北師大初中數(shù)學(xué)教案九年級上冊 第六章 反比例函數(shù)

第六章反比例函數(shù)

教學(xué)內(nèi)容：1.1反比例函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)：

1.理解反比例函數(shù)的概念，能判斷兩個變量之間的關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系，進而識別其中

的反比例函數(shù).

2.能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的關(guān)系式.

3.能判斷一個給定函數(shù)是否為反比例函數(shù).通過探索現(xiàn)實生活中數(shù)量間的反比例關(guān)系，體

會和認識反比例函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中特定數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型；進一步理解常量

與變量的辯證關(guān)系和反映在函數(shù)概念中的運動變化觀點.

教學(xué)重點：反比例函數(shù)的概念

教學(xué)難點：例1涉及較多的《科學(xué)》學(xué)科的知識，學(xué)生理解問題時有一定的難度。

教學(xué)方法：類比啟發(fā)

教學(xué)輔助：多媒體投影片

教學(xué)過程：

一'創(chuàng)設(shè)情景探究問題

情境1：隨著速度的變化，全程所用時間發(fā)生怎樣的變化？

當(dāng)路程一定時，速度與時間成什么關(guān)系？（S=Vt）

當(dāng)一個長方形面積一定時，長與寬成什么關(guān)系？

［備注］

這個情境是學(xué)生熟悉的例子，當(dāng)中的關(guān)系式學(xué)生都列得出來，鼓勵學(xué)生積極思考、討論、

合作、交流，最終讓學(xué)生討論出：當(dāng)兩個量的積是一個定值時，這兩個量成反比例關(guān)系，如

Xy=m（m為一個定值），則X與y成反比例。

這一情境為后面學(xué)習(xí)反比例函數(shù)概念作鋪墊。

情境2：

汽車從南京出發(fā)開往上海（全程約300km）,全程所用時間t（h）隨速度V（km/h）的

變化而變化.

問題：

（1）你能用含有V的代數(shù)式表示t嗎？

（2）利用（1）的關(guān)系式完成下表：

v∕(km∕h)608090100120

t/h

（3）速度V是時間t的函數(shù)嗎？為什么？

［備注］

（1）引導(dǎo)學(xué)生觀察、討論路程、速度、時間這三個量之間的關(guān)系，得出關(guān)系式s=vt,

指導(dǎo)學(xué)生用這個關(guān)系式的變式來完成問題（1）.

（2）引導(dǎo)學(xué)生觀察、討論，并運用（1）中的關(guān)系式填表，并觀察變化的趨勢，引導(dǎo)學(xué)

生用語言描述.

3）結(jié)合函數(shù)的概念，特別強調(diào)唯一性，引導(dǎo)討論問題（3）.

情境3：

用函數(shù)關(guān)系式表示下列問題中兩個變量之間的關(guān)系：

(1)一個面積為6400r∏2的長方形的長a(m)隨寬b(m)的變化而變化；

(2)實數(shù)m與n的積為一200,m隨n的變化而變化.

問題：

(1)這些函數(shù)關(guān)系式與我們以前學(xué)習(xí)的一次函數(shù)、正比例函數(shù)關(guān)系式有什么不同？

(2)它們有一些什么特征？

(3)你能歸納出反比例函數(shù)的概念嗎？

一般地，形如y=∕(k為常數(shù)，k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中X是自變量，y是X

的函數(shù)，k是比例系數(shù).

反比例函數(shù)的自變量X的取值范圍是不等于0的一切實數(shù).

［備注］

這個情境先引導(dǎo)學(xué)生審題列出函數(shù)關(guān)系式，使之與我們以前所學(xué)的一次函數(shù)、正比例函數(shù)的

關(guān)系式進行類比，找出不同點，進而發(fā)現(xiàn)特征為：(1)自變量X位于分母，且其次數(shù)是1.(2)

常量kW0.(3)自變量X的取值范圍是x≠0的一切實數(shù).(4)函數(shù)值y的取值范圍是非零實數(shù).

并引導(dǎo)歸納出反比例函數(shù)的概念，緊抓概念中的關(guān)鍵詞，使學(xué)生對知識認知有系統(tǒng)性、完整

性，并在概念揭示后強調(diào)反比例函數(shù)也可表示為y=kx∣(k為常數(shù)，kW0)的形式，并結(jié)合舊

知驗證其正確性.

二、例題教學(xué)

練習(xí)：1：下列關(guān)系式中的y是X的反比例函數(shù)嗎？如果是，比例系數(shù)k是多少？

⑴y-?；(2)y=匾；(3?=-W；

通過這個例題使學(xué)生進一步認識反比例函數(shù)概念的本質(zhì)，提高辨別的能力.

221

練習(xí)：2：在函數(shù)y=q—1,y=~j-,y=xIy=表中，y是X的反比例函數(shù)的有個.

［備注］

這個練習(xí)也是引導(dǎo)學(xué)生從反比例函數(shù)概念入手，著重從形式上進行比較，識別一些反比

例函數(shù)的變式,如y=kχr的形式.還有y=2-1通分為y=^，V、X都是變量，分子不

是常量，故不是反比例函數(shù)，但變?yōu)閥+l=f可說成(y+l)與X成反比例.

練習(xí)3：若y與X成反比例,且x=—3時,y=7,則y與X的函數(shù)關(guān)系式為.

［說明］這個練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生觀察、討論，并回顧以前求一次函數(shù)關(guān)系式時所用的方法，初步

感知用“待定系數(shù)法”來求比例系數(shù)，并引導(dǎo)學(xué)生歸納求反比例函數(shù)關(guān)系式的一般方法，即

只需已知一組對應(yīng)值即可求比例系數(shù).

例題：第5頁例1

三、拓展練習(xí)

1、寫出下列問題中兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷其是否為反比例函數(shù).如果是,

指出比例系數(shù)k的值.

(1)底邊為5cm的三角形的面積y(cm2)隨底邊上的高X(Cm)的變化而變化；

(2)某村有耕地面積200ha,人均占有耕地面積y(ha)隨人口數(shù)量X(人)的變化而

變化；

(3)一個物體重120N,物體對地面的壓強P(N∕m2)隨該物體與地面的接觸面積S(m2)

的變化而變化.

2、已知函數(shù)y=(m+l)X""2是反比例函數(shù)，則m的值為.

E備注］

引導(dǎo)學(xué)生分析、討論，列出函數(shù)關(guān)系式，并檢驗是否是反比例函數(shù)，指出比例系數(shù).

四、課堂小結(jié)

這節(jié)課你學(xué)到了什么？還有那些困惑？

五、布置作業(yè)：

作業(yè)本(1)

板書設(shè)計：

概念：例1

解：

練習(xí)練習(xí)

教學(xué)反思：

本節(jié)課學(xué)生對有關(guān)概念都很好的落實，亮點在于練習(xí)設(shè)計有梯

度，學(xué)生認識清楚。由于學(xué)生對杠桿原理還沒學(xué)過，本節(jié)例題學(xué)生掌

握不是很好。

1.1反比例函數(shù)⑵

教學(xué)目標(biāo)：

1.會用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式.

2.通過實例進一步加深對反比例函數(shù)的認識,能結(jié)合具體情境,體會反比例函數(shù)的意義,理解比

例系數(shù)的具體的意義.

3.會通過已知自變量的值求相應(yīng)的反比例函數(shù)的值.運用已知反比例函數(shù)的值求相應(yīng)自變量

的值解決一些簡單的問題.

重點：用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式.

難點:例3要用科學(xué)知識,又要用不等式的知識,學(xué)生不易理解.

教學(xué)方法：講練法

教學(xué)輔助：投影片

教學(xué)過程：

復(fù)習(xí)

1、反比例函數(shù)的定義：

判斷下列說法是否正確(對"錯"X")

⑴一矩形的面積涯Ocτ√,相鄰的兩條邊長分別為C(CM和y(ca),變量y是變最的反比例函數(shù)

(2)圓的面積公式S=Tzr?中，s與r成正比例.

⑶矩形的長汝，寬為b,周長為C,當(dāng)C為常量時，。是b的反比例函數(shù)

(4)一個正四棱柱的底面昉形的邊長為r,高為》當(dāng)其體積V為常量時，y是X的反比例函數(shù)

⑸當(dāng)被除數(shù)(不為零)一定時，商和除數(shù)成反比列.

(6)計劃修建鐵路120(R"4則鋪軌天數(shù)y(4)是每日鋪軌量9〃")的反比例函數(shù)

2、思考:如何確定反比例函數(shù)的解析式？

(1)已知y是X的反比例函數(shù),比例系數(shù)是3,則函數(shù)解析式是

(2)當(dāng)m為何值時，函數(shù)=4是反比例函數(shù)，并求出其函數(shù)解析式.

關(guān)鍵是確定比例系數(shù)！>=產(chǎn)^

二.新課

1、例2.已知y是關(guān)于X的反比例函數(shù)，當(dāng)X=-彳3時，y=2,求這個函數(shù)的解析式和自變

量的取值范圍。

2、說一說它們的求法：

(1)已知變量y與x-5成反比例，且當(dāng)x=2時y=9,寫出y與X之間的函數(shù)解析式.

(2)已知變量y-l與X成反比例，且當(dāng)x=2時y=9,寫出y與X之間的函數(shù)解析式.

3、例3、設(shè)汽車前燈電路上的電壓保持不變,選用燈泡的電阻為R(Q),通過電流的強度

為I(A)o

(1)已知一個汽車前燈的電阻為30Q,通過的電流為0.40A,求I關(guān)于R的函數(shù)解析式，

并說明比例系數(shù)的實際意義。

(2)如果接上新燈泡的電阻大于30Q,那么與原來的相比，汽車前燈的亮度將發(fā)生什么

變化？

在例3的教學(xué)中可作如下啟發(fā)：

(1)電流、電阻、電壓之間有何關(guān)系？

(2)在電壓U保持不變的前提下，電流強度I與電阻R成哪種函數(shù)關(guān)系？

(3)前燈的亮度取決于哪個變量的大?。咳绾螞Q定？

先讓學(xué)生嘗試練習(xí)，后師生一起點評。

三,鞏固練習(xí)：

1.當(dāng)質(zhì)量一定時，二氧化碳的體積V與密度P成反比例。且V=5m3時，p=l.98kg/m3

(1)求P與V的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍。

(2)求V=9m3時，二氧化碳的密度。

四.拓展:

L已知y與Z成正比例,z與X成反比例,當(dāng)x=-4時,z=3,y=-4.求：

(I)Y關(guān)于X的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)z=-l時,x,y的值.

2.已知y=y∣+%，y與X成正例，%與X成反比例，并且V=2與X=3時，y的

值都等于10,求y與X之間的函數(shù)關(guān)系。

五.交流反思

求反比例函數(shù)的解析式一般有兩種情形：一種是在已知條件中明確告知變量之間成反比例函

數(shù)關(guān)系，如例2：另一種是變量之間的關(guān)系由已學(xué)的數(shù)量關(guān)系直接給出，如例3中的/=9

R

由歐姆定律得到。

六、布置作業(yè)：作業(yè)本(2)1.1反比例函數(shù)

板書設(shè)計:

例2例3

解:

解:

練習(xí)練習(xí)

教學(xué)反思:

本節(jié)課學(xué)生對求解析是式都掌握很好，亮點在于練習(xí)設(shè)計的好,

學(xué)生掌握的很好。

1.2反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)（1）

［教學(xué)目標(biāo)］

1、體會并了解反比例函數(shù)的圖象的意義

2、能描點畫出反比例函數(shù)的圖象

3、通過反比例函數(shù)的圖象的分析，探索并掌握反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)

［教學(xué)重點和難點］

本節(jié)教學(xué)的重點是反比例函數(shù)的圖象及圖象的性質(zhì)

由于反比例函數(shù)的圖象分兩支，給畫圖帶來了復(fù)雜性是本節(jié)教學(xué)的難點

教學(xué)方法：啟發(fā)演示法

教學(xué)輔助：投影片

［教學(xué)過程］

1、情境創(chuàng)設(shè)

可以從復(fù)習(xí)一次函數(shù)的圖象開始：你還記得一次函數(shù)的圖象嗎?在回憶與交

流中，進一步認識函數(shù)圖象的直觀有助于理解函數(shù)的性質(zhì)。轉(zhuǎn)而導(dǎo)人關(guān)注新的函

數(shù)一一反比例函數(shù)的圖象研究：反比例函數(shù)的圖象又會是什么樣子呢？

2、探索活動

探索活動1反比例函數(shù)y=g的圖象.

X

由于反比例函數(shù)y=色的圖象是曲線型的，且分成兩支.對此，學(xué)生第一次

X

接觸有一定的難度，因此需要分幾個層次來探求：

（D可以先估計一一例如：位置（圖象所在象限、圖象與坐標(biāo)軸的交點等）、

趨勢（上升、下降等）；

（2）方法與步驟一一利用描點作圖；

列表：取自變量X的哪些值？一一X是不為零的任何實數(shù)，所以不能取X的

值的為零，但仍可以以零為基準，左右均勻，對稱地取值。

描點：依據(jù)什么（數(shù)據(jù)、方法）找點？

連線：怎樣連線？一一可在各個象限內(nèi)按照自變量從小到大的順序用兩條光

滑的曲線把所描的點連接起來。

探索活動2反比例函數(shù)y=-9的圖象.

X

可以引導(dǎo)學(xué)生采用多種方式進行自主探索活動：

（1）可以用畫反比例函數(shù)y=9的圖象的方式與步驟進行自主探索其圖象；

(2)可以通過探索函數(shù)y=9與y=-9之間的關(guān)系，畫出＞=-9的圖象.

XXX

探索活動3反比例函數(shù)＞=與y=9的圖象有什么共同特征？

XX

引導(dǎo)學(xué)生從通過與一次函數(shù)的圖象的對比感受反比例函數(shù)圖象“曲線”及“兩

支”的特征.

反比例函數(shù)y=X(k≠O)的圖象是由兩個分支組成的曲線。當(dāng)Z＞0時，圖象

X

在一、三象限：當(dāng)攵＜0時，圖象在二、四象限。

反比例函數(shù)y=K(k≠0)的圖象關(guān)于直角坐標(biāo)系的原點成中心對稱。

X

3、例題教學(xué)第11頁課本安排例1,(1)鞏固反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)。

(2)是為了引導(dǎo)學(xué)生認識到：由于在反比例函數(shù)y=8(k≠O)中，只要常數(shù)k

X

的值確定，反比例函數(shù)就確定了.因此要確定一個反比例函數(shù)，只需要一對對應(yīng)

值或圖象上一個點的坐標(biāo)即可.(3)可以先設(shè)問：能否利用圖象的性質(zhì)來畫圖？

4、應(yīng)用知識，體驗成功

練習(xí)：課本“課內(nèi)練習(xí)”1.2.3

5、歸納小結(jié)，反思提高

用描點法作圖象的步驟

反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)

6、布置作業(yè)

作業(yè)本(1)課本“作業(yè)題”

板書設(shè)計：

y=-例1

X

解：解：

練習(xí)練習(xí)

教學(xué)反思：

本節(jié)課學(xué)生對性質(zhì)都能很好的理解，亮點在于學(xué)生跟著操作，學(xué)

生掌握很好。學(xué)生對畫圖細節(jié)掌握不是很好，有待于今后教學(xué)多給予

滲透。

1.2反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)（2）

教學(xué)目標(biāo)：

1、鞏固反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)，通過對圖像的分析，進一步探究反比例函數(shù)的增減性。

2、掌握反比例函數(shù)的增減性，能運用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決一些簡單的實際問題。

教學(xué)重點：

通過對反比例函數(shù)圖像的分析，探究反比例函數(shù)的增減性。

教學(xué)難點：

由于受小學(xué)反比例關(guān)系增減性知識的負遷移，又由于反比例函數(shù)圖像分成兩條分支，給

研究函數(shù)的增減性帶來復(fù)雜性。

教學(xué)方法：類比啟發(fā)

教學(xué)輔助：多媒體

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)：

1.反比例函數(shù)y=9的圖象經(jīng)過點（一1,2）,那么這個反比例函數(shù)的解析式為------，圖

X

象在第--------象限，它的圖象關(guān)于---------成中心對稱.

k

2.反比例函數(shù)y=—的圖象與正比例函數(shù)Y=3X的圖象,交于點A（l,m）,則m=-------,

X

反比例函數(shù)的解析式為一一二,這兩個圖象的另一個交點坐標(biāo)是-----------

3、畫出函數(shù)y=9和y=—g的圖像

XX

二、講授新課

1、引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)y=9和y=-9的表格和圖像說出y與X之間的變化關(guān)系；

XX

6

Wy=-

k>0k<0

y

當(dāng)左>0時，在每個象限內(nèi)，當(dāng)左VO時，在每個象限內(nèi),

y隨X的增大而減少?V隨X的增大而增大.

2、做一做：

I.用“>”或“V”填空:

3

(1)已知X”必和工2，%是反比例函數(shù)y二—的兩對自變量與函數(shù)的對應(yīng)值.若，n

X%<K[<U

,

則θ)∣J2^

(2)已知x∣,y∣和它，%是反比例函數(shù)V=-7的兩對自變

量與函數(shù)的對應(yīng)值.若X1>x2>OPliJ0—%―%?

2.己知(XyJ,),(.x2,y2),(x3,y3)是反比例函數(shù)

_的圖象上的三個點,并且y>%>%>0，則

>=」的大小關(guān)系是()

犬

(A)Λl<X2<Xi;(B)x3>xl<x2；

(C)xl>x2>x3;(D)x1>X3<x2.

3.已知α,M),(3,j2),(-2,y3)是反比例函數(shù)?=-的圖象上的三個點，則

χ,當(dāng)，%的大小關(guān)系是無

4.已知反比例函數(shù)5.(1)當(dāng)x>5時，0____y1；

y=一一

X

(2)當(dāng)xW5時，則y1,或y<(3)當(dāng)y>5時，X的范圍是

3、講解例題

例下圖是浙江省境內(nèi)杭甬鐵路的里程示意圖。設(shè)從杭州到余姚一段鐵路線上的列車行駛的

時間為時，平均速度為千米/時，且平均速度限定為不超過160千米/時。

(1)求V關(guān)于t的函數(shù)解析式和自變量t的取值范圍；

紹興

（2）畫出所求函數(shù)的圖象

（3）從杭州開出一列火車，在40分內(nèi)（包括40分）到達余姚可能嗎？在50分內(nèi)（包括

50分）呢？如有可能，那么此時對列車的行駛速度有什么要求？

小結(jié)：（1）自變量t不僅要符合反比例函數(shù)自身的式子有意義，而且要符合實際問題中的具

體意義及附加條件。

（2）對于在自變量的取值范圍內(nèi)畫函數(shù)的圖像映注意圖像的純粹性。

（3）一般有；兩種方法求自變量的取值范圍：一是利用函數(shù)的增減性，二是利用圖解法。

練習(xí)：課本第16頁課內(nèi)練習(xí)第3題

本節(jié)課我學(xué)到了……我的困惑……

四、比較正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)

________正比例函數(shù)_____________反比例函數(shù)________

解析式k

y-kx(左≠0)y=-(k≠0)

X

圖像直線雙曲線

k>0,一、三象限；k>0>一、三象限

位置k<0,二、四象限k<0,二、四象限

k>0,在每個象限y隨X的增

k>0,y隨X的增大而增大大而減小

增減性k<0,y隨X的增大而減小k<0,在每個象限y隨X的增

大而增大

五、布置作業(yè)：見作業(yè)本

板書設(shè)計:

例2練習(xí)

解：

教學(xué)反思：

本節(jié)課學(xué)生對增減性質(zhì)都能很好的理解，但掌握不是很好。學(xué)生

對函數(shù)值的取值掌握不是很好，今后應(yīng)多加練習(xí)。

1.1-1.2反比刎備教林念復(fù)習(xí)

【蕤孽。標(biāo)】

1、進一步認識成反比例的量的概念。

2、結(jié)合具體情境體會反比例函數(shù)的意義，理解反比例函數(shù)的概念。

3、掌握反比例函數(shù)的解析式，會求反比例函數(shù)的解析式。

［教學(xué)重點和難點】

重點：反比例函數(shù)的定義和會求反比例函數(shù)的解析式。

難點：目標(biāo)2。

教學(xué)方法：講練法

教學(xué)輔助：投影片

［教學(xué)過程】

一、知識要點：一般地，形如y=-(1<是常數(shù),1<=0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù)。

X

注意：(1)常數(shù)k稱為比例系數(shù)，k是非零常數(shù)；

(2)解析式有三種常見的表達形式：

k

(A)y?—(k≠0)，(B)xy=k(k≠0)(C)y=kx'(k≠0)

X

二、例題講解：

1.、在下列函數(shù)表達式中,x均為自變量,哪些y是X的反比例函數(shù)?每一個反比例函數(shù)相應(yīng)的

k值是多少？

(l)y=-；(2)y=—;(3)y=：；(4)xy=2.

XXz

(5)y=-6x+3;(6)xy=-7;(7'=2；(8'=gx?

(9)y=-2x-I(10)y??

2、.若y=-3χa+∣是反比例函數(shù)，則a=。

3.、若y=(a+2)xa2+2"為反比例函數(shù)關(guān)系式，則a=°

4、如果反比例函數(shù)y=:一的圖象位于第二、四象限，那么m的范圍為

X

5、下列的數(shù)表中分別給出了變量y與X之間的對應(yīng)關(guān)系，其中是反比例函數(shù)關(guān)系的是

X1234X1234

6897

yy8543

X1234Xj__2__3_4

y5876y_11/21/31/4

6、回答下列問題：

(1)當(dāng)路程S一定時，時間t與速度V的函數(shù)關(guān)系。

(2)當(dāng)矩形面積S一定時，長”與寬匕的函數(shù)關(guān)系。

(3)當(dāng)三角形面積S一定時，三角形的底邊y與高X的函數(shù)關(guān)系。

(4)當(dāng)電壓U不變時，通過的電流I與線路中的電阻R的函數(shù)關(guān)系。

7、實踐應(yīng)用

例1、設(shè)面積為20cm2的平行四邊形的一邊長為a(cm),這條邊上的高為h(cm),

⑴求h關(guān)于a的函數(shù)解析式及自變量a的取值范圍；

⑵h關(guān)于a的函數(shù)是不是反比例函數(shù)？如果是，請說出它的比例系數(shù)

⑶求當(dāng)邊長a=25cm時，這條邊上的高。

例2、設(shè)電水壺所在電路上的電壓保持不變，選用電熱絲的電阻為R(Ω),電水壺的功率

為P(W)。

(1)已知選用電熱絲的電阻為50Q,通過電流為968w,求P關(guān)于R的函數(shù)解析式，并說

明比例系數(shù)的實際意義。

(2)如果接上新電熱絲的電阻大于50Q,那么與原來的相比，電水壺的功率將發(fā)生什么變

化？

例3、(1)y是關(guān)于X的反比例函數(shù)，當(dāng)x=-3時，y=0.6;求函數(shù)解析式和自變量X的取值

范圍。

(2)如果一個反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(-2,5),(-5,n)求這個函數(shù)的解析式和n的值。

(3)y與x+1成反比例，當(dāng)x=2時，y=—1,求函數(shù)解析式和自變量X的取值范圍。

(4)已知y與X-2成反比例，并且當(dāng)x=3時，y=2.求X=I.5時的值.

(5)如果y是機的反比例函數(shù)，加是X的反比例函數(shù)，那么)是X的()

A.反比例函數(shù)B.正比例函數(shù)C.一次函數(shù)D.反比例或正比例函數(shù)

三、練習(xí)：P211----4

四、小結(jié)

五、布置作業(yè)：另見練習(xí)卷

板書設(shè)計:

例1例2例2

解：解：解

練習(xí)練習(xí)

1.3反比例函數(shù)的應(yīng)用(1)

教學(xué)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷通過實驗獲得數(shù)據(jù)，然后根據(jù)數(shù)據(jù)建立反比例函數(shù)模型的一般過程，體會建模思想。

2、會綜合運用反比例函數(shù)的解析式，函數(shù)的圖像以及性質(zhì)解決實際問題。

3、體驗數(shù)形結(jié)合的思想。

教學(xué)重點、難點:運用反比例函數(shù)的解析式和圖像表示問題情景中成反比例的量之間的關(guān)系,

進而利用反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)解決問題。

教學(xué)方法：講練法

教學(xué)輔助：投影片

教學(xué)過程：

一、憶一憶

1、什么是反比例函數(shù)？它的圖像是什么？具有哪些性質(zhì)？

2、小明家離學(xué)校3600米，他騎自行車的速度是X(米/分)與時間y(分)之間的關(guān)系式是

,若他每分鐘騎450米，需分鐘到達學(xué)校。

二、想一想

例1、設(shè)aABC中BC的邊長為x(cm),BC邊上的高AD為y(cm),?ABC的面積為常數(shù)。

己知y關(guān)于X的函數(shù)圖像過點(3,4)。

(1)求y關(guān)于X的函數(shù)解析式和AABC的面積。

(2)畫出函數(shù)的圖像，并利用圖像，求當(dāng)2YXY8時y的值。

小結(jié)：1、根據(jù)實際問題中變量之間的數(shù)量關(guān)系建立函數(shù)解析式。

2、根據(jù)給定的自變量的值或范圍求函數(shù)的值或范圍，可以應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)，也可以

應(yīng)用函數(shù)的圖像；根據(jù)已知函數(shù)的值或范圍求相應(yīng)的自變量的值或范圍，可以應(yīng)用函數(shù)的性

質(zhì)和圖像，也可以把問題轉(zhuǎn)化為解方程或不等式。

三、練一練

設(shè)每名工人一天能做某種型號的工藝品X個。若某工藝廠每天要生產(chǎn)這種工藝品60個，則

需工人y名。

(1)求y關(guān)于X的函數(shù)解析式。

(2)若一名工人每天能做的工藝品個數(shù)最少6個，最多8個，估計該工藝品廠每天需要

做這種工藝品的工人多少人？

四、說一說：

請你說一說本節(jié)課自己的收獲并對自己參與學(xué)習(xí)的程度做出簡單的評價.

五、作業(yè)：

見作業(yè)本

板書設(shè)計：

例1

解：練習(xí)

教學(xué)反思：

本節(jié)課學(xué)生對增減性質(zhì)掌握很好。學(xué)生對函數(shù)值的取值掌握很

好。表達格式較好。

1.3反比例函數(shù)的應(yīng)用(2)

教學(xué)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷分析實際問題中變量之間的關(guān)系建立反比例函數(shù)模型，進而解決實際問題的過程

2、體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的緊密性，培養(yǎng)學(xué)生的情感、態(tài)度，增強應(yīng)用意識，體會數(shù)形結(jié)

合的數(shù)學(xué)思想。

3、培養(yǎng)學(xué)生自由學(xué)習(xí)、運用代數(shù)方法解決實際問題的能力。

教學(xué)重難點：

重點是運用反比例函數(shù)的解析式和圖像表示問題情景中成反比例的量之間的關(guān)系，進而利用

反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)解決問題。

難點是例2中變量的反比例函數(shù)關(guān)系的確定建立在對實驗數(shù)據(jù)進行有效的分析、整合的基礎(chǔ)

之上，過程較為復(fù)雜。

教學(xué)方法：啟發(fā)法

教學(xué)輔助：投影片

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境、引入新課

例2、在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對氣缸頂部的活塞加壓，測出每一次加壓后

氣缸內(nèi)氣體的體積和氣體對氣缸壁所產(chǎn)生的壓強。

(1)請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求出壓強p(kpa)關(guān)于體積V(ml)函數(shù)解析式。

(2)當(dāng)壓力表讀出的壓強為72kpa時，氣缸內(nèi)的氣體壓縮到多少ml?

體積V(ml)壓強p(kpa)

________100________________60________

________90________________67________

________80________________75________

________70________________86________

________60________________100________

分析：(1)對于表中的實驗數(shù)據(jù)你將作怎樣的分析、處理？

(2)能否用圖像描述體積V與壓強P的對應(yīng)值？

(3)猜想壓強P與體積V之間的函數(shù)類別？

師生一起解答此題。并引導(dǎo)學(xué)生歸納此種數(shù)學(xué)建模的方法與步驟：

(1)由實驗獲得數(shù)據(jù)

(2)用描點法畫出圖像

(3)根據(jù)圖像和數(shù)據(jù)判斷或估計函數(shù)的類別

(4)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式

(5)用實驗數(shù)據(jù)驗證

指出：由于測量數(shù)據(jù)不完全準確等原因，這樣求得的反比例函數(shù)的解析式可能只是近似地刻

畫了兩個變量之間的關(guān)系。

二、鞏固練習(xí)

課本第20頁第5題

三、說一說：

請你說一說本節(jié)課自己的收獲

四、作業(yè)

板書設(shè)計：

例2

解：練習(xí)

教學(xué)反思：

本節(jié)課學(xué)生對建模思想不是掌握很好，有待于今后教學(xué)多給予滲

透。

第一章反比例函數(shù)復(fù)習(xí)(復(fù)習(xí)課)

教學(xué)目標(biāo)：

1、通過對實際問題中數(shù)量關(guān)系得探索，掌握用函數(shù)的思想去研究其變化規(guī)律

2、結(jié)合具體情境體會和理解反比例函數(shù)的意義，并解決與它們有關(guān)的簡單的實際問題

3、讓學(xué)生參與知識的發(fā)現(xiàn)和形成過程，強化數(shù)學(xué)的應(yīng)用與建模意識，提高分析問題和解決

問題的能力。

教學(xué)重點：反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)在實際問題中的運用。

教學(xué)難點：運用函數(shù)的性質(zhì)和圖像解綜合題，要善于識別圖形，勤于思考，獲取有用的信息,

靈活的運用數(shù)學(xué)思想方法。

教學(xué)方法：講練法

教學(xué)輔助：投影片

教學(xué)過程：

一、知識回顧

1、什么是反比例函數(shù)？

2、你能回顧總結(jié)一下反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)特征嗎？與同伴交流。

二、練一練

2

1、反比例函數(shù)y=-W的圖象是,分布在第象限，在每個象

X

限內(nèi)，y都隨X的增大而；若pl(xl,yl)>p2(x2,y2)都在第二象限且xl<x2,

則yιy20

-a

3、已知反比例函數(shù)y=，若Xl<x2,其對應(yīng)值yl,y2的大小關(guān)系是______________

X?k

4、如圖在坐標(biāo)系中，直線y=x+k乏雙曲線y=—在第一象限交與點A,與X軸交于點

X

C,AB垂直X軸，垂足為8,且SAAOB=I

1)求兩個函數(shù)解析式

2)求ZuBC的面積

5、你吃過拉面嗎？實際上在做拉面的過程中就滲

透著數(shù)學(xué)知識：一定體積的面團做成拉面，面條

的總長度y(m)是面條的粗細(橫截面積)s(mm2)的反

比例函數(shù)，其圖象如圖所示。

(1)寫出y與S的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求當(dāng)面條粗1.6mm2時,

面條的總長度是多少？

L?

6、已知反比例函數(shù)y=-的圖象經(jīng)過點(4,一)，若一次函數(shù)y=χ+l的圖象平移后經(jīng)過該反

X2

比例函數(shù)圖象上的點B(2,m),求平移后的一次函數(shù)的圖象與X軸的交點坐標(biāo)。

三、小結(jié)：

1、本節(jié)復(fù)習(xí)課主要復(fù)習(xí)本章學(xué)生應(yīng)知應(yīng)會的概念、圖像、性質(zhì)、應(yīng)用等內(nèi)容，夯實基礎(chǔ)提

高應(yīng)用。

2、充分利用“圖象”這個載體，隨時隨地滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

四、作業(yè)：

另發(fā)試卷

板書設(shè)計:

練習(xí)練習(xí)

解:解:

教學(xué)反思:

本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)都能落實，但解題速度不快，今后應(yīng)多加練習(xí)。

第一章反比例函數(shù)測試卷

基礎(chǔ)達標(biāo)驗收卷

一、選擇題：

已知反比例函數(shù)J=A的圖象經(jīng)過點（1,2）,則函數(shù)y=-同可確定為（）

I.

X

A.y=-2xB.y=--χC.j=-χD.y=2x

2.如果反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3,2）,那么下列各點在此函數(shù)圖象上的是（）

A.(-√2,3√2)B.(9,-)C.(-√3,2√3)

3

3.如右圖，某個反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點P,則它的解析式為

()

A.y=-(χ>0)B.y=-(X>0)

XX

C.y=?(x<0)D.y=-(x<0)

XX

如右圖是三個反比例函數(shù)y=&，y=且,y=殳在X軸上方

XXX

的圖象，由此觀察得到%、Z2、心的大小關(guān)系為

()

A.kx>k2>?3B.k3>k2>%

C.k2>k3>k[D.k3>kx>k2

5.已知反比例函數(shù)y=二?的圖象上有兩點A（Xl,乃）、8（%,為）且占<々，那么下列結(jié)論

X

正確的是（）

A.y]<y2B.y]>y2C.yl=y2D力與為之間的大小關(guān)系不能確

定

6、已知反比例函數(shù)y=&的圖象如右圖，則函數(shù)y=fcr-2的圖象是下

X

7、已知關(guān)于X的函數(shù)y=Z（x-l）和y=-&（?≠0）,它們在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（）

X

4

8、如圖，點A是反比例函數(shù)y=二圖象上一點，ABLy軸于點B,則AAOB的面積是()

A.1B.2C.3D.4

9,某閉合電路中，電源的電壓為定值，電流/(A)

與電阻R(Ω)成反比例.右圖表示的是該電路中

電流/與電阻R之間的圖象，則用電阻R表示電流

/的函數(shù)解析式為()

二、填空題:

1.我們學(xué)習(xí)過反比例函數(shù).例如，當(dāng)矩形面積S一定時，長。是寬。的反比例函數(shù)，其函

數(shù)關(guān)系式可以寫為α=E(S為常數(shù)，5≠0).

a

請你仿照上例另舉一個在H常生活、生產(chǎn)或?qū)W習(xí)中具有反比例函數(shù)關(guān)系的量的實例，并

寫出它的函數(shù)關(guān)系式.

實例：；

函數(shù)關(guān)系式：.

2.右圖是反比例函數(shù)y=8的圖象，那么k與O的大小關(guān)系是

X

k0.

3.點(1,6)在雙曲線y=K上，則k.

X

4.近視眼鏡的度數(shù)y(度)與鏡片焦距X(米)成反比例.已知400度近視眼鏡鏡片的焦

距為0.25米，則眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距X之間的函數(shù)關(guān)系式是.

5.已知反比例函數(shù)y=-?^的圖象經(jīng)過點P(2,。)，則α=.

X

三、解答題:

1.已知一次函數(shù)y=kx+k的圖象與反比例函數(shù)y=-目的圖象在第一象限交于點

X

B(4,n)9求/n的值.

k

2.已知反比例函數(shù))，=￡的圖象與一次函數(shù)y=%x+加的圖象相交于點(2,1).

X

(1)分別求這兩個函數(shù)的解析式.

(2)試判斷點P(-l,-5)關(guān)于X軸的對稱點P是否在一次函數(shù)y=履+m的圖象上.

3.反比例函數(shù)y=&的圖象經(jīng)過點A(2,3).

X

(1)求這個函數(shù)的解析式；

(2)請判斷點8(1,6)是否在這個反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由.

4.在壓力不變的情況下，某物承受的壓強P(Pa)是它的受力面積S(π?)的反比例函數(shù),

其圖象如右圖所示.

(1)求P與S之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求當(dāng)S=O.5m2時物體所受的壓強P.

如圖，反比例函數(shù)y=-四與一次函數(shù)y=τt+2的圖

5.

X

象交于A、B兩點.

(1)求A、B兩點的坐標(biāo)；

(2)求aAOB的面積.

能力提高練習(xí)A

一、學(xué)科內(nèi)綜合題3T?

1.如右圖，^OPQ是邊長為2的等邊三角形，若反比例函數(shù)的圖

象過點P，則它的解析式是./\

2.已知反比例函數(shù)y=A(AHθ)和一次函數(shù)y=-x-6.0?Qχ

X1

(1)若一函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象交于點(-3,〃?)，求力和大的值.

(2)當(dāng)％滿足什么條件時，這兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點？

(3)當(dāng)人=-2時，設(shè)(2)中的兩個函數(shù)圖象的交點分別為A、B,試判斷A、B兩點

分別在第幾象限？NAoB是銳角還是鈍角(只要求直接寫出結(jié)論)？

二、學(xué)科間綜合題

3.若一個圓錐的側(cè)面積為20,則下圖中表示這個圓錐母線長/與底面半徑r之間函數(shù)關(guān)系

的是（）

4.某單位為響應(yīng)政府發(fā)出的全民健身的號召，打算在長和寬分別為20米和11米的矩形大

廳內(nèi)修建一個60平方米的矩形健身房ABCD該健身房的四面墻壁中有兩側(cè)沿用大廳

的舊墻壁（如圖為平面示意圖），已知裝修舊墻壁的費用為20元/平方米，新建（含裝

修）墻壁的費用為80元/平方米.設(shè)健身房的高

為3米，一面舊墻壁43的長為X米，修建健身

房的總投入為y元.

（1）求y與X的函數(shù)關(guān)系式；

（2）為了合理利用大廳，要求自變量X必須滿

足8WxW12.當(dāng)投入資金為4800元時，問

利用舊墻壁的總長度為多少米？

5、為了預(yù)防“非典”，某學(xué)校對教室采用藥熏消毒法進行消毒.已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立

方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間X“y（毫克）

分鐘）成正比例，藥物燃燒完后，y與X

成反比例（如圖所示）.現(xiàn)測得藥物8分

鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米含藥量

為6毫克.請根據(jù)題中所提供的信息，解

答下列問題：

（1）藥物燃燒時，y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)

系式為：,

自變量X的取值范圍是：

__________；藥物燃燒后y

關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式為：

（2）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時學(xué)生方可進教室，那么從

消毒開始，至少需要經(jīng)過幾分鐘后，學(xué)生才能回到教室；

（3）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時,

才能有效地殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？

第五章反比例函數(shù)

一、學(xué)生知識狀況分析

通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷抽象反比例函數(shù)概念的過程,理解了反比例函數(shù)的概念,

會作出反比例函數(shù)的圖象,并探索和掌握其性質(zhì)，能從函數(shù)圖象中獲取信息來解決實際問題。

本章的教學(xué)主要以直觀操作，觀察，概括和交流作為主要的活動方式。通過這些活動，對函

數(shù)的三種表示方法進行有機的整合，逐步形成對函數(shù)概念的整體性認識，逐步提高從函數(shù)圖

象中獲取數(shù)學(xué)信息的能力，提高學(xué)生的感知水平，逐步形成從函數(shù)視角處理問題的意識，體

驗數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

教師應(yīng)從現(xiàn)實情境和學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，以本章三維教學(xué)目標(biāo)為標(biāo)準來考查學(xué)

生的學(xué)習(xí)情況，考查學(xué)生對反比例函數(shù)的定義，圖象，性質(zhì)及其應(yīng)用掌握的程度，以及從函

數(shù)圖象中敏銳地獲取相關(guān)信息、分析問題、解決問題的能力.

二、教學(xué)任務(wù)分析

函數(shù)是在探索具體問題中數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的基礎(chǔ)上抽象出來的數(shù)學(xué)概念，是研究

現(xiàn)實世界變化規(guī)律的重要內(nèi)容及數(shù)學(xué)模型，學(xué)生已經(jīng)在七年級下冊和八年級上冊學(xué)習(xí)過變

量之間的關(guān)系、一次函數(shù)等內(nèi)容，對函數(shù)已有了初步的認識，在此基礎(chǔ)上討論反比例函數(shù),

可以進一步領(lǐng)悟函數(shù)的概念，并積累研究函數(shù)性質(zhì)的方法及用函數(shù)觀點處理和解決實際問題

的經(jīng)驗,為后繼學(xué)習(xí)二次函數(shù)等產(chǎn)生積極的影響。

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與能力

1.經(jīng)歷抽象反比例函數(shù)概念的過程，理解反比例函數(shù)的概念.

2.會作反比例函數(shù)的圖象，并探索和掌握反比例函數(shù)的主要性質(zhì).

3.會從函數(shù)圖象中獲取信息，能運用反比例函數(shù)的概念、圖象和主要性質(zhì)解決實際問題.

（二）過程與方法

L熟練掌握本章的整體知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的概括和歸納能力，形成知識體系.

2.在經(jīng)歷抽象反比例函數(shù)概念的過程中，領(lǐng)會反比例函數(shù)的意義，理解反比例函數(shù)的

概念，進一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力.

3.經(jīng)歷一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的探索過程，在合作與交流中發(fā)展學(xué)生的合作意識和

交流能力.

4.能根據(jù)所給信息確定反比例函數(shù)的表達式、會作反比例函數(shù)的圖象，并能運用數(shù)形結(jié)

合思想解決與反比例函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題和實際應(yīng)用問題.

（三）情感與價值觀

通過本章內(nèi)容的回顧與思考，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，經(jīng)歷函數(shù)圖象信息的識別與

應(yīng)用過程，發(fā)展學(xué)生的形象思維能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)重點

本章知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)體系.

反比例函數(shù)的概念.

會作反比例函數(shù)的圖象，并掌握其性質(zhì).

反比例函數(shù)的相關(guān)應(yīng)用.

教學(xué)難點

利用反比例函數(shù)的圖像，探索反比例函數(shù)的主要性質(zhì).

反比例函數(shù)的相關(guān)應(yīng)用.

教學(xué)方法

自主探究、合作交流.

三、教學(xué)過程分析

本節(jié)課設(shè)計了五個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)提問，引人入勝；第二環(huán)節(jié)：知識串聯(lián)，

形成體系；第三環(huán)節(jié)：例題精練，鞏固新知；第四環(huán)節(jié)：交流探討、收獲小結(jié)；第五環(huán)節(jié):

課后作業(yè)

第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)提問，引人入勝

活動目的給學(xué)生設(shè)置疑問，激發(fā)學(xué)生的思考和回顧，明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)。

活動過程：本章的內(nèi)容己全部學(xué)完，請大家先回憶一下，本章學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？

學(xué)生回答預(yù)設(shè)：反比例函數(shù)的定義；反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)；反比例函數(shù)的應(yīng)用。

.教師引入：下面我們就來系統(tǒng)全面地對本章內(nèi)容進行復(fù)習(xí)。

第二環(huán)節(jié)：知識串聯(lián)，形成體系

活動目的：引導(dǎo)學(xué)生對本章的所學(xué)的基礎(chǔ)知識進行系統(tǒng)的歸納和整理，使學(xué)生明確各個

知識點之間的聯(lián)系，將基礎(chǔ)知識網(wǎng)絡(luò)化，形成本章知識的框架結(jié)構(gòu)體系。

活動過程:

（一）本章知識結(jié)構(gòu)

引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造本章知識結(jié)構(gòu)圖。（可課前讓學(xué)生自己制作本章知識的內(nèi)容框架或思維導(dǎo)

圖，上課進行展示和交流）

本章內(nèi)容框架

活動效果：學(xué)生可以根據(jù)以上內(nèi)容框架，對自己整理的知識框架進行補充和整理，完善

自己的知識體系，并能用自己的語言歸納總結(jié)本章內(nèi)容.

注意事項：L應(yīng)以學(xué)生自主總結(jié)和歸納為主，教師要在適時適當(dāng)?shù)慕o予指導(dǎo)；

2.對于學(xué)生個性化的結(jié)構(gòu)框架的整理設(shè)計，只要合理，老師都應(yīng)給予肯定。

（二）舉出現(xiàn)實生活中有關(guān)反比例函數(shù)的實例，并歸納出反比例函數(shù)概念.

學(xué)生回答預(yù)設(shè)：

例：當(dāng)三角形的面積是16cm?時，它的底邊a（cm）是這個底邊上的高h（cm）的函數(shù).

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解：a=—.

h

在上式中，任意給定h一個值，相應(yīng)地就確定了一個a的值.因此a是h的函數(shù)。所以

一般地，如果兩變量X,y之間的關(guān)系可以表示成y=^（k是常數(shù)，k#0）的形式,那么稱y

X

是X的反比例函數(shù).

22

（三）說說函數(shù)y=一和y=—-的圖象的聯(lián)系和區(qū)別.

XX

聯(lián)系：（1）圖象都是由兩支曲線組成；

(2)它們都不與坐標(biāo)軸相交；

(3)它們都不過原點，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.

(4)雖然y=*和y=-2的圖象不同，但是在這兩個函數(shù)圖象上任取一點，過這兩點分

XX

別作X軸、y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積相等，都為2.

區(qū)別：(1)它們所在的象限不同，y=2*的兩支曲線在第一象限和第三象限；y=-2*的兩

XX

支曲線在第二象限和第四象限.

22

(2)y=—的圖象在每個象限內(nèi)，y隨X的增大而減小；y=--的圖象在每個象限內(nèi)，y

XX

隨X的增大而增大.

(四)回顧反比例函數(shù)圖象的作圖步驟及反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)

畫函數(shù)圖象的步驟有列表、描點、連線.在作反比例函數(shù)的圖象時應(yīng)注意：列表時自變

量的取值應(yīng)選取絕對值相等而符號相反的一對一對的數(shù)值，并盡量多取一些點，連線時要連

成光滑的曲線，而不是折線.

反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)有(課件演示)：

L形狀：反比例函數(shù)的圖象是兩支雙曲線.

2.位置：當(dāng)k>0時，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)k<0時，圖象分別位于第二、四象

限.

3.增減性：當(dāng)k>0時.在每