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4.空間向量與立體幾何1.(2017·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)如圖,已知正四棱錐P-ABCD中,PA=AB=2,點(diǎn)M,N分別在PA,BD上,且eq\f(PM,PA)=eq\f(BN,BD)=eq\f(1,3).(1)求異面直線MN與PC所成角的大?。?2)求二面角N-PC-B的余弦值.解(1)設(shè)AC,BD交于點(diǎn)O,在正四棱錐P-ABCD中,OP⊥平面ABCD,又PA=AB=2,所以O(shè)P=eq\r(2).以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),eq\o(DA,\s\up6(→)),eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(OP,\s\up6(→))方向分別為x軸,y軸,z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖.則A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,eq\r(2)),eq\o(AP,\s\up6(→))=(-1,1,eq\r(2)).故eq\o(OM,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(AP,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),-\f(1,3),\f(2\r(2),3))),eq\o(ON,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(1,3),0)),所以eq\o(MN,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(2,3),-\f(2\r(2),3))),eq\o(PC,\s\up6(→))=(-1,1,-eq\r(2)),所以cos〈eq\o(MN,\s\up6(→)),eq\o(PC,\s\up6(→))〉=eq\f(\o(MN,\s\up6(→))·\o(PC,\s\up6(→)),|\o(MN,\s\up6(→))||\o(PC,\s\up6(→))|)=eq\f(\r(3),2),所以異面直線MN與PC所成角的大小為eq\f(π,6).(2)由(1)知eq\o(PC,\s\up6(→))=(-1,1,-eq\r(2)),eq\o(CB,\s\up6(→))=(2,0,0),eq\o(NC,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(4,3),\f(2,3),0)).設(shè)m=(x,y,z)是平面PCB的法向量,則m·eq\o(PC,\s\up6(→))=0,m·eq\o(CB,\s\up6(→))=0,可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x+y-\r(2)z=0,,x=0,))令y=eq\r(2),則z=1,即m=(0,eq\r(2),1).設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面PCN的法向量,則n·eq\o(PC,\s\up6(→))=0,n·eq\o(CN,\s\up6(→))=0,可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x1+y1-\r(2)z1=0,,-2x1+y1=0,))令x1=2,則y1=4,z1=eq\r(2),即n=(2,4,eq\r(2)),所以cos〈m,n〉=eq\f(m·n,|m||n|)=eq\f(5\r(2),\r(3)×\r(22))=eq\f(5\r(33),33),則二面角N-PC-B的余弦值為eq\f(5\r(33),33).2.(2017·常州期末)如圖,以正四棱錐V-ABCD的底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,其中Ox∥BC,Oy∥AB,E為VC的中點(diǎn).正四棱錐的底面邊長為2a,高為h,且有cos〈eq\o(BE,\s\up6(→)),eq\o(DE,\s\up6(→))〉=-eq\f(15,49).(1)求eq\f(h,a)的值;(2)求二面角B-VC-D的余弦值.解(1)根據(jù)條件,可得B(a,a,0),C(-a,a,0),D(-a,-a,0),V(0,0,h),Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,2),\f(a,2),\f(h,2))),所以eq\o(BE,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2)a,-\f(a,2),\f(h,2))),eq\o(DE,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2),\f(3,2)a,\f(h,2))),故cos〈eq\o(BE,\s\up6(→)),eq\o(DE,\s\up6(→))〉=eq\f(h2-6a2,h2+10a2).又cos〈eq\o(BE,\s\up6(→)),eq\o(DE,\s\up6(→))〉=-eq\f(15,49),則eq\f(h2-6a2,h2+10a2)=-eq\f(15,49),解得eq\f(h,a)=eq\f(3,2).(2)由eq\f(h,a)=eq\f(3,2),得eq\o(BE,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2)a,-\f(a,2),\f(3,4)a)),eq\o(DE,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2),\f(3,2)a,\f(3,4)a)),且容易得到,eq\o(CB,\s\up6(→))=(2a,0,0),eq\o(DC,\s\up6(→))=(0,2a,0).設(shè)平面BVC的法向量為n1=(x1,y1,z1),則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(BE,\s\up6(→))=0,,n1·\o(CB,\s\up6(→))=0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2)ax1-\f(a,2)y1+\f(3,4)az1=0,,2ax1=0,))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1=0,,2y1=3z1,))取y1=3,z1=2,則n1=(0,3,2).同理可得平面DVC的一個(gè)法向量為n2=(-3,0,2).cos〈n1,n2〉=eq\f(n1·n2,|n1||n2|)=eq\f(0×-3+3×0+2×2,\r(13)×\r(13))=eq\f(4,13),結(jié)合圖形,可以知道二面角B-VC-D的余弦值為-eq\f(4,13).3.(2017·南京學(xué)情調(diào)研)如圖,在底面為正方形的四棱錐P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是線段PC的中點(diǎn).(1)求異面直線AP與BE所成角的大??;(2)若點(diǎn)F在線段PB上,且使得二面角F-DE-B的正弦值為eq\f(\r(3),3),求eq\f(PF,PB)的值.解(1)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,所以DA,DC,DP兩兩垂直,故以{eq\o(DA,\s\up6(→)),eq\o(DC,\s\up6(→)),eq\o(DP,\s\up6(→))}為正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.因?yàn)镻D=DC,所以DA=DC=DP,不妨設(shè)DA=DC=DP=2,則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0).因?yàn)镋是PC的中點(diǎn),所以E(0,1,1),所以eq\o(AP,\s\up6(→))=(-2,0,2),eq\o(BE,\s\up6(→))=(-2,-1,1),所以cos〈eq\o(AP,\s\up6(→)),eq\o(BE,\s\up6(→))〉=eq\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(BE,\s\up6(→)),|\o(AP,\s\up6(→))||\o(BE,\s\up6(→))|)=eq\f(\r(3),2),從而〈eq\o(AP,\s\up6(→)),eq\o(BE,\s\up6(→))〉=eq\f(π,6).因此異面直線AP與BE所成角的大小為eq\f(π,6).(2)由(1)可知,eq\o(DE,\s\up6(→))=(0,1,1),eq\o(DB,\s\up6(→))=(2,2,0),eq\o(PB,\s\up6(→))=(2,2,-2).設(shè)eq\o(PF,\s\up6(→))=λeq\o(PB,\s\up6(→)),則eq\o(PF,\s\up6(→))=(2λ,2λ,-2λ),從而eq\o(DF,\s\up6(→))=eq\o(DP,\s\up6(→))+eq\o(PF,\s\up6(→))=(2λ,2λ,2-2λ).設(shè)m=(x1,y1,z1)為平面DEF的法向量,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(DF,\s\up6(→))=0,,m·\o(DE,\s\up6(→))=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λx1+λy1+1-λz1=0,,y1+z1=0,))取z1=λ,則y1=-λ,x1=2λ-1.故m=(2λ-1,-λ,λ)為平面DEF的一個(gè)法向量,設(shè)n=(x2,y2,z2)為平面DEB的法向量.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DB,\s\up6(→))=0,,n·\o(DE,\s\up6(→))=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2+2y2=0,,y2+z2=0,))取x2=1,則y2=-1,z2=1.所以n=(1,-1,1)為平面BDE的一個(gè)法向量.因?yàn)槎娼荈-DE-B的余弦值的絕對值為eq\f(\r(6),3),即|cos〈m,n〉|=eq\f(|m·n|,|m||n|)=eq\f(|4λ-1|,\r(3)·\r(2λ-12+2λ2))=eq\f(\r(6),3),化簡得4λ2=1.因?yàn)辄c(diǎn)F在線段PB上,所以0≤λ≤1,所以λ=eq\f(1,2),即eq\f(PF,PB)=eq\f(1,2).4.(2017·蘇北四市一模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M為PC的中點(diǎn).(1)求異面直線AP,BM所成角的余弦值;(2)點(diǎn)N在線段AD上,且AN=λ,若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(4,5),求λ的值.解(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,且AB,AD?平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.又因?yàn)椤螧AD=90°,所以PA,AB,AD兩兩互相垂直.分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則由AD=2AB=2BC=4,PA=4可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).又因?yàn)镸為PC的中點(diǎn),所以M(1,1,2).所以eq\o(BM,\s\up6(→))=(-1,1,2),eq\o(AP,\s\up6(→))=(0,0,4),所以cos〈eq\o(AP,\s\up6(→)),eq\o(BM,\s\up6(→))〉=eq\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(BM,\s\up6(→)),|\o(AP,\s\up6(→))||\o(BM,\s\up6(→))|)=eq\f(0×-1+0×1+4×2,4×\r(6))=eq\f(\r(6),3),所以異面直線AP,BM所成角的余弦值為eq\f(\r(6),3).(2)因?yàn)锳N=λ,所以N(0,λ,0)(0≤λ≤4),則eq\o(MN,\s\up6(→))=(-1,λ-1,-2),eq\o(BC,\s\up6(→))=(0,2,0),eq\o(PB,\s\up6(→))=(2,0,-4).設(shè)平面PBC的法向量為m=(x,y,z),則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(BC,\s\up6(→))=0,,m·\o(PB,\s\up
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