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文檔簡介
專題08三角函數(shù)與解三角形
三角函數(shù)與解三角形
方
開
復(fù)合
考
沒
函
數(shù)
正
慮
忽
視
值
求
淆
混
忽
視
含參
號
負(fù)
內(nèi)
視
忽
函
角
三
三
角
問題
角的
數(shù)
自
數(shù)
函
函
數(shù)
忽視
范
圍
變
量
象
圖
的
值
參
對
的
符
移
平
域
致
的
:有關(guān)三夕數(shù)要注意角的范鄉(xiāng)的范圍,
則
規(guī)
論
討
號
錯
錯
2.對于含有整2,要注意對k進行討論致
3.三角函數(shù)圖2X的,
4.對于含有二次根式的求值問題,開方時要注意考慮正負(fù),
5.對于與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題,要注意內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性,
6.逆用三角函數(shù)公式時,要注意其結(jié)構(gòu)特征,
易磊合折
一、忽視角的范圍致錯
1.已知Q是第二象限角,sin則CoSCt等于()
12512
A.B.cD±1
13T3??13
5I-----------12
【錯解】選D,因為Sin9α+CoS9~α=l乂Sina=百,.*.cosa=±?1-sin2cc=±-β,?
【錯因】沒有注意條件α是第二象限角,
._______12
【正解】選ATa是第二象限角,則COSa>0,Λcosa=-yj1-sin2a=-??.
2.已知sin9+CoSe=g,6∈(θ,習(xí),貝IJSine—cos。的值為.
472
【錯解】Vsin∕7÷cos0=q,.?sinOcos。=二,(sin0—cosΘ)2=1-2SinOcos^=∩,
jIoy
二?sinJ-cos8=±坐.答案:±坐
【錯因】沒有注意由條件e∈(θ,吊可得Sin衣COS"
472
【【E解】Vsin/7+cosO=鼻,.?sinOCoSΘ=n.'.(sin〃-COS0)2=1—2sinOCoS
Jlθ7
又。<(),:),.".sin的CoSθ,二sin,-COSθ=—答案:一坐
3.已知夕£(0,π),tanf^+τ)=j,則sin6+COSO=.
【錯解】由題知tan(θ+g)=g=g^^^≠tan8=;,又因為9∈(0,兀),
sinΘIsm.喑S?InAJ=——叵
COSO=T
有<或,10
7√2
.cos20+sin?=1a7√2;
10'cos,=-------
10
3√2答案?"巨或-豆2
所以sin0÷cosθ=口
-1-?5$
【錯因】沒有注意由tan。=;>0可以縮小角的范圍,即可推出6∈(θ,習(xí),
(πλ41+tan9?
【正解】由題知tan(e+/=?=I—tan戶tan夕=工又因為8∈(0,π),且tanft>O,所以。
sin9=*,
sin。1
所以。=普=嗓答案:斗
有Vcosθ~7fsinO+ss
,cos20÷sin20=1M端
4.在C中,若C=32,則鈉取值范圍為()
A.(0,3)B.(1,3)C.(1,√3)D.(√3,3)
【錯解】選A由正弦定理可得,R%=咤=包運聯(lián)I=Sin8—28+廣8.28
bs?nBs?nBs?nBsinB
=CoS28+2COS2B=4COS2B-1.又0V8C180。,Λ0≤cos25<l,又表0,ΛO<j<
3.
【錯因】忽略了/+B+C=180。及條件C=38,
」.、、EF/°CsinCsin3BSkI(B+28)sin2?cos÷cossin2B
【正解】選B由正弦定理可得,-^-=-=--r-=-------------------
=Cos25+2cos2^=4cos25—1.又Z+3+C=180°,C=33,
、歷c
Λ0o<5<45o,???奇VCoS6V1,Λl<4cos2^-1<3,即l<gV3.
二、對于含有二次根不的求值問題,開方時沒有注意正負(fù)
5.化簡:2*?∕sin8+1÷√2cos8÷2=()
A.4cos4B.—2Sin4—4cos4
C.4sin4D.2sin4+4cos4
[錯解]選D原式=2γ∣I+2sin4cos4+√4cos?=2-\/sin24+cos24+2sin4cos4+2cos4
=2sin4+2cos4+2cos4=2sin4÷4cos4.
【錯因】開方時沒有考慮2cos4、sin4+cos4的正負(fù),
【iE解】選B原式=241+2Sin4cos4+??∕4cos24=2qsin24+cos24+2sin4cos4+2∣CoS4|
3Ti
=2∣sin4+cos4∣+2∣cos4∣,Vπ<4<2^^,/.sin4+cos4<0,cos4<0,
/.原式=-2(Sin4+cos4)-2cos4=-2Sin4—4CoS4.
6.)
θ
B.CoSa
C.-Sinfθ
D.-C。牙
4,1/1+cos-^??',θθ
【錯解】選B由二倍角公式得2÷2COS6=COS-]=CO迂,
,l×2cos^θ
LG==CO為
222V24
3π
【錯因】沒有用了〈長5去求5、,的范圍,
.3兀。5兀3兀。5π.?,θ八.θ
【正解】選AVy<0<y,??彳<5",至<ΓT'??cosG0,cos^<0,SInT>a0,
U1∕l+cosθI7θθ
5+5COSO=\-----2-----=?/cos-^=-eos?,
?-eosf
g+JcosO=sin2∣=sin∣
2+2-2-
三、三角函數(shù)圖象左右平移時忽視自變量X的系數(shù)致錯
7.為了得到函數(shù)y=的圖象,可以將函數(shù)y=sin2x的圖象()
A.向右平移看個單位B.向右平移鼻個單位
C.向左平移季個單位D.向左平移W個單位
【錯解】選B根據(jù)左加右減可知,為了得到函數(shù)y=的圖象,可以將函數(shù)y=sin
π
Zr的圖象向右平移J個單位.
【錯因】圖象左右平移針對的是自變量X,
函數(shù)γ=sinfzr-?)=sin[2(x,=ShIQX-
【正解】選A二為了得到函數(shù)y=的圖象,
π
可以將函數(shù)y=sinZr的圖象向右平移6個單位.
8.要得到y(tǒng)=cos(5+∣)的圖象,只需將y=sin;X的圖象()
A.向左平移;個單位B.向右平移事個單位
C.向左平移?y個單位D.向右平移G個單位
【錯解】選A因為y=cos?+2=14,故要得到y(tǒng)=cosg+D的圖象,只需
COS-(XH——)
23
?π
將函數(shù)y=sinEx的圖象向左平移,個單位.
【錯因】函數(shù)圖象平移變換時,沒注意函數(shù)的名稱是不一致的,不能直接進行平移,
【正解】選Cy=cos(5x+d)=sinQx+Z+5)=sin[5Q+τ)],故要得到y(tǒng)=cos(]x+/的
?4π
圖象,只需將函數(shù)y=si應(yīng)X的圖象向左平移了個單位.
四、涉及到整數(shù)k的問題,忽視對k的討論致錯
9.已知角α為第一象限角,貝I號是第象限角.
πaπ
【錯解】Ta是第一象限能,Λ2Aπ<c(<2÷2?π,?∈Z,.?.Ev2<W+E,?≡Z,
a
則5是第一象限角.答案:一
【錯因】沒有對k分情況討論,
πaπ
【正解】Ya是第一象限角,.?.2AπVaV2+2E,?∈Z,兀<2<4+E,Λ∈Z,
aa
當(dāng)左為偶數(shù)時,,是第一象限角;當(dāng)人為奇數(shù)時,5是第三象限角.
綜上,5是第一或第三象限角.答案:一或三
,,,.,sin(kπ+a),cos(?π÷α).,,.?,,八一一?U
10.(忽視l對左的討λ論)已知Z=b"["ToSa-(∈Z)π,則4的值構(gòu)成的集合是
【錯解】∕=i≡+景=2.答案:⑶
【錯因】沒有對k分情況討論,
—sinaCOSaSinaCOSCk
【正解】當(dāng)4為奇數(shù)時:A=sin(1—cosa=-2.當(dāng)k為偶數(shù)時:∕=sinα+coso=2.
答案:{-2,2}
五、含參問題忽視對參數(shù)的討論致錯
11.己知角a的終邊過點P(-4M,3M(M≠0),則2sina+cosa=.
【錯解】易知00=、/(—4加)2+(3M)2=5"?,則Sina=3m3,COSa=4.
5m55m5
22
故2sinα+cosα=g.答案:5
【錯因】沒有對參數(shù)m分情況討論,
_____________3〃?-4/〃
【正解】易知0尸=#(-4加)2+(3〃?)2=51川,則Sina=麗[,cosa=5∣∕∏∣.
342
當(dāng)勿7>O時,Sina=5,CoSa=-5,2sinα+cosα=5;
342
當(dāng)〃7<0時,Sina=-5,CoSa=5,Λ2sinα+cos?=-5.
22
古攵2sinα÷cosa=±5?答案:zt5
六、三角函數(shù)的單調(diào)性問題中,忽視自變量X的系數(shù)為負(fù)值致錯
12.函數(shù)人X)=Sine一x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【錯解】要求yOr)=sine一J的單調(diào)遞增區(qū)間,只需4W-^+2?π≤^-x≤^+2?π(?∈Z),
可得—+2kπ≤x≤^÷2kπ(k∈Z),所以函數(shù)/(x)=Sinl黎一x)的單調(diào)遞增區(qū)間為
?--÷2?π,?+2Aπ](?∈Z).答案:[—2+2?π,rγ+2?π](?∈Z).
3?53J
【錯因】沒有注意自變量X的系數(shù)是負(fù)數(shù),
【正解】因為/(X)=Sin(Z-.J=-sinQ—e?所以要求/(X)=Sin(Z—J的單調(diào)遞增區(qū)間,
(πλππ3π
只需要求y=sin?x—6J的單調(diào)遞減區(qū)間.令2÷2?π≤x—6≤^2^+2kιt(k∈Z),
2π5π(QΓ^2π5π^
可得T+2EWxW"V+2E(%∈Z),所以y=sin"-6j的單調(diào)遞減區(qū)間為[3÷2Λπ,3+2既_
∕π、∣~2π5π
("∈Z),此即為函數(shù)兀V)=Sin監(jiān)一口的單調(diào)遞增區(qū)間.答案:LT+2Λπ,T+2ArπJ(?∈Z)
七、判斷三角形形狀時考慮不全致錯
13.已知在△45C中,三個內(nèi)角為4B,C,sin2J=sin2B9則448C是()
A.等腰三角形B.等邊三角形
C.直角三角形D.等腰或直角三角形
【錯解】選A因為sin2A=sin2B,所以2A=2B,解得A=B,所以4ABC是等腰三角形.
【錯因】sin2A=sin2B時,有兩種可能:2A=2B或2A=兀-2B,
【正解】選D因為sin2/I=Sin28,所以24=28或2%=π-28,解得/=8或4+8=5
所以4/BC是等腰或直角三角形.
八、忽視正切函數(shù)本身的定義域
14.已知函數(shù)√(x)=lg(tanχ-1)+4產(chǎn)χ2,則/(x)的定義域是.
【錯解】:函數(shù)T(X)=Ig(tanx-1)+出二),
∫tanχ-l>0,x≥kπ-?——,攵∈Z3;TCr
4,.?,χ∈r[--,3],
l-o,4
-3≤x≤3
;?函數(shù)y=∕(x)的定義域為[------,3].答案:[-------,3]
44
【錯因】沒有考慮y=tanX的定義域,
【正解】函數(shù)./(x)=lg(tanχ-l)+.9-χ2,
tanχ-1>0,kπ+^<r<Aπ÷^(?∈Z),
9-χ2>0,
-3≤x≤3,
二函數(shù)y=y(x)的定義域為(一竽,甘)唔,答案:(-?>-2)u(J\
1.集合{α∣E+mαW?π+f,左∈z}中的角所表示的范圍(陰影部分)是()
多少洋聲
ABCD
【答案】C
【解析】當(dāng)A=2"("∈Z)時,277π÷^≤α≤2∕zπ÷^(∕7∈Z),此時a的終邊和的終邊一
樣;當(dāng)A?=2∕?+1("∈Z)時,2∕∕π+π+^≤α≤2∕∕π+π+^(Λ∈Z),此時a的終邊和π+^≤a≤π
JT
+]的終邊一樣,結(jié)合選項知選C.
2.在a∕8C中,若SinZ4=sin2C,則4/8C的形狀是()
A.等邊三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
【答案】D
JT
【解析】因為sin2∕f=sin2C=sin24=sin(π-2。,所以4=C或4+C=,
當(dāng)力=C時,三角形為等腰三角形:當(dāng)/+c=T時,三角形為直角三角形.
3.已知角。的頂點與原點重合,始邊與X軸非負(fù)半軸重合,若4(—1,刃是角。終邊上的一
點,且SinJ=-3,貝IJy=()
A.3B.-3C.1D.-1
【答案】B
【解析】因為sin9=一與俱vθ,^(―1,y)是角8終邊上一點,所以產(chǎn)0,由三角函數(shù)的定
義,得方七=一*'解得y=-3.
4,已知6是第三象限角,且CoS(Tt+6)=g,則tan6=()
A.9B.2
C.2√2D,√10
【答案】C
【解析】CoSS+9)=-COSe=I?,所以CoSJ=又,是第三象限角,
________2√2
所以sinΘ=—yj1—cos20=—??1-(-92=一4所以tan,=::北=----=2艱.
^3
5.已知a終邊與單位圓的交點F(x,D,且a是第二象限角,則NLSin2α+42+2cos2a的
值等于()
11
??B-^?
C.3D.-3
【答案】C
【解析】因為α終邊與單位圓的交點KX,1).且α是第二象限角,所以Sina=
cosa=-],則*?∕l-sin2α+<2+2cos2a=ql——2Sinorcosα+[2(l+cos2a)
=Λ∕(sina-cosa)2+-?∕4cos2a=∣sina—cosa∣÷2∣cosa∣=g+g=3.
6.設(shè)a角屬于第二象限,且卜os?=—Cos則粉屬于()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
【答案】C
【解析】:a是第二象限角,.?.90°+無?360<a<180°+k?360°,A∈Z,
.?.45。+180。號<90。+ZH80。,?∈Z.
/7(1
當(dāng)k=2∕ι,"∈Z時,]在第一象限;當(dāng)%=2〃+1,"∈Z時,5在第三象限,
在第一象限或在第三象限,*/ICOS^I=—cos^,Λcos∣<0,?皮角在第三象限.
7.已知Sina,cosα是方程x2—2Ax+F+&=0的兩根,則上的值為()
?,??^??BlFC.l±?βD.l+√3
【答案】B
[sinα+cosa=2k,
【解析】由題意得.
Isinαcosa=κ^+κf
Vsin26z+cos2α=(sin<z÷cos?)2—2sinacosa=4k2-2(∕^+k)=1,
2
即2k-2k-1=0,解得k==???sjnQ+COSα=*?∕2sin^a÷^,
Λsinct÷cosct∈[-√2,啦],即2〃£[一啦,√2],Λ?∈—乎,乎]‘,女」.
8.若?!?0,兀),tanθ+.?∕j=6,則Sirι0+cos9=()
IanU
A.平B.普
c.士平d.I
【答案】A
r?n?r-wCq/-1sinθ.cosθSin2。+COS2。,“,.八1
[角平析】因為tanθ+~—7=------7÷--77=—:―7-----τ-=6,所以sinJCOS0zι=7,
tanOcosθsinθsinGCoSθ,6
又6∈(0,π),JNsinGO,cosθ>0f所以Sine+cosGO.
所以(Sinθ+cosθ)2=1÷2sinOCOS所以sin8+cos夕=邛2
53
9.在44δC中,CoSz=百,SinB=則CoSC的值為()
.16C56CI6C16T56
A65b-^65c?~650.行或一記
【答案】A
【解析】在△4BC中,由cos/=旨,sin8=g,可得sin4=Λ∕P^COS2∕4=舌,
因為sin3<sinN且4為銳角,則b<α,所以A>B,所以3為銳角,所以COSB=y∣1—si?=
4
5,
則cosC=cos[π-(/4+^)]=-cos(J÷5)=—cosAcos+sinJsinB="^j^×5^*^Hx5=65,
10.已知CoSa=乎,SinP=曙,且αe(θ,。產(chǎn)∈(θ,。則α+.的值是()
【答案】B
【解析】因為α∈(θ,T)∕∈(θ,1),所以Sina=。1—cos2a=乎,COSβ=y∣1—sinR='工,,
COS(a+夕)=cosOtcos夕一sinasin夕X與俱—乎乎.又OVa+夕Vπ,故a+夕=:.
11.己知q∈R,則"3=0"是''y=sin(x+0)為奇函數(shù)”的()
A.充分不必要條件B.充要條件
C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當(dāng)0=0時,J=Sin(X+p)為奇函數(shù):當(dāng)y=sin(x+0)是奇函數(shù)時,φ=kπ,k∈Z,
所以“°=0"是''y=sin(x+9)為奇函數(shù)”的充分不必要條件,故選A.
12.在ZMBC中,角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知acosZ=反os8,
且c2=a2+b2-ab,則C的形狀為()
A.等腰三角形或直角三角形B.等腰直角三角形
C.直角三角形D.等邊三角形
【答案】D
【解析】因為acos∕=6cos8,所以sin∕cos∕=sinBcos8,即sin2∕=sin28,又/,β∈(0,
π),故可得/=8或由。2=標(biāo)+人2—血得COSC=;,又C∈(0,π),故可得。=鼻.
TT
綜上所述,/=B=C=I.故三角形/8C是等邊三角形.
13.把函數(shù)/(x)=2cos(2x—的圖象向左平移機(陽>0)個單位,得到函數(shù)g(x)=2sin(2x一的
圖象,則機的最小值是()
7c17〃5r19
A.五兀θ-24π^,24π^-24π
【答案】B
[解析]選B把函數(shù)/(x)=2COS(2A—的圖象向左平移加("?>0)個單位,
得到7(x)=2cos2(x+w)-=2COS(2x+2〃?一彳)的圖象,
=28M-(ZL到
g(x)=2sin
由2mJ=T+2E,%∈Z,得m=—碧+E,?∈Z.
V∕w>0,.?當(dāng)k=1時,m最小,此時
14.已知ω>0,函數(shù)T(x)=sin(Gx+:)在區(qū)間兀
2,上單調(diào)遞減,則實數(shù)ω的取值范圍是()
-13
I--(
B.L4C.0,ID.(0,2]
2,
【答案】A
TTπ,π,ππ「兀∣兀∣兀L
【解析】由FWXW兀付2G+4≤ωx+WWπco+14,由題意口+不πω^'^4j-
24π+^,2氏π+咨]
π,ππ
2ω+4^2'
得BWcu號
{πω+∣≤y,
15.已知函數(shù)y=sin@x+9)(0>O,[例<3的圖象的一部分如圖所示,則。,φ的值分別為
()
TtTtItTt
A.1,yB.1,—?C.2,一§D.2,?
【答案】D&
【解析】由圖象知,/=相一;=;,即T=π,所以稱=兀,即3=2.
又函數(shù)圖象過點俘,0),所以2義鼻+夕=?π,?∈Z,又儂故°=鼻,故選D.
16.已知函數(shù)yζr)=sin["χ+點)go),對任意XeR,都有y(x)≤yg),并JIy(X)在區(qū)間—■
上不單調(diào),則。的最小值是()
A.1B.3C.5D.7
【答案】D
【解析】由題意,《舒是函數(shù)貿(mào)X)的最大值,
詈+*=2E+],A∈Z,即。=6*+1,?∈Z.Vω>0,Λ?∈N.
當(dāng)%=0時,0=1,")=SilG+§在[一季,W上單調(diào)遞增,不符合題意;
當(dāng)A=I時,。=7,√U)=Sin(7x+§符合題意,.?.ty的最小值是7.
17.(多選)在C中,角/,B,C的對邊分別為“,b,C.若b=2√j,c=3,A+3C=π,
則下列結(jié)論正確的是()
A.cosC~~3B.sinB—?C.(2—3D?SAABC=,\[^
【答案】AD
【解析】選AD由4+3C=π,得8=2C.根據(jù)正弦定理-Λ^=-?,得2√5sinC=3X2sin
SIn?*sin
CcosC,又sinOO,故cosC=?,sinC=半,故A正確;sin5=sin2C=2sinCcos,
故B錯誤;由余弦定理得/=々2+〃-2"CoSC,將b=2yβ,c=3代入得標(biāo)-4α+3=0,
πTT2、B
解得4=3或α=1.若q=3,則4=C=不且8=/,與sin6=寸-矛盾,所以α=l,故C
錯誤;S?j5c=^?sinC=∣×1×2√3×^=√2,故D正確.故選A、D.
D.
【答案】BC
【解析】由題圖可知,函數(shù)的最小正周期丁=2(與一*=π,;扃=兀,ω=±2.
當(dāng)ω=2時,y=sin(2x+明將點像,0)代入得,Sin(2X,+,=0,
Λ2×∣÷99=2?π+π,?∈Z,即e=2E+差?∈Z,
Λ^=sin^2x+^j,故A錯誤;由Sin(2x÷ryJ=Sin^兀一仔—2x)]=Sin(T——2J佚口
B正確;
sin(2x+,)=sin(2x+T+*)=cos(2x+§次口
由C正確:
sin(2x+竽)=COS(2X+=CoS[兀+(Zr—?]=—COS管-2x)知
由D錯誤.
綜上可知,正確的選項為B、C.
=-乎,則
19.若OVaV去—π<jff<-cos∣5π+°t)=3cos(α+^)=()
、4
Aj√3B*cT
A.9
【答案】D
【解析】V0<α<^,-π<β<~^,?')?<7+a<V,τ<7-f<?,
tfc
乙/>??T乙τ乙T
??sin(;+aI-cos2f^+<zj='唯sinyβ
3,
因此,
十3X3_3?
20.已知角α的終邊經(jīng)過點(3。-9,。+2),且COSa≤0,Sina>0,則實數(shù)Q的取值范圍是
【答案】(-2,3]
【解析】?/cosa≤0,sin?>0,?'.角a的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上./.
[3a-9≤0,
,-2<a≤3.
[a+2>0,
7Γ
21.已知函數(shù)/(x)=2Sin(GX+p)(m>O,-πq<0)的相鄰兩個零點間的距離為5,且.
—2,則φ=
【答案】
【解析】由題意T=2><E=兀,①>0,所以①=爺=2=2sin(_;+,=-2,
兀兀TU
-^+φ=2kπ-~^,左∈Z,又一"9<0,所以°=一丁
sin(nπ÷a)cos(nπ—a),,..rrlu
22?化簡'(〃,);—]'(〃ez)的結(jié)果為.
【答案】(―l)""sinaS∈Z)
sin(2?π+α)cos(2?π—α)Sinacosa
【解析】①當(dāng)〃=2如τ∈Z)時,原式=,sina.
cos[(2?÷l)π-α]
Sin[(2k+1)兀+α]cos[(24+1)兀一幻(-sina)(—
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