導(dǎo)數(shù)與等價(jià)無窮小主部的確定

導(dǎo)數(shù)與等價(jià)無窮小主部的確定光信1001李書軼提要：本文借助導(dǎo)數(shù)，提出了尋找無窮小主部的幾個(gè)有效方法。關(guān)鍵詞：無窮小，等價(jià)，導(dǎo)數(shù)，復(fù)合引言課堂上畢老師提出了一些關(guān)于無窮小等價(jià)關(guān)系的思考題，經(jīng)過自己的探索，發(fā)現(xiàn)了一些具有簡(jiǎn)化計(jì)算的結(jié)果。定理1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X=0處有非零導(dǎo)數(shù)，f(0)=0。若xfX時(shí)，0u(X)~V(x),則有f(u(x))~f(v(X)).證由于導(dǎo)數(shù)f'(0)=lim/存在，故有3=f'(0)+a,其中當(dāng)xf0時(shí)，xf0xxa為無窮小量。于是有f(x)=xf'(0)+xa~xf'(。)，從而f(u(x))~u(x)f'(0)~V(x)f'(0)~f(V(x))。證畢。幾個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用如下：考慮當(dāng)xf0時(shí)取f(x)=arctanx，則由sinx~x，推出tansinx~tanx；取f(x)=ln(1+x)，則由sinx~x，推出ln(1+sinx)~tanx；【教師評(píng)注】此結(jié)果在連續(xù)函數(shù)一節(jié)得到解決，只要函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)以及f(0)=0便可以。但是以上證明方法有意思，可取。定理2f(x)在點(diǎn)x=x處有非零導(dǎo)數(shù)，f(x)=0。則有f(x)~f'(x)(x—x).0000【教師評(píng)注】此結(jié)果在臺(tái)勞公式一節(jié)得到推廣。提前發(fā)現(xiàn)此結(jié)果，能力很強(qiáng)。二r(x0)+a，其中當(dāng)xfx0時(shí)，由于f(x)=limf二r(x0)+a，其中當(dāng)xfx0時(shí)，0000a為無窮小量。于是有f(x)=(x-x)f'(x)+(x-x)a~(x-x)f'(x)。證畢。0000

考慮當(dāng)Xf0時(shí)的幾個(gè)熟知結(jié)果:取f(x)=sinx,貝Usinx~xcos0=x；取f(x)=ln(1+x),則ln(1+x)~取f(x)=ax一1,則uax—1~xaoIna=xIna；再考慮幾個(gè)作業(yè)中的結(jié)果：xf兀時(shí)，f(x)=sinx~f'(兀)(x一兀)=—(x一兀)；xf1時(shí)，f(x)=Inx2~fr(1)(x—1)=2(x一兀)當(dāng)導(dǎo)數(shù)等于零時(shí),上述方法失效,但是經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn),我歸納出以下法則。定理3設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=X處有零導(dǎo)數(shù)，f(X)=0。則有00f(X)~f'(X)(x—X)/m.0其中m的大小與最終確定的無窮小的階數(shù)相等。證明：由洛必達(dá)法則設(shè)f(x)~a(X一X%f(X)f'(X)f'(X)(X—X)TOC\o"1-5"\h\zlim=lim=1=limo-XfXa(x一x)mXfXam(x一x)m-1XfXam(x一x)m000000故f(X)~f'(x)(X-Xo)/m例如Xf0(下同)時(shí)，1一cosX~(1一cosX)r—X~—X2；m2111—X3———一236tanX一sinx~(tanx一sinx)'—x=(1-cos3X)—x?3x31=111—X3———一236sinx一x?(sinx一x)r—x=—(1一cosx)—x=~考慮到導(dǎo)數(shù)計(jì)算對(duì)函數(shù)有一定的化簡(jiǎn)的作用,于是推測(cè)以下法則。定理4若xfXo時(shí)，函數(shù)，#等價(jià)且u,v均可導(dǎo)，則有u(X)?V(X)Ou'(X)?/(X)u(x)u'(x)證明：有洛必達(dá)法則lim=lim==1X-XJ(X)x-xJ(x)故u'(X)~M(X)例如x告0時(shí)，TOC\o"1-5"\h\z1111-cosXx2&sinx~x,X-sinXx3和1-cosxx2262由以上的結(jié)論我們還可以得出一個(gè)判定無窮小是否存在主部的方法由于主部存在必然階數(shù)m也存在，同樣的如果m可以求出必然是主部存在才行一，一一一f'(X)(X一X)一定理5在