2023屆高考數學二輪復習 5 立體幾何選擇填空壓軸小題 作業(yè)

專題5立體幾何選擇填空壓軸小題專項訓練

一、單選題

1.已知四面體A-88中，ΔABC和ΔBC3都是邊長為6的正三角形，則當四面體的體積

最大時，其外接球的表面積是

A.60兀B.30萬C.20萬D.15萬

2.在四面體ABCD中，AB=BD=AD=CD=3,AC=BC=4,用平行于A8,C￡）的平面

截此四面體，得到截面四邊形EFG”,則四邊形EFG〃面積的最大值為（）

499

A.-B.-C.-D.3

342

3.“牟合方蓋”是我國古代數學家劉微在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優(yōu)美的幾何

體，它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一圓柱的側面上，好似兩個扣合（牟

合）在一起的方形傘（方蓋）.如圖，正邊形A8C。是為體現其直觀性所作的輔助線，若該幾何

體的正視圖與側視圖都是半徑為的圓，根據祖迪原理，可求得該幾何體的體積為

4.正四面體ABCD的棱長為4,E為棱AB的中點，過E作此正四面體的外接球的截面，則

該截面面積的最小值是

A.4Λ^B.8兀C.?1πD.16ΛΓ

5.過棱長為1的正方體的一條體對角線作截面，則截得正方體的截面面積的最小值是

A.1B.√2C.—D.—

22

6.已知邊長為2的等邊三角形ABC中，E、尸分別為AB、AC邊上的點，且瓦7/BC,

將一A肝沿EF折成..4E/，使平面4EZU平面EFC3,則幾何體A'-EFCB的體積的最大

值為

A.更B.友C.ID.空

9983

7.在菱形48Cz）中，Λ=y,ΛB=4√3,將4ABD沿BO折起到△PBD的位置,二面角

P-8D-C的大小為三，則三棱錐P-Ba）的外接球的表面積為（）

A.2√?rB.2√7Λ?C.72兀D.112萬

8.已知三棱錐D-ABC中，AB=BC=?,AD=4i,BD=也,AC=√2,BCLAD,則

三棱錐的外接球的表面積為

A.6πB.4兀C.>∕6πD.8>∕6π

9.在底面是正方形的四棱錐P-ΛBC。中，底面ABCZ）,點E為棱PB的中點，點尸在

棱A￡）上，平面CE尸與P4交于點K,且R4=ΛB=3,AF=Z,則四棱錐K-A的外接

球的表面積為

10.如圖，在三棱錐P—ΛBC中，PA，平面ABC,ABLBC,ADlBP,PA=AC,若三

棱錐尸-ABC外接球的表面積為8萬，則三棱錐P-As體積的最大值為（）

?-TBYC-4d?T

二、填空題

11.已知正三棱柱A8C-AB∣α的側棱長為4,底面邊長為遙，且它的六個頂點均在球。的

球面上，則4B兩點的球面距離為.

12.已知四棱錐P-ABeo的底面ABC。是邊長為"的正方形，且PA_L平面ABCO,PA=a,

點M為線段PC上的動點（不包含端點）,則當三棱錐M-BCD的外接球的表面積最小時，

CM的長為.

13.在棱長為1的正方體ABC。-AMGA中，以A為球心半徑為空的球面與正方體表面

3

的交線長為.

14.已知球的半徑為24cm,一個圓錐的高等于這個球的直徑，而且球的表面積等于圓錐的

表面積，則這個圓錐的體積是em?.（結果保留圓周率兀）

15.已知正方體ABCQ-A瓦GR的棱長為1,動點P在棱AA上，四棱錐用的頂點

都在球。的球面上，則球。的表面積取值范圍是.

16.下圖中的幾何體是由兩個有共同底面的圓錐組成.已知兩個圓錐的頂點分別為P、Q,

高分別為2、1,底面半徑為1.A為底面圓周上的定點，8為底面圓周上的動點（不與A重

合）.下列四個結論：

①三棱錐P-ABQ體積的最大值為g；

②直線PB與平面PAQ所成角的最大值為2；

③當直線BQ與AP所成角最小時，其正弦值為嚕；

④直線BQ與AP所成角的最大值為；

其中正確的結論有.（寫出所有正確結論的編號）

17.在正方體48C。-AMGR中（如圖），已知點P在直線BC上運動，則下列四個命題:

①d三棱錐A-APC的體積不變；

②直線AP與平面ACR所成的角的大小不變；

③二面角P-AD1-C的大小不變；

④M是平面ABIGR上到點。和C1距離相等的點，則M點的軌跡是直線AA

其中真命題的編號是.（寫出所有真命題的編號）

18.如圖，四棱錐P-ABC。的底面是邊長為2的正方形，24,底面488,PA=Z,若在

四棱錐內挖掉一個體積最大的圓柱，則剩余幾何體的表面積等于.

19.已知三棱錐A-BC。的所有頂點都在球。的球面上，AB=AC=DB=DC,AD=2BC=4,

則球O的表面積的最小值為.

20.已知在四面體A-BCO中，AB=CD=10,AC=BD=2四,AD=BC=2√41,則四

面體A-Bco外接球的表面積為.

答案:

1.A

【解析】

【詳解】

由題設當兩個平面互相垂直時，四面體的體積最大，此時四面體的高為∕z=PE=3√L如圖，

設球心為。，過。作O?_L平面BCD,過。作。Q,平面ABC,因為

PE=JXY?x6=G,￡>P=2x@x6=26，所以OQ=PE=√L在直角三角形M。。與

3232

R2=唐+-&2R=>∕i5

APo。中分別運用勾股定理可得｛,Α，，解之得｛,故所求球的表面

心=(.3&"2+(.S>2d=Wr>

S=4Λ-×(√15)2=60^,應選答案A.

點睛：解答本題的難點是如何確定該幾何體的外接球的球心與半徑.求解時，先依據題設求

出當兩平面互相垂直時，三棱錐的體積最大，此時三棱錐的高〃=PE=即是正三角形的

高，然后依據球心到四個頂點的距離相等可畫出圖形中的三角形并求解可得球的半徑

R=后,最后運用球的面積公式使得問題獲解.

2.B

【解析】

【分析】

根據線面平行的性質可知G"〃A8,EFUAB,GF//CD,EH//CD,因為AD=CD=3,

AC=BC=4,故4?_LCz),所以四邊形為矩形，設3尸:BO=3G:BC=PG:CE)=X,O<x<l,

建立二次函數關系求解四邊形面積的最大值.

【詳解】

設截面分別與棱AD,BD,BC,AC交于點E,尸,G，.由直線A8〃平面EFGH,

且平面A8C平面EFGH=GH,平面ABDc平面E尸GH=斯

得GH“AB,EFHAB,所以GH”EF,

同理可證四〃FG,所以四邊形EFG”為平行四邊形，

又AB=BD=AD=CD=3,AC=BC=4,

可證得AB_La),四邊形EFGH為矩形.

設BF:BD=BG:BC=FG:CD=x,O<x<l,

則FG=3x,HG=3(1),于是SMGH=FG?HG=9x(l-x)=-9(x—g)+?,0<x<1

19

當X=］時，四邊形瓦'G〃的面積有最大值

故選：B.

【點睛】

本題考查了運用四面體中的對稱性來證明四邊形是矩形,線面平行的性質，二次函數求最值,

屬于較難題.

3.C

【解析】

【詳解】

如圖所示，結合幾何體的特征，構造底面邊長為2R,高為R的長方體，上頂面中心與下底

面組成四棱錐P-ABa>,則正方體去掉四棱錐所得的幾何體與題中“牟合方蓋”的上半部分

符合祖Bfl原理，

據此可得，該幾何體的體積：V=2x(2Rx2RxR-；x2Rx2RxR)=gR'.

本題選擇C選項.

點睛：中國傳統(tǒng)數學具有濃厚的應用色彩，更注重算法：中國傳統(tǒng)數學實用性的特點，決定

了它以解決實際問題和提高計算技術為主要目標，因此,他的成果都表此案為算法的相識.中

國傳統(tǒng)數學寓理于算：中國傳統(tǒng)數學注重算法，并不等于它就沒有邏輯推理，沒有建立其自

身的理論體系.

4.A

【解析】

【詳解】

將四面體ABCO放置在正方體中，如圖所示，

可得正方體的外接球就是四面體ABC。的外接球，

因為正四面體ABC。的棱長為4,

所以正方體的棱長為2亞，可得外接球的半徑滿足2R=2√∑χ石=2遙，即R=遙，

又E為BC的中點，過E作其外接球的截面，當截面到球心。的距離最大時，

此時截面圓的面積最小，

此時球心。到截面的距離等于正方體棱長的一半，

可得截面圓的半徑為r=，/?2一2=2，得到截面圓的面積的最小值為S=Ir2=4乃，

故選A.

5.D

【解析】

【分析】

取對角線頂點所不在的兩個側棱的中點M,N,與對角線兩個頂點相連，所得四邊形即為所有

過對角線的截面中面積最小的，由此可求出截面面積.

【詳解】

如圖：

在正方體中，取4人。0的中點〃川,連接。陽,8%8可出”

過RB的平面截得正方體的截面中，當截面為菱形AMBN時，截面面積最小，

5=∣∣M7V∣∣D1B∣=lχ√2x√3=^,

故選D.

【點睛】

本題主要考查了正方體的截面面積的求法，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

6.B

【解析】

【詳解】

分析：設基=2(0<2<l),???EF=2Z當平面4"，平面EFCB時，由面面垂直的性質定

BC

理，得A，M_L平面EFCB,可得幾何體A-E尸CS的體積V=九(1-萬)，利用導數研究函數

的單調性，可得;I=3時，體積最大，從而可得結果.

3

詳解：

ig—=2(0<Λ<I),.-.EF=24,

AABC的高AN為G,.?.ΔAEF的高AM為JLl,

當平面A,EFJ-平面EFCB時，由面面垂直的性質定理，

得4MJ_平面EFCB,■■以幾何體Λ,-EFCB的體積

V=∣×√3Λ^(√3-√3Λ)(2+22)]=λ(l-22),

.V?=1-3Λ2,當

.?W在2=@時，取得最大值，.?.Vnm=空，故選B.

點睛：求最值問題往往先將所求問題轉化為函數問題，然后根據酒己方法、換元法、不等式

法、三角函數法、圖象法、函數單調性法求解，利用函數的單調性求最值，首先確定函數的

定義域，然后準確地找出其單調區(qū)間，最后再根據其單調性求函數的最值即可.

7.D

【解析】

【分析】

由題意作示意圖，找到底面等邊△8。C的外接圓圓心。，以及三棱錐P-BCD的外接球的

球心O',過戶作PF_LAC于尸，則面PFOo為球體最大截面，進而根據已知條件即可求外

接球半徑，即可求外接球表面積.

【詳解】

由題意可得如下示意圖，設AC,BD交于E,

則AC_LBD,即CEA.BD,PEJ.BD

所以NPEC為二面角尸—8D—C的平面角，即ZPEC=寸

又PECE=E,所以B￡>_L平面PCE,

過戶作尸尸，AC于尸，BDLPF,BDAC=E,

所以P/_1_平面ABCD,

若。，?！謩e是面BOC的外接圓圓心、三棱錐尸-BCO的外接球的球心，

則OO_L平面ABCD,所以OO'∕∕PF,

所以P,F,0,0'必共面且該面為球體的最大截面，

連接OO',O'D,OD,O'P,有。D=O/=R為外接球半徑，

8=/■為面8。C的外接圓半徑，若設。O'=x,

則：x2+r2=R2,OF2+(PF-X)2=R2,

：菱形ABC。中，A=-,AB=4y∕3,ZPEC=-,

33

：.PD=DC=PB=BC=4日PE=EC=6,BD=4√3,

目￡D=—=2√3,OE=-=2,PF=PE-sin-=3y∕3,OF=0E+EF=2+PEcos-=5,

2333

.?.r2=OD2=OE2+ED2=16，

即￠+16=25+(36-X)2,解得第=2石，二R2=28,

所以三棱錐尸-BCD的外接球的表面積4成2=112n,

故選：D

【點睛】

本題考查了三棱錐的外接球問題，應用了三棱錐的一個頂點與其在底面上的垂足，該底面外

接圓圓心，三棱錐外接球球心四點共面且為球體最大截面求球體半徑，進而求球體表面積,

屬于較難題.

8.B

【解析】

【分析】

依據題中數據，利用勾股定理可判斷出AABJ.A。從而可得三棱錐各面都為直角三

角形，進而可知外接圓的直徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積

【詳解】

如圖，因為?2+4)2=&)2,482+8。2=4(72

.?.48_140,48_1,8(7又3。，仞，.?.CB，而ABr),

從而可得三棱錐各面都為直角三角形，CD是三棱錐的外接球的直徑，

在WAeB。中，BC=},BD=?j3,：.CD=2

即2R=2,R=1,S表=4萬R2=4萬，故選B.

【點睛】

本題主要考查學生空間想象以及數學建模能力，能夠依據條件建立合適的模型是解題的關鍵.

9.D

【解析】

【詳解】

如圖所示，

延長BA,CF,交于G,連接EG,與PA交于K,則AG=6,過A作AH//PB,與EG交于H,

則笠=經=￡=!=3,故AK="將四棱錐補成長寬高分別為3,3,§的長方體,故

PKPEBE9355

四棱錐的外接圓即為長方體的外接圓，2R=不3?+3?=6屆=半,R=誓，所以

球的表面積為S=Φrχ蓋=要乃，故選D.

10.A

【解析】

【分析】

設Aβ=α,BC=b,由三棱錐P-ABC外接球的表面積為8;r,可得出/+后=4.根據等體

Aab

=

積法得VP-ACD^P-ABCAZiC=3(2〃+/),利用基本不等式可求得三棱錐P-ACO體積的

最大值.

【詳解】

設48=α,BC=b,由三棱錐P-ABC外接球的表面積為8萬，得外接球的半徑R=√L又

%_1_平面ABC,ABLBC,

所以AB2+8C2+Ap2=AC2+Ap2=2Ap2=(2Ry=8,所以AP=2,所以T+∕=4?

因為PAJ-平面ABC,ADLPB,所以PB=J4+〃BD=I:,過。作DE±AB,垂

√4+α2

足為E,則Z)E，平面ABC,

所以DE//PA,所以罷二空，所以=τ,所以

PABP4+a2

2

“τ,"IC5/CAZC)Z1,2a14ah4ab

k8=LABL%叩=3-(PA-E)=｝仍E-=J=ψ77)=3(2"⑹

=∕2αN立=W,當且僅當當=2,即。=氈，A=亞時，“=”成立，所以三

3IT+Jba33

棱錐尸-AS體積的最大值為史.

3

故選：A.

P

【點睛】

本題考查三棱錐的外接球的相關計算，等體積法的運用，屬于較難題.

11.鮑

3

【解析】

【分析】

根據題意畫出示意圖求出ZAOB=60°和OB=娓,結合球面距離定義計算求解即可.

【詳解】

如圖所示，設二4?C中心為G,連接。GoA,AG,。3.

根據等邊三角形性質知AG是.ABC外接圓半徑，根據正弦定理得8C=2RsinA,得

AG=R=6,又因為OG=g∕U1=2,所以在氏OAG中，OA=J(OG)Zf(AG)?=迷,同理

08=",所以.?QA8是等邊三角形，所以ZAOB=60。，所以A,B兩點的球面距離為

—瓦.

36003

故答案為:場

3

【解析】

【分析】

連接由題意知三棱錐M-BC。的外接球即四棱錐Λ7-A88的外接球，然后設四棱錐

M-AB8外接球的球心為0,半徑為R,連接AC與8。交于點。I,利用幾何體的結構特

征分析出當。與。1重合時，三棱錐M-BCO的外接球的表面積最小，然后設CM的中點為

N,連接。聲，利用三角形相似求得CN=立“，即可求得CM的長.

3

【詳解】

連接ΛM,由題意可知三棱錐BCD的外接球即四棱錐M-ABC。的外接球，則當三棱錐

M-BCr)外接球的表面積最小時，四棱錐M-ABCD外接球的半徑最小.設四棱錐

例-ABCD外接球的球心為。，半徑為R,連接AC與BO交于點01.當。與。I不重合時，

連接00、,易知Oa?平面ABCD,則。。101C,連接0C,在RtZ?00C中，R=Oe>0?.

當。與。I重合時，R=OC=OC,所以當三棱錐M-BCD的外接球的表面積最小時，。與

Oi重合，R=OC.設CM的中點為N,連接0∣N,易知。N，CM,則cosNOCN=器=費,

CNJlar-(-

所以比L-而，解得CN=上〃，所以CM=2CW=生α?

——a33

2

故答案為：空a

3

【點睛】

關鍵點睛：利用直角三角形中斜邊最長判斷出當。與0∣重合時，三棱錐M-BCD的外接球

的表面積最小是解題的關鍵所在.

∣25√3

13.Ti

6

【解析】

【詳解】

DC

球面與正方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即面

小與8、面ABC。和面MR。上；另一類在不過頂點A的三個面上，即面即GC、面CCQO

和面ABGR上.在面44瓦8上，交線為弧E尸且在過球心A的大圓上，因為AE=平，

AA=1,則NAAE=￡,同理NBAF=9，所以NEAF=g,故弧EF的長為矩,生=立萬，

而這樣的弧共有三條.在面BMGC上，交線為弧尸G且在距球心為1的平面與球面相交所

得的小圓上，此時，小圓的圓心為B,半徑為立，NFBG==,所以弧FG的長為

2.三:旦兀,這樣的弧也有三條，于是，所得的曲線長為3x走萬+3x3?更萬，故

326966

答案為空》.

6

14.12288πcm,

【解析】

【分析】

結合球的表面積等于圓錐的表面積，建立等式，計算半徑r,利用體積計算公式

V=πr2-h,即可.

【詳解】

結合題意可知圓錐高h=48,設圓錐底面半徑為r,則圓錐表面積

S=g?2πr??∣r2+h2+πr2=πr4r2+482+πr2=gzr241,計算得至Ij

/?=16,所以圓錐的體積^=42.拉=》162?48=12288萬

【點睛】

本道題考查了立體幾何表面積和體積計算公式，結合題意，建立等式，計算半徑r,即可,

屬于中等難度的題.

【解析】

設qp=x,o∣G=y,根據幾何關系得到N=/+/,尸=苧+y-≥±,從而得到x,y

的關系，再利用消元法，得至∣jR2=f+y2=y2-√5y+3,最后利用一元二次函數的性質，

得到R2的取值范圍，從而得到球。的表面積取值范圍.

【詳解】

如圖，設球。的球心為G,AA的中點。1,CG的中點。2，。。2的中點。，

且O。=也，OA=OB=-.

因為B,。,2,用在球面上，所以球心在線段。O2上，

點P也在球面上，GP=GB=R.

設。IP=X,0∣G=y.則OG-y-.

2

在RtAOfG中，R2=x2+y2.......①

在∕?∣?BOG中，R2=+........②，

聯立①②，得χ2=<-√∑y,因為0≤x≤^,所以它WyW還.

422'8

2222

所以N=x+y=y-√2y+^=(y-?y)+?∣∈［∣,∣∣b

所以球。的表面積取值范圍為［3兀,2弓5兀］.

O

故答案為：［3π,竽25兀］

O

【點睛】

本題考查四棱錐與球的切接問題、球的表面積，考查空間想象能力和運算求解能力，考查轉

化與化歸思想、數形結合思想的運用，求解的關鍵是先確定以什么為變量進行研究.

16.①③

【解析】

【分析】

由①可知Vp-ABQ=匕-/W只需求點A到面PBQ的最大值

對于②，求直線PB與平面布。所成角的最大值，可轉化為總到軸截面距離的最大值問題

進行求解

對于③④，可采用建系法進行分析

【詳解】

選項①

Q

131

如圖所示，當OAJLO3時，四棱錐體積最大，VA.PBQ=SPBQOA^-×→?=-

選項②中，線PB與平面PAQ所成角最大值的正弦值為tanNBPo=槳=：,所以ZBPO≠?

r(.)2O

選項③和④，如圖所示:

以垂直于OC方向為X軸，。。方向為y軸，OP方向為Z軸,其中A(O,-1,0)設B(CoSaSinaO)

P(0,0,2),β(0,0,-1).AP=(0,1,i),BQ=(-cosθ,-cosθ,-l)

?AP-BQ?∣-cos”2∣

設直線BQ與AP所成角為α,COSa=謁向=I加五',當CoSe=I時，COSa取到最

十值?^?ɑ吐府?M

天恒，COSa=-------，ltL∏'jsιna=------，

1010

由于改。€卜1,1],.上8$。一2|?1,3],CoSaH0,所以ɑ取不到

答案選①、③

【點睛】

幾何體的旋轉問題需要結合動態(tài)圖形和立體幾何基本知識進行求解，需找臨界點是正確解題

的關鍵，遇到難以把握的最值問題，可采用建系法進行求解.

17.①③④(多選或錯選或不選不給分，少選均給一半，)

【解析】

【詳解】

①匕-可C=匕用V=IX號?xgSiGC為定值；②因為BCJ/AR,所以8G〃面AAC,因

此P到面AAC距離不變，但AP長度變化，因此直線AP與平面ACR所成的角的大小變化；

③二面角P-ADx-C的大小就是平面ABC,Dy與平面ARC所組成二面角的大小,因此不變;

④到點。和C1距離相等的點在平面A1BCD1±.,所以M點的軌跡是平面ABC。與平面

AiBfCtDx的交線AiDl.綜上真命題的編號是①③④

18.8+4λ^÷-

9

【解析】

【分析】

首先將挖掉的圓柱放在一個正四棱柱里面，根據體積公式列出圓柱體積的表達式，利用導數

工具判斷體積最大值時圓柱的高和底面半徑，最后求出剩下幾何體的表面積即可.

【詳解】

如圖，在四棱錐P-ABCO內作出正四棱柱AMNK-HEFG,

其中點E,F,C,H,M,K分別在棱尸8,PC,PD,PA.AB,Af)上，

則要使挖掉的圓柱體積最大，

則需其底面圓為正四棱柱AMNK-HEFG底面的內切圓，

連接〃尸，設挖掉的圓柱的底面圓半徑為，高為，

則“F=2j^?,AH=h.連接4C,

易知點N在AC上、在平面PAC內，

易為HFHAC,則箓=誓，即吟1=2ΞΔ,即r=等=T，

ACPA2√2222

故挖掉的圓柱的體積V=乃//?=》(1一1]O=?,'一4∕+4"),0<Λ<2.

則S=工(36一8∕j+4)=-(Λ-2)(3/?-2),

44

22

當0</<一時，v,>o,當一<〃<2時，r<o,

33

2