高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（人教A版2019必修一）專題3.7函數(shù)的應(yīng)用（一）-重難點(diǎn)題型精講（學(xué)生版）

專題3.7函數(shù)的應(yīng)用（一）重難點(diǎn)題型精講1．實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)建模的基本步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.

(3)求解：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征正確求得函數(shù)模型的解.

(4)還原：應(yīng)用問(wèn)題不是單純的數(shù)學(xué)問(wèn)題，既要符合數(shù)學(xué)學(xué)科背景又要符合實(shí)際背景，因此解出的結(jié)果要代入原問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)判，最后得出結(jié)論，作出回答.2．一次函數(shù)模型的應(yīng)用一次函數(shù)模型：f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)，k≠0).

一次函數(shù)是常見(jiàn)的一種函數(shù)模型，在初中就已接觸過(guò).3．二次函數(shù)模型的應(yīng)用二次函數(shù)模型：f(x)=+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0).

二次函數(shù)為生活中常見(jiàn)的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等最值問(wèn)題常用到二次函數(shù)模型.4．冪函數(shù)模型的應(yīng)用冪函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略

(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式.

(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.5．分段函數(shù)模型的應(yīng)用由于分段函數(shù)在不同區(qū)間上具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化前后的實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用.6．“對(duì)勾”函數(shù)模型的應(yīng)用對(duì)勾函數(shù)模型是常考的模型，要牢記此類函數(shù)的性質(zhì)，尤其是單調(diào)性：y=ax+(a>0,b>0)，當(dāng)x>0時(shí)，在(0,]上遞減，在(,+)上遞增.另外，還要注意換元法的運(yùn)用.【題型1一次函數(shù)模型的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】在應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)及圖象解題時(shí)，應(yīng)注意一次函數(shù)有單調(diào)遞增（一次項(xiàng)系數(shù)為正）和單調(diào)遞減（一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)）兩種情況.【例1】（2021秋?通州區(qū)期中）南通至通州的某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（收支差額＝車票收入一支出費(fèi)用）．由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）不改變車票價(jià)格，減少支出費(fèi)用；建議（Ⅱ）不改變支出費(fèi)用，提高車票價(jià)格．下面給出的四個(gè)圖形中，實(shí)線虛線分別表示目前和建議后的函數(shù)關(guān)系，則（）A．①反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ） B．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ） C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ） D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）【變式11】（2022?曲靖模擬）某大型家電商場(chǎng)，在一周內(nèi)，計(jì)劃銷售A、B兩種電器，已知這兩種電器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)都是1萬(wàn)元，若廠家規(guī)定，一家商場(chǎng)進(jìn)貨B的臺(tái)數(shù)不高于A的臺(tái)數(shù)的2倍，且進(jìn)貨B至少2臺(tái)，而銷售A、B的售價(jià)分別為12000元/臺(tái)和12500元/臺(tái)，若該家電商場(chǎng)每周可以用來(lái)進(jìn)貨A、B的總資金為6萬(wàn)元，所進(jìn)電器都能銷售出去，則該商場(chǎng)在一個(gè)周內(nèi)銷售A、B電器的總利潤(rùn)（利潤(rùn)＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）的最大值為（）A．1.2萬(wàn)元 B．2.8萬(wàn)元 C．1.6萬(wàn)元 D．1.4萬(wàn)元【變式12】某廠日生產(chǎn)文具盒的總成本y（元）與日產(chǎn)量x（套）之間的關(guān)系為y＝6x+30000．而出廠價(jià)格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產(chǎn)文具盒（）A．2000套 B．3000套 C．4000套 D．5000套【變式13】（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）某醫(yī)院工作人員所需某種型號(hào)的口罩可以外購(gòu)，也可以自己生產(chǎn)，其中外購(gòu)的單價(jià)是每個(gè)1.2元，若自己生產(chǎn)，則每月需投資固定成本2000元，并且每生產(chǎn)一個(gè)口罩還需要材料費(fèi)和勞務(wù)費(fèi)共0.8元，設(shè)該醫(yī)院每月所需口罩n（n∈N*）個(gè)，則自己生產(chǎn)口罩比外購(gòu)口罩較合算的充要條件是（）A．n＞800 B．n＞5000 C．n＜800 D．n＜5000【題型2二次函數(shù)模型的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】在應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，不能簡(jiǎn)單套用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不一定是實(shí)際問(wèn)題的最值，一定要注意自變量的取值范圍，特別注意隱含條件，如：月份、天、周、商品件數(shù)等應(yīng)為正整數(shù).【例2】（2021秋?新鄉(xiāng)期末）某燈具商店銷售一種節(jié)能燈，每件進(jìn)價(jià)10元，每月銷售量y（單位：件）與銷售價(jià)格x（單位：元）之間滿足如下關(guān)系式：y＝﹣10x+500（20＜x≤40且x∈N）．則燈具商店每月的最大利潤(rùn)為（）A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元【變式21】（2021秋?浙江期末）某公司在甲、乙兩地銷售同一種產(chǎn)品，利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）分別為L(zhǎng)1＝0.506x﹣0.0015x2，L2＝0.2x，其中x（單位：件）為在當(dāng)?shù)氐匿N量．若該公司在甲、乙兩地共銷售該產(chǎn)品150件，則公司能獲得的最大利潤(rùn)為（）A．45.606萬(wàn)元 B．45.6萬(wàn)元 C．45.56萬(wàn)元 D．45.51萬(wàn)元【變式22】（2021秋?南昌期末）一般來(lái)說(shuō)，產(chǎn)品進(jìn)入市場(chǎng)，價(jià)格越高，銷量越?。抽T店對(duì)其銷售產(chǎn)品定價(jià)為p元/件，日銷售量為q件，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)可近似認(rèn)為p，q滿足關(guān)系q＝200﹣p（80≤p≤150），如當(dāng)定價(jià)p＝90元，毛收入為9900元．為了追求最大利潤(rùn)，不會(huì)無(wú)限提高售價(jià)，根據(jù)信息推測(cè)每天最少毛收入為（）A．7500元 B．9600元 C．9900元 D．10000元【變式23】（2021秋?廬江縣期中）某種商品進(jìn)價(jià)為4元/件，當(dāng)零售價(jià)為6元/件時(shí)，日均銷售100件，銷售數(shù)據(jù)表明，單個(gè)每增加1元，日均銷量減少10件．該商家銷售此商品每天固定成本為20元，若要利潤(rùn)最大，則該商品每件的價(jià)格應(yīng)該定為（）A．8元 B．9元 C．10元 D．11元【題型3冪函數(shù)模型的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式.(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.【例3】（2022?廣西模擬）異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動(dòng)物的新陳代謝率y與其體重x滿足y＝kxα，其中k和α為正常數(shù)，該類動(dòng)物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則α為（）A．14 B．12 C．23 【變式31】（2021秋?南充期末）今年中國(guó)“芯”掀起研究熱潮，某公司已成功研發(fā)A、B兩種芯片，研發(fā)芯片前期已經(jīng)耗費(fèi)資金2千萬(wàn)元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn)．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)A芯片的凈收入與投入的資金成正比，已知每投入1千萬(wàn)元，公司獲得凈收入0.25千萬(wàn)元：生產(chǎn)B芯片的凈收入y（千萬(wàn)元）是關(guān)于投入的資金x（千萬(wàn)元）的冪函數(shù)，其圖象如圖所示．（1）試分別求出生產(chǎn)A、B兩種芯片的凈收入y（千萬(wàn)元）與投入的資金x（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入4億元資金同時(shí)生產(chǎn)A、B兩種芯片．設(shè)投入x千萬(wàn)元生產(chǎn)B芯片，用f（x）表示公司所獲利潤(rùn)，求公司最大利潤(rùn)及此時(shí)生產(chǎn)B芯片投入的資金．（利潤(rùn)＝A芯片凈收入+B芯片凈收入﹣研發(fā)耗費(fèi)資金）【變式32】（2021秋?深圳期中）某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益f（x）與投資額x成正比，且投資1萬(wàn)元時(shí)的收益為18萬(wàn)元；投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益g（x）與投資額x的算術(shù)平方根成正比，且投資1萬(wàn)元時(shí)的收益為0.5（Ⅰ）分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系；（Ⅱ）該家庭現(xiàn)有20萬(wàn)元資金，全部用于理財(cái)投資，問(wèn)：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益為多少萬(wàn)元？【變式33】（2020秋?鄒城市期中）近年來(lái)，我國(guó)積極參與國(guó)際組織，承擔(dān)國(guó)際責(zé)任，為國(guó)家進(jìn)步、社會(huì)發(fā)展、個(gè)人成才帶來(lái)了更多機(jī)遇，因此，面臨職業(yè)選擇時(shí)，越來(lái)越多的青年人選擇通過(guò)創(chuàng)業(yè)、創(chuàng)新的方式實(shí)現(xiàn)人生價(jià)值．其中，某位大學(xué)生帶領(lǐng)其團(tuán)隊(duì)自主創(chuàng)業(yè)，通過(guò)直播帶貨的方式售賣特色農(nóng)產(chǎn)品，下面為三年來(lái)農(nóng)產(chǎn)品銷售量的統(tǒng)計(jì)表：年份201620172018銷售量/萬(wàn)斤415583結(jié)合國(guó)家支持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)政策和農(nóng)產(chǎn)品市場(chǎng)需求情況，該大學(xué)生提出了2019年銷售115萬(wàn)斤特色農(nóng)產(chǎn)品的目標(biāo)，經(jīng)過(guò)創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)所有隊(duì)員的共同努力，2019年實(shí)際銷售123萬(wàn)斤，超額完成預(yù)定目標(biāo)．（Ⅰ）將2016、2017、2018、2019年分別定義為第1年、第2年、第3年、第4年，現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)模型：二次函數(shù)模型為f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）；冪函數(shù)模型為g（x）＝kx3+mx+n（k≠0）．請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算分析確定：選用哪個(gè)函數(shù)模型能更好的反映該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)農(nóng)產(chǎn)品的年銷售量y與第x年的關(guān)系；（Ⅱ）依照目前的形勢(shì)分析，你能否預(yù)測(cè)出該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)在2020年度的農(nóng)產(chǎn)品銷售量嗎？【題型4分段函數(shù)模型的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】涉及分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化規(guī)律分別找出來(lái)，再合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值.【例4】（2022秋?平遙縣校級(jí)月考）某研究所開(kāi)發(fā)了一種抗病毒新藥，用小白鼠進(jìn)行抗病毒實(shí)驗(yàn)，已知小白鼠服用1粒藥后，每毫升血液含藥量y（微克）隨著時(shí)間x（小時(shí)）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=2?x8?x(0≤x≤6)（1）若小白鼠服用1粒藥，多長(zhǎng)時(shí)間后該藥能起到有效抗病毒的效果？（2）某次實(shí)驗(yàn)：先給小白鼠服用1粒藥，6小時(shí)后再服用1粒，請(qǐng)問(wèn)這次實(shí)驗(yàn)該藥能夠有效抗病毒的時(shí)間為多少小時(shí)？【變式41】（2022秋?襄都區(qū)校級(jí)月考）第四屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)于2021年11月5日至10日在上海舉行．本屆進(jìn)博會(huì)有4000多項(xiàng)新產(chǎn)品、新技術(shù)、新服務(wù)．某跨國(guó)公司帶來(lái)了高端空調(diào)模型參展，通過(guò)展會(huì)調(diào)研，中國(guó)甲企業(yè)計(jì)劃在2022年與該跨國(guó)公司合資生產(chǎn)此款空調(diào)．生產(chǎn)此款空調(diào)預(yù)計(jì)全年需投入固定成本260萬(wàn)元，生產(chǎn)x千臺(tái)空調(diào)，需另投入資金R萬(wàn)元，且R=10x2+ax，0≤x＜40901（1）求2022年該企業(yè)年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；（2）2022年產(chǎn)量為多少時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)為多少？注：利潤(rùn)＝銷售額﹣成本．【變式42】（2022?南京模擬）某電子廠生產(chǎn)某電子元件的固定成本是4萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件該電子元件，需另投入成本f（x）萬(wàn)元，且f(x)=14x（1）求該電子廠這種電子元件的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與生產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該電子廠這種電子元件利潤(rùn)的最大值．【變式43】（2021秋?武城縣校級(jí)月考）2020年初新冠肺炎襲擊全球，嚴(yán)重影響人民生產(chǎn)生活．為應(yīng)對(duì)疫情，某廠家擬加大生產(chǎn)力度．已知該廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為200萬(wàn)元，每年生產(chǎn)x千件，需另投入成本C（x）．當(dāng)年產(chǎn)量不足50千件時(shí)，C(x)=12x2+20x（萬(wàn)元）；年產(chǎn)量不小于50（1）寫出年利潤(rùn)L（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【題型5“對(duì)勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，構(gòu)建“對(duì)勾函數(shù)”模型，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式進(jìn)行解題，注意取值要滿足實(shí)際情況.【例5】（2022秋?太原月考）物聯(lián)網(wǎng)（InternetofThings，縮寫：IOT）是基于互聯(lián)網(wǎng)、傳統(tǒng)電信網(wǎng)等信息承載體，讓所有能行使獨(dú)立功能的普通物體實(shí)現(xiàn)互聯(lián)互通的網(wǎng)絡(luò)．其應(yīng)用領(lǐng)域主要包括運(yùn)輸和物流、工業(yè)制造、健康醫(yī)療、智能環(huán)境（家庭、辦公、工廠）等，具有十分廣闊的市場(chǎng)前景．現(xiàn)有一家物流公司計(jì)劃租地建造倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存貨物，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息：倉(cāng)庫(kù)每月土地占地費(fèi)y1（單位：萬(wàn)元），倉(cāng)庫(kù)到車站的距離x（單位：千米，x＞0），其中y1與x+1成反比，每月庫(kù)存貨物費(fèi)y2（單位：萬(wàn)元）與x成正比；若在距離車站9千米處建倉(cāng)庫(kù)，則y1和y2分別為2萬(wàn)元和7.2萬(wàn)元．（1）求出y1與y2的解析式；（2）這家公司應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小？最小費(fèi)用是多少？【變式51】（2022?二七區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）鄭州市某地鐵項(xiàng)目正在緊張建設(shè)中，通車后將給更多市民出行帶來(lái)便利，已知該線路通車后，地鐵的發(fā)車時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿足2≤t≤20，t∈N*，經(jīng)測(cè)算，在某一時(shí)段，地鐵載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)10≤t≤20時(shí)地鐵可達(dá)到滿載狀態(tài)，載客量為1200人，當(dāng)2≤t＜10時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與（10﹣t）的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)載客量為560人，記地鐵載客量為p（t）．（1）求p（t）的解析式；（2）若該時(shí)段這條線路每分鐘的凈收益為Q=6p(t)?3360t【變式52】（2022春?愛(ài)民區(qū)校級(jí)期末）已知快遞公司要從A地往B地送貨，A，B兩地的距離為100km，按交通法規(guī)，A，B兩地之間的公路車速x應(yīng)限制在60～120km/h（含端點(diǎn)），假設(shè)汽車的油耗為（42+7x2400）元/時(shí)，司機(jī)的工資為（1）試建立行車總費(fèi)用y元關(guān)于車速x的函數(shù)關(guān)系；（2）若不考慮其他費(fèi)用，以多少車速行駛，快遞公司所要支付的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用為多少？【變式53】（2022?浙江開(kāi)學(xué)）某地中學(xué)生社會(huì)實(shí)踐小組為研究學(xué)校附近某路段的交通擁堵情況，經(jīng)實(shí)地調(diào)查、數(shù)學(xué)建模，得該路段上的平均行車速度v（單位：km/h）與該路段上的行車數(shù)量n（單位：輛）的關(guān)系為：v=600n+10，n≤933000n2+k，n≥10，n∈N?其中常數(shù)k∈R．該路段上每日t時(shí)的行車數(shù)量n＝﹣2（|t已知某日17時(shí)測(cè)得的平均行車速度為3km/h．（注：3.16＜（Ⅰ）求實(shí)數(shù)k的值；（Ⅱ）定義車流量q＝nv（單位：輛?km/h），求一天內(nèi)車流量q的最大值（結(jié)果保留整數(shù)部分）．【題型6函數(shù)模型的綜合應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】(1)求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)①認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；②根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).(2)利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn).【例6】（2022秋?余姚市校級(jí)月考）經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在某地交通繁忙時(shí)段內(nèi)，公路汽車的車流量y（單位：千輛/h）與汽車的平均速度v（單位：km/h）之間的函數(shù)關(guān)系為y=910vv2+11v+1600（（1）若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)9.1千輛/h，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？（2）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)，車流量最大？最大的車流量為多少？【變式61