2023-2024學(xué)年龍巖市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年龍巖市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷

2023-11

（試卷總分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.）

本試卷主要考試內(nèi)容：湘教版選擇性必修第一冊(cè)第一章至第三章3.1

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.數(shù)列5,2，-3,-10,…的通項(xiàng)公式可能是（）

A=6—ngcin=6—nc=6—n口=8-3n

2.橢圓I。6上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（）

A.2瓜B.2而c.4D.8

3.圓°：/+/=4與圓/：X2+3-5）2=4的公切線條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

4.已知直線丘+>-6左+2=0恒過(guò)點(diǎn)尸，則尸的坐標(biāo)為（）

A.（°'一2）B.（一2，°）C.（6廠2）D（-6,2）

5.已知直線/&-4了+5=0與圓O:/+/=21交于48兩點(diǎn)，則阿=（）

A.2逐B(yǎng).4正c.4D.8

6.在等比數(shù)列｛"J中，｛“"｝的前"項(xiàng)之積為"44，則｛"J的公比夕=（）

V21

A.^2B.2c.2D.5

7.某地48兩廠在平面直角坐標(biāo)系上的坐標(biāo)分別為'（°，°）凈（一2,0）,一條河所在直線的方程為

尤+2了-5=0.若在河上建一座供水站尸，則尸到43兩點(diǎn)距離之和的最小值為（）

A.472B.32C.，6D.48

四苫+片=1

8.已知橢圓,5+3-，過(guò)點(diǎn)尸°』）的直線/與M交于48兩點(diǎn)，且P為NB的中點(diǎn)，貝!I，的方程為

（）

A3%-5y+2=（）B5x-3y-2=0Q3x+5y-8=0口5x+3y-8=0

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選

對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9若直線4:x+y-2=0,（：3x-y+2=0,4：x+）+2=0則（）

A.乙與兩條坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為4

B.44的交點(diǎn)坐標(biāo)為（°，2）

QkIIh

D.44之間的距離為2后

10.已知曲線m-5U-m，則（）

A.當(dāng)加=8時(shí)，C是圓

B.當(dāng)"，=1。時(shí)，°是焦距為4的橢圓

C.當(dāng)°是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓時(shí)，5<m<8

D.當(dāng)°是焦點(diǎn)在了軸上的橢圓時(shí)，8<m<ll

11.己知直線人龍一2了+1=0,圓”：。-。）2+3+1）2=20,若圓M上恰有三個(gè)點(diǎn)到/的距離為右，貝心

的值可能為（）

A.-2B.2C.-8D.8

12.已知數(shù)列｛%｝滿足為=3,20用=3%-2,則（）

17

QR=----

A.4

B.｛%-2｝是等差數(shù)列

jlog3（a?-2）t

C.15J是等差數(shù)列

____________1____________

log式%+i-2>log2（%+2-2）咽

D.數(shù)列152J的前100項(xiàng)和為101

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

5

y——xH—

13.直線7的傾斜角為.（用弧度制表示）.

2

2

14.寫出一個(gè)焦點(diǎn)在*軸上，離心率小于］的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

15.某教育網(wǎng)站本月的用戶為1000人，網(wǎng)站改造后，預(yù)計(jì)平均每月的用戶都比上一個(gè)月增加3。%,則

從本月起,使網(wǎng)站用戶達(dá)到5000人至少需要經(jīng)過(guò)個(gè)月（結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù)：13'土4.83）.

/APB2兀

16.由動(dòng)點(diǎn)尸向圓/：（》一1）2+3一2）2=9引兩條切線尸N,尸8,切點(diǎn)分別為48,-3，則動(dòng)點(diǎn)尸

的軌跡方程為

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在等差數(shù)列“'J中，%=7多=9.

⑴求｛""｝的通項(xiàng)公式；（2）求｛""｝的前〃項(xiàng)和色.

18.已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)"（一2,3）和8（2,5）,

（1）求/的一般式方程；

（2）若直線4過(guò)的中點(diǎn)，且4'/,求4的斜截式方程.

19.已知圓0的半徑為2,且圓心在直線y=》上，點(diǎn)42,4）在圓C上，點(diǎn)為0,2）在圓°外.

⑴求圓C的圓心坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)。在圓°上，求忸必的最大值與最小值.

與+==l（a>6>0）

20.已知橢圓?萬(wàn)的短軸長(zhǎng)和焦距均為2.

⑴求M的方程；

⑵若直線/：y=孤+機(jī)與M沒有公共點(diǎn)，求m的取值范圍.

21.已知數(shù)列｛叫的前“項(xiàng)和是S”，且6a“=55”+2.

\na?\

（1）證明：｛%｝是等比數(shù)列.（2）求數(shù)列121的前〃項(xiàng)和北.

C:,+q=l（a>6>0）（2,",（3,0）

22.已知橢圓礦b-過(guò)點(diǎn)I3J

（1）求0的離心率；

（2）若尸是C的左焦點(diǎn)，44分別是C的左、右頂點(diǎn)，"是C上一點(diǎn)（M不與頂點(diǎn)重合），直線4M交y

12

軸于點(diǎn)N,且的面積是“吠面積的5倍，求直線/也的斜率.

3

1.A

【分析】結(jié)合選項(xiàng)中，數(shù)列的通項(xiàng)公式，逐項(xiàng)驗(yàn)證，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，由”“=6-1,可得4=5,%=2,%=—3,%=-10,…，符合題意，所以A正確;

對(duì)于B中，由4=6-/,可得%=5,%=—2,不符合題意，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，由%=6-"，可得%=5,g=4,不符合題意，所以c錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，由%=8-3"，可得%=5,%='%=-!,不符合題意，所以口錯(cuò)誤.

故選：A.

2.B

【分析】根據(jù)橢圓定義求解.

【詳解】由橢圓定義知，橢圓口+不=上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2。=2M.

故選：B

3.D

【分析】先判斷圓與圓的位置關(guān)系，從而可確定兩圓的公切線條數(shù).

【詳解】由圓。：/+/=4,則圓心°(°，°),半徑為12,

圓心一+"-5)2=4,則圓心由0,5),半徑々=2,

所以兩圓圓心距1°朋1=5>4+々，

所以圓。與圓M的位置關(guān)系為外離，

則圓。與圓M的公切線條數(shù)為4條.

故選：D.

4.C

【分析】把方程整理成關(guān)于后的方程，然后由系數(shù)為0可得.

［x-6=0,［x=6,

［詳解］由丘+y-6左+2=0,得左(x-6)+y+2=0,則［y+2=0,得［y=-2,

所以尸的坐標(biāo)為⑹-2).

故選：C.

5.B

【分析】先求出弦心距，然后根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)即可.

【詳解】由題意得圓。的半徑為同，圓心。到’的距離人。

4

f-o,\AB\=24r^d2=2721-1=4^

所以II,

故選：B

6.D

【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到進(jìn)而求得數(shù)列的公比，得到答案.

,、j、々4=-=8q5a6=8a4a〕

【詳解】由等比數(shù)列口中，但"）的前〃項(xiàng)之積為北，可得K

?3_?7_11

一八q—---q=一

因?yàn)?二°,所以。48,可得2.

故選：D.

7.A

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)的對(duì)稱性建立方程組，求解即可.

如圖，設(shè)A關(guān)于直線》+2了-5=0對(duì)稱的點(diǎn)為/5,6）,

22

Q=2,

,LLLT

則〔。I26=4即，（2,4）,

得

易知⑷=四,

當(dāng)/'，尸,8三點(diǎn)共線時(shí)，

陷+閥=1網(wǎng)+閥取得最小值,

最小值為1"同=J（2+2>+（4-0）2=4^/2.

故選：A

8.C

【分析】設(shè)）（國(guó)'%）'8（々，%）,代入橢圓方程相減得直線斜率，從而得直線方程.

I2I28,

-----1-----------<]

【詳解】5315,尸（U）在橢圓內(nèi)部，

5

易得直線/的斜率存在，設(shè)“（再，必）逐優(yōu)，%），/的斜率為左,

y+y=1,

區(qū)+區(qū)=1—』一）（--X?乂一+一）

I"I—"I

由題意得〔53,兩式相減得535

J

EF（2+%）_02+2（^-；2）=2+2^=（）k=2

3，則53（占一%）53，得5.

3

故/的方程為"1一一,°一1）,即3x+5尸8=0.

故選：C.

9.BCD

【分析】根據(jù)直線的方程求出截距判斷A,聯(lián)立直線方程求出交點(diǎn)可判斷B,由直線方程得出平行判斷

C,利用平行線間距離公式判斷D.

【詳解】由4：x+>-2=°可知在坐標(biāo)軸上的截距為x=2,y=2,

所以4與兩條坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2,故A錯(cuò)誤；

fx+y-2=0卜=0

由13尤一夕+2=。得卜=2,貝的交點(diǎn)坐標(biāo)為（°，2）,故B正確；

里=2行

由方程可得，〃則44之間的距離為喬不

4444,故CD正確.

故選：BCD

10.AB

【分析】根據(jù)條件，利用圓、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)〃?=8時(shí)，曲線C為丁+/=3,此時(shí)曲線表示圓，所以選項(xiàng)A正確;

2

X21

—i-y~1此時(shí)曲線為橢圓且橢圓的焦距為萬(wàn)所以選

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)機(jī)=10時(shí)，曲線C為5?C25=4,

項(xiàng)B正確;

Im-5>11—m

對(duì)于選項(xiàng)C,若曲線C是焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，貝在

解得所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

[m-5<\\-m

則1"―5>°,解得5<加<8,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤,

對(duì)于選項(xiàng)D,若曲線c是焦點(diǎn)在了軸上的橢圓,

故選：AB.

11.BC

6

【分析】由題可得圓心到直線的距離為若，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即得.

【詳解】由題意得圓心"S'T），圓M的半徑為20，

因?yàn)閳A〃上恰有三個(gè)點(diǎn)到/的距離為布，

所以點(diǎn)可至〃的距離為小，即V5,得。=2或-8.

故選：BC

12.ACD

【分析】選項(xiàng)A,由遞推公式直接計(jì)算即可；選項(xiàng)B,由條件可得2（°用-2）=3（°“-2）,從而可判斷；

log3（a?-2）

選項(xiàng)C,由選項(xiàng)B的判斷過(guò)程可進(jìn)一步得出與的通項(xiàng)公式，從而得出2,可判斷；選項(xiàng)D,由

____________1_____________]__1

log式4+「2>108式見+2-2）"（"+1）nn+1

上面的過(guò)程可得55,由裂項(xiàng)相消可得答案.

【詳解】當(dāng)"=1時(shí)，22,當(dāng)〃=2時(shí)，24,A正確.

%+i_2_3

由2%=3%-2,得2(?！?1-2)=3(%—2),即an-22.

3

因?yàn)椋?2=1,所以｛%一2｝是首項(xiàng)為1,公比為萬(wàn)的等比數(shù)列，B錯(cuò)誤.

a-2=lxf-T'=f-T'+2,log3(??-2)=log3+2-2=n-l

從而可得(2J,則，所以212L3*<>」

log3(a?-2)-log3(^1-2)=1｛log式a“一2),

因?yàn)?Q，所以15J是等差數(shù)列，C正確.

1]_J___1_

lo210a2

§3(??+1-)-§3(?+2-)”(〃+l)n77+1

22.

____________1____________

bg3（a“+i-2）.bg4（a“+2-2）l-l+l-l+...+J-----L=W2

所以數(shù)列15豆J的前100項(xiàng)和為223100101101,D正確.

故選：ACD

33

—71—71

13.4##4

【分析】先得斜率，進(jìn)而可得傾斜角.

__5

【詳解】直線'一17的傾斜角為兀）

7

5

y=-x+—

由已知得7的斜率為_i,

3兀

則ta"=-l,則傾斜角為4.

3兀

故答案為：彳.

x2J/x2y25b2.

14.43(答案不唯一，符合/b2,9a2即可)

5b2,

【分析】根據(jù)已知求出9/，寫出一個(gè)即可.

22

—弓+-^-z-=1(〃>b>0)

【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。b2,

c2c2a2-b24

—<——―------<—

2

由。3,得/a9,

—+^-=1

故答案為：43.

15.7

【分析】依題意每月的用戶構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列且％=100°,q=L3,要使當(dāng)月網(wǎng)站用戶達(dá)到5000

人以上，即對(duì)*5000,根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及指數(shù)的運(yùn)算計(jì)算可得.

【詳解】易知每個(gè)月的用戶數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)第〃個(gè)月的用戶數(shù)為該數(shù)列為“J,

則首項(xiàng)。1=1000,公比4=13,貝產(chǎn)闖"T=1000x1.3"一,

設(shè)第〃月網(wǎng)站用戶達(dá)到5000人以上，

貝I]an=1000x1.3"-'>5000,得13T>5,

1.36~4.83(5,1.37=1.36xl.3?4.83x1.3?6.279)5

因?yàn)?/,

所以〃-1>6,即〃>7,故〃的最小值為8,

即第8個(gè)月網(wǎng)站用戶達(dá)到5000人以上，

所以使網(wǎng)站用戶達(dá)到5000人至少需要經(jīng)過(guò)7個(gè)月.

故答案為：7.

8

16.（1）2+3-2）2=12

【分析】根據(jù)題意，由圓的切線的性質(zhì)，求得戶"1=26，設(shè)尸（X/）,列出方程，即可求解.

2冗7T

ZAPB=—ZAPM=-

【詳解】如圖所示，因?yàn)?,可得3,

,,\AM\廠

\PM\=―!——1=2V3

又因?yàn)槭?_L4W,所以?smZAPM,

設(shè)P（x/）,則|尸閭=J（xT）2+&_2）2=2旨,即（x-Ip+（y_2）2=12.

故答案為：（?1）2+（k2）2=12.

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前“項(xiàng)的和公式可對(duì)（1）,（2）求解.

【詳解】（1）設(shè)｛%｝的公差為",

+d=7—5

a=a+2d=9得

由:3xd=2

所以：%=%+(〃T”=2〃+3

故：數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式：。,=2"+3

Sn=nch+

（2）由等差數(shù)列前〃項(xiàng)公式：

n(n—\\°

-----x2=*+4〃

Sn=nax+—------d=5n+

得:22

數(shù)歹4%｝的前“項(xiàng)的和：S“="2+4〃

故:

18.

9

⑵了=-2x+4

【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)式方程可得;

（2）先求中點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)4得4的斜率，進(jìn)而可得《的斜截式方程.

y-3_x+2

【詳解】（1）由題意得/的兩點(diǎn)式方程為二一

化為一般式方程為X-2了+8=0.

（2）設(shè)/,4的斜率分別為無(wú)，占.

由題意得中點(diǎn)的坐標(biāo)為（°，"，

1,1

。?。八y=—x+4k=-

由x-2y+8=0,得,2,則2.

因?yàn)?R,所以/的=T,得左7.

故4的斜截式方程為了=-2X+4.

19.⑴（44）

（2）最大值為2指+2,最小值為2百一2.

【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-a）一十（y一6『=4,然后利用題中相關(guān)點(diǎn)及幾何條件從而求解;

（2）先求圓外8點(diǎn)到圓心的距離d,則可知：d-r<\BD\<d+r

【詳解】⑴設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：C:（x-a）2+（y-b）2=4,

b=a

■（2-a）2+（4-Z））2=4卜=4

由題意得：加?。?一心、得：%=4,

即：圓C的圓心坐標(biāo)：（4*）,

⑵由題意得」因=即三2=26

所以.忸C|-2=2石-24忸*幽|+2=2遙+2

所以：忸口最大值為：：2斯+2,最小值為：2百-2.

10

20.(1)2

(2)S,-2M2,+回

【分析】（1）由已知條件求出方、。的值，可得出。的值，由此可得出橢圓”的方程;

（2）將直線/的方程與橢圓新的方程聯(lián)立，由A<°可解得實(shí)數(shù)巾的取值范圍.

【詳解】（1）解：由題意得％=2c=2,得6=C=1,貝|]/=/+°2=2,

f+/=1

所以〃的方程為2

y=V2x+m

<

（2）解：聯(lián)立2"+>=2得4—+2后加x+加2_2=0,

因?yàn)?與M沒有公共點(diǎn)，所以八=（2品）-4義4（加一2）=一8/+32<°,

得加<一2或m>2,即機(jī)的取值范圍為（一00,-2）"2,+功.

21.(1)證明見解析

_(5”-l)x6"+1

T”=—

(2)25

【分析】（1）先對(duì)6。"=55“+2進(jìn)行化簡(jiǎn)構(gòu)造出a”一，并結(jié)合等比數(shù)列定義可求解;

11

（2）根據(jù)（1）求出,然后構(gòu)造關(guān)于1的方程組并利用錯(cuò)位相減法可求解.

【詳解】（1）證明：當(dāng)〃=1時(shí)，6%=5工+2=5%+2,得：％=2；

6a,=5邑+2

當(dāng)“22時(shí),得:6%T=5S"_I+2

將兩式相減得：6%-6%=5(S“-S"_J=5%,得：%,

所以得：當(dāng)心2時(shí)，｛%｝是等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為：%=26,

當(dāng)〃=1,%=2-6—=2也符合，

故可證：數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列.

,?-1吧L=〃X6"T

(2)由⑴得：°"=2x6,則得：2,

則.—1^6°+2X6+3X62H—+〃x6"i

23

6Tn=1X6+2X6+3X6H---F〃X6〃②

1x(1—6〃)

—57；=60+6+6?+…+6〃T一〃x6〃=—----L-nx6n

①-②得：1-6

_(5n-l)x6n+l

化簡(jiǎn)得：T，'~25.

w

\nan\（5w-l）x6+1

所以：數(shù)列］2i的前〃項(xiàng)和：『25

2

22.(1)3(2)±1.

。°）求出橢