2022年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編：直線與圓、圓錐曲線（附答案解析）

2022年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編：直線與圓、圓錐曲線

一.選擇題(共4小題)

1.橢圓C：?-+^-=1(a>?>0)的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P,。均在C上，且關(guān)于y軸對稱.若

直線AP,A。的斜率之積為2,則C的離心率為()

4

A.近B.亞C.A

D._1

2223-

2.若直線2x+y-1=O是圓(X-〃)2+)2=］的一條對稱軸，則a=()

A.AB.-ΛC.1D.-1

22

22

3.已知橢圓C：?-+^-=1(a>?>0)的離心率為Ai,上分別為C的左、右頂點(diǎn)，B

2,2Q

ab0

為。的上頂點(diǎn).若西?a=-1，則C的方程為()

2222

A.2-+2-=1B.—+?--1

181698

C.AI+∑1=1D.式+產(chǎn)

=1

322

4.設(shè)廠為拋物線C：)2=4X的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8(3,0),若∣ΛFl=IB儀，則HBI=()

A.2B.2√2C.3D.3√2

多選題(共3小題)

(多選)5.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)在拋物線C：/=2Py(P>0)上，過點(diǎn)B(0

-1)的直線交C于尸，Q兩點(diǎn)，則()

A.C的準(zhǔn)線為y=-IB.直線AB與C相切

C.?OP???OQ?>?OA^D.?BP???BQ?>?BA^

(多選)6.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C：yλ=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線與C交于A,

B兩點(diǎn),其中A在第一象限，點(diǎn)M(p,0).若IAFl=兇M∣,貝IJ()

A.直線A3的斜率為2&B.|。Bl=IoFl

C.?AB?>4?OF?D./O4M+/OBMV180°

(多選)7.雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fι,Fz,以C的實(shí)軸為直徑的圓記為O,過FI作。的

切線與C交于M,N兩點(diǎn)，且cos/FlNF2=旦，則C的離心率為()

5

A.√∑B.IC?叵D?叵

2222

Ξ.填空題(共13小題)

2C

8.雙曲線2_->2=ι的實(shí)軸長為.

9

22,

9.已知雙曲線(a>0,?>0)的左焦點(diǎn)為尸，過F且斜率為H的直線交雙曲

2,2?a

ab"ic*

線于點(diǎn)A(xι,川)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)8(JC2,”)且xι<O<M.若IFBI=3|以|,則

雙曲線的離心率是.

10.設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上,點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在C)M上,則0M的方程為.

11.過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為.

12.已知雙曲線y2+止=1的漸近線方程為y=±返x,則加=.

m3

13.記雙曲線C：(a>0,b>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x

2,2

ab

與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值.

14.已知直線/與橢圓］?+(=l在第一象限交于A,B兩點(diǎn)，/與X軸、y軸分別相交于

M,N兩點(diǎn)，且∣M4∣=INB∣M7V∣=2√3.貝(1/的方程為.

2

15.若雙曲線丁-三_=1(w>0)的漸近線與圓/+/-4y+3=0相切，則.

m

16.設(shè)點(diǎn)A(-2,3),B(0,a),若直線AB關(guān)于y="對稱的直線與圓(x+3)2+(y+2)

2=1有公共點(diǎn)，則〃的取值范圍是.

17.寫出與圓/+/=1和Q-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程.

18.已知橢圓C：Ai=1(a>b>ω,C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為乃，F(xiàn)2,離心率

2,2

ab

為人.過Fl且垂直于A∕?的直線與C交于O,E兩點(diǎn),∣DE∣=6,則AAOE的周長是.

2

2

19.已知尸1(XI,yι),P2(X2,”)兩點(diǎn)均在雙曲線「：(?>0)的右支上，若

a

MX2>yi”恒成立，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍為.

20.若關(guān)于x,y的方程組('W有無窮多解，則實(shí)數(shù)m的值為_______.

lmx+16y=8

四.解答題(共8小題)

22

21.設(shè)有橢圓方程r：2L-+X-=?(β>?>0),直線/：x+y-4√2=0,「下端點(diǎn)為A,M

a"1bz

在/上，左、右焦點(diǎn)分別為Fl(-√2,0)、F2(√2-0).

(1)a=2,AΛ∕中點(diǎn)在X軸上，求點(diǎn)例的坐標(biāo)；

(2)直線/與y軸交于8,直線AM經(jīng)過右焦點(diǎn)尸2，在AABM中有一內(nèi)角余弦值為3,

5

求b；

(3)在橢圓「上存在一點(diǎn)P到/距離為d,使IPFlI+∣PF2l+d=6,隨。的變化，求d的最

22.D的兩點(diǎn)，且點(diǎn)Q(0,?)

2

在線段AB上，直線∕?,PB分別交直線y=-1+3于C,。兩點(diǎn).

2

(I)求點(diǎn)尸到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值;

(II)求ICCl的最小值.

22

23.已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C：?--——=1(α>l)上，直線/交C于P,Q兩點(diǎn)，

22r

aa-1

直線AP,AQ的斜率之和為0.

(1)求/的斜率；

(2)若tanN∕?Q=2√5,求△以。的面積.

24.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為X軸、y軸，且過A(0,-2),8(3,-1)

2

兩點(diǎn).

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)尸(1,-2)的直線交E于M,N兩點(diǎn)，過“且平行于X軸的直線與線段

AB交于點(diǎn)T,點(diǎn)H滿足證=后.證明：直線HN過定點(diǎn).

25.已知橢圓E：z+z=1(a>?>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,1),焦距為2√S.

2,2

ab

(I)求橢圓E的方程；

(H)過點(diǎn)P(-2,1)作斜率為Z的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)8,C,直線A8,

AC分別與X軸交于點(diǎn)例，N.當(dāng)IMNl=2時(shí)，求上的值.

26.設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)￡>(p,0),過F的直線交C于M,N兩

點(diǎn).當(dāng)直線MZ)垂直于X軸時(shí)，IMfl=3.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別

為α,β.當(dāng)a-β取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.

22

27.已知雙曲線C：t-%=1(a>0,?>0)的右焦點(diǎn)為F(2,0),漸近線方程為)，=

「bz

±v??-

(1)求C的方程；

(2)過尸的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(xι,?i),Q(Λ2,”)

在C上，且X1>X2>O,yι>0?過P且斜率為-√3的直線與過。且斜率為√E的直線交

于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①M(fèi)在AB上；?PQ//AB-,③4∣=I|.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

2

28.已知橢圓「：N+y2=ι(41),A、B兩點(diǎn)分別為「的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)

2

a

均在直線/：X=。上，且C在第一象限.

(1)設(shè)尸是橢圓r的右焦點(diǎn)，且NAFB=三，求r的標(biāo)準(zhǔn)方程；

6

(2)若C、。兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為2、1,請判斷直線4。與直線BC的交點(diǎn)是否在橢圓「

上，并說明理由；

(3)設(shè)直線A。、BC分別交橢圓r于點(diǎn)尸、點(diǎn)Q,若P、Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，求ICnl的最

小值.

2022年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編：直線與圓、圓錐曲線

參考答案與試題解析

選擇題（共4小題）

1.橢圓C：44=1（0>b>0）的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P,Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱.若

直線AP,AQ的斜率之積為2，則C的離心率為（）

4

A.近B.亞C.AD.A

2223

【解答】解：已知A（.-a,0）,設(shè)P（X（）,yo），則Q（~?o,和），

kAP=、°，

xO+a

故kλP*?AQ=-,lj-,-JIJ—=≈z-??Φ>

×0+aa^x0a'-x；4

②代入①整理得：也一=工，

a24

e=￡=J

2

aΓa2

故選：A.

2.若直線2x+y-1=0是圓（x-a）2+y2=ι的一條對稱軸，則〃=（）

A.?B.」C.1D.-1

22

【解答】解：圓（χ-4）2+y2=1的圓心坐標(biāo)為（小0）,

Y直線2ι+y-1=0是圓（X-a）2+y2=l的一條對稱軸，

，圓心在直線2r+y-1=0上，可得2α+0-l=0,B∣Ja=—.

2

故選：A.

3.已知橢圓C：支_+二=|(α>?>0)的離心率為工，Ai,上分別為C的左、右頂點(diǎn)，B

2,2Q

ab0

為。的上頂點(diǎn).若西?拓=-1，則C的方程為()

2222

A.-?-+?-?lB,A-+?∑-=l

181698

i

C.AZ≈1D.2L-,+y-]

322

22

【解答】解：由橢圓的離心率可設(shè)橢圓方程為Nv+^=ι(m>0),

9m28m2

則A[(-3m,0),A2(3m,0),B(0,2√2m)-

由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則可得：

-22wj21

BA1'BA2=(3I∏J^2Λ∕2m)*(3m,-2Λ∕2m)=-9m+8m=-Γ??~'

22

則橢圓方程為江上=1?

98

故選：B.

4.設(shè)尸為拋物線Cy2=4X的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B(3,O),若HFI=IBQ,則HBI=()

A.2B.2√2C.3D.3√2

【解答】解：尸為拋物線C：V=4χ的焦點(diǎn)(1,0),點(diǎn)A在C上，點(diǎn)3(3,0),?AF?

=|8尸|=2,

由拋物線的定義可知A(1,2)(A不妨在第一象限)，所以∣A5∣=d(3.i)2+(-2)2=

2√2?

故選：B.

二.多選題(共3小題)

(多選)5.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)在拋物線C：f=2py(p>0)上，過點(diǎn)B(0,

-1)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，則()

A.C的準(zhǔn)線為y=-lB.直線AB與C相切

C.?OP???OQ?>?OA?lD.?BP???BQ?>?BA?λ

【解答】解：；點(diǎn)A(1,1)在拋物線C：X2=2Py(p>0)上，

.?.2p=l,解得口」，

P2

.?.拋物線C的方程為f=y,準(zhǔn)線方程為y=f,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

由于A(1,1),B(0,-1),則kAB=I-j^θl)=2,直線AB的方程為y=2f-1,

'v=2x-1

聯(lián)立《，可得7-2x+l=0,解得X=1,故直線AB與拋物線C相切，選項(xiàng)8正

χ2=y

確；

根據(jù)對稱性及選項(xiàng)6的分析，不妨設(shè)過點(diǎn)8的直線方程為y=丘-1(左>2),與拋物線在

第一象限交于尸(XHyi),Q(X2，丁2)，

v=kx-1

聯(lián)立1,消去y并整理可得X2-kx+?=0,則X[+X2=k,x?xι=1,

y-χ

n

=+,

y1y2=(kx?-1)(kx2-l)kx1x2-k(x?+x2)l=l

2222

∣0P∣?∣OQ∣=7xι+y1-7x2+y2

2

≥√2x1y1?√2x2y2=2^∣xlx2yly2=2=∣OA∣'由于等號在制=x2=yι="=1時(shí)

才能取到，故等號不成立，選項(xiàng)C正確；

222+2

∣BPI∣BQI=√x1+(y1+ι)^x2+(y2^

2+2,d

>"^x1+4y1?-^×24y2.5xI275X22=W(XIX2)2=5=|BA∣選項(xiàng)正

確.

故選：BCD.

(多選)6.己知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C：∕=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線與C交于A,

8兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M(p,0).若HQ=HM,則()

A.直線AB的斜率為2遙B.|0陰=|。Fl

C.∣AB∣>4∣OF∣D.NOAM+N。BMeI80°

【解答】解：如圖，

.?.A(?p,a),

42

由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得3XB=T,則x=L,貝IJB(2.,母,

nxB33

V^P∩

-0

1-r-

，kAB=kAF=-^--------=2√6>故A正確;

~T^2

IOBI,IoFI=￡,?OB?≠?OF?,故B錯(cuò)誤;

2

∣Aβ∣=?+E+p=?->2p=4∣OF∣,故C正確；

∣OA∣2?∣OB∣2≠∣AM∣2?∣BM∣2?-∣AB∣2=?

V∣OA∣2+∣OB∣2<IABF，HMF+1BMFViABl2,

ZAOB,NAMB均為鈍角，可得NOAM+NOBΛ∕<180°,故。正確.

故選：ACD.

（多選）7.雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為尸I,Fz,以C的實(shí)軸為直徑的圓記為O,過FI作。的

切線與C交于M,N兩點(diǎn)，且CoS/FINF2=3,則C的離心率為（）

5

A.√LB.3C?恒D.?L

2222

22

【解答】解：當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為「-J=I（a>O,fe>O）,

2,2

ab

則IoPI=",OPLPFi,又|。FII=c,

2222z,t

所以PFl=√0F1-0P=Vc-a=

過點(diǎn)F2作F2QVMN于點(diǎn)Q,

所以O(shè)P〃&Q，又。為FI乃的中點(diǎn)，

所以IQQI=2?PF↑?=2b,?QF2?=2?OP?^2a,

因?yàn)镃OSNFwF2=3，ZF?NF2<-,所以SinNQN尸2=匹，

525

QF

所以INF2∣=--------------------=—,則INQI=WF2∣?cos∕FINF2=旦生,

SinZF1NF222

所以WFII=WQ+1FlQ=里?+2b,

2

由雙曲線的定義可知WFII-WF2∣=24,

所以衛(wèi)生+26-&=24,可得2b=3α,即0=3,

情況二：當(dāng)直線與雙曲線交于一支時(shí),

如圖，記切點(diǎn)為A,連接0A,則∣0A∣=α,?F?A?=b,

過F2作FzBLMN于B,則52陰=2。，因?yàn)镃OSNFlNF2=3,所以INF2∣=&，WBI=①，

故選：AC.

三.填空題(共13小題)

2

8.雙曲線--V=I的實(shí)軸長為6.

9

2

【解答】解：由雙曲線三一-V=1,可知：”=3,

9

所以雙曲線的實(shí)軸長2a=6.

故答案為：6.

9?已知雙曲線4-A=IQ>。，4。)的左焦點(diǎn)為R過F且斜率為專的直線交雙曲

線于點(diǎn)A(xι,yι),交雙曲線的漸近線于點(diǎn)B(X2,y2)且xι<0<X2?若∣∕78∣=3∣4M，則

雙曲線的離心率是這叵.

~4~

【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AΛ'LX軸于點(diǎn)A',過點(diǎn)8作BB'LX軸于點(diǎn)"，

由于8(12,J2)且12>0，則點(diǎn)8在漸近線y上?χ上，不妨設(shè)B(In,??n),m>0，

aa

b

設(shè)直線AB的傾斜角為0,貝IJtanθ則照耳一上，即∣a??b,則尸夕

4a∣FBz4a∣FB'I4a

|=4〃?，

??∣0Λ]=c=3，九,

,

又IAA,_|_=II?l,則IAA'I??IBBIMI=?≥J

|BB?I∣BF∣3113113a9a

又［FA：］=國［」,則I/I?l∣fb^I當(dāng)，則I"=3生尊=IS,

IFBZIIBFI3iγλi3i131xι1dm339

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5cbe

^9^

9ι22

25c?k_￡_

22

.8181a1B∏C8127

a2b2a2248

?_c3Λ∕6

>?e=~=_~.

故答案為：司叵.

10.設(shè)點(diǎn)例在直線2x+y-1=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在C)M上，則OM的方程為Cr

-1)?+(y+l)2=5.

【解答】解：由點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上，可設(shè)M(α,1-2〃),

由于點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在C)M上，.?.圓的半徑為｛(@_3)2+(1-2&-0)2=

√(a-0)+(l-2a-l)

求得α=l,可得半徑為√M,圓心M(l,-1),

故OM的方程為(χ-l)2+()+1)2=5,

故答案為：(X-I)?+(y+l)2=5.

11.過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為x2+v2-4x

-6y=0(或X2+/-4χ-2v=0或7+y2-m-JAy=O或7+聲-J?-2v--=0).

3—355

【解答】解：設(shè)過點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1)的圓的方程為/+)2+θχ+E)+F=0,

'F=O

即T6+4D+F=。，解得F=0，D--4,E--6,

2-D+E+F=0

所以過點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,I)圓的方程為Λ2+y2-4x-6y=0.

同理可得，過點(diǎn)(0,0),(4,0),(4,2)圓的方程為f+y2-4x-2y=0?

過點(diǎn)(0,0),(-1,1),(4,2)圓的方程為A2+/-當(dāng);-Jly=O.

33

過點(diǎn)(4,0),(-1,1),(4,2)圓的方程為7+y2-Mv"2y-K=0.

55

故答案為:x2+γ2-4X-6y=0(或x2+γ2-4X-2y=0或x2+y2-—x-A4y=0或x2+γ2-Aθ.

335

χ-fly--l??=0).

5

12.已知雙曲線9+止=1的漸近線方程為y=±返X,則Zn=-3.

m3

22

【解答】解：雙曲線/+三_=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得y2-2_=],

m-?n

所以m<0,雙曲線的漸近線方程y=±-rL,

V-m

又雙曲線『+31=|的漸近線方程為y=土?,

m3

所以士=近，解得機(jī)=-3.

√ξ^3

故答案為：-3.

22

13.記雙曲線C：?--?-?l(α>0,b>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2r

2,2

ab

與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值2(e∈(1,Jkl內(nèi)的任意一個(gè)值都滿足題意).

22

【解答】解：雙曲線C：三--?∑-=1(a>0,?>0)的離心率為e,e=￡,

2,2

aba&

雙曲線的漸近線方程為y=±且r,

a

222

直線y=2x與C無公共點(diǎn)，可得上W2,即①《小即￡-J

aaa

可得1V

滿足條件“直線y=2x與。無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值可以為：2.

故答案為：2（ee（1,√g]內(nèi)的任意一個(gè)值都滿足題意）.

14.己知直線/與橢圓∕]?=1在第一象限交于4B兩點(diǎn)，/與X軸、），軸分別相交于

M,N兩點(diǎn)，且IMAI=INBIMNI=2如，則/的方程為x+J5y-2J5=O

【解答】解：設(shè)A（xι,yι）,B（X2,”），線段AB的中點(diǎn)為E,

2222

χχ

,∣1ι+yι-l2+y2.1

6363

相減可得:1

2

22

則立"L山?金‰了2r11

x+xx222

l×22^lx2-xl

設(shè)直線/的方程為：y=kx+m,k<0,∕n>0,MC-&,0）,N（0,機(jī)）,

k

：.E（-?,工1）,.?koE=-k,

2k2_

-k?k--?,解得k--Y2,

22

I~~22

?..∣例N∣=2√ξ,.?.嗎+血2=2近，化為：毛+zπ2=⑵

Vk2k2

.".3m2=12,m>0,解得m=2.

；?/的方程為y=-亞x+2,BPχ÷√2y-2√2=0,

2

故答案為：χ+√2）-2√2=0.

15.若雙曲線y-2一二1（機(jī)＞0）的漸近線與圓/+V-4y+3=0相切，則加=__退__.

2一3一

m°

2

【解答】解：雙曲線J-2_=i（zπ＞0）的漸近線：x=±m(xù)y,

m

圓x2+y2-4y+3=0的圓心（0,2）與半徑1,

2

雙曲線V-七_(dá)=1（機(jī)＞0）的漸近線與圓/+y2-4γ+3=0相切,

m

2rrt

-τ-—=1,解得m=^~,m=-返??舍去.

√W33

故答案為：?.

3

16.設(shè)點(diǎn)A(-2,3),B(0,〃)，若直線AB關(guān)于y="對稱的直線與圓(x+3)?+(y+2)

2=1有公共點(diǎn)，則?的取值范圍是

3-2

【解答】解：點(diǎn)A(-2,3),B(0,?),履B=Q3,所以直線AB關(guān)于y="對稱的直

2

線的斜率為：生生，所以對稱直線方程為：廠“=生曳.父即：(3-a)χ-2y+2a=0,

22*

(X+3)2+(y+2)2=1的圓心(-3,-2),半徑為1,

所以JJja3+4+2且」一41，得12/-22α+6W0,解得“日工，?.

√4÷(3-a)232

故答案為：［工，?.

32

2

17.寫出與圓f+y2=ι和(x-3)+(k4)2=16都相切的一條直線的方程X=-1(填

3x+4y-5=0,7χ-24y-25=0都正確).

【解答】解：圓/+y2=l的圓心坐標(biāo)為O(0,0),半徑rι=l,

圓(X-3)2+(y-4)2=16的圓心坐標(biāo)為C(3,4).半徑以=4,

?；|。Cl=ri+n，???兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條.

?.?k“=g，?/i的斜率為&設(shè)直線/i:y=-3χ+ly即3x+4y-46=0,

由IYbI,解得％=$(負(fù)值舍去)，則/［：3x+4y-5=0;

54

由圖可知，fe：x=-l;/2與/3關(guān)于直線產(chǎn)件X對稱，

'x=-l

聯(lián)立］4,解得/2與/3的一個(gè)交點(diǎn)為(-1，一?),在/2上取一點(diǎn)(-1，0)，

y?Oχ3

x1

Vo--4='0^

23--2

該點(diǎn)關(guān)于y=2χ的對稱點(diǎn)為(χo,和)，、.，解得對稱點(diǎn)為(-L,-24).

3yQ32525

,xo+1-"?

—>則/3：y—7/4即7Λ--24y-25=0.

24西（x+l）W

.?.與圓/+y2=l和(χ-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程為:

X=-I（填3x+4y-5=0,Ix-24y-25=0都正確）.

故答案為：X=-1（填3x+4y-5=0,7x-24y-25=0都正確）.

22

18.已知橢圓C：2L-+X-=?(a>h>ω,C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為尸i，F(xiàn)2,離心率

2,2

ab

為工.過Fl且垂直于AF2的直線與C交于Q,E兩點(diǎn),∣QE∣=6,則AAOE的周長是13.

2

22

【解答】解：???橢圓C：?-+∑-≈l(a>b>O)的離心率為工，

2.22

abZ

22

不妨可設(shè)橢圓C：-?-+?-=1,n=2c,

4C23C2

的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為尸1,F2,

.?.△AF1F2為等邊三角形，

?.?過FI且垂直于AF2的直線與C交于。，E兩點(diǎn),

.√?

,

,?kDE=tan30°=~^~

由等腰三角形的性質(zhì)可得，?AD?-?DF2?,IAEl=IEF2|,

設(shè)直線OE方程為(x+c)，D(?i,y?),E(孫”)，

3

將其與橢圓C聯(lián)立化簡可得，13∕+8cx-32C2=0,

由韋達(dá)定理可得，X,+χc=生，?χ

xlx213?x213

222

=Vk+1∣x1-χ2∣=Vk+1√(x1+x2)-4x1x2

5?十號產(chǎn)喀噎行解得Cl

由橢圓的定義可得，XQE的周長等價(jià)于∣DE∣+∣OF2∣+∣EF2∣=4"=8c=8χ13=13?

8

故答案為：13.

2

2

19.已知尸1(xι,y?),Pi(X2,”)兩點(diǎn)均在雙曲線「：2L--y=?(β>0)的右支上，若

a

XIX2>y1y2恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為［1,+8).

【解答】解：設(shè)尸2的對稱點(diǎn)尸3(12，-")仍在雙曲線右支，由JOT2>yi”,

得X↑X2-yiy2>0,即0P；?0P1>O恒成立，

???/POP3恒為銳角，即NMoNW90°,

???其中一條漸近線y=L的斜率工W1,

aa

.?.o21,

所以實(shí)數(shù)”的取值范圍為U，+8).

故答案為：［1,+°o).

20.若關(guān)于X,y的方程組［'W=?有無窮多解，則實(shí)數(shù)團(tuán)的值為4.

mx+16y=8

【解答】解：根據(jù)題意，若關(guān)于X,y的方程組(x+my=2有無窮多解，

(mx+16y=8

則直線x+zny=2和"ir+16y=8重合，則有l(wèi)X16=∕n><機(jī)，GPm2=↑6,解可得"?=±4,

當(dāng)〃7=4時(shí)，兩直線重合，方程組有無數(shù)組解，符合題意,

當(dāng)m=-4時(shí)，兩直線平行，方程組無解，不符合題意,

故∕π=4.

故答案為：4

四.解答題(共8小題)

22_

21.設(shè)有橢圓方程「：1+?_=1直線/：x+γ-4√2=0,「下端點(diǎn)為A,M

azbz

在/上，左、右焦點(diǎn)分別為為(-√2)0)、F2(√2)0).

(1)a=2,AM中點(diǎn)在X軸上，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)直線/與)，軸交于B,直線4M經(jīng)過右焦點(diǎn)放，在AAB例中有一內(nèi)角余弦值為3,

5

求b?

(3)在橢圓「上存在一點(diǎn)P到/距離為d,使IPQI+∣P∕?∣+d=6,隨〃的變化，求d的最

【解答】解：(1)由題意可得a=2,b=c=√2,

22

「：?-+^-=1)A(O，~√2),

?.?AM的中點(diǎn)在X軸上，

.?.M的縱坐標(biāo)為&,

代入x÷∕-4√^=調(diào)M(3&,√2).

(2)由直線方程可知B(0,4√2),

z,

①若CeISNBAM則tan/BAM=^，^tanZOAF2?

OO乙S

,,,

?OA=-∣?OF2=^V2

??b^^V2?

②若CoSNBMA則SinNBMA4，

OO

'?^NMBA=gΛCOS(ZMBA+ZAMB)*■平×卷

?N3N3LU

?,?cosZBAM=?y>?-?tanZBΛΛ∕=7.

即tan∕0A∕?=7,ΛQ?=^->.,

或冬

綜上b

(3)設(shè)P(QCOS。，?sinθ),

由點(diǎn)到直線距離公式可得be。Sθ+b汽nθ歷∣=6.2a，

√2

很明顯橢圓在直線的左下方，則一acosθ+b月n8-加=6.2a，

√2

即4&-da2+b2sin(θ+Φ)=6√2-2√2a)

??a2=b2+2,???√2a2-2sin(θ+φ)=2√2a-2√2)

∣2a-2I

據(jù)此可彳寸Ja：-1Sin(θ+Φ)=2a-2,sin(θ+Φ)≤1,

7a2-l

整理可得(4-l)(34-5)≤0,即i4a《立，

3

從而d=6-2a,6-2X"∣"4?

即d的最小值為3?.

3

2C

22.如圖，已知橢圓工?+y2=ι.設(shè)A,B是橢圓上異于P(0,I)的兩點(diǎn)，且點(diǎn)Q(0,」1)

12-2

在線段AB上，直線∕?,PB分別交直線y=-L+3于C,D兩點(diǎn).

2

(I)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；

(Ii)求ICr>|的最小值.

【解答】解：(I)設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)M(x,y),則IPM2=/+(y-1)2=12-12)2+/

-2)H?1=-lly2-2}H-13,y∈[-1,1],

而函數(shù)的對稱軸為則其最大值為

Z=-Ily2-2y+?3y=-L∈[-?,?],

-11×(-?)2+2X*+13=詈，

.?.IPMlmaX即點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的