第九章信號分析與處理

第七章離散系統(tǒng)的時域分析離散信號及特性離散系統(tǒng)的描述及模擬差分方程的經(jīng)典解單位函數(shù)響應(yīng)卷積和1第七章第1講離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)的比較2第七章第1講§7.1離散信號及其時域特性離散信號的定義離散時間信號可以從兩個方面來定義：僅在一些離散時刻k(k=0,±1,±2,…)上才有定義(確定的函數(shù)值)的信號稱為離散時間信號，簡稱離散信號，用f(k)表示。連續(xù)時間信號經(jīng)過抽樣（即離散化）后所得到的抽樣信號通常也稱為離散信號，用f(kT)表示，T為抽樣周期。f(kT)一般簡寫為f(k)。3第七章第1講基本離散信號復(fù)指數(shù)信號：f

(k)=Ca

ka=|a|ej

,C=|C|

均為復(fù)數(shù)C和a為實(shí)數(shù)(實(shí)指數(shù)序列)|a|>1,指數(shù)上升曲線a

為負(fù),

f

(k)的值符號交替變化。

|a|<1,指數(shù)衰減曲線a

為正,

f

(k)的值均為正4第七章第1講正弦序列和指數(shù)正弦序列正弦序列：f

(k)=Ca

ka=,C=A

均為復(fù)數(shù)為正弦序列按指數(shù)變化的正弦序列：f

(k)=Ca

ka=|a|,C=A

|a|=1,實(shí)部和虛部都是正弦序列；|a|<1,實(shí)部和虛部都是指數(shù)衰減的正弦序列；|a|>1,實(shí)部和虛部都是指數(shù)增長的正弦序列；5第七章第1講數(shù)字角頻率和模擬角頻率的關(guān)系數(shù)字角頻率0與模擬角頻率0的關(guān)系由于離散信號定義的時間為kT，顯然有：

0=0T模擬角頻率

0的單位是rad/s，而數(shù)字角頻率

0的單位為rad。

0表示相鄰兩個樣值間弧度的變化量。

0表示1秒內(nèi)變化了50個2rad

0表示兩個離散值之間的弧度變化量6第七章第1講正弦序列的周期周期序列的定義：f

(k+N)=f

(k)

式中：N為序列的周期，只能為任意整數(shù)。周期N的計算方法：與模擬正弦信號不同，離散正弦序列是否為周期函數(shù)取決于比值2/

0是正整數(shù)、有理數(shù)還是無理數(shù)。

是正整數(shù)時，則周期為N。因?yàn)椋?/p>

是有理數(shù)時，則周期為

為無理數(shù)時，正弦序列就不再是周期序列。但包絡(luò)線仍是正弦函數(shù)。7第七章第1講單位階躍序列定義延遲的階躍序列門函數(shù)8第七章第1講單位(沖激)函數(shù)定義延遲的(k)門函數(shù)9第七章第1講單位(沖激)函數(shù)的主要性質(zhì)篩選特性：加權(quán)特性：(k)與(k)的關(guān)系：因此，可以將任意離散信號表示為一系列延時單位函數(shù)的加權(quán)和，即將左式用n=k-i代換變量：即

i=k-n可得出求和上下限10第七章第1講離散信號的運(yùn)算序列的相加：f

(k)=f1(k)+f2(k)序列的相乘：

f

(k)=f1(k)

·f2(k)序列的折疊、尺度變換與位移：與連續(xù)信號相同序列的差分：與連續(xù)信號中的微分對應(yīng)的運(yùn)算

一階前向差分

f

(k)=f

(k+1)-

f

(k)二階前向差分

2f

(k)=[

f

(k)]=

f

(k+1)-

f

(k)

=f

(k+2)-2f

(k+1)+f

(k)一階后向差分

f

(k)=f

(k)-

f

(k-1)二階后向差分

2f

(k)=[f

(k)]=

f

(k)-

f

(k-1)

=f

(k)-2f

(k-1)+f

(k-2)11第七章第1講離散信號的運(yùn)算序列的求和(累加)：與連續(xù)信號中的積分對應(yīng)的運(yùn)算典型的累加和：有限等比序列求和公式：無窮收斂等比序列求和公式：其中：a1首項(xiàng)，an末項(xiàng)，q等比12第七章第1講例1下述四個等式中，正確的是______。D13第七章第1講例2信號f

(-k-

i)表示為_______。(i

0)D(A)信號f

(k)的右移序i(B)信號f

(k)的左移序i(C)信號f

(k)折疊再右移序i(D)信號f

(k)折疊再左移序i14第七章第1講例3離散時間序列是____(A.周期信號；B.非周期信號)。若是周期信號，則周期N＝______。如果包含有n個不同頻率正弦分量的復(fù)合信號是一個周期為N的周期信號，則其周期N必為各分量信號周期Ni的整倍數(shù)。如有2個分量，即N=m1N1=m2N2,mi為正整數(shù).則周期為：對本題：則周期為：A3015第七章第1講例4離散時間序列是____(A.周期信號；B.非周期信號)。若是周期信號，則周期N＝______。Bm1=3,m2=6

?？梢姴皇钦麛?shù)。故此信號是非周期信號。16第七章第1講例5已知離散信號f

(k)=(k+2)[(k+2)-(k-3)],求:

f

(k+1)+f

(-k+1)=？f

(k+1)+f

(-k+1)=

(k+2)+6

(k+1)+6

(k)+6

(k-1)+

(k-2)17第七章第1講例6序列y(k)=k2-2k+3,則二階前向差分

2y(k)=

______。二階前向差分

2y

(k)=[

y(k)]=

y

(k+1)-

y

(k)

=y

(k+2)-2y

(k+1)+y

(k)

=(k+2)2-2(k+2)+3-2[(k+1)2-2(k+1)+3]+k2-2k+3

=

k2+4k+4-2k-

4+3-2k2-

4k-2+4k+4-6+k2-2k+3=2218第七章第1講例7已知離散信號f

(k)=(k+2)[(k+2)-(k-4)],試畫出f

(k)，

f

(k-3)，f

(-k)，

f

(-k-3)的圖形。19第七章第1講§7.2取樣信號與取樣定理現(xiàn)實(shí)中存在的大多都是連續(xù)信號(如速度、溫度、壓力等)，而計算機(jī)處理的則是離散信號。對連續(xù)信號進(jìn)行取樣就可得到離散信號。在什么條件下取樣信號能夠保留原連續(xù)信號中的信息量而不受損失。這由取樣定理來保證。20第七章第1講意義電影是連續(xù)畫面的抽樣：電影是由一組按時序的單個畫面所組成，其中每一幅畫面代表著連續(xù)變化景象的一個瞬時畫面（時間樣本），當(dāng)以足夠快的速度來看這些時序樣本時，就會感覺到是原來連續(xù)活動景象的重現(xiàn)。印刷照片是連續(xù)圖象的采樣：

印刷照片是由很多很細(xì)小的網(wǎng)點(diǎn)所組成，其中每一點(diǎn)就是一連續(xù)圖象的采樣點(diǎn)（位置樣本），當(dāng)這些采樣點(diǎn)足夠近的話，這幅印刷照片看起來就是連續(xù)的。信號的抽樣21第七章第1講信號的抽樣抽樣信號抽樣器抽樣模型22第七章第1講沖激串抽樣

=當(dāng)時*=當(dāng)時從頻譜圖可以看出：要使各頻移不重疊，抽樣頻率

s2m，

m為f(t)的頻譜F(j)的最高頻率。否則，

s<2m

，抽樣信號的頻譜會出現(xiàn)混疊。根據(jù)頻域卷積定理：23第七章第1講矩形脈沖串抽樣

=*=當(dāng)時根據(jù)頻域卷積定理：從頻譜圖可以看出：要使各頻移不重疊，抽樣頻率

s2m，

m為f(t)的頻譜F(j)的最高頻率。否則，

s<2m

，抽樣信號的頻譜會出現(xiàn)混疊。24第七章第1講抽樣定理的解釋25第七章第1講時域抽樣定理為了能從抽樣信號f

s(t)中恢復(fù)原信號f

(t)，必須滿足兩個條件：被抽樣的信號f

(t)必須是有限頻帶信號，其頻譜在|

|>

m時為零。抽樣頻率

s2

m或抽樣間隔

。其最低允許抽樣頻率

f

N=2f

m或

N=2

m稱為奈奎斯特頻率，其最大允許抽樣間隔稱為奈奎斯特抽樣間隔。這個定理亦稱為香農(nóng)抽樣定理。26第七章第1講例1若電視信號占有的頻帶為０～６ＭＨz，電視臺每秒發(fā)送25幅圖像，每幅圖象又分為625條水平掃描線，則每條水平線至少要有______個抽樣點(diǎn)。(Ａ)625(Ｂ)768(Ｃ)1250(Ｄ)15625B27第七章第1講例2對帶寬為20kHz的信號f

(t)進(jìn)行抽樣，其奈奎斯特間隔Ts=______

s；信號f

(2t)的帶寬為_______kHz，其奈奎斯特頻率f

s=______kHz。對f

(t)：f

m=20kHz,f

s=2f

m=40kHz,對f

(2t)：f

m=2

20=40kHz,f

s=2f

m=80kHz,25408028第七章第1講例3信號

頻譜所占帶寬(包括負(fù)頻率)為______1/s，若將它進(jìn)行沖激抽樣，為使抽樣信號頻譜不產(chǎn)生混疊，最低抽樣頻率fs=______Hz，奈奎斯特間隔Ts=______s。200100/

/100根據(jù)對稱性：令=200有：29第七章第1講例4H1(j)H2(j)如圖所示信號處理系統(tǒng)。(1)畫出信號f(t)的頻譜圖；(2)欲使信號f

s(t)中包含信號f(t)中的全部信息，則

T(t)的最大抽樣間隔(即奈奎斯特間隔)TN應(yīng)為多少？30第七章第1講例4H1(j)H2(j)(3)分別畫出在奈奎斯特角頻率

N及2

N時的fs(t)的頻譜圖；當(dāng)

N=2m時當(dāng)2

N=4m時31第七章第1講理想低通濾波器頻譜例4H1(j)H2(j)如圖所示信號處理系統(tǒng)。(4)在2

N的抽樣頻率時，欲使響應(yīng)信號y(t)=

f(t)，則理想低通濾波器H2(j

)截止頻率

c的最小值應(yīng)為多大？從頻譜圖可看出：32第七章第1講例5對周期信號f(t)＝5cos(1000

t)[cos(2000

t)]2每秒抽樣4500次，使抽樣信號通過截止頻率為2600Hz的理想低通濾波器。假定濾波器在通帶內(nèi)有零相移和單位增益，試求輸出信號？若要在輸出端得到重建的f(t)，問允許信號唯一重建的最小抽樣頻率是多少？解：周期信號表示式可展開為f(t)＝5cos(1000

t)?(1+cos4000

t)33第七章第1講4000

例5抽樣頻率fs=4500Hz,即：

s=2f

s

=9000

。抽樣信號的頻譜為：理想濾波器的截止頻率f

c

=2600Hz,即：

c=2f

c=5200

當(dāng)抽樣信號通過理想低通濾波器后,其輸出為：5200

信號f(t)的最高角頻率為：

m=5000,fm=2500Hz；所以使信號唯一重建的最小抽樣頻率為:下一節(jié)34第七章第1講§7.3離散系統(tǒng)的描述及模擬微分方程與差分方程的比較35第七章第1講差分方程的兩種形式n階前向差分方程式中，f

(k),y(k)分別為激勵與響應(yīng)。前向差分方程多用于狀態(tài)變量分析法。n階后向差分方程后向差分方程多用于因果系統(tǒng)與數(shù)字濾波器的分析。差分方程的重要特點(diǎn)是：系統(tǒng)當(dāng)前的輸出（即在k時刻的輸出）y(k)，不僅與激勵有關(guān)，而且與系統(tǒng)過去的輸出y(k-1),y(k-2),

y(k-n)有關(guān)，即系統(tǒng)具有記憶功能。36第七章第1講線性時不變離散系統(tǒng)的性質(zhì)齊次性：Af

(k)

Ay

(k)疊加性：

f1(k)+f2(k)

y1(k)+y2(k)線性性：

A1f1(k)+A2f2(k)

A1

y1(k)+A2y2(k)時不變性(延遲性或移序不變性)：

f

(k-k0)

y

(k-k0)差分性：

f

(k)

y

(k)累加和性：37第七章第1講線性時不變離散系統(tǒng)由線性常系數(shù)差分方程描述的線性時不變（LTI）系統(tǒng)為所有的項(xiàng)都包括了y(k)或f(k)。所有的系數(shù)都是常數(shù)（而不是y(k)、f(k)或k的函數(shù)）。下列因素導(dǎo)致系統(tǒng)差分方程是非線性或時變的：若有任何一項(xiàng)是常數(shù)或是y(k)或f(k)的非線性函數(shù)，則它是非線性的。若y(k)或f(k)中的任何一項(xiàng)的系數(shù)是k的顯時函數(shù)，則它是時變的。38第七章第1講離散系統(tǒng)的性質(zhì)若當(dāng)k<0時激勵f

(k)=0，則當(dāng)k<0時響應(yīng)y(k)=0

。因果性也就是說，如果響應(yīng)y(k)并不依賴于將來的激勵[如f

(k+1)]，那么系統(tǒng)就是因果的。造成系統(tǒng)差分方程為非因果的因素：若最小延遲輸出項(xiàng)是y(k)且有一輸入項(xiàng)為