第三章 區(qū)域離散化

3.1空間區(qū)域離散化（domaindiscretization）

實質(zhì)：用有限個離散的點代替原來的連續(xù)空間。

實施：計算區(qū)域劃分多個子區(qū)域（sub-domain）,定其節(jié)點位置及節(jié)點所代表的控制容積（controlvolume）。

4種幾何要素：網(wǎng)格線節(jié)點：分內(nèi)節(jié)點和邊界節(jié)點?？刂迫莘e

界面(虛線表示)第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法xy邊界節(jié)點網(wǎng)格線內(nèi)節(jié)點界面元體(控制容積)3.1空間區(qū)域離散化（domaindiscretization）3.1.1兩種區(qū)域離散化方法:

方法A（外節(jié)點法）：先節(jié)點，后界面（見下圖）第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法xy邊界節(jié)點網(wǎng)格線內(nèi)節(jié)點界面元體(控制容積)注意：子區(qū)域不是控制容積

方法B（內(nèi)接點法）：先界面，后節(jié)點（見下圖）

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

節(jié)點位于控制容積的中心邊界節(jié)點代表控制容積為零的元體第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法兩種方法的比較：(1)邊界節(jié)點所代表的控制容積不同，如圖2—3所示；(2)當(dāng)網(wǎng)格不均分時，節(jié)點位置不同，如圖2—4所示；第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法兩種方法的比較：（3）當(dāng)網(wǎng)格不均分時，界面位置不同，如圖2—5所示；第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法3.1.2節(jié)點標(biāo)記方法和符號對一維網(wǎng)格：對均分網(wǎng)格：推導(dǎo)中：

程序中：

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法對二維網(wǎng)格：(δy)n(δy)s3.2獲得離散方程的方法:

控制容積平衡法控制容積積分法

3.2.1Taylor展開法及截斷誤差:

一維直角坐標(biāo)對流擴(kuò)散方程：

（a）第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法Taylor展開法；多項式擬合法線性化:常物性；u已知或取前次迭代值。

n時刻，點i+1處Φ值對點i作Taylor展開：

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法(a)(b)(1)由（1）得：

?。海ň哂幸浑A截斷誤差）

微分差分（向前）第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

點i-1處Φ值對點i作Taylor展開：

（2）可得：

向后差分（一階截差）

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法（1）（2）（1）-（2）可得：中心差分（二階截差）（1）+（2）可得：對時間的一階導(dǎo)數(shù)取向前差分可得一維對流擴(kuò)散方程顯式：（前差）

（中心差）第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法待求節(jié)點二階差分取向后差商可得隱式離散方程：

（后差）

（中心差）

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法(a)按每一時層的中間時刻的值來計算。Crank-Nicolson格式（克蘭克-尼克松格式）：第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

傳熱學(xué)中的偏微分方程大多只包含一階、二階導(dǎo)數(shù)，在表2-1中列出了一階、二階導(dǎo)數(shù)常用的幾種差分格式及相應(yīng)的截差等級。（p35）第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法3.2.2多項式擬合法：導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式也可以通過多項式的擬合來獲得。主要用于處理B.C.例：下圖，已知內(nèi)節(jié)點溫度，

1、已知，求qB；

2、已知qB，求

解：設(shè)

則，

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

由

解得：

1、（3）

2、由式（3）得：（4）

3、將代入式（4），可得：第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

（5）

（4）、（5）式均為邊界節(jié)點方程3.2.3控制容積平衡法：

例：二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

（顯式）第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法WSNEP流入節(jié)點的熱流代數(shù)和等于該節(jié)點所代表的控制容積的內(nèi)能的變化率。（非穩(wěn)態(tài)）流入節(jié)點的熱流代數(shù)和等于0。（穩(wěn)態(tài)）3.2.4控制容積積分法：

三步：

1、將守恒型控制方程在控制容積中及△t內(nèi)對空間和時間積分；

2、選擇未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)對空間及時間的分布曲線（型線，P40：圖2—8）

3、按選定的型線作出積分，并整理成關(guān)于節(jié)點上未知值的代數(shù)方程。例：第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法即如何從相鄰節(jié)點的函數(shù)值來確定控制容積界面上被求函數(shù)值的插值方式。階梯式：同一控制容積中各處的值相等。第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法如果在整個時間步長內(nèi)均取初始時刻之值而僅在該步長的結(jié)束時刻取終了之值，為顯式，反之為隱式。Crank-nichoson(C-N格式)則取初始與終了時刻的平均值作為該步長的值。第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法階梯顯式分布第一項：例第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法（階梯顯式）分段線性分布第二項：第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第三項：（階梯顯式）(分段線性分布)第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法從而可得離散方程（常物性、均分網(wǎng)格)注意：型線選擇不同，離散方程形式不同。源項：t時刻,源項在控制容積中的平均值。（2—8））第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法從而可得離散方程（常物性、均分網(wǎng)格)（2—8）（2—6b）與式（2-6b）比較：第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法關(guān)于型線假設(shè)的進(jìn)一步討論1、在有限容積法中，選取型線的目的是：導(dǎo)出離散方程。型線的選?。嚎刂迫莘e界面上被求函數(shù)的插值方式.2、考慮實施的方便及所形成的離散方程具有滿意的數(shù)值特性，不必追求一致性（p42）。如：上述推導(dǎo)中：對流及擴(kuò)散項：分段線性分布擴(kuò)散項：階梯式分布，則根本導(dǎo)不出離散方程。第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法3、型線對于離散方程的求解方法及結(jié)果有很大影響。控制容積積分法中，不同的差分格式：主要由于型線的不同所致。例如，非穩(wěn)態(tài)問題：變量對時間型線的不同→顯式、隱式等格式。對流問題：界面上型線不同→對流項的各種差分格式。如：對流項的中心差分，一階迎風(fēng)、混合格式、指數(shù)格式、乘方格式等。（第5章討論）第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法3.3離散方程的誤差與性能（p48）3.3.1相容性、收斂性與穩(wěn)定性:

相容：時間和空間的網(wǎng)格步長

0，差分方程微分方程,收斂：步長

0，離散誤差

0

[在網(wǎng)格的任一節(jié)點上，微分方程精確解與差分方程精確解（即在代數(shù)方程的求解過程中不引入舍入誤差的解）之差。同差分方程的截差有關(guān)。]數(shù)值解與微分方程精確解間的誤差=離散誤差+舍入誤差(任一節(jié)點上，數(shù)值解與差分方程精確解之差)誤差的主要來源：離散誤差（95%）。第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法3.3.1相容性、收斂性與穩(wěn)定性:穩(wěn)定：一個初值問題的差分格式，如果可以確保在任一時層計算中所引入的誤差都不會在以后各時層的計算中被不斷地放大，以致變得無界，則稱此差分格式是穩(wěn)定的。P54：例3-2，不穩(wěn)定性例題，會出現(xiàn)解的振蕩，失去物理意義。第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

3.3.2離散方程的守恒特性:

1、定義：

如果對一個差分方程在定義域的任一有限空間內(nèi)作求和運算（相當(dāng)于連續(xù)問題中對微分方程作積分），所得表達(dá)式滿足該區(qū)域上物理量守恒的關(guān)系時，則稱該差分格式具有守恒特性。

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法（P65、66例：證明了對流項中心差分具有守恒特性）第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法一維純對流方程:第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

3.3.2離散方程的守恒特性:微分方程守恒型；界面上的各物理量（Φ及有關(guān)物性）及Φ一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法連續(xù)指的是從界面兩側(cè)的兩個控制容積來寫出的該界面上的值是相等的。1、對流與擴(kuò)散現(xiàn)象在物理本質(zhì)上的區(qū)別擴(kuò)散是由于分子的不規(guī)則熱運動所致。擴(kuò)散過程可以把發(fā)生在某一地點上的擾動的影響向各個方向傳遞。對流是流體微團(tuán)宏觀的定向運動，帶有強(qiáng)烈的方向性。在對流的作用下，發(fā)生在某一地點上的擾動只能向其下游方向傳遞而不會逆向傳播。第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法3.3.3離散方程的遷移特性

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法2、擴(kuò)散項的中心差分可以將擾動均勻地向四周傳遞證明：（a)為分析方便，假設(shè)開始時物理量的場已經(jīng)均勻化，

從某一時刻開始(如n時層)；在某一節(jié)點上突然有了一個擾動，而其余各點上的擾動均為零，如圖3—12(a)所示。

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法結(jié)論：擴(kuò)散項的中心差分可以將擾動均勻地向四周傳遞.

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法3、對流項離散格式的遷移性(transportiveproperty)（1）定義：

如果對流項的某種離散格式僅能使擾動沿著流動方向傳遞，則稱此離散格式具有遷移特性。（2）對流項的中心差分不具有遷移特性證明：第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法采用類似的分析法，對于節(jié)點（i+1）在（n+1）時層有其中：所以：對于節(jié)點（i-1）在（n+1）時層有其中：所以：結(jié)論：i點的擾動同時向相反的兩個方向傳遞，對流項的中心差分不具有遷移特性。