線(xiàn)，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角對(duì)等邊）．第十二頁(yè)，共三十三頁(yè)。例2△ABC為正三角形(zhènɡsānjiǎoxínɡ)，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是CA邊上任意一點(diǎn)，且BM＝CN，BN與AM相交于Q點(diǎn)，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC為正三角形(zhènɡsānjiǎoxínɡ)，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM

＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.第十三頁(yè)，共三十三頁(yè)。方法總結(jié)：此題屬于等邊三角形與全等三角形的綜合運(yùn)用，一般是利用等邊三角形的性質(zhì)(xìngzhì)判定三角形全等，而后利用全等及等邊三角形的性質(zhì)(xìngzhì)，求角度或證明邊相等.第十四頁(yè)，共三十三頁(yè)。類(lèi)比(lèibǐ)探究等邊三角形的判定二圖形等腰三角形判定

三個(gè)角都相等(xiāngděng)的三角形是等邊三角形等邊三角形從角看：兩個(gè)(liǎnɡɡè)角相等的三角形是等腰三角形從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形小明認(rèn)為還有第三種方法“兩條邊相等且有一個(gè)角是60°的三角形也是等邊三角形”，你同意嗎？等邊三角形的判定方法：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.第十五頁(yè)，共三十三頁(yè)。辯一辯：根據(jù)條件(tiáojiàn)判斷下列三角形是否為等邊三角形.（1）（2）（6）（5）不是是是是是（4）（3）不一定(yīdìng)是第十六頁(yè)，共三十三頁(yè)。例3

如圖,在等邊三角形ABC中，DE∥BC,求證(qiúzhèng)：△ADE是等邊三角形.ACBDE典例精析證明(zhèngmíng)：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.想一想：本題還有其他(qítā)證法嗎？第十七頁(yè)，共三十三頁(yè)。

證明(zhèngmíng)：∵

△ABC是等邊三角形，

∴

∠A=∠ABC=∠ACB=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠ABC=∠ADE，

∠ACB=∠AED.∴

∠A=∠ADE=∠AED.∴

△ADE是等邊三角形.變式1若點(diǎn)D、E在邊AB、AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且DE∥BC，結(jié)論(jiélùn)還成立嗎？ADEBC第十八頁(yè)，共三十三頁(yè)。變式2若點(diǎn)D、E在邊AB、AC的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，且DE∥BC，結(jié)論(jiélùn)依然成立嗎？

證明(zhèngmíng)：∵

△ABC是等邊三角形，

∴

∠BAC=∠B=∠C=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠B=∠D，∠C=∠E．

∴

∠EAD=∠D=∠E．

∴

△ADE是等邊三角形．ADEBC第十九頁(yè)，共三十三頁(yè)。變式3：上題中,若將條件DE∥BC改為(ɡǎiwéi)AD=AE,△ADE還是等邊三角形嗎?試說(shuō)明理由.ACBDE證明(zhèngmíng)：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.第二十頁(yè)，共三十三頁(yè)。例4

等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問(wèn)△APQ是什么形狀的三角形？試證明(zhèngmíng)你的結(jié)論．解：△APQ為等邊三角形．證明(zhèngmíng)如下：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等邊三角形．第二十一頁(yè)，共三十三頁(yè)。方法總結(jié)：判定一個(gè)三角形是等邊三角形有以下方法：一是證明三角形三條邊相等(xiāngděng)；二是證明三角形三個(gè)內(nèi)角相等(xiāngděng)；三是先證明三角形是等腰三角形，再證明有一個(gè)內(nèi)角等于60°.第二十二頁(yè)，共三十三頁(yè)。針對(duì)訓(xùn)練：

如圖，等邊△ABC中，D、E、F分別是各邊上的一點(diǎn)(yīdiǎn)，且AD=BE=CF．求證：△DEF是等邊三角形．證明(zhèngmíng)：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等邊三角形．第二十三頁(yè)，共三十三頁(yè)。當(dāng)堂(dānɡtánɡ)練習(xí)

2.如圖，等邊三角形ABC的三條角平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，DE∥BC，則這個(gè)圖形(túxíng)中的等腰三角形共有（）A.4個(gè)

B.5個(gè)C.6個(gè)

D.7個(gè)DACBDEO1.等邊三角形的兩條高線(xiàn)相交(xiāngjiāo)成鈍角的度數(shù)是（）A．105°B．120°C．135°D．150°B第二十四頁(yè)，共三十三頁(yè)。3.在等邊△ABC中，BD平分(píngfēn)∠ABC，BD=BF，則∠CDF的度數(shù)是（）A．10°B．15°C．20°D．25°4.如圖,△ABC和△ADE都是等邊三角形，已知△ABC的周長(zhǎng)(zhōuchánɡ)為18cm,EC=2cm,則△ADE的周長(zhǎng)是

cm.ACBDE12B第二十五頁(yè)，共三十三頁(yè)。5.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB為邊在△ABC外作等邊△ABD，E是AB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)(yáncháng)交AD于F．求證：△AEF≌△BEC．證明(zhèngmíng)：∵△ABD是等邊三角形，∴∠DAB=60°，∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠EBC=180°-90°-30°=60°，∴∠FAE=∠EBC．∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE=BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC（ASA）．第二十六頁(yè)，共三十三頁(yè)。6.如圖，A、O、D三點(diǎn)(sāndiǎn)共線(xiàn)，△OAB和△OCD是兩個(gè)全等的等邊三角形，求∠AEB的大小.CBODAE解：∵△OAB和△OCD是兩個(gè)(liǎnɡɡè)全等的等邊三角形.∴AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=60°.∵A、O、D三點(diǎn)(sāndiǎn)共線(xiàn)，∴∠DOB=∠COA=120°，∴△COA≌△DOB(SAS).∴∠DBO=∠CAO.設(shè)OB與EA相交于點(diǎn)F,∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.F第二十七頁(yè)，共三十三頁(yè)。7.圖①、圖②中，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，△ACM與△CBN都是等邊三角形．(1)如圖①，線(xiàn)段AN與線(xiàn)段BM是否(shìfǒu)相等？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖②，AN與MC交于點(diǎn)E，BM與CN交于點(diǎn)F，探究△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．拓展(tuòzhǎn)提升：圖①圖②第二十八頁(yè)，共三十三頁(yè)。解：(1)AN＝BM.理由(lǐyóu)：∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，∴AC＝MC，CN＝CB