拓展九：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)的4種考法總結(jié)-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步講義（人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)）解析版

拓展九：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)的4種考法總結(jié)

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)一討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)

廠(-)一個(gè)零點(diǎn)

考點(diǎn)二根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍(二)兩個(gè)零點(diǎn)

I(≡)三個(gè)零點(diǎn)

(-)比值代換

(二)消叁減元

考點(diǎn)三與零點(diǎn)有關(guān)的不等式問(wèn)題

(≡)構(gòu)造對(duì)稱(chēng)函數(shù)

(四)同構(gòu)轉(zhuǎn)化

考點(diǎn)四三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

冬二知識(shí)梳理

函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題綜合了函數(shù)、方程、不等式等多方面的知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)

合及函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想.函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題常與其他知識(shí)相結(jié)合綜合出題,解題難度較大,

因此判斷零點(diǎn)存在及零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題是考查的一個(gè)熱點(diǎn).

1、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函

數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)的值或取值范圍.

求解步驟：

第一步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與X軸(或直線y=Z)

在某區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫(huà)出其

圖像；

第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù).

2、與零點(diǎn)有關(guān)的不等式問(wèn)題

(1)證明雙變量不等式的基本思路：首先進(jìn)行變量的轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找

雙變量所滿足的關(guān)系式，或者通過(guò)比值代換(令f=熱，利用關(guān)系式將其中一個(gè)變量用另一個(gè)

變量表示，代入要證明的不等式，化簡(jiǎn)后根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)

的單調(diào)性，從而求其最值，并把最值應(yīng)用到所證不等式.

(2)消參減元的主要目的是減元，進(jìn)而建立與所求解問(wèn)題相關(guān)的函數(shù).消參減元法，

主要是利用導(dǎo)數(shù)把函數(shù)的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而建立參數(shù)與極值點(diǎn)之間的關(guān)系，

消去參數(shù)或減少變?cè)?，從而?jiǎn)化目標(biāo)函數(shù).其解題要點(diǎn)如下.

①建方程：求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令F(X)=0,建立極值點(diǎn)所滿足的方程，抓住導(dǎo)函數(shù)中

的關(guān)鍵—導(dǎo)函數(shù)解析式中變號(hào)的部分(一般為一個(gè)二次整式)；

②定關(guān)系：即根據(jù)極值點(diǎn)所滿足的方程，利用方程解的知識(shí)，建立極值點(diǎn)與方程系數(shù)之

間的關(guān)系；

③消參減元：即根據(jù)兩個(gè)極值點(diǎn)之間的關(guān)系，利用和差或積商等運(yùn)算，化簡(jiǎn)或轉(zhuǎn)化所求

解問(wèn)題，消掉參數(shù)或減少變量的個(gè)數(shù)；

④構(gòu)造函數(shù)：即根據(jù)消參減元后的式子的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)；

⑤求解問(wèn)題：即利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，解決相關(guān)問(wèn)題.

(3)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，除了前述方法外，也常通過(guò)構(gòu)造關(guān)聯(lián)(對(duì)稱(chēng))函數(shù)求解，常見(jiàn)步

驟如下：①構(gòu)造奇函數(shù)Fa)=Λxo—X)-AXo+x);②對(duì)F(X)求導(dǎo)，判斷P(X)的符號(hào)，確定F(X)

的單調(diào)性；③結(jié)合F(O)=O,得到人為一x)?(XO+x)(或次尤0—x)勺UO+x));④由7(X1)=∕(X2)=∕5)

一(Xo-X2))>(或<求助+5)一刀2))=式2加一垃)得./1)>(或</2而一切；⑤結(jié)合危)的單調(diào)性，得

X1>(或<)2xo^^X2,得笛+尤2>(或<)2xo.其中也可考慮構(gòu)造F(X)=y(x)—y(2x?-X)等，具體視已

知條件“執(zhí)果索因

考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)

1.(2023?河南?高三安陽(yáng)一中校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)"x)=gχ3+--2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】求出尸(力，令:(力<0、附x)>0可得/(x)的單調(diào)性，結(jié)合”x)的極大值、極

小值的正負(fù)情況可得答案.

【詳解】易知/(x)的定義域?yàn)閧χ∣χ≠o},Γ(x)=x2--^=^≤,

令r(x)<0,解得T<x<0或OVXV1,.?.f(x)在(TO)和(0,1)上單調(diào)遞減,

令用x)>0,解得χ<T或χ>l,.??∕(χ)在和(l,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)4-1時(shí)，/(x)取得極大值曰<0,易知"x)在(-8,0)上沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)X=I時(shí)，/(x)取得極小值=且=詈>0,/(2)=→0,

??JJo?O

可知f(x)在(0,+")上有2個(gè)零點(diǎn).綜上所述，/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

2.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=e*-χ2,求證：

(l)f(χ)存在唯一零點(diǎn)；

(2)不等式e--V+尤一1+Qn為2≥0恒成立.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)得出AM的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可；

(2)先證明lnx≤x-l,再由/U)的單調(diào)性,證明不等式即可.

【詳解】(I)f'(x)=ex-2x=g(x),g'(x)=ex-2.

當(dāng)x>ln2時(shí)?，g'(x)>O,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x<ln2時(shí),g'(x)<O,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

所以g(ln2)=ehl2-21n2=2-ln4>0,即g(x)>OJ'(x)>0.

所以/(x)在(F,+∞)上單調(diào)遞增，/(O)=1,/(-l)=i-l<O.

e

則在(TO)上，存在X。，使得〃玉)=0,即/(X)存在唯一零點(diǎn)；

(2)/(lnx)=e'nv-(lnx)2=X-(Inx)2,f(x-1)=el^'-(x-l)2=ex-,-x2+2x-l

11—Y

令∕j(x)=lnx-x+l(x>O),h'(x)=——?=——-.

XX

當(dāng)O<x<l時(shí)，h'(x)>O,此時(shí)函數(shù)〃(元)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時(shí)，Λ,(x)<O,此時(shí)函數(shù)以X)單調(diào)遞減；

gp?(x)≤A(I)=O,?lnx≤x-l.

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在(F,+∞)上單調(diào)遞增，所以/(∣nx)<f(x-?).

即e'^1-X2+2x-l-x+(InX)2≥0.

故不等式ev-'-√+x-l+(lnx)2>O恒成立.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在證明第二問(wèn)時(shí)，關(guān)鍵是由導(dǎo)數(shù)證明InX≤x-l,再利用函數(shù)/S)的單

調(diào)性證明，在做題時(shí)，要察覺(jué)到這一點(diǎn).

3.(2023?陜西咸陽(yáng)?陜西咸陽(yáng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)"x)=(x-l)e'-or-L

⑴當(dāng)α=0時(shí)，證明函數(shù).f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

(2)若存在XdR,使不等式/(X)<YT成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)(-∞,0)_(e,+∞)

【分析】(1)求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到/(x)在(0,2)

存在唯一零點(diǎn)，證明出結(jié)論；

(2)二次求導(dǎo)，分α>0,α=0和α<0一種情況，當(dāng)α>0時(shí)，由函數(shù)隱零點(diǎn)得到f(x)*n,

構(gòu)造函數(shù)，證明出x>l時(shí)，/(x)min<-e-l,并山單調(diào)性得到α=/e">e,當(dāng)α=0時(shí)，結(jié)合

第一問(wèn)，得至∣J∕(x)2∕(0)=-2>-e7,當(dāng)〃<0時(shí)，舉出反例.

【詳解】(1)定義域?yàn)镽,

當(dāng)α=0時(shí)，,/(X)=(X-1)CΛ-L∕,(x)=Λev,

令網(wǎng)x)>0,得x>0；令r(x)<O,得x<0,

所以函數(shù)〃x)在區(qū)間(-",O)上.為減函數(shù)，在區(qū)間(0,+向上為增函數(shù)，

又當(dāng)xe(y,0)時(shí)?，X-ICO,e*>0,可得/(x)=(x-l)e*-l<O,

當(dāng)x∈[0,+◎時(shí)，/(0)=-2<0,/(2)=e2-l>0,

由零點(diǎn)存在性定理可知：在(0,2)存在唯一零點(diǎn)，

綜上，函數(shù)/(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

(2)定義域?yàn)镽,f?x)=xex-a,

令g(x)=∕'(x),則g'(x)=(x+l)e”,

令/(x)>0,Wx>-1；

令g'(x)<O,得x<-l,

所以函數(shù)/'(x)=xe'-α在區(qū)間(-∞,T)上為減函數(shù)，在區(qū)間(-l,+e)上為增函數(shù)，

當(dāng)4>0時(shí)，x≤0時(shí)，∕,(x)<0,又r(α)="(e"-l)>O,

由零點(diǎn)存在性定理可得≡?∈(0,+∞),使∕,(?)=?e'i>-?=0,

且x∈(-8,Λ?)時(shí)f'(x)<O,當(dāng)xe(Λ0,+∞)時(shí)MX)>0,

因此函數(shù)/(X)在區(qū)間(-8,Xo)上為減函數(shù)，在區(qū)間α),+∞)上為增函數(shù)，

F(XLn=f。)=QT)e"一平)T

=(?-l)?`0~χoe'''-?=(—AO÷?—l)e4—1,且Xo>。，

設(shè)〃(X)=(-X2+x-l)e'-l(x>0),∕z,(x)=(-x2-X)e*<0(x>0),

所以九(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)，

又力⑴=-e-l,

故x>l時(shí)，/(x)min<-e-l-

存在XeR,使不等式/(X)<Y-1成立，

因?yàn)?'(x)=xe*-α在區(qū)間(-8,-1)上為減函數(shù)，在區(qū)間(T,+⑹上為增函數(shù)，

所以j(x)=xe*在(l,+∞)上單調(diào)遞增,故α=Xoe%>e,

當(dāng)α=0時(shí)?，山(1)得/(x)在(-8,0)上是減函數(shù)，在(。,+8)上是增函數(shù)，

故F(X)≥∕(0)=-2>-e-l,

所以不存在XeR,使不等式/(x)<-e-l成立；

p-∣-1

當(dāng)“<0時(shí)，取x<-----<0,GR-at<-e-l,

a

所以(x—1)e?—Cix—1<—c—1,

所以存在XeR,使不等式/(x)<-e-l成立.

綜上所述，a的取值范圍是(—,0)-(e,y).

【點(diǎn)睛】隱零點(diǎn)的處理思路：

第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過(guò)合理賦值，敏銳捕捉

零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時(shí)還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個(gè)數(shù)：

第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對(duì)數(shù)互換，超越函數(shù)與

簡(jiǎn)單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.

4.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(χ2-2Or)InX+g/

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a>1,討論函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

e

【答案】⑴增區(qū)間為((),j和(l,+∞),減區(qū)間為&,11

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)當(dāng)a=l時(shí)，求得F(X)=2(X-D(InX+1),利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可

求得函數(shù)/(x)的增區(qū)間和減區(qū)間；

(2)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(x)的單調(diào)性，對(duì)實(shí)數(shù)。的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合零點(diǎn)存在定理

可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：當(dāng)。=1時(shí)，"x)=(χ2-2x)lnx+gY,該函數(shù)的定義域?yàn)?0,+巧，

∕,(x)=(2x-2)lnx+(x-2)+x=2(x-l)(lnx+l),

由/'(x)<0可得g<x<l,由∕]x)>O可得O<x<g或x>l.

故當(dāng)α=l時(shí)，函數(shù)/(x)的增區(qū)間為j和(1,e)，減區(qū)間為(§1).

(2)解:函數(shù)"力的定義域?yàn)?0,+8),

∕,(x)=(2x-2^)lnx+(x-26f)+x=2(x-<7)(lnx+l),

由r(x)=0,得XI=3,工2=4(4>:)，

由廣(力<0可得!<x<ɑ,由∕<x)>0可得O<x<g或x>4.

所以，函數(shù)”x)的增區(qū)間為(。，￡)、(。,+8),減區(qū)間為C，

所以，函數(shù)“X)的極大值為fKJ=示一>°，

極小值為/(α)=；/-/Ina="2(；-Ina),

當(dāng)0<x<-時(shí)，/'(x)=xlnx∣X+———2a|,

eV2InX)

γ1

令P(X)=X4---------2a,其中0<χ<一,

2Inxe

、,Inx-I(2InX-I)(InX+1)..f1

則P(X)=I+蘇1='—太子―->0.即函數(shù)P(X)在(?j上單調(diào)遞增,

故當(dāng)OCXJ時(shí)，p(x)<p∣?|=^--2a<0,

eVe√2e

此時(shí)，/(x)=XInX[X+木-24)>0,所以/(x)在(0,￡|上不存在零點(diǎn)；

①當(dāng)加時(shí),/(a)=α2^-lnαj>0,此時(shí)函數(shù)"x)無(wú)零點(diǎn)；

②當(dāng).=五時(shí)，/(?)=0,此時(shí)函數(shù)/(力只有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)”>6時(shí)?，/(α)<0,/(2o)=2α2>0,

則〃x)在與(4,+∞)上各有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，(i)當(dāng)1<α<五時(shí)，/(x)在(0,+8)上不存在零點(diǎn)；

e

(i?)當(dāng)α=右時(shí)，/(x)在(0,+⑹上存在一個(gè)零點(diǎn)：

(iii)當(dāng)α>五時(shí)，“X)在(0,+∞)上存在兩個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：

(1)直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體

現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；

(3)參變量分離法：山f(x)=O分離變量得出α=g(x),將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線了=。與函

數(shù)y=g(x)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.

5.(2023?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(力=(*-3卜'-日卜2-4?.

⑴當(dāng)α=l時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)0<α<2時(shí)，討論函數(shù)”x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】⑴單調(diào)增區(qū)間為(9,I)和(2,田),單調(diào)減區(qū)間為(1,2)

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)求導(dǎo)得到/(x)=(x-2乂e-e),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到單調(diào)區(qū)間.

(2)求導(dǎo)得到r(x)=(x-2χe*-e"),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算/(〃)=。和/(2)=0,得

至1]4=3-后和。=2-姑2,考慮0<4<3-石，α=3-√3,3-√3<a<2-ln2,a=2-ln2,

2-ln2<α<2幾種情況，計(jì)算零點(diǎn)得到答案.

【詳解】(1)當(dāng)α=l時(shí)，∕,(Λ)=(x-2)ej-e(x-2)=(x-2)(e'-e),

當(dāng)x<l時(shí)，-(x)>0；當(dāng)l<x<2時(shí)，∕,(x)<0;當(dāng)χ>2時(shí),∕,(x)>0,

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,D和(2,XO),單調(diào)減區(qū)間為(1,2).

(2)∕,(x)=(x-2)et-en(x-2)=(x-2)(et-en),

令尸(X)=0,得χ=2或x=α,由于0<“<2,

當(dāng)x<α?xí)r，Γ(x)>O;當(dāng)“<χ<2時(shí)，∕,(x)<0,當(dāng)x>2時(shí)，f'(x)>O.

所以函數(shù)AX)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,。)和(2,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(〃,2).

令/(a)=0,得α=3-√L

當(dāng)0<α<3-石時(shí),/(2)<∕(α)<0,又/(4)=e4>0,

所以存在唯一x∣w(2,4),使得/(Λ1)=0,此時(shí)函數(shù)/O)有1個(gè)零點(diǎn)七；

當(dāng)α=3-后時(shí)，/(2)<∕(a)=0,又/(4)=e4>0,

所以存在唯一We(2,4),使得“Λ2)=0,此時(shí)函數(shù)F(X)有2個(gè)零點(diǎn)々和“；

4?∕(2)=-e2+2en=0,得α=2-ln2,

現(xiàn)說(shuō)明3-G<2-ln2,即ln2<G-l,即2<e&顯然成立.

7

因?yàn)?'°<2.77<e"故e^τ>e記>2，

當(dāng)3-√5<α<2-ln2時(shí),/(2)<0<∕(α),又/(4)=e4>0J(O)=-3<0.

所以存在唯一??W(OM),唯一七€(。⑵，唯一%e(2,4),

使得“電)=)=/(%)=0，此時(shí)函數(shù)/S)有3個(gè)零點(diǎn)七,玉,天，

當(dāng)α=2-ln2時(shí)，/(a)>∕(2)=0,又/(0)=-3<0.

所以存在唯一％e(0，“)，使得〃％)=°，此時(shí)函數(shù)/U)有2個(gè)零點(diǎn)/和2.

當(dāng)2-ln2<α<2時(shí)，f(a)>f(2)>O,χ∕(0)=-3<0.

所以存在唯一x,w(0,α),使得f(X7)=O,此時(shí)函數(shù)/U)有1個(gè)零點(diǎn)七.

綜上所述，當(dāng)0<α<3-G時(shí)，函數(shù)."N有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)α=3-G時(shí).，函數(shù)/3有2個(gè)零點(diǎn)；

?3-√3<α<2-ln2時(shí)，函數(shù)/⑶有3個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a=2—ln2時(shí)，函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)2—ln2<α<20寸，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，

轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)值分類(lèi)討論確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

解題的關(guān)鍵，分類(lèi)討論是常用的方法，需要熟練掌握.

6.(2023春?河北邢臺(tái)?高三邢臺(tái)市第二中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)=0r2-∣l+lnx∣(α>0).

⑴若α=l,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)討論”x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】(1)遞增區(qū)間是(0,1)，(咚,+8)，遞減區(qū)間是d,也)；

e2e2

(2)答案見(jiàn)解析.

【分析】(1)把α=l代入，分段去絕對(duì)值符號(hào)，再利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間作答.

(2)由/O)=。分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題求解

作答.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)/(χ)=χJ∣l+則的定義域?yàn)?0,e)，

當(dāng)0<x≤-時(shí),f(x)=X2+1+Inx,f?x)=2x4—>0,因此/(x)在(0,—)上單調(diào)遞增,

eXe

當(dāng)X>J時(shí)，/(X)=χ2-1-1∏Λ?,r*)=2X-L=^≡1,當(dāng)l<χ<也時(shí)，［(x)<0,當(dāng)χ>也

eXXe22

時(shí)，∕,(χ)>o,

因此函數(shù)/(χ)在(」,")上單調(diào)遞減，在(坐,內(nèi))上單調(diào)遞增，

e22

所以函數(shù)/(X)的遞增區(qū)間是(0,3，(①,+?)，遞減區(qū)間是(1,也).

e2e2

(2)函數(shù)f(x)=or?-11+ln?I(〃>0)的定義域?yàn)?O,+∞),

由於)=°得：〃=三黑’令函數(shù)gw=*,-。,

WC,1“/、1÷1∏Λ八口小，/、X-2x(l÷Inx)l÷21nxC

當(dāng)0<x≤一時(shí)，g(x)=———,求導(dǎo)得g，(X)=---------4——-=-5—<0,

ex^XX

函數(shù)g(x)在(0』上單調(diào)遞減，由于-(l+lnx)≥O,即有-(l+lnx)在(0,5上的取值集合是

ee

[0,+∞),

又4在(0,'上的取值集合是IV,+00),因此函數(shù)g(x)在(0,'上的取值集合是［0,+∞),

WIrl,、l+l∏v3.口t,/、1+2InXWI1…、八、”?

當(dāng)X、時(shí)，g(x)=T'求導(dǎo)Z得Ig(χ)=-7當(dāng)丁χ<笈時(shí)，g(χ)>°'當(dāng)χ>黑

時(shí)，g'(x)<O,

因此函數(shù)g⑴在百?gòu)?qiáng)上單調(diào)遞增,在京”)上單調(diào)遞減，在X=%上取得極大值

而VXed,+8),g(x)>O恒成立，

e

函數(shù)/。)=々-|1+欣|(“>0)的零點(diǎn)，即方程4=比中M(a>O)的根,

X

亦即直線y=。(“>0)與函數(shù)y=g(χ)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線y=α(">θ)與函數(shù)y=g(χ)的圖象，如圖，

觀察圖象知，當(dāng)0<“<］時(shí)，直線y="(a>O)與函數(shù)y=g(x)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn),

當(dāng)a=?∣時(shí)，直線y="(α>O)與函數(shù)y=g(x)的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)”>5時(shí)，直線P=α(a>O)與函數(shù)y=g(*)的圖象有1個(gè)公共點(diǎn),

所以當(dāng)0<“<?∣時(shí)，函數(shù)/(x)有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)。=1El寸，函數(shù)/S)有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)α>?∣時(shí)，

函數(shù)/(x)有I個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，可以分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的

單調(diào)性、極值、最值，并結(jié)合圖形分析問(wèn)題，使問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).

nχ

7.(2023秋?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/*)=In(X+1)——

x+2

⑴若x≥0時(shí)，/U)≥0,求實(shí)數(shù)α的取值范圍；

(2)討論/S)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】(l)α≤2

⑵答案見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)，得至IJ/'O)=,對(duì)0進(jìn)行分類(lèi)討論，可得/(x)

(x+l)(x+2)”

的單調(diào)性，進(jìn)而求得/(X)≥0的時(shí)候，實(shí)數(shù)。的取值范圍.

(2)通過(guò)分類(lèi)討論。，可得函數(shù)/O)的單調(diào)性，進(jìn)而得到，O)的圖像，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，可

得/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】(1)/(X)的定義域是(T,e>),/(洋=-L?-?=

x+li7(x+2)'-：(x+l)(x+2)zD.

①當(dāng)α≤2時(shí)，∕,(x)≥O,所以F(X)在(T,m)上單調(diào)遞增,

又因?yàn)?(0)=0,所以當(dāng)x20時(shí)，/U)>/(0)=0,滿足題意；

②當(dāng)4>2時(shí)，令g(x)=/+(4-2a)(x+l)=x2+(4-2a)x+(4-2a),

2

由g(x)=O,得Xl=(α-2)-Ja2-2α<0,x2-(a-2)+?∣a-2a>O.

,

當(dāng)XW(O,Λ2)時(shí)，g(x)<O,∕(x)<0,所以Ax)在(0,々)上單調(diào)遞減，

所以FCI2)</(0)=0,不滿足題意.

綜上所述，a<2.

(2)①當(dāng)α≤2時(shí)，由(1)可得八X)在(T,+∞)上單調(diào)遞增，且F(O)=O,

所以/(x)在(T,+∞)上存在1個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)α>2時(shí)，由(1)可得g(x)=O必有兩根4，“2，

又因?yàn)間(-D=l>O,8(0)=4-2。<0所以內(nèi)€(-1,0),x2e(0,+∞).

X(-1,X,)Xi(?p??)X2(x2,+∞)

f,ω+0—0+

/(X)單調(diào)遞增極大值”刈單調(diào)遞減極小值〃毛)單調(diào)遞增

當(dāng)X∈(Λ1,Λ2)時(shí)，因?yàn)?(0)=0,所以/(X)在(Λ,,%)上存在1個(gè)零點(diǎn)，

且/?(χ)>f(0)=0,f(??)<∕(O)=0；

當(dāng)xe(-l,xl)時(shí)，因?yàn)?(eT-l)=lne-"-"e-I)=2ae“<0,

1,e^a+Ie^^a+l

-IVeT-ICo,而/(X)在(0,5)單調(diào)遞增,且/'(x∣)=0,而ge"-l)>0,故-1<∕-1<%,

所以AX)在(-LxJ上存在1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)Xe(J?,÷w)時(shí)，因?yàn)?(e"-I)=Ine"一"：I)=-^■>(),

e"-l>0.而F(X)在(々，+Oo)單調(diào)遞增，且八天)=。，而g(e"T)>0,

所以e"-l>%,所以F(X)在(％,+∞)上存在1個(gè)零點(diǎn).

從而/(X)在(-l,+∞)上存在3個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)α≤2時(shí)，/O)存在1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a>2時(shí)，/(x)存在3個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：通過(guò)求導(dǎo)，得到/'(X)，通過(guò)分析導(dǎo)數(shù)，得到/O)的圖像，通過(guò)數(shù)形結(jié)

合，可求得不等式恒成立時(shí)，參數(shù)的取值范圍，以及相應(yīng)的/(χ)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

考點(diǎn)二根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍

(二)二個(gè)零點(diǎn)

8.(2023春?河南洛陽(yáng)?高二洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)〃尤)=:-lnx+根

區(qū)間(Le)內(nèi)有唯一零點(diǎn)，則用不可能取值為()

A.—B.—C.-D.1+-

ee+∣ee

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)，令/(x)=W-InX+機(jī)=0,孤立參數(shù)求出m的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的端點(diǎn)值，求解函數(shù)的值域，然后求解用的范圍即可，即可得答

案.

,,_?m,__..XlnX?/、XlnX.、x+1+lnx

【r詳j解】令---lnx+∕n=0,可r得zW=------令g(x)=-----------,可r得zlg(x)=—?-,

Xx+1x+1(x+l)

令Λ(x)=x+l+lnX,h'(x)=1+,>0恒成立，函數(shù)y=〃(功在區(qū)間(Le)是單調(diào)增函數(shù)，

所以〃(x)>〃⑴=2>0,所以g'(x)>O,g(x)在區(qū)間(l,e)是單調(diào)增函數(shù),

所以有g(shù)(l)<g(x)<g(e),

/77

函數(shù)/(九)=一一lnx+機(jī)在區(qū)間Qe)內(nèi)有唯一零點(diǎn),

X

ee

.?.O<g(x)<--,則小的可能取值為：0<"?<-

e÷le+1

故選：D.

9.(2023?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(X)=加-3x+l存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4

的取值范圍為.

【答案】(-∞,0]U(4,+8)

【分析】求定義域，求導(dǎo)，分α≤0與α>0兩種情況，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理和極值情況，列

出不等式，求出實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【詳解】〃X)=/一3x+l定義域?yàn)镽,(X)=3/一3,

當(dāng)α≤0時(shí)，/'("=3奴2—3<0恒成立，故/(X)=/一3x+l在R上單調(diào)遞減,

又〃0)=l>0,〃l)=a—2<0,

由零點(diǎn)存在性定理得：存在唯一的％∈(0,l)使得：/(?)=0,故滿足要求，

當(dāng)”>0時(shí)，由f'(x)=3加一3>0得χ>或χ<

由/'(力=30√—3<0得--<χ<

出上單調(diào)遞增,

故"x)在-上單調(diào)遞減，在x<x>

a

當(dāng)X→-00時(shí)，/(x)→-co,

所以函數(shù)3X+1存在唯一的零點(diǎn)，只需/用=^-3^→l>0,

解得：?>4,與α>0取交集后得到α>4,

綜上：實(shí)數(shù)α的取值范圍是(-∞,0]u(4,+∞)?

故答案為：(-∞,0]D(4,+CO)

10.(2023秋?江蘇南京?高二南京師大附中?？计谀?設(shè)。為實(shí)數(shù)，若函數(shù)

x-er+2,x≤0

/W=l八有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

-X3-4ZIx+a,x>0

13

16161616

A.—∞,—B.—∞,一C.D.一,+8

33T'+"3

【答案】C

【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)f(x)在(-8,0］上

只有一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)“力在(0,+8)上無(wú)零點(diǎn)，并利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(x)在(0,+8)上的

單調(diào)性，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式，解之即可.

【詳解】當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=x-e'+2,則/'(x)=l-e'≥0且尸(無(wú))不恒為零，

所以，函數(shù)/(x)在(-8,0］上單調(diào)遞增，所以，/(x)≤∕(0)=2-l=l,

又因?yàn)閒(-2)=-e-2<o,所以，函數(shù)"χ)在(-∞,0］匕只有一個(gè)零點(diǎn)：

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn),則函數(shù)”x)在(。,+8)上無(wú)零點(diǎn),

2

則當(dāng)x>0時(shí)，/(x)≈i√-4x+α,W∣J∕(X)=X-4,

由/'(x)<?？傻?<x<2,由∕<x)>0可得x>2.

所以，函數(shù)/(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

所以，只需/(2)="*>0,解得ɑ吟.

故選：C.

11.(2023秋?陜西漢中高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)"x)=e'一奴2.

⑴求曲線y=∕(χ)在點(diǎn)(o,/(o))處的切線方程；

⑵若函數(shù)/(外在(0,+。)上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的值.

【答案】(I)X—y+ι=()

(2)a=-?

4

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義運(yùn)算求解；

(2)分α≤0和α>0兩種情況討論，根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分析求解.

【詳解】(1)?.?∕(x)=e'-or?,.../，(X)=e*-20r,

則"0)=1，Z(O)=I.即切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),切線斜率々=1,

；?曲線產(chǎn)/(x)在點(diǎn)(Oj(O))處的切線方程為yτ=*一0，即x—y+ι=o.

(2)V/(x)=ev-0r2,∕,(x)=ev-20r,則有：

當(dāng)a≤0,則/(力=e'—功>0在Xe(O,物)上恒成立，

故函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則/(x)>∕(0)=l>0,

即f(x)在(0,中功無(wú)零點(diǎn),不合題意，舍去;

當(dāng)α>0,令*(x)=r(x),則d(x)=e'-24在(O,+8)上單調(diào)遞增，則夕'(X)>夕'(O)=I-勿,

令g(x)=e*-x—l,則g'(x)=e*-l>0在XW(O,+∞)上恒成立，

則g(x)在(0,+e)匕單調(diào)遞增，則g(x)>g(O)=0,

故e">x+1在Xe(O,+∞)上恒成立，

.?."(α+ln2)=2(e"-α)>2(α+l-a)=2>0,

(i)當(dāng)l-2420,即0<α≤;時(shí)，則/(x)NO,則函數(shù)S(X)在(。,+0上單調(diào)遞增，則

e(x)>*(0)=l>0,

故函數(shù)f(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，貝IJ"x)>/(O)=1>O,

即“X)在(0,”)無(wú)零點(diǎn)，不合題意，舍去；

(Ii)當(dāng)l-2α<0,即時(shí)?，則函數(shù)Q(X)在(0,+?)存在唯一的零點(diǎn)%,

Uj得：當(dāng)0<x<??時(shí)，d(x)<O,當(dāng)x>xl)時(shí)，e'(x)>0,

故函數(shù)S(X)在(0,天,)上單調(diào)遞減，在(M,+∞)上單調(diào)遞增，則0(力28(%)=60-2”，

,vη>

?o(j?)=e°—2a—0,即20=e>x0,

*(??)=e%-孫)=e*>(l-Xo),

1

①當(dāng)l-x°≥0,即0<x°≤l,∕<α≤?e∣時(shí)，則a(x)≥e(%)≥O在(0,+8)上恒成立，

故函數(shù)〃x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，則"x)>∕(0)=l>0,

即函數(shù)/(x)在(0,+8)無(wú)零點(diǎn)，不合題意，舍去；

②當(dāng)ITo<0,即Xo>l,α>?∣時(shí)，

結(jié)合①可得：若α=l時(shí)，"》)=爐一/>0在(0,+向上恒成立，

2o2

故φ(x0)<0,9(O)=I>0,φ(2a)=e-(2a)>0,

故夕(x)在(0,+司內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為辦,々(°<玉<??<j?),

可得：當(dāng)0<x<x∣或χ>??時(shí)，夕(x)>0,當(dāng)時(shí)，g(x)<0,

故函數(shù)〃x)在(0,不),(%,+∞)上單調(diào)遞增，在α,%)上單調(diào)遞減，

若函數(shù)“X)在(0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn),且"0)=l>0,

/(&)=e%-ax1=0,

e'2

XVO(W)=e,-Iax2=0,即Q=,

e?2———x焉=O,解得X,=2,

2X2^

IAa

4

2

綜上所述：?=-e.

4

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來(lái)求

解.這類(lèi)問(wèn)題求解的通法是：

(1)構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類(lèi)題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；

(3)數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解.

12.(2023?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=αlnx-χ2+.χ.

⑴當(dāng)α=l時(shí)，求證：/U)≤0;

(2)若函數(shù)/(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

(2)α=l或。<0.

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)Fa)的最大值為0,可得〃%)≤0;

(2)當(dāng)a=0時(shí)，/(χ)不存在零點(diǎn)；當(dāng)αwθ時(shí)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=-W與丫=十的圖象

有且只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可求出結(jié)果.

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，/(?)=Inx-x2+%,x>O,

“、1-2x2+X+1-(2JC+1)(X-1)

/(x)=--2x÷l=-------------=--------—------,

XXX

當(dāng)OVXVI時(shí)，ft{x}>0,當(dāng)x>l時(shí)，∕r(x)<0,

所以f(x)在(0,D上單調(diào)遞增，在(h÷∞)上單調(diào)遞減.

所以“χ)mκ="ι)=o,即"χ)≤0?

(2)函數(shù)/(x)=αlnx-χ2+οχ的定義域?yàn)?0,+∞),

當(dāng)α=0時(shí)，/(x)=—V=O無(wú)解，此時(shí)/(x)不存在零點(diǎn)；

當(dāng)α/0時(shí)，由/(x)=0得：=X,x∈(0,+∞),

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

設(shè)g(x)=與則函數(shù)g(χ)=與些與>=：的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),

f—F1J?x2-(lnx+%)?2x

g'(χ)=k^j~~1-2InX-X,

/、2

令∕z(x)=l-2InX-X,則∕f(χ)=----1,

因?yàn)閤>0,所以I(X)V0,

所以人(%)在(0,+女)上單調(diào)遞減,KA(I)=O,

所以當(dāng)OVXVl時(shí)，A(x)>∕z(l)=O,g,(x)>O,

當(dāng)0>1時(shí),A(x)<?(l)=O,g'(%)vθ,

所以g(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,+∞)上單調(diào)遞減.

所以g(x)maχ=g(D=l，

當(dāng)OVXVI時(shí),g(x)<g(l)=l,?^(x)=2x÷lnx,0<x<e^1,p(x)在(0?1上遞增,

^(x)<^(e-l)=2e^,-l<0,

則當(dāng)OVXVeT時(shí),2x+lnx<0<=>lnx+x<-x<=><——,而在(0,e')上取值集合為

(→Λ.-e),

當(dāng)e-∣≤xvl時(shí)?，e-e2≤x<l,于是得當(dāng)O<x<l時(shí)，g(x)的取值集合為(-∞,1),而當(dāng)x>l

時(shí)，O<g(x)≤l,

又函數(shù)y=g(χ)與yj的圖象有且只有個(gè)交點(diǎn)，

所以L=I或1<0,即a=l或α<0,

aa

綜上所述：實(shí)數(shù)”的取值范圍是。=1或α<0.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最

值等，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問(wèn)題.

(二)兩個(gè)零點(diǎn)

13.(福建省泉州市2023屆高三數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題(三))已知函數(shù)/(X)=卜'-1|-Or有

兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】(1,M)U(-1,0)

【分析】零點(diǎn)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)為為圖像交點(diǎn)問(wèn)題，然后討論α的取值范圍即可.

【詳解】f(χ)=F-I卜公有兩個(gè)零點(diǎn)

???∣et-l∣=如有兩個(gè)根，即圖像有兩個(gè)交點(diǎn)；

若有兩個(gè)交點(diǎn)，則a>g'(O)=l;

②α=O時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)；

③“<0時(shí)，設(shè)〃(X)=I-e',∕z,(x)=-ev

若有兩個(gè)交點(diǎn),““'(O)=T

綜上可得，實(shí)數(shù)”的取值范圍為(1,M)U(-1,0)

故答案為：(1,一)口(一1,0)

14.(2023秋?四川成都?高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)校考期中)已知函數(shù)

/(x)=lnx+αχ2-2x有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).馬，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】(θ?)

【分析】等價(jià)于F(X)有2個(gè)零點(diǎn)，再運(yùn)用參數(shù)分離的方法構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)該函數(shù)的性質(zhì)

求解.

【詳解】函數(shù)/(x)有2個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于/(x)有2個(gè)零點(diǎn)，

令/(x)='+2OX-2=0(Xx)),.?.α=2；?∣，令g(x)=J(X>0),

X乙XZX

g(χ)=丁,當(dāng)E時(shí)g(x)=。.?∣0<χ<l時(shí)Y(X)>O,g(χ)是增函數(shù),

當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)V0,g(x)是減函數(shù)，g(j=°，當(dāng)X趨于。時(shí)，g(x)趨于-∞，

當(dāng)時(shí)，g(x)X),g(χ)maχ=g(l)=;,當(dāng)X趨于+oo時(shí)g(x)趨于0,

g(x)的圖像大致如下:

所以”的取值范圍是(θg);

故答案為：(。，3

15.(2023春?湖北武漢?高二武漢市洪山高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)=αlnx-MaeR).

⑴求函數(shù)y=∕(χ)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)y=∕(x)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；

⑵(e,+∞)

【分析】(1)分析定義域并求解導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論α≤0與α>0時(shí)尸(力的正負(fù)，從而可得

函數(shù)的單調(diào)性；

(2)結(jié)合(1)的答案判斷得α>0時(shí)，存在兩個(gè)零點(diǎn)，需/(力3>0,再結(jié)合/⑴=T<0,

可得函數(shù)在(IM)上有零點(diǎn)，再求解=α(21na-α),并構(gòu)造新函數(shù)

g(a)=2]na-a,通過(guò)求導(dǎo)判斷單調(diào)性求解得g(α)mκ=g(e)=2-e<0,從而可得函數(shù)在

(α,/)上有零點(diǎn)，從而可得。的取值范圍為(e,+8).

【詳解】⑴函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),

*.,/(x)=αlnx-x(α∈R),.".∕,(x)=--l?-~-

①當(dāng)α≤0時(shí),f'(x)<O在(0,+8)上恒成立,

即函數(shù)y=F(χ)的單調(diào)遞減區(qū)間為(o,+a)?

②當(dāng)α>0時(shí)，∕,(x)=0,解得x=α,

當(dāng)x∈(0,α)時(shí),∕<x)>0,

二函數(shù)y="χ)的單調(diào)遞增區(qū)間為(O⑷，

當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí)，∕,(x)<0,

???函數(shù)y=∕(χ)的單調(diào)遞減區(qū)間為(4,+∞).

綜上可知：

①當(dāng)4≤O時(shí)，函數(shù)y=∕(χ)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8)；

②當(dāng)α>0時(shí)，函數(shù)y=f(χ)的單調(diào)遞增區(qū)間為(OM),單調(diào)遞減區(qū)間為(。,依).

(2)由(1)知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)y=f(χ)在(0,+8)匕單調(diào)遞減，

；?函數(shù)y=∕(χ)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)α>0時(shí).，函數(shù)y=∕(x)在(OM)上單調(diào)遞增，在(α,a)上單調(diào)遞減，

-

??/(x)mιX=f(a)=a?na-a,

又函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，,/(α)=αlnα-α="(lna-l)>0,.?.a>e.

又/(1)=T<O,.?.lη∈(l,a),使得/(XJ=0,

又/(。2)="山/—,J=α(21na-α),

設(shè)g(α)=21nα-α,則短(a)=2一ι=,

aa

?.?4>e,.?.g,(a)<O,.?.函數(shù)g(a)在(e,+∞)上單調(diào)遞減，

λ^(a),∏ax=g(e)=2-e<0,Λ3x,∈(α,a2),使得

綜上可知，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(e,+8)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過(guò)函數(shù)單調(diào)性列不等式F(XLI>0,然后分別在。的兩側(cè)取值判斷

對(duì)應(yīng)函數(shù)值小于0,即取.f(1),/(/)小于0,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性與最大值的方

式，從而得函數(shù)在(Ln)和(α,/)上存在零點(diǎn).

16.(2023春?重慶沙坪壩?高二重慶南開(kāi)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試)己知函數(shù)/(x)=e'+20x+”?

(1)若X=O為f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值并此函數(shù)的極值；

(2)若/(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】(1)。=-；，極小值為無(wú)極大值

⑵[-8,一彳

【分析】(1)由r(0)=0求得。，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得〃力的極值.

(2)山/(x)=0分離常數(shù)”，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得〃的取值范圍.

【詳解】(1)f?x)=ex+2a,依題意/'(0)=l+2α=0,α=-g,

此時(shí)f(x)=e'-l,所以F(X)在區(qū)間(-∞,0)j'(x)<0j(x)遞減;

在區(qū)間(0,物)J'(x)>Oj(X)遞增.

所以f(x)的極小值為/(O)=1-∣=∣,無(wú)極大值.

(2)依題意/(x)=e'+2ax+a=O①有兩個(gè)解,

[-g)=eT>O,所以x=-；不是①的解,

當(dāng)XW-!時(shí)，由①得α=--—,

22x+l

構(gòu)造函數(shù)g(x)=-y∣^j(x≠-j),

e,(2x+l)_2e'=_^ZLe，

㈠(2X+1)2(2X+1)2'

所以在區(qū)間(-8,一；)(-3,)3(力>0,8(可遞增；

在區(qū)間(；,+00),，(》)<0,8(*)遞減.

當(dāng)x<-g時(shí)，g(x)>0;當(dāng)x>-g時(shí)，g(x)<0,

?

g[l)=一￡1=一逅，要使y=α與y=g(χ)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

則需逅.

2

綜上所述，”的取值范圍是-8,-4]

【點(diǎn)睛】根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)，要注意的是由f'(%)=0求得參數(shù)后，要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

進(jìn)行驗(yàn)證，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，不一定是極值點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，可以考慮分離

常數(shù)法，通過(guò)分離常數(shù)，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)求得參數(shù)的取值范圍.

17.(2023?山西忻州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e2A+(a—2)e、-ar.

(1)討論