數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)五-非線性方程的求根4

數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)五非線性方程求根組號(hào)班級(jí)學(xué)號(hào)姓名分?jǐn)?shù)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆沼肕ATLAB軟件求解非線性方程和方程組的根本用法，并對(duì)結(jié)果做出初步的分析。學(xué)會(huì)用二分法、牛頓法求非線性方程的根。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及根本知識(shí)介紹1、二分法假設(shè)∈C()，由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知，如果區(qū)間內(nèi)存在相異的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值異號(hào)。那么方程在內(nèi)至少有一個(gè)根。在此我們假設(shè)稱為有根區(qū)間。為了找到內(nèi)的根α，令，那么可以按下面的二分法計(jì)算第一步：取中間中點(diǎn)并計(jì)算第二步：如果或那么認(rèn)為，算法終止；如果||比擬大，那么或大于零或小于零，因而必與異號(hào)，就是說要么區(qū)間中存在方程的根，要么區(qū)間中存在方程的根，如果中存在方程的根，即。返回第一步。如果中存在方程的根，即，也返回第一步。按二分法求根，只會(huì)出現(xiàn)兩種情況：一種情況是在某一步成立；一種情況是不斷更新的區(qū)間的長(zhǎng)度h逐次減半，直到趨于零，這時(shí)，因?yàn)椋晕覀兙涂梢哉J(rèn)為，因此，二分法必有限步終止。2、牛頓法計(jì)算公式為k=0,1,2,…定理設(shè)所要求解的方程為，且此方程有根。如果，而且得某個(gè)鄰域上連續(xù)，那么牛頓法是局部收斂的并且至少是二階收斂的。設(shè)其單根附近有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，將在處泰勒展開得從而當(dāng)充分靠近時(shí)，得這樣導(dǎo)出由此結(jié)果我們預(yù)期因此精度更高的近似值。這樣牛頓迭代法〔*〕LL從幾何上理解，牛頓迭代法每次迭代是用切線代替曲線，所以又稱切線法。牛頓迭代法的映射為顯見等價(jià)于，故迭代式〔*〕定義合理，由于而是單根時(shí)，牛頓迭代法拒不收斂，且具有二階收斂速度，計(jì)算結(jié)果條件一般用，這是由于，當(dāng)與充分靠近時(shí)，L很小，一般能保證。三、實(shí)驗(yàn)問題及方法、步驟1、二分法。編程如下：functionx=nabisect(fname,a,b,e)%用途:二分法解非線性方程%格式:x=nabisect(fname,a,b,e)fname為用函數(shù)句柄或內(nèi)嵌函數(shù)表達(dá)的f(x),a,b為區(qū)間%端點(diǎn),e為精度(默認(rèn)值10-4),x返回解,程序要求函數(shù)在兩端點(diǎn)值必須異號(hào),中間變量fa,%fb,fx引入可以最大限度減少fname調(diào)用次數(shù),從而提高速度ifnargin<4,e=1e-4;end;fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);iffa*fb>0,error(‘函數(shù)在兩端點(diǎn)值必須異號(hào)’);endx=(a+b)/2while(b-a)>(2*e),fx=feval(fname,x);iffa*fc<0,b=x;fb=fx;elsea=x;fa=fx;endx=(a+b)/2end用于解例題，在MATLAB命令窗口執(zhí)行：>>fun=inline(‘x^3–2*x^2–4*x–7’05)33.133.13.23.33.43.53.63.73.83.94233.23.43.63.84結(jié)果如下表：nanbnxnf(xn)034-14+2-3+4+541+6+7-所以方程的近似根2、牛頓法例題：取，用牛頓迭代法求解，使計(jì)算結(jié)果有4位有效數(shù)字。編程如下：functionx=nanewton(fname,dfname,x0,e,N)%用途:Newton迭代法解非線性方程f(x)=0%格式:x=nanewton(fname,dfname,x0,e,N)fname和dfname分別為表示f(x)及其導(dǎo)函數(shù)%的M函數(shù)句柄或內(nèi)嵌函數(shù),x0為迭代初值,e為精度要求(默認(rèn)1e-4),x返回?cái)?shù)值解,并%顯示計(jì)算過程設(shè)置迭代次數(shù)上限N以防發(fā)散(默認(rèn)500)ifnargin<5,N=500;endifnargin<4,e=1e–4;endx=x0;x0=x+2*e;k=0;whileabs(x0-x)>e&k<N,k=k+1;x0=x;x=x0–feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);disp(x)endifk==N,warning(‘已達(dá)迭代次數(shù)上限’);end用于解例題，在MATLAB命令窗口執(zhí)行：>>fun=inline(‘x^3–x–1’);dfun=inline(‘3*x^2–1>>naewton(fun,dfun,1.5,0.5e-3)結(jié)果如下：kx1x2x3x由于已有4位有效數(shù)字。計(jì)算結(jié)果為x*=四、計(jì)算結(jié)果分析用二分法解題精確到小數(shù)點(diǎn)后第二位，方程的根。上面的計(jì)算說明方程的收斂性總能得到保證，并且反復(fù)二分下去即可得出一系列有根區(qū)間其中每個(gè)區(qū)間都是前一個(gè)區(qū)間的一半，因此當(dāng)時(shí)的長(zhǎng)度趨于零，就是說，如果二分過程無限的繼續(xù)下去，這些區(qū)間最終必收縮于一點(diǎn)，該點(diǎn)顯然就是所求的根。由于在計(jì)算時(shí)，我們不可能完成這個(gè)無限的過程，所以會(huì)帶有一定的誤差。二分法收斂結(jié)果比擬慢，只能用其為根求得一個(gè)較好的近似值。牛頓法在根的鄰近是局部收斂的并且至少是二階收斂的。當(dāng)與充分靠近時(shí)，L很小，一般能保證五、思考與提高為代數(shù)多項(xiàng)式，由代數(shù)根本定理可知，次方程在實(shí)數(shù)域有且只有個(gè)根〔含復(fù)根，重根為個(gè)根〕時(shí)，問題已解決；時(shí)，方程的根表達(dá)式太復(fù)雜，很少有使用價(jià)值，不適合數(shù)值運(yùn)算。時(shí)，就不能用公式表示方程根對(duì)的多項(xiàng)式方程求根與一般連續(xù)，函數(shù)方程都可以采用二分法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，程序編制容易，對(duì)函數(shù)的性質(zhì)要求不高，僅要求連續(xù)且在區(qū)間斷點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)，收斂性總能得到保證，但收斂速度較慢。故一般不單獨(dú)將其用