北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三 專題2.5 一元一次不等式組-重難點(diǎn)題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題2.5一元一次不等式組-重難點(diǎn)題型【北師大版】【知識(shí)點(diǎn)一元一次不等式組】定義：由幾個(gè)含同一未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組不等式叫做一元一次不等式組，組成不等式組的各個(gè)不等式的解的公共部分就是不等式組的解.當(dāng)它們沒有公共部分時(shí)，我們稱這個(gè)不等式組無解.【題型1一元一次不等式組的定義】【例1】(2023春?安慶期中）下列不等式組：①x＞?2x＜3；②x＞0x+2＞4；③x+1＞0y?4＜0；④x+3＞0x＜?7A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式1-1】(2023?利州區(qū)模擬）(2023春?福州校級期末）寫出一個(gè)解集在數(shù)軸上如圖所示的不等式組：．【變式1-2】(2023春?南通期末）寫出一個(gè)無解的一元一次不等式組為．【變式1-3】(2023春?靖江市校級月考）有甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)在一起討論一個(gè)一元一次不等式組，他們各說出該不等式組的一個(gè)性質(zhì)：甲：它的所有的解為非負(fù)數(shù)；乙：其中一個(gè)不等式的解集為x≤8；丙：其中一個(gè)不等式在解的過程中需要改變不等號的方向．請?jiān)囍鴮懗龇仙鲜鰲l件的一個(gè)不等式組．【題型2解一元一次不等式組】【例2】(2023春?吉林期末）解不等式組2(x+2)＞x?1①x+8≥4x?1②【變式2-1】(2023春?福田區(qū)校級期中）若不等式組x?a＞04?x≥0無解，則a的取值范圍為【變式2-2】(2023?利州區(qū)模擬）(2023春?豐臺(tái)區(qū)校級期末）下列不等式組中，無解的是（）A．x+5＞0x?5＞0 B．3+x＞0C．2x＜013x＞2【變式2-3】(2023秋?濱江區(qū)期末）(2023?歷城區(qū)二模）解不等式組2(x+1)＞x1?2x≥【題型3方程組的解構(gòu)造不等式組求字母范圍】【例3】(2023秋?余杭區(qū)期中）(2023春?仁壽縣期末）關(guān)于x，y的方程組x+3y=4?ax?y=3a，其中﹣3≤a（1）若x，y的值互為相反數(shù)，求a的值；（2）當(dāng)x≤1時(shí)，求y的取值范圍．【變式3-1】(2023春?慶陽期末）已知關(guān)于x、y的方程組2x+2y=4mx?y=3m?4，且x＞0，y（1）試用含m的式子表示方程組的解；（2）求m的取值范圍．【變式3-2】(2023春?柘城縣期末）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組2x+y=1+2mx+2y=2?m的解滿足不等式組x?y＜8x+y＞1，則【變式3-3】(2023春?武昌區(qū)校級月考）已知方程組2x+y=6?5mx?2y=?15的解x、y都是非負(fù)數(shù)，且x的值小于y的值，求m【題型4根據(jù)不等式組的解集求字母范圍】【例4】(2023春?昆都侖區(qū)校級期中）若關(guān)于x的不等式組x?m≥n2x?n＜2m+1的解集是2≤x＜5，求m+n【變式4-1】(2023?利州區(qū)模擬）已知x＝4是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，x＝2不是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【變式4-2】(2023?合肥模擬）若不等式2x+53?1≤2﹣x的解集中x的每一個(gè)值，都能使關(guān)于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，求【變式4-3】(2023春?鯉城區(qū)校級期中）若不等式組x?m＞0x?m＜1的解集中每一個(gè)x值均不在2≤x≤5的范圍內(nèi)，則mA．m＜1或m＞5 B．m≤1或m≥5 C．m＞1或m＜5 D．m≤1【題型5利用整數(shù)解求字母取值范圍】【例5】(2023秋?昌江區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的不等式組2x+53?t＞5x+32?t＞x【變式5-1】(2023?南通）若關(guān)于x的不等式組2x+3＞12x?a≤0恰有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)aA．7＜a＜8 B．7＜a≤8 C．7≤a＜8 D．7≤a≤8【變式5-2】(2023秋?濱江區(qū)期末）(2023?浙江自主招生）使得不等式組917＜nn+k＜815【變式5-3】(2023秋?昌江區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的不等式組2x+53?t＞5x+32?t＞x恰有三個(gè)整數(shù)解，則t【題型6不等式組中的新定義問題】【例6】(2023春?大連期末）對x，y定義一種新的運(yùn)算P，規(guī)定：P（x，y）=mx+ny，(x≥y)nx+my，(x＜y)（其中mn≠0）．已知P（2，1）＝7，（1）求m、n的值；（2）若a＞0，解不等式組P(2a，a?1)＜4P(?【變式6-1】(2023春?邗江區(qū)校級期末）對于任意有理數(shù)x，我們用[x]表示不大于x的最大整數(shù)，若[x]＝n，則n≤x＜n+1．如：[2.7]＝2，[2018]＝2018，[﹣3.14]＝﹣4，若[3x+2]＝﹣3，則x的取值范圍是（）A．?53≤x≤?43 B．?5【變式6-2】(2023春?海陵區(qū)期末）規(guī)定符號f（x）（x是正整數(shù)）滿足下列性質(zhì)：①當(dāng)x為質(zhì)數(shù)時(shí)，f（x）＝1（質(zhì)數(shù)：是指除了本身和1之外，再?zèng)]有其他因數(shù)的數(shù)）．②對于任意兩個(gè)正整數(shù)m和n，f（m?n）＝mf（n）+nf（m）．例如：f（6）＝f（2×3）＝2f（3）+3f（2）＝2×1+3×1＝5．（1）直接寫出f（3）＝，f（4）＝．（2）求f（18）和f（24）的值；（3）求滿足不等式組f(18x)?18f(x)≥5x+f(24)f(2x)?2f(x)＜6的x【變式6-3】(2023春?溧陽市期末）我們把關(guān)于x的一個(gè)一元一次方程和一個(gè)一元一次不等式組合成一種特殊組合，且當(dāng)一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解時(shí)，我們把這種組合叫做“有緣組合”；當(dāng)一元一次方程的解不是一元一次不等式的解時(shí)，我們把這種組合叫做“無緣組合”．（1）請判斷下列組合是“有緣組合”還是“無緣組合”，并說明理由；①2x?4=05x?2＜3②x?53（2）若關(guān)于x的組合5x+15=03x?a2＞a（3）若關(guān)于x的組合5a?x2?3=2x?3ax?a【題型7根據(jù)程序框圖列不等式組】【例7】(2023秋?蘇州期末）運(yùn)行程序如圖所示，規(guī)定：從“輸入一個(gè)值x”到“結(jié)果是否＞26”為一次程序操作，如果程序操作進(jìn)行了2次后停止，那么滿足條件的所有整數(shù)x的和為（）A．30 B．35 C．42 D．39【變式7-1】(2023春?漢陽區(qū)期末）運(yùn)行程序如圖所示，規(guī)定：從“輸入一個(gè)值x”到“結(jié)果是否≥19”為一次程序如果程序操作進(jìn)行了三次才停止，那么x的取值范圍是．【變式7-2】(2023春?朝陽區(qū)校級期末）按下列程序進(jìn)行運(yùn)算（如圖）：規(guī)定：程序運(yùn)行到“判斷結(jié)果是否大于244”為一次運(yùn)算．若x＝5，則運(yùn)算進(jìn)行次才停止；若運(yùn)算進(jìn)行了5次才停止，求x的取值范圍．【變式7-3】(2023春?郯城縣期末）對一個(gè)實(shí)數(shù)x按圖所示的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行從“輸入一個(gè)數(shù)x”到“判斷結(jié)果是否大于190？”為一次操作．（1）當(dāng)輸入實(shí)數(shù)x＝3時(shí)，要操作5次才停止；（2）如果操作只進(jìn)行一次就停止，求x的取值范圍；（3）如果操作恰好進(jìn)行三次才停止，求x的取值范圍．【題型8不等式組的實(shí)際應(yīng)用】【例8】(2023?范縣模擬）為加快老舊小區(qū)改造，某企業(yè)需運(yùn)輸一批物資．據(jù)調(diào)查得知，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運(yùn)輸60箱物資：5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)輸135箱物資．（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次分別運(yùn)輸多少箱物資；（2）計(jì)劃用兩種貨車共12輛運(yùn)輸這批物資，每輛大貨車一次需費(fèi)用500元，每輛小貨次需費(fèi)用300元．若運(yùn)輸物資不少于150箱，且總費(fèi)用小于5400元．請你列出所有運(yùn)輸方案，并指出哪種方案所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是多少？【變式8-1】(2023春?原州區(qū)期末）某希望小學(xué)收到捐贈(zèng)的一批圖書，要分給同學(xué)，讓他們帶回家方便閱讀，讀完后再交換給其他同學(xué)閱讀．如果每名同學(xué)分3本，那么余8本；如果前面的每名同學(xué)分5本，那么最后一名同學(xué)就分不到3本．捐贈(zèng)的這批書有多少本？共有多少名同學(xué)？【變式8-2】(2023?句容市一模）為全力助推句容建設(shè)，大力發(fā)展句容旅游，某公司擬派A、B兩個(gè)工程隊(duì)共同建設(shè)某區(qū)域的綠化帶．已知A工程隊(duì)2人與B工程隊(duì)3人每天共完成310米綠化帶，A工程隊(duì)的5人與B工程隊(duì)的6人每天共完成700米綠化帶．（1）求A隊(duì)每人每天和B隊(duì)每人每天各完成多少米綠化帶；（2）該公司決定派A、B工程隊(duì)共20人參與建設(shè)綠化帶，若每天完成綠化帶總量不少于1480米，且B工程至少派出2人，則有哪幾種人事安排方案？【變式8-3】(2023春?通川區(qū)期末）某工廠用A，B兩種原件組裝成C，D兩種產(chǎn)品，組裝一件C產(chǎn)品需1個(gè)A原件和4個(gè)B原件；組裝一件D產(chǎn)品需2個(gè)A原件和3個(gè)B原件．（1）現(xiàn)有A原件162個(gè)，B原件340個(gè)，若要組裝C，D兩種產(chǎn)品共100個(gè)，設(shè)組裝C產(chǎn)品x個(gè)．①根據(jù)題意，完成下面表格：原件產(chǎn)品C（件）D（件）A（個(gè)）x2（100﹣x）B（個(gè)）4x3（100﹣x）②按兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)來分，有哪幾種生產(chǎn)方案？（2）現(xiàn)有A原件162個(gè)，B原件a個(gè)，組裝C，D兩種產(chǎn)品，A，B兩種原件均恰好用完，已知290＜a＜306，求a的值．專題2.5一元一次不等式組-重難點(diǎn)題型【北師大版】【知識(shí)點(diǎn)一元一次不等式組】定義：由幾個(gè)含同一未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組不等式叫做一元一次不等式組，組成不等式組的各個(gè)不等式的解的公共部分就是不等式組的解.當(dāng)它們沒有公共部分時(shí)，我們稱這個(gè)不等式組無解.【題型1一元一次不等式組的定義】【例1】(2023春?安慶期中）下列不等式組：①x＞?2x＜3；②x＞0x+2＞4；③x+1＞0y?4＜0；④x+3＞0x＜?7A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【解題思路】利用一元一次不等式組定義解答即可．【解答過程】解：①x＞?2x＜3②x＞0x+2＞4③x+1＞0y?4＜0④x+3＞0x＜?7⑤x2其中是一元一次不等式組的有3個(gè)，故選：B．【變式1-1】(2023?利州區(qū)模擬）(2023春?福州校級期末）寫出一個(gè)解集在數(shù)軸上如圖所示的不等式組：x+1＞0x?2＜0【解題思路】由圖示可看出，從﹣1出發(fā)向右畫出的折線且表示﹣1的點(diǎn)是空心圓，表示x＞﹣1；從2出發(fā)向左畫出的折線且表示2的點(diǎn)是空心圓，表示x＜2，所以這個(gè)不等式組的解集為﹣1＜x＜2，只要解集為﹣1＜x＜2的不等式組皆可．【解答過程】解：x+1＞0x?2＜0【變式1-2】(2023春?南通期末）寫出一個(gè)無解的一元一次不等式組為x≤2x＞3【解題思路】本題為開放性題，按照口訣大大小小找不到（無解）列不等式組即可．如：根據(jù)“大大小小找不到”可知只要寫2個(gè)一元一次不等式x≤a，x＞b，其中a＜b即可．【解答過程】解：當(dāng)解集為無解時(shí)，構(gòu)造的不等式組為x≤2x＞3【變式1-3】(2023春?靖江市校級月考）有甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)在一起討論一個(gè)一元一次不等式組，他們各說出該不等式組的一個(gè)性質(zhì)：甲：它的所有的解為非負(fù)數(shù)；乙：其中一個(gè)不等式的解集為x≤8；丙：其中一個(gè)不等式在解的過程中需要改變不等號的方向．請?jiān)囍鴮懗龇仙鲜鰲l件的一個(gè)不等式組8?x≥0x≥0（答案不唯一）【解題思路】由于一元一次不等式組的解集為非負(fù)數(shù)，所以其中一個(gè)不等式的解集必為x≥0，由于一個(gè)不等式在解的過程中需要改變不等號的方向，所以其中一個(gè)不等式中x的系數(shù)為負(fù)數(shù)，根據(jù)這兩個(gè)條件寫出符合條件的一元一次不等式組即可．【解答過程】解：∵一元一次不等式組的解集為非負(fù)數(shù)，∴其中一個(gè)不等式的解集必為x≥0，∵一個(gè)不等式在解的過程中需要改變不等號的方向，∴其中一個(gè)不等式中x的系數(shù)為負(fù)數(shù)，∴符合條件的一元一次不等式組可以為：8?x≥0x≥0故答案為：8?x≥0x≥0【題型2解一元一次不等式組】【例2】(2023春?吉林期末）解不等式組2(x+2)＞x?1①x+8≥4x?1②并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【解題思路】先求出不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出不等式組的解集即可．【解答過程】解：∵解不等式①得：x＞﹣5，解不等式②得：x≤3，∴不等式組的解集是﹣5＜x≤3，在數(shù)軸上表示為：【變式2-1】(2023春?福田區(qū)校級期中）若不等式組x?a＞04?x≥0無解，則a的取值范圍為a≥4【解題思路】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：大大小小找不到可得答案．【解答過程】解：由x﹣a＞0，得：x＞a，由4﹣x≥0，得：x≤4，∵不等式組無解，∴a≥4，故答案為：a≥4．【變式2-2】(2023?利州區(qū)模擬）(2023春?豐臺(tái)區(qū)校級期末）下列不等式組中，無解的是（）A．x+5＞0x?5＞0 B．3+x＞0C．2x＜013x＞2【解題思路】根據(jù)不等式組的解法分別解出每個(gè)不等式組可得答案．【解答過程】解：A、分別解每個(gè)不等式可得x＞?5x＞5，其解集為xB、分別解每個(gè)不等式可得x＞?3x＜2，其解集為﹣3＜xC、分別解每個(gè)不等式可得x＜0x＞6D、分別解每個(gè)不等式可得x＜1x＜?53，其解集為故選：C．【變式2-3】(2023秋?濱江區(qū)期末）(2023?歷城區(qū)二模）解不等式組2(x+1)＞x1?2x≥【解題思路】根據(jù)解一元一次不等式組的方法，可以解答本題．【解答過程】解：2(x+1)＞x①由不等式①，得x＞﹣2，由不等式②，得x≤1，故原不等式組的解集是﹣2＜x≤1，∴它的非負(fù)整數(shù)解是0，1．【題型3方程組的解構(gòu)造不等式組求字母范圍】【例3】(2023秋?余杭區(qū)期中）(2023春?仁壽縣期末）關(guān)于x，y的方程組x+3y=4?ax?y=3a，其中﹣3≤a（1）若x，y的值互為相反數(shù)，求a的值；（2）當(dāng)x≤1時(shí)，求y的取值范圍．【解題思路】（1）將兩方程相加可得x+y＝a+2，再結(jié)合x+y＝0可得關(guān)于a的方程，解之即可；（2）由題意知x+a=4?3yx?3a=y，據(jù)此得x=3?2ya=1?y，再根據(jù)﹣3≤a≤1，x≤1知【解答過程】解：（1）x+3y=4?a①①+②得：2x+2y＝2a+4，∴x+y＝a+2，∵x，y的值互為相反數(shù)，∴x+y＝0，∴a+2＝0，∴a＝﹣2；（2）由題意得x+a=4?3yx?3a=y解得x=3?2ya=1?y∵﹣3≤a≤1，x≤1，∴3?2y≤11?y≥?3解得1≤y≤4．【變式3-1】(2023春?慶陽期末）已知關(guān)于x、y的方程組2x+2y=4mx?y=3m?4，且x＞0，y（1）試用含m的式子表示方程組的解；（2）求m的取值范圍．【解題思路】（1）利用加減消元法求解即可；（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答過程】解：（1）方程組整理，得：x+y=2m①①+②，得：2x＝5m﹣4，解得x=5m?4①﹣②，得：2y＝﹣m+4，解得y=?m+4所以方程組的解為x=5m?4（2）∵x＞0，y＞0，∴5m?42解不等式④，得：m＞4解不等式④，得：m＜4，則不等式組的解集為45＜【變式3-2】(2023春?柘城縣期末）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組2x+y=1+2mx+2y=2?m的解滿足不等式組x?y＜8x+y＞1，則【解題思路】將方程組兩方程相加減可得x+y、x﹣y，代入不等式組可得關(guān)于m的不等式組，求解可得．【解答過程】解：在方程組2x+y=1+2m①①+②，得：3x+3y＝3+m，即x+y=3+m①﹣②，得：x﹣y＝﹣1+3m，∵x?y＜8x+y＞1∴3m?1＜83+m解得：0＜m＜3．【變式3-3】(2023春?武昌區(qū)校級月考）已知方程組2x+y=6?5mx?2y=?15的解x、y都是非負(fù)數(shù)，且x的值小于y的值，求m【解題思路】解方程組用含m的式子表示x、y，再根據(jù)題意列出關(guān)于m的不等式組，解之可得．【解答過程】解：解方程組得x=?3?10m根據(jù)題意，得：?3?10m5解不等式①，得：m≤?3解不等式②，得：m≤36解不等式③，得：m＞?39則?395＜【題型4根據(jù)不等式組的解集求字母范圍】【例4】(2023春?昆都侖區(qū)校級期中）若關(guān)于x的不等式組x?m≥n2x?n＜2m+1的解集是2≤x＜5，求m+n【解題思路】先把mn當(dāng)作已知條件求出不等式組的解集，再與已知不等式組的解集是2≤x＜5相比較得出關(guān)于mn的方程組，求出m、n的值即可．【解答過程】解：x?m≥n①2x?n＜2m+1②由①得，x≥m+n；由②得，x＜2m+n+1∵不等式組的解集為2≤x＜5，∴m+n=2①2m+n+12=5②，把①代入②得，m+2+12=5，解得m＝7，把m＝7代入①∴m+n＝7﹣5＝2．【變式4-1】(2023?利州區(qū)模擬）已知x＝4是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，x＝2不是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解題思路】根據(jù)x＝4是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，x＝2不是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，列出不等式，求出解集，即可解答．【解答過程】解：∵x＝4是不等式ax﹣3a﹣1＜0的解，∴4a﹣3a﹣1＜0，解得：a＜1，∵x＝2不是這個(gè)不等式的解，∴2a﹣3a﹣1≥0，解得：a≤﹣1，∴a≤1．【變式4-2】(2023?合肥模擬）若不等式2x+53?1≤2﹣x的解集中x的每一個(gè)值，都能使關(guān)于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，求【解題思路】求出不等式2x+53?1≤2﹣x的解，再求出不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得出關(guān)于m的不等式，求出【解答過程】解：解不等式2x+53?1≤2﹣x得：x解關(guān)于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x），得x＜1?m∵不等式2x+53?1≤2﹣x的解集中x的每一個(gè)值，都能使關(guān)于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+∴1?m2解得：m＜?3【變式4-3】(2023春?鯉城區(qū)校級期中）若不等式組x?m＞0x?m＜1的解集中每一個(gè)x值均不在2≤x≤5的范圍內(nèi)，則mA．m＜1或m＞5 B．m≤1或m≥5 C．m＞1或m＜5 D．m≤1【解題思路】解不等式組求出x的范圍，根據(jù)任何一個(gè)x的值均不在2≤x≤5范圍內(nèi)列出不等式，解不等式得到答案．【解答過程】解：由x﹣m＞0，得：x＞m，由x﹣m＜1，得：x＜m+1，∵解集中每一個(gè)x值均不在2≤x≤5的范圍內(nèi)，則m≥5或m+1≤2，解得m≥5或m≤1，故選：B．【題型5利用整數(shù)解求字母取值范圍】【例5】(2023秋?昌江區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的不等式組2x+53?t＞5x+32?t＞x恰有三個(gè)整數(shù)解，則t的取值范圍為【解題思路】求出每個(gè)不等式的解集，根據(jù)已知得出不等式組的解集，根據(jù)不等式組的整數(shù)解即可得出：一定存在一個(gè)整數(shù)k，滿足滿足下列關(guān)系：k?1≤32t+5＜k①k+2＜3?2t≤k+3②，并分情況討論得出【解答過程】解：2x+5解不等式①得：x＞3解不等式②得：x＜3﹣2t，則不等式組的解集為：32t+5＜x＜3﹣2∵不等式組有3個(gè)整數(shù)解，∴一定存在一個(gè)整數(shù)k，滿足滿足下列關(guān)系：k?1≤3解不等式組①得，2k?123解不等式組②得，?k（1）當(dāng)2k?123≤?k22k?10于是，?k2＜∴207＜k∵k為整數(shù)，∴k＝3，∴?2≤t＜?4∴?32≤（2）當(dāng)2k?123≤?k22k?10∴此時(shí)無解；（3）當(dāng)2k?123（4）當(dāng)2k?123≥?k22k?103于是，2k?123解得，k＜27∴247≤k＜27∴此時(shí)無解．綜上，?32≤故答案為：?32≤【變式5-1】(2023?南通）若關(guān)于x的不等式組2x+3＞12x?a≤0恰有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)aA．7＜a＜8 B．7＜a≤8 C．7≤a＜8 D．7≤a≤8【解題思路】先求出每個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集，求出不等式組的3個(gè)整數(shù)解是5，6，7，再求出a的取值范圍即可．【解答過程】解：2x+3＞12①x?a≤0②解不等式①，得x＞4.5，解不等式②，得x≤a，所以不等式組的解集是4.5＜x≤a，∵關(guān)于x的不等式組2x+3＞12x?a≤0∴7≤a＜8，故選：C．【變式5-2】(2023秋?濱江區(qū)期末）(2023?浙江自主招生）使得不等式組917＜nn+k＜815【解題思路】根據(jù)題目中的不等式，先變形，然后即可得到78＜kn＜89，再根據(jù)k【解答過程】解：∵917∴917∴158＜1∴78＜k∴k?1n≤7∴2n∴n≤144，當(dāng)n＝144時(shí)，由78＜k∴k可取唯一的整數(shù)127，由上可得，n的最大值是144，故答案為：144．【變式5-3】(2023秋?昌江區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的不等式組2x+53?t＞5x+32?t＞x恰有三個(gè)整數(shù)解，則t的取值范圍為【解題思路】求出每個(gè)不等式的解集，根據(jù)已知得出不等式組的解集，根據(jù)不等式組的整數(shù)解即可得出：一定存在一個(gè)整數(shù)k，滿足滿足下列關(guān)系：k?1≤32t+5＜k①k+2＜3?2t≤k+3②，并分情況討論得出【解答過程】解：2x+5解不等式①得：x＞3解不等式②得：x＜3﹣2t，則不等式組的解集為：32t+5＜x＜3﹣2∵不等式組有3個(gè)整數(shù)解，∴一定存在一個(gè)整數(shù)k，滿足滿足下列關(guān)系：k?1≤3解不等式組①得，2k?123解不等式組②得，?k（1）當(dāng)2k?123≤?k22k?10于是，?k2＜∴207＜k∵k為整數(shù)，∴k＝3，∴?2≤t＜?4∴?32≤（2）當(dāng)2k?123≤?k22k?10∴此時(shí)無解；（3）當(dāng)2k?123（4）當(dāng)2k?123≥?k22k?103于是，2k?123解得，k＜27∴247≤k＜27∴此時(shí)無解．綜上，?32≤故答案為：?32≤【題型6不等式組中的新定義問題】【例6】(2023春?大連期末）對x，y定義一種新的運(yùn)算P，規(guī)定：P（x，y）=mx+ny，(x≥y)nx+my，(x＜y)（其中mn≠0）．已知P（2，1）＝7，（1）求m、n的值；（2）若a＞0，解不等式組P(2a，a?1)＜4P(?【解題思路】（1）先根據(jù)規(guī)定的新運(yùn)算列出關(guān)于m、n的方程組，再解之即可；（2）由a＞0得出2a＞a﹣1，?12a﹣1＜?13【解答過程】解：（1）由題意，得：2m+n=7?n+m=?1解得m=2n=3（2）∵a＞0，∴2a＞a，∴2a＞a﹣1，?12a＜?∴?12a﹣1＜?∴2×2a+3(a?1)＜4①解不等式①，得：a＜1，解不等式②，得：a≥12∴不等式組的解集為1213≤【變式6-1】(2023春?邗江區(qū)校級期末）對于任意有理數(shù)x，我們用[x]表示不大于x的最大整數(shù)，若[x]＝n，則n≤x＜n+1．如：[2.7]＝2，[2018]＝2018，[﹣3.14]＝﹣4，若[3x+2]＝﹣3，則x的取值范圍是（）A．?53≤x≤?43 B．?5【解題思路】根據(jù)題意可得﹣3≤3x+2＜﹣2，根據(jù)不等式的解法即可求解．【解答過程】解：根據(jù)題意可得﹣3≤3x+2＜﹣2，解得?53≤故選：D．【變式6-2】(2023春?海陵區(qū)期末）規(guī)定符號f（x）（x是正整數(shù)）滿足下列性質(zhì)：①當(dāng)x為質(zhì)數(shù)時(shí)，f（x）＝1（質(zhì)數(shù)：是指除了本身和1之外，再?zèng)]有其他因數(shù)的數(shù)）．②對于任意兩個(gè)正整數(shù)m和n，f（m?n）＝mf（n）+nf（m）．例如：f（6）＝f（2×3）＝2f（3）+3f（2）＝2×1+3×1＝5．（1）直接寫出f（3）＝1，f（4）＝4．（2）求f（18）和f（24）的值；（3）求滿足不等式組f(18x)?18f(x)≥5x+f(24)f(2x)?2f(x)＜6的x【解題思路】（1）先判斷3時(shí)質(zhì)數(shù)，4不是質(zhì)數(shù)，且4＝2×2，結(jié)合定義求出f（3），f（4）；（2）由18＝3×6，24＝4×6，結(jié)合f（3），f（4），f（6）和定義，求出f（18）和f（24）；（3）先將f（18x），f（2x）化簡，然后將不等式變形化簡，從而求出x的值．【解答過程】解：（1）∵3是質(zhì)數(shù)，4＝2×2，且2是質(zhì)數(shù)，∴f（3）＝1，f（4）＝f（2×2）＝2f（2）+2f（x）＝4．故答案為：1，4．（2）f（18）＝f（3×6）＝3f（6）+6f（3）＝3×5+6×1＝21，f（24）＝f（4×6）＝4f（6）+6f（4）＝4×5+6×4＝44．（3）∵f（18x）＝18f（x）+xf（18）＝18f（x）+21x，f（2x）＝2f（x）+xf（2）＝2f（x）+x，∴不等式組可化為：21x≥5x+44x＜6解得：114≤【變式6-3】(2023春?溧陽市期末）我們把關(guān)于x的一個(gè)一元一次方程和一個(gè)一元一次不等式組合成一種特殊組合，且當(dāng)一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解時(shí)，我們把這種組合叫做“有緣組合”；當(dāng)一元一次方程的解不是一元一次不等式的解時(shí)，我們把這種組合叫做“無緣組合”．（1）請判斷下列組合是“有緣組合”還是“無緣組合”，并說明理由；①2x?4=05x?2＜3②x?53（2）若關(guān)于x的組合5x+15=03x?a2＞a（3）若關(guān)于x的組合5a?x2?3=2x?3ax?a【解題思路】（1）先求方程的解，再解不等式，根據(jù)“有緣組合”和“無緣組合“的定義，判斷即可；（2）先解方程和不等式，然后根據(jù)“有緣組合”的定義求a的取值范圍；（3）先解方程和不等式，然后根據(jù)“無緣組合”的定義求a的取值范圍．【解答過程】解：（1）①∵2x﹣4＝0，∴x＝2，∵5x﹣2＜3，∴x＜1，∵2不在x＜1范圍內(nèi)，∴①組合是“無緣組合”；②x?53去分母，得：2（x﹣5）＝12﹣3（3﹣x），去括號，得：2x﹣10＝12﹣9+3x，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得：x＝﹣13．解不等式x+32去分母，得：2（x+3）﹣4＜3﹣x，去括號，得：2x+6﹣4＜3﹣x，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得：3x＜1，化系數(shù)為1，得：x＜1∵﹣13在x＜1∴②組合是“有緣組合”；（2）解方程5x+15＝0得，x＝﹣3，解不等式3x?a2＞x＞a，∵關(guān)于x的組合5x+15=03x?a∴﹣3在x＞a范圍內(nèi)，∴a＜﹣3；（3）解方程5a?x2?3＝2x﹣3去分母，得5a﹣x﹣6＝4x﹣6a，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得：5x＝11a﹣6，化系數(shù)為1得：x=11a?6解不等式x?a2+1≤x+去分母，得：x﹣a+2≤2x+2a，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得：x≥﹣3a+2，∵關(guān)于x的組合5a?x2∴11a?65≤?3解得：a＜8【題型7根據(jù)程序框圖列不等式組】【例7】(2023秋?蘇州期末）運(yùn)行程序如圖所示，規(guī)定：從“輸入一個(gè)值x”到“結(jié)果是否＞26”為一次程序操作，如果程序操作進(jìn)行了2次后停止，那么滿足條件的所有整數(shù)x的和為（）A．30 B．35 C．42 D．39【解題思路】由該程序操作進(jìn)行了2次后停止，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，結(jié)合x為整數(shù)值即可得出x的值，再將其相加即可求出結(jié)論．【解答過程】解：依題意，得：3x?1≤263(3x?1)?1＞26解得：103＜∵x為整數(shù)值，∴x＝4，5，6，7，8，9．4+5+6+7+8+9＝39．故選：D．【變式7-1】(2023春?漢陽區(qū)期末）運(yùn)行程序如圖所示，規(guī)定：從“輸入一個(gè)值x”到“結(jié)果是否≥19”為一次程序如果程序操作進(jìn)行了三次才停止，那么x的取值范圍是32≤x【解題思路】由程序運(yùn)行兩次的結(jié)果小于19及程序運(yùn)行三次的結(jié)果大于等于19，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論．【解答過程】解：依題意，得：2x+1＜192(2x+1)+1＜19解得：32≤故答案為：32≤【變式7-2】(2023春?朝陽區(qū)校級期末）按下列程序進(jìn)行運(yùn)算（如圖）：規(guī)定：程序運(yùn)行到“判斷結(jié)果是否大于244”為一次運(yùn)算．若x＝5，則運(yùn)算進(jìn)行4次才停止；若運(yùn)算進(jìn)行了5次才停止，求x的取值范圍．【解題思路】把x＝5代入代數(shù)式求值，與244比較，若大于244，就停止計(jì)算，若結(jié)果沒有大于244，重新計(jì)算直至大于244為止，根據(jù)運(yùn)算順序得到第4次的運(yùn)算結(jié)果和第5次的運(yùn)算結(jié)果，讓第4次的運(yùn)算結(jié)果小于244，第5次的運(yùn)算結(jié)果大于244列出不等式求解即可．【解答過程】解：若x＝5．第一次：5×3﹣2＝13，第二次：13×3﹣2＝37，第三次：37×3﹣2＝109，第四次：109×3﹣2＝325＞244→→→停止，故答案為4；第1次，結(jié)果是3x﹣2，第2次，結(jié)果是3×（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8，第3次，結(jié)果是3×（9x﹣8）﹣2＝27x﹣26，第4次，結(jié)果是3×（27x﹣26）﹣2＝81x﹣80，第5次，結(jié)果是3×（81x﹣80）﹣2＝243x﹣242；∴243x?242＞244①81x?80≤244②由①得：x＞2，由②得：x≤4，∴2＜x≤4．即：5次停止的取值范圍是：2＜x≤4．【變式7-3】(2023春?郯城縣期末）對一個(gè)實(shí)數(shù)x按圖所示的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行從“輸入一個(gè)數(shù)x”到“判斷結(jié)果是否大于190？”為一次操作．（1）當(dāng)輸入實(shí)數(shù)x＝3時(shí)，要操作5次才停止；（2）如果操作只進(jìn)行一次就停止，求x的取值范圍；（3）如果操作恰好進(jìn)行三次才停止，求x的取值范圍．【解題思路】（1）將x＝3代入3x﹣2逐次判斷是否大于190即可得；（2）表示出第一次輸出結(jié)果，根據(jù)“操作只進(jìn)行一次就停止”列不等式求解可得；（3）表示出第一次、第二次、第三次的輸出結(jié)果，再由第三次輸出結(jié)果可得出不等式，解出即可．【解答過程】解：（1）當(dāng)x＝3時(shí)，3x﹣2＝7＜190，當(dāng)x＝7時(shí)，3x﹣2＝19＜190，當(dāng)x＝19時(shí)，3x﹣2＝55＜190，當(dāng)x＝55時(shí)，3x﹣2＝163＜190，當(dāng)x＝163時(shí)，3x﹣2＝487＞190，∴當(dāng)輸入實(shí)數(shù)x＝3時(shí)，要操作5次才停止，故答案為：5；（2）第一次的結(jié)果為：3x﹣2，輸出，則3x﹣2＞190，解得：x＞64．故x的取值范圍是x＞64；（3）第一次的結(jié)果為：3x﹣2，沒有輸出，則3x﹣2≤190，解得：x≤64；第二次的結(jié)果為：3（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8，沒有輸出，則9x﹣8≤190，解得：x≤22；第三次的結(jié)果為：3（9x﹣8）﹣2＝27x﹣26，輸出，則27x﹣26＞190，解得：x＞8；綜上可得：8＜x≤22．【題型8不等式組的實(shí)際應(yīng)用】【例8】(2023?范縣模擬）為加快老舊小區(qū)改造，某企業(yè)需運(yùn)輸一批物資．據(jù)調(diào)查得知，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運(yùn)輸60箱物資：5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)輸135箱物資．（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次分別運(yùn)輸多少箱物資；（2）計(jì)劃用兩種貨車共12輛運(yùn)輸這批物資，每輛大貨車一次需費(fèi)用500元，每輛小貨次需費(fèi)用300元．若運(yùn)輸物資不少于150箱，且總費(fèi)用小于5400元．請你列出所有運(yùn)輸方案，并指出哪種方案所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是多少？【解題思路】（1）設(shè)1輛大貨車一次運(yùn)輸x箱物資，1輛小貨車一次運(yùn)輸y箱物資，由“2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運(yùn)輸60箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)輸135箱”，可列方程組，即可求解；（2）設(shè)有a輛大貨車，（12﹣a）輛小貨車，由“運(yùn)輸物資不少于150箱，且總費(fèi)用小于5400元”可列不等式組，可求整數(shù)a的值，即可求解．【解答過程】解：（1）設(shè)1輛大貨車一次運(yùn)輸x箱物資，1輛小貨車一次運(yùn)輸y箱物資，由題意可得：2x+3y=605x+6y=135解得：x=15y=10答：1輛大貨車一次運(yùn)輸150箱物資，1輛小貨車一次運(yùn)輸100箱物資；（2）設(shè)有a輛大貨車，（12﹣a）輛小貨車，由題意可得：500a+300(12?a)＜540015a+10(12?a)≥150解得：6≤a＜9，又∵a須為整數(shù)，∴a＝6，7，8；∴共有三種方案，方案①6輛大貨車，6輛小貨車，方案②7輛大貨車，5輛小貨車，方案③8輛大貨車，4輛小貨車；當(dāng)有6輛大貨車，6輛小貨車時(shí)，費(fèi)用＝500×6+300×6＝4800元，當(dāng)有7輛大貨車，5輛小貨車時(shí)，費(fèi)用＝500×7+300×5＝5000元，當(dāng)有8輛大貨車，4輛小貨車時(shí)，費(fèi)用＝500×8+300×4＝5200元，∵4800＜5000＜5200，∴方案③，即當(dāng)有6輛大貨車，6輛小貨車時(shí)，費(fèi)用最小，最小費(fèi)用為4800元．【變式8-1】(2023春?原州區(qū)期末）某希望小學(xué)收到捐贈(zèng)的一批圖書，要分給同學(xué)，讓他們帶回家方便閱讀，讀完后再交換給其他同學(xué)閱讀．如果每名同學(xué)分3本，那么余8本；如果前面的每名同學(xué)分5本，那么最后一名同學(xué)就分不到3本．捐贈(zèng)的這批書有多少本？共有多少名同學(xué)？【解題思路】根據(jù)如果每名同學(xué)分3本，那么余8本；如果前面的每名同學(xué)分5本，那么最后一名同學(xué)就分不到3本，可以列出相應(yīng)的不等式組，然后再根據(jù)人數(shù)為整數(shù)，從而可以求得共有多少名同學(xué)，捐贈(zèng)的這批書有多少本．【解答過程】解：設(shè)共有x名