河南省三門峽市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次大練習(xí)（期末）數(shù)學(xué)（理科）試題

2022—2023學(xué)年度上學(xué)期高三第一次大練習(xí)數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將集合中的式子都通分成分母為6的式子，然后可判斷出答案．【詳解】因?yàn)?，，，而表示奇?shù)，表示整數(shù)，所以．故選：B．2.若復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計算，再代入化簡求值.【詳解】，所以，則.故選：A3.恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個人消費(fèi)支出總額的比重，其數(shù)值越小說明生活富裕程度越高．統(tǒng)計改革開放40年來我國歷年城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A.城鎮(zhèn)居民家庭生活富裕程度不低于農(nóng)村居民家庭B.隨著改革開放的不斷深入，城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭生活富裕程度越來越高C.1996年開始城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)都低于50%D.隨著城鄉(xiāng)一體化進(jìn)程的推進(jìn)，城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭生活富裕程度差別越來越小【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖象，結(jié)合選項，判斷正誤.【詳解】從圖中可知城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)不高于農(nóng)村居民家庭的恩格爾系數(shù)，所以A選項正確；從圖中可知城鎮(zhèn)居民家庭和農(nóng)村居民家庭的恩格爾系數(shù)都在降低，所以B選項正確；從圖中可知農(nóng)村居民家庭的恩格爾系數(shù)從2001年開始低于50%，所以C選項錯誤；從圖中可知隨著城鄉(xiāng)一體化進(jìn)程的推進(jìn)，城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭的恩格爾系數(shù)越來越接近，所以D選項正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)圖象提取信息的能力，屬于容易題.4.已知遞增等差數(shù)列的前項和為，若，且成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合題中所給的條件，利用等差數(shù)列通項公式和求和公式以及三數(shù)成等比數(shù)列的條件，列出等量關(guān)系式，求得其首項和公差，進(jìn)一步求其前10項和，從而得到正確答案.【詳解】因?yàn)槭沁f增等差數(shù)列，，所以，即，①由成等比數(shù)列，所以，整理得，即，②①②聯(lián)立求得，或（舍去）所以，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，正確解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和求和公式，以及三數(shù)成等比數(shù)列的條件.5.向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則（）A. B. C.4 D.4【答案】A【解析】【分析】作出圖形，取單位向量，從而可用分別表示出向量,再由根據(jù)平面向量基本定理即可建立關(guān)于的二元一次方程組，解出，從而得出的值．【詳解】設(shè)網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，在網(wǎng)格線上取互相垂直的單位向量，如圖所示，則有，，，由，得，則，解得，∴.故選：A6.函數(shù)在的圖像大致是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷奇偶性，然后通過計算導(dǎo)函數(shù)在特殊點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)來判斷相應(yīng)結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對稱且，所以是偶函數(shù)，排除A、C；又因?yàn)?，所以，所以時對應(yīng)的切線斜率大于零，所以排除D，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的辨別，難度一般.辨別函數(shù)圖象一般可通過奇偶性、單調(diào)性、特殊點(diǎn)位置、導(dǎo)數(shù)值正負(fù)對應(yīng)的切線斜率變化等來判斷.7.某市1路、9路公交車的站點(diǎn)均包括育才學(xué)校站和舒馨嘉園小區(qū)站，1路公交車每10分鐘一趟，9路公交車每20分鐘一趟，若育才學(xué)校的學(xué)生小明坐這2趟公交車回居住的舒馨嘉園小區(qū)，則他等車不超過5分鐘的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)1路車到達(dá)時間為，9路到達(dá)時間為，則可以看作平面中的點(diǎn)，求出全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的面積，及滿足條件等車時間不超過5分鐘的基本事件對應(yīng)平面區(qū)域的面積，代入幾何概型公式，即可得到答案.【詳解】設(shè)1路車到達(dá)時間為，9路到達(dá)時間為，則可以看作平面中的點(diǎn)，如圖所示，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榍?，這是一個長方形區(qū)域，面積為，事件表示小明等車時間不超過5分鐘，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榛?，即圖中的陰影部分，面積為，代入幾何概型概率公式，可得.故選：C．8.若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由條件可得，然后，然后可算出答案.【詳解】由題意發(fā)現(xiàn)，，，可得：，則，故選：B．9.設(shè)，則，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)換底公式可得，再化簡，比較的大小，即得答案.【詳解】，，.，顯然.,即，，即.綜上，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查換底公式和對數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.10.設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有3個零點(diǎn)，下述四個結(jié)論：其中所有正確結(jié)論的編號是（）①的最小值為；②的最大值為；③函數(shù)在有且僅有2個最大值；④函數(shù)在有且僅有2個最小值.A.①③ B.①④ C.①②③ D.①③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)所給自變量范圍求出，再由條件確定即可得出范圍，根據(jù)及正弦型函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值及最小值的個數(shù).【詳解】當(dāng)時，，因?yàn)樵谟星覂H有3個零點(diǎn)，所以，解得，故①對②錯；由知，當(dāng)或時，有最大值，當(dāng)時，有最小值，而時有最小值，但不一定能取到，故③對④錯.故選：A11.如圖，已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓與雙曲線C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為P，線段與另一條漸近線交于點(diǎn)Q，且的面積是面積的2倍，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知為線段的中點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線的漸近線方程可得出關(guān)于、的等量關(guān)系，由此可解得雙曲線的漸近線方程.【詳解】為的中點(diǎn)，則，即，所以，，所以，為線段的中點(diǎn)，由圖可知，直線的方程為，因?yàn)?，所以直線方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)直線上，則有，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：C.12.已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，，若，且，則關(guān)于x的方程有兩解時，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題知，根據(jù)題意得到：恒成立且有兩解，分別討論和時的情況，根據(jù)圖象即可得到的取值范圍.【詳解】由題意知：，則對任意的恒成立，又有兩解，則恒成立且有兩解.，當(dāng)時，如圖所示：只需，解得，當(dāng)時，如圖所示：只需且或者即可，解得，綜上所述：.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，同時考查了分類討論的思想，數(shù)形結(jié)合為解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若x，y滿足，則的最大值為______.【答案】3【解析】【分析】作出不等式組所表示的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，找出目標(biāo)函數(shù)取得最大值時的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)計算即可．【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示，令，聯(lián)立，得，則點(diǎn)，平移直線，由圖象可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)時，該直線在y軸上的截距最大，此時取得最大值，即．故答案為：3.14.九連環(huán)是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串，按一定規(guī)則移動圓環(huán)的次數(shù)，決定解開圓環(huán)的個數(shù)在某種玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＝，則解下n（n為奇數(shù)）個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為___.（用含n的式子表示）【答案】（，n為奇數(shù)）【解析】【分析】可得為奇數(shù)時，即數(shù)列的奇數(shù)項形成以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，即可求解.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，為奇數(shù)，則，故數(shù)列的奇數(shù)項形成以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，（，n為奇數(shù)），故解下n（n為奇數(shù)）個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為（，n為奇數(shù)）.故答案為：（，n為奇數(shù)）.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題關(guān)鍵是判斷出數(shù)列的奇數(shù)項形成以1為首項，4為公比的等比數(shù)列.15.一位大爺公園擺攤，吸引游客玩中獎游戲.玩一局只需交費(fèi)10元，然后在一個裝了紅、綠、藍(lán)各8個珠子的袋子中摸出12個珠子，數(shù)出不同顏色珠子個數(shù)，獲得相應(yīng)的獎金，比如摸出的12個珠子里，顏色最多的珠子有8個，顏色次多的珠子有4個，還有一種顏色沒有，就叫840，玩家會獲獎110元！如果三種顏色珠子個數(shù)是831，就能獲獎20元，如果是444，就能獲獎11元等等.某同學(xué)根據(jù)大爺提供的所有取球規(guī)則以及對應(yīng)獎金設(shè)置，利用所學(xué)知識計算了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如圖所示.取球結(jié)果獎金（元）組合數(shù)中獎概率獎金期望（元）8401104200.02%0.028312026880.10%0.028222023520.09%0.027503026880.10%0.0374112▲▲▲73212752642.78%0.336603023520.09%0.0365111752642.78%0.316421132928012.18%1.34633112634249.74%1.07552112634249.74%1.075430▲▲▲4441134300012.68%1.39根據(jù)以上這些數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)為近似后保留兩位小數(shù)的結(jié)果），可以計算出一位游客每玩一局，這位大爺可以賺取約______元（保留兩位小數(shù)）.【答案】4.25【解析】【分析】首先計算表格缺少的獎金期望，再求獎金期望的和，即可求解.【詳解】當(dāng)取球結(jié)果為741，獎金12元，組合數(shù)為26880，中獎概率為，獎金期望為0.12元，取球結(jié)果為543時，獎金數(shù)為0，所以獎金期望為0，則游客玩1次獎金的期望值為表格右欄的和，為5.75元，所以一位游客每玩一局，這位大爺可以賺取約元.故答案為：16.對函數(shù)，若，，，為某一個三角形的邊長，則稱為“三角形函數(shù)”，已知為“三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由條件可知，恒成立，轉(zhuǎn)化為，再分情況討論求函數(shù)的最值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】由題意可知，三角形兩邊之和大于第三邊，得恒成立，即，因?yàn)椋?dāng)時，滿足；當(dāng)時，單調(diào)遞減，由得；當(dāng)時，單調(diào)遞增，由得；因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，第22、23題為選考題.必考題：60分17.的內(nèi)角的對邊分別為，設(shè).（1）求A；（2）若，且成等差數(shù)列，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解；（2）根據(jù)條件由正弦定理和余弦定理求出，再用三角形面積公式計算.【小問1詳解】由題意，，由正弦定理得：∴，即，∴，在中，，∴；【小問2詳解】∵，且成等差數(shù)列，，由正弦定理得：，又由（1）知，∴，∴的面積；綜上，，的面積為.18.已知數(shù)列的前n項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，由①，得②，①②得，又是首項為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時不等式恒成立；時，，得；時，，得；所以.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時，要注意變量的正負(fù)零討論，如（2）中恒成立，要對討論，還要注意時，分離參數(shù)不等式要變號.19.2021年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵外來務(wù)工人員選擇就地過年.某市統(tǒng)計了該市4個地區(qū)的外來務(wù)工人數(shù)與就地過年人數(shù)（單位：萬），得到如下表格：A區(qū)B區(qū)C區(qū)D區(qū)外來務(wù)工人數(shù)x/萬3456就地過年人數(shù)y/萬25344.5（1）請用相關(guān)系數(shù)說明y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型擬合，并求y關(guān)于x的線性回歸方程.（2）假設(shè)該市政府對外來務(wù)工人員中選擇就地過年的每人發(fā)放1000元補(bǔ)貼.①若該市E區(qū)有2萬名外來務(wù)工人員，根據(jù)（1）的結(jié)論估計該市政府需要給E區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額；②若A區(qū)的外來務(wù)工人員中甲、乙選擇就地過年的概率分別為p，，其中，該市政府對甲、乙兩人的補(bǔ)貼總金額的期望不超過1400元，求p的取值范圍.參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.【答案】（1）y與x之間的線性相關(guān)程度非常強(qiáng)，（2）①1750萬元；②【解析】【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，線性回歸模型的擬合效果越好，即可以根據(jù)直接計算相關(guān)系數(shù)的值來判斷與之間的線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱；關(guān)于的線性回歸方程直接用參考公式求解.（2）（i）將代入（1）中的線性回歸方程，即可求出E區(qū)就地過年的人數(shù)；（ii）由X的所有可能取值為0，1，2，并分別求出相應(yīng)的概率，即可得到分布列，然后求出期望，最后列出不等式求出的取值范圍.【小問1詳解】）由題，，，，，，所以相關(guān)系數(shù)，因?yàn)閥與x之間的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與x之間的線性相關(guān)程度非常強(qiáng)，所以可用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系.，，故y關(guān)于x的線性回歸方程為.【小問2詳解】①將代入，得，故估計該市政府需要給E區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額為（萬元）.②設(shè)甲、乙兩人中選擇就地過年的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為0，1，2，，，.所以，所以，由，得，又，所以，故p的取值范圍為.20.已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：與C的兩個交點(diǎn)和O，B構(gòu)成一個面積為的菱形.（1）求C的方程；（2）圓E過O，B，交l于點(diǎn)M，N，直線AM，AN分別交C于另一點(diǎn)P，Q.①求的值；②證明：直線PQ過定點(diǎn).【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可知點(diǎn)坐標(biāo)得，設(shè)為直線l與C的一個交點(diǎn)，由菱形面積求出點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程求出即可得解；（2）①設(shè)，，由題意可得，再由斜率公式即可求解；②設(shè)直線PQ的方程為，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出直線直線PQ的方程為，即可求出直線過定點(diǎn).【小問1詳解】因?yàn)橹本€l：與C的兩個交點(diǎn)和O，B構(gòu)成的四邊形是菱形，所以l垂直平分OB，所以，.設(shè)為直線l與C的一個交點(diǎn)，則菱形的面積為.因?yàn)榱庑蔚拿娣e為，所以，解得，即，將點(diǎn)代入，得，又因?yàn)?，所?故C的方程為.【小問2詳解】①由題意，得OB為圓E的一條弦，且直線垂直平分該弦，故直線經(jīng)過圓心E，所以MN為圓E的直徑，因此，即.設(shè)，，則.注意到，，則.又因?yàn)椋?，所?②易知直線PQ不可能平行于x軸，則設(shè)直線PQ的方程為，，.由，得.，（*），.①因?yàn)?，，所以，即，?將①代入上式得，化簡得，解得，滿足（*），所以直線PQ的方程為，故直線PQ過定點(diǎn).21.已知函數(shù)與函數(shù)有相同的極值點(diǎn)與極值.（1）求a，b；（2）若方程與分別有兩個解p，q（）和r，s（）.①分別用p，q表示出r，s；②求證：.【答案】（1），（2）①，；②證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出的極值點(diǎn)及極值，代入即可得解；（2）①根據(jù),的單調(diào)性及題意可得，，，，由方程的根可知，是的解，即可得出，；②由①知要證不等式可化為，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)知在上遞減，可得，又可得即可得證.【小問1詳解】由的定義域?yàn)椋?，得，得，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處取得極小值，且，由，由題意可得，，，解得，.【小問2詳解】①由（1）知，，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，，，.且，，，，又可化為，，即是的解，同理也是它的解，所以，.②由①知，證明即證，令，則，，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，由在單調(diào)遞增，所以，，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明由①可轉(zhuǎn)化為，即證，根據(jù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為求證，再由，只需證明，分析到此處，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上單調(diào)遞減，即可得，完成所需的證明，難度較大，靈活性要求較高.選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線與曲線兩交點(diǎn)所在直線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線過點(diǎn)且與直線:平行，直