數(shù)與式的計算(教師版)

一、數(shù)與式的運算1.1實數(shù)的分類及其根本性質(zhì)有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)(包括整數(shù))或無限循環(huán)小數(shù)的形式；都可以表示成分數(shù)(p、q是互質(zhì)的整數(shù)，q≠0)．反之，能表示成(p、q是互質(zhì)的整數(shù)，q≠0)形式的數(shù)都是有理數(shù)．無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成(p、q是互質(zhì)的整數(shù)，q≠0)的形式．有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，具體分類如下：實數(shù)的根本性質(zhì)：1．無界性：沒有最大的實數(shù)，也沒有最小的實數(shù)．2．稠密性：任何兩個實數(shù)之間有無數(shù)多個實數(shù)．3．連續(xù)性：全體實數(shù)和數(shù)軸上的所有點是一一對應的．4．有序性：任何兩個實數(shù)都可以比擬大?。o定兩個實數(shù)a、b，那么a>b、a=b、a<b三者之中有且僅有一個成立．在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大．5．運算的封閉性：任何兩個實數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為零)一定是實數(shù)；任何一個實數(shù)都可以開奇次方，其結(jié)果是實數(shù)；只有當被開方數(shù)是非負實數(shù)時，才能開偶次方，其結(jié)果是實數(shù)．任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為零)一定是有理數(shù)；但無理數(shù)不具有上述性質(zhì)．設m為有理數(shù)，n為無理數(shù)，那么m+n、m–n是無理數(shù)；假設m≠0，那么mn、、都是無理數(shù)；假設m=0，那么mn、是有理數(shù)．6．實數(shù)的運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律．【例1】以下各數(shù)：1、、–3、π+1、…、、2+、中，哪些是整數(shù)？哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？練：以下各數(shù)：–2、、0.35、、、π…、、2–中，哪些是整數(shù)？哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？【例2】假設x是實數(shù)，以下說法對嗎？假設不對，請給出成立的條件．–x<0；(2)2x是偶數(shù)；(3)–|x|<0；(4)x+3>x；(5)(–x)2=–x2；(6)3x>2x．練：假設a是實數(shù)，以下說法對嗎？假設不對，請給出成立的條件．–a2<0；(2)2a+1是奇數(shù)；(3)|a|>0；(4)a–2<a；(5)(–a)3=–a3；(6)a<2【例3】假設3+a=2b–，求有理數(shù)a和b的值．練：設a、b是正有理數(shù)且(a+)a+(b–)b=25+，求a、b的值．【例4】求無理數(shù)π的純小數(shù)局部．練：1.求無理數(shù)的純小數(shù)局部．2.(2a–1)2=9，求a的值3．寫出絕對值小于的所有整數(shù)．1.2絕對值及其幾何意義數(shù)軸上表示一個數(shù)的點到原點的距離，叫做這個數(shù)的絕對值．其代數(shù)意義就是：正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是0．即：．|a|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點間的距離．|a–b|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)b的點間的距離．絕對值有如下運算性質(zhì)：(1)|ab|=|a||b|；(2)(b≠0)；(3)||a|–|b||≤|a+b|≤|a|+|b|；左邊的等號當且僅當ab≤0時取到，右邊的等號當且僅當ab≥0時取到；(4)||a|–|b||≤|a–b|≤|a|+|b|；左邊的等號當且僅當ab≥0時取到，右邊的等號當且僅當ab≤0時取到．【例1】化簡：(1)|2x–1|；(2)|x–1|+|x–3|．練：1以下命題中哪些是真命題？(1)|ab|=|a||b|；(2)|a–b|=|b–a|；(3)假設|a|=b，那么a=b；(4)假設|a|>|b|，那么a>b；(5)|a+b|=|a|+|b|．2.假設|a–2|=2–a，求實數(shù)a的取值范圍．【例2】解方程：x2=|x|練：(1)|x–3|=2．(2)|x+1|+|x|=1；【例3】解不等式：(1)|x–1|≤1(2)|x+1|>2．練：1解不等式：(1)|x|>2；(2)|x–3|<5；(3)|x+2|≥1．2．假設|x|=1，=3，求x+y的值．3．假設a、b是實數(shù)，且(a+3)2+|b–1|=0，求的值．1.3乘法公式我們在初中已經(jīng)學習過了以下一些乘法公式：〔1〕平方差公式；〔2〕完全平方公式．〔1〕立方和公式；〔2〕立方差公式；〔3〕三數(shù)和平方公式；〔4〕兩數(shù)和立方公式；〔5〕兩數(shù)差立方公式．例1計算：．例2，，求的值．練：1．填空：〔1〕〔〕；〔2〕；〔3〕．2．選擇題：〔1〕假設是一個完全平方式，那么等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕不管，為何實數(shù)，的值〔〕〔A〕總是正數(shù)〔B〕總是負數(shù)〔C〕可以是零〔D〕可以是正數(shù)也可以是負數(shù)1.4二次根式一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式.例如，等是無理式，而，，等是有理式．1．分母〔子〕有理化把分母〔子〕中的根號化去，叫做分母〔子〕有理化．為了進行分母〔子〕有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等．一般地，與，與，與互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化那么是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的根底上去括號與合并同類二次根式．2．二次根式的意義例1將以下式子化為最簡二次根式：〔1〕；〔2〕；〔3〕．練：1.化簡：(1)；(2)||；(3)|1+|(a>0)；(4)–|1–m|(1<m<3)例2計算：．例3試比擬以下各組數(shù)的大?。骸?〕和；〔2〕和.練：比擬以下各組數(shù)的大小．(1)2與3；(2)+與+2．例4化簡：．例5化簡：〔1〕；〔2〕．練：化簡：〔1〕；〔2〕．練：1．填空：〔1〕＝_____；〔2〕假設，那么的取值范圍是_____；課后穩(wěn)固1.當a＜3時，|a-3|-(3-a)的值為()A．6-2aB．0C．2a-6D．-2a2．x－3y＝－3，那么5－x＋3y的值是()A．0B．2C．5D．83．如果(x－2)(x－3)＝x2＋px＋q，那么p，q的值是()A．p＝－5，q＝6B．p＝1，q＝－6C．p＝1，q＝6D．p＝5，q＝－64.假設式子的值為8，那么式子的值為〔〕A．1B．5C．3D．45．如圖13－16所示，數(shù)軸上的點P表示的數(shù)可能是()A．B．－C．－3.8D．－6..7.假設，那么________