圓錐曲線經(jīng)典難題之一類定點(diǎn)、定值問題的通性通法研究（學(xué)生版）

圓錐曲線經(jīng)典難題之一類定點(diǎn)、定值問題的通性通法研究

L直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用中的直線過定點(diǎn)問題的求解,求解此類問題的基本思路如下：

①假設(shè)直線方程,與拋物線方程聯(lián)立,整理為關(guān)于/或？/的一元二次方程的形式；

②利用A>()求得變量的取值范圍,得到韋達(dá)定理的形式；

③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系,代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系,從而化簡直線

方程；

④根據(jù)直線過定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.

2.定比點(diǎn)差法

3.非對稱韋達(dá)與對稱韋達(dá)

4.先猜后證

5.硬解坐標(biāo)

限型;例:怎

92

例L(2023-江西?州?一模)已知橢圓G：?+l(ɑ>6>C))的左、右焦點(diǎn)分別為耳，孔,點(diǎn)尸在橢

aO

圓。上,滿足!PFI∣+IP理=4,且APRE面積的最大值為2.

(1)求橢圓。的方程；

⑵點(diǎn)點(diǎn)4B在橢圓C上,點(diǎn)N在直線2：/—2y+4=0,滿足就=夜行,麗=”麗，

試問久+〃是否為定值？若是,求出該定值,若不是,請說明理由.

92,2

例2.(2023?河北邯鄲?高三統(tǒng)考期末)已知橢圓Cι?+?=l(α>6>0)的焦距為2且過點(diǎn)

Q-b~

ME號.

(1)求橢圓。的方程；

(2)過點(diǎn)T(8,0)作直線Z與橢圓。交于不同的兩點(diǎn)√1,B,點(diǎn)B關(guān)于工軸的對稱點(diǎn)為。,問直線4。是

否過定點(diǎn)？若是,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請說明理由.

'17/2

例3.(2023?全國?高三專題練習(xí))己知雙曲線￡：方一方=l(α>0,6>0)的離心率為2,左、右焦點(diǎn)分

別為Rι(-c,O),居(c,0),點(diǎn)4跖%)為雙曲線E右支上異于其頂點(diǎn)的動點(diǎn),過點(diǎn)曲作圓。：X2+v2=

2

C?的一條切線41/,切點(diǎn)為且IAM9+3=4/-α2.

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)直線AE與雙曲線左支交于點(diǎn)8,雙曲線的右頂點(diǎn)為。(α,0),直線AD,BO分別與圓。相交,

交點(diǎn)分別為異于點(diǎn)D的點(diǎn)P,Q.判斷弦PQ是否過定點(diǎn),如果過定點(diǎn),求出定點(diǎn),如果不過定點(diǎn),說

明理由.、，

例4.(2023?山西?統(tǒng)考?一模)雙曲線C?-?=l(a>0,6>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4，B,焦點(diǎn)到漸

α"b"

近線的距離為√5,且過點(diǎn)(4,3).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若直線I與雙曲線。交于M,N兩點(diǎn),且七M(jìn)=-2∕?v,證明直線I過定點(diǎn).

7.2

例5.(2023?天津?yàn)I海斯?高三大港一中?？茧A段練習(xí))已知橢圓C號+￡1=I(α>b>0)的左、右頂

點(diǎn)分別為AB,右焦點(diǎn)為八且|而|=3,以R為圓心，Ob為半徑的圓口經(jīng)過點(diǎn)B.

(1)求C的方程;

(2)過點(diǎn)工且斜率為fc(fc≠0)的直線/交橢圓C于P,

(i)設(shè)點(diǎn)P在第一象限,且直線/與y=-:C交于H.若=岑ZsinNZMO,求k的值；

(ii)連接尸R交圓R于點(diǎn)T,射線AP上存在一點(diǎn)Q,且行?酉為定值，已知點(diǎn)Q在定直線上,求

Q所在定直線方程.

例6.(2023?遼寧?遼寧實(shí)酷中學(xué)?？寄M覆測)已知橢圓C?+?=l(α>6>0),左頂點(diǎn)為4上頂

a~Ir

點(diǎn)為B,且IABl=√7,過右焦點(diǎn)R作直線Z,當(dāng)直線I過點(diǎn)B時(shí),斜率為一瓜.

(1)求C的方程；

(2)若2交C于P,Q兩點(diǎn),在，上存在一點(diǎn)且◎而=不,則在平面內(nèi)是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使得點(diǎn)

M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值？若存在,求出這兩個(gè)定點(diǎn)及定值;若不存在,請說明理由.

20/2I

例7.(2023?河南鄭州?高三校聯(lián)考期末)已知橢圓C：j+?=l(α>b>O)的離心率為:,過右焦點(diǎn)

且與.T軸垂直的直線I與橢圓。交于M,N兩點(diǎn),且?MN?=3√2.

(1)求橢圓。的方程.

(2)若過點(diǎn)(0,√2)的直線1,與橢圓。交于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(如3淄),且QAJ_Z軸,探究：

直線PR是否過定點(diǎn)？若是,請求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請說明理由.

?)-.2

例8.(2023?全國?模板演測)已知雙曲線。：考一譽(yù)=1缶>0,6>0)的一條漸近線方程為2—2夕=0,

一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為1.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若雙曲線C的右頂點(diǎn)為力,直線/：9=紅+山與雙曲線C相交于M,N兩點(diǎn)(M,N不是左右頂點(diǎn)

),且才正?由?=0.求證:直線，過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

1.(2023-云南昆明?電明一中?？寄M)1測)已知一動點(diǎn)C與定點(diǎn)尸(1,0)的距離與C到定直線，：X=

4的距離之比為常數(shù)

(1)求動點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)過點(diǎn)口做一條不垂直于"軸的直線，與動點(diǎn)C的軌跡交于“，N兩點(diǎn),在直線I上有一點(diǎn)P(4,t),

記直線PM,PF,PN的斜率分別為自，電，口,證明：綽叢為定值.

22

2.(2023?江移南京?高三南京彈范大學(xué)附舄中學(xué)江寧分校校聯(lián)考?期末)已知圓F1：x+y+2x-15=0

和定點(diǎn)4(1,0)/是圓E上任意一點(diǎn)，線段PFi的垂直平分線交PK于點(diǎn)設(shè)動點(diǎn)M的軌跡為曲

線E.

(1)求曲線E的方程；

⑵設(shè)4—2,0),3(2,0),過用的直線/交曲線E于??,N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在.T軸上方),設(shè)直線與0V

的斜率分別為M%，求證：粵為定值.

K?)

3.(2023春?廣東汕頭?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)設(shè)橢圓+∣r=l(α>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4

,8,上頂點(diǎn)為。,點(diǎn)P是橢圓上異于頂點(diǎn)的動點(diǎn)，已知橢圓的右焦點(diǎn)為F(一,0),且經(jīng)過點(diǎn)(√^,?∣)

(1)求橢圓。的方程；

(2)若直線AD與直線BP交于點(diǎn)M,直線DP與Z軸交于點(diǎn)N,求證:直線MN恒過某定點(diǎn),并求出

該定點(diǎn).

4.(2023春?湖南長沙?高三雅禮中學(xué)?？汲窬毩?xí))如圖,橢圓G%+方=l(α>b>0)和圓G：爐

+/=/,已知圓&將橢圓C?的長軸三等分,橢圓G右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為3-2√Σ橢圓C1的

下頂點(diǎn)為E,過坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線/與圓G相交于點(diǎn)A,B.

(1)求橢圓G的方程；

(2)若直線EAEB分別與橢圓G相交于另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P,Λ∕?求證:直線PM經(jīng)過定點(diǎn).

22

5.(2023.黑龍江哈爾濱?方三哈彈大附中?？计谀?已知4,B分別為雙曲線E號一3=l(α,6>0)

的左、右頂點(diǎn)，M為雙曲線E上異于4B的任意一點(diǎn),直線M4、MB斜率乘積為年,焦距為2√7?

(1)求雙曲線E的方程；

(2)P為直線工=4上的動點(diǎn),若直線凡4與E的另一交點(diǎn)為。,直線PB與E的另一交點(diǎn)為。.證

明：直線CD過定點(diǎn).

'2?2

6.(20234μ??*iMR∪M^yMri?)^^∕E^+nS=l(α>b>0)的右焦點(diǎn)為R,PQ分

別為右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，與+f=3e(e為橢圓的離心率)，AOPQ的面積為

?OF??OP?

√3.

(1)求E的方程；

(2)設(shè)四邊形A4C。是橢圓E的內(nèi)接四邊形,直線46與CD的傾斜角互補(bǔ),且交于點(diǎn)(3,0),求證：

直線AC與交于定點(diǎn).

7/2

7.(2023-江蘇揚(yáng)州?商三校聯(lián)考期末)設(shè)橢圓E：葭r+}=1(α>b>0)的左焦點(diǎn)為F,(-√3.0),右頂

點(diǎn)為4(2,0).

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點(diǎn)T(LO)作兩條斜率分別為用，燈的動直線ZiM分別交橢圓于點(diǎn)4、B、C、D,點(diǎn)、M、N分別

為線段43、CD中點(diǎn),若(版+1)(總+1)=2,試判斷直線MN是否經(jīng)過定點(diǎn),并說明理由.

8.(2023春?江西?高三校底考階段練習(xí))已知橢圓E：,=Ka>°，0>°)，離心率e=哈尸為

橢圓上一點(diǎn)，E,用分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),若ΔPF,K的周長為4√J+24,

(1)求橢圓E的方程；

(2)若P(2,1),M,N為橢圓上不同的兩點(diǎn),且心”?∕?w=-J,證明橢圓上存在定點(diǎn)Q使得四邊形

PMQN為平行四邊形.

9.(2023?貴州?!仁?高三統(tǒng)考期末)平面內(nèi)定點(diǎn)R(l,0),定直線Lrc=4,P為平面內(nèi)一動點(diǎn),作PQ_L

N，垂足為Q,且I閑∣=2∣聲司.

(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)過點(diǎn)F與坐標(biāo)軸不垂直的直線交動點(diǎn)P的軌跡于A,B兩點(diǎn),線段的垂直平分線交X軸于點(diǎn)

R，試判斷IFS是否為定值.

,2z/2

10.(2023春?江蘇常州?高三校聯(lián)考?開學(xué)考試)已知點(diǎn)P(2,T)在橢圓Cz：y%+方=l(α>b>0)上,

C的長軸長為4√2,直線l??y=kx+m與C交于A5兩點(diǎn),直線PA,PB的斜率之積為?.

4

(I)求證：a為定值；

(2)若直線I與X軸交于點(diǎn)Q,求|Q4『+|Q3『的值.

11.(2023-全國■i∣5三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xθy中，已知點(diǎn)Fl(-√l7,0),R2(√I7,O),點(diǎn)Al滿足

IMKl—IMHi=2,記M的軌跡為C.

(1)求。的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)T在直線X=3上,過T的兩條直線分別交。于兩點(diǎn)和P,PQ兩點(diǎn),且∣TA∣??TB?=

ITPHTQI，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和,并求出該定值.

2社2

12.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知雙曲線C：方一方=l(α>0,6>0)的右焦點(diǎn)為(√7,0),漸近線方

程為：(/=+~y-x.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)。為雙曲線。的右頂點(diǎn),直線2與雙曲線。交于不同于。的E,R兩點(diǎn),若以M為直徑的圓經(jīng)

過點(diǎn)。,且DGLEE于點(diǎn)G,證明：存在定點(diǎn)”,使IG卻為定值.

22

13.(2023春?湖南長沙?商三長碑中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知雙曲線C--^=l(a>O,h>O)的右焦

a~b~

點(diǎn)為雙曲線C上一點(diǎn)P(3,l)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為。,滿足而?閑=6.

(1)求C的方程；

(2)直線I與坐標(biāo)軸不垂直,且不過點(diǎn)P及點(diǎn)Q,設(shè)1.與。交于A、B兩點(diǎn)、,點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為

D,若凡4，PD,證明：直線Z的斜率為定值.

99.2

14.(2023?山西長治?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知雙曲線C：%-S=l(a>0,b>0),其右焦點(diǎn)為F,焦

距為4,直線/過點(diǎn)且當(dāng)直線，的傾斜角為要時(shí)”,恰好與雙曲線。有一個(gè)交點(diǎn).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線2交雙曲線C于AB兩點(diǎn),交y軸于河點(diǎn),且滿足以=ZhzM加=辦前(A,小eR),判

斷九+4是否為常數(shù),并給出理由.

15.(2023卷?廣東廣州?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為E(2,0),直線U=/

-1與其相交于A,B兩點(diǎn),若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為—g.

(1)求雙曲線的方程；

(2)設(shè)4,4為雙曲線實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn),若過F的直線I與雙曲線C交于M,N兩點(diǎn),試探究直線

AM與直線4N的交點(diǎn)Q是否在某條定直線上？若在,請求出該定直線方程;如不在,請說明理由.

16.(2023?淅江?南三校聯(lián)考期末)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為斜率為fc(fe≠0)的直線

過點(diǎn)。(一亨,0),交0于48兩點(diǎn),且當(dāng)k=十時(shí)，|”?|=16.

(1)求。的方程；

(2)設(shè)C在A,B處的切線交于點(diǎn)Q,證明22=??g1.

IB尸I\BQ\-

17(2023-立慶?高三統(tǒng)考?學(xué)業(yè)考試)已知拋物線C：y2=2pχ(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線I交拋物

線。于M,N兩點(diǎn),交”軸于P點(diǎn)，點(diǎn)N位于點(diǎn)M和點(diǎn)P之間.

(1)若赤=2前,求直線/的斜率；

⑵若聞？=篇存,兩=〃而,證明：/!+〃為定值.

18.(2023?江群南通?揖三統(tǒng)考期末)已知拋物線C?.yz=2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)(1,2).

(1)求拋物線C的方程；

(2)動直線I與拋物線。交于不同的兩點(diǎn)A,B,P是拋物線上異于4B的一點(diǎn),記PA,PB的斜率

分別為3，上，1