上海市普陀區(qū)桃浦中學(xué)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版）

第一學(xué)期桃浦中學(xué)高三數(shù)學(xué)期末測(cè)試一.填空題1.已知集合，集合，求____________【答案】【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算，求得，再由交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合，可得，又由集合，所以.故答案為：.2.拋物線的準(zhǔn)線到焦點(diǎn)的距離為____________【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得的值，即可得到答案.【詳解】由題意，拋物線可化為，可得，所以拋物線的準(zhǔn)線到焦點(diǎn)的距離為.故答案為：.3.函數(shù)的最大值為2，求__________【答案】或【解析】【分析】討論和兩種情況，根據(jù)誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】,當(dāng)時(shí)，的最大值為,因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為2，所以.當(dāng)時(shí)，的最大值為,因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為2，所以,解得.故或.故答案為：或.4.函數(shù)，如果為奇函數(shù)，則的取值范圍為__________【答案】【解析】【分析】求出，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷可得出結(jié)果.【詳解】由可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，則，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，對(duì)任意的，，對(duì)任意的實(shí)數(shù)都滿足條件，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.5.的常數(shù)項(xiàng)為第3項(xiàng)，求__________【答案】【解析】【分析】展開式的第項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，即得指數(shù)為，求出的值即可．【詳解】因?yàn)榈某?shù)項(xiàng)為第3項(xiàng)，所以，，所以，即.故答案為：.6.公差不為零的等差數(shù)列，，如果成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，列出方程組求出數(shù)列的首項(xiàng)及公差，再求出通項(xiàng)即得.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由，得，即，由成等比數(shù)列，得，化簡(jiǎn)整理得，因此，所以數(shù)列的通項(xiàng)為.故答案為：7.在中，為的平分線，，，則的最大值為____________.【答案】【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義可得出，利用等面積法可得出的表達(dá)式，利用基本不等式可求得長(zhǎng)的最大值.【詳解】在中，記內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，由平面向量數(shù)量積的定義可得，可得，因?yàn)?，即，可得，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故長(zhǎng)的最大值為.故答案為：.8.如圖，探測(cè)機(jī)器人從點(diǎn)出發(fā)，準(zhǔn)備探測(cè)道路和所圍的三角危險(xiǎn)區(qū)域.已知機(jī)器人在道路和上探測(cè)速度可達(dá)每分鐘2米，，在內(nèi)為危險(xiǎn)區(qū)域，探測(cè)速度為每分鐘1米.假設(shè)機(jī)器人可隨時(shí)從道路進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域且可在危險(xiǎn)區(qū)域各方向自由行動(dòng)（不考慮轉(zhuǎn)向耗時(shí)），則理論上，5分鐘內(nèi)機(jī)器人可達(dá)到探測(cè)的所有危險(xiǎn)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)組成的區(qū)域面積為___________.【答案】【解析】【分析】討論機(jī)器人探測(cè)的路線，結(jié)合直線與圓的關(guān)系計(jì)算三角形面積即可.【詳解】如圖所示，機(jī)器人只在道路上前進(jìn)可到達(dá)AB點(diǎn)，則OA=OB=10米，作的角平分線OC，過A作AD⊥OB，垂足為D點(diǎn)，交OC于C點(diǎn)，設(shè)機(jī)器人先在道路OA上前進(jìn)分鐘到達(dá)P點(diǎn),此時(shí)，AP=，后進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域，其能探測(cè)到達(dá)的點(diǎn)組成以P為圓心，以為半徑的圓弧，由題意可知：，即AD與該圓弧相切，設(shè)切點(diǎn)為E，故隨P點(diǎn)從O移動(dòng)到A，機(jī)器人可探測(cè)的區(qū)域?yàn)?，結(jié)合對(duì)稱性，機(jī)器人5分鐘能到達(dá)的點(diǎn)圍成區(qū)域有與，即圖中陰影部分，其面積為，易知為含120°的等腰三角形，所以區(qū)域面積為：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于對(duì)題意的理解，然后結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，利用角的對(duì)稱性得出區(qū)域形狀，再解三角形求區(qū)域面積，極容易出錯(cuò)，需要仔細(xì)審題.9.棱臺(tái)中，是兩個(gè)菱形，，，，高為5，有一個(gè)球O，使得此棱臺(tái)能在此球內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，求此球O半徑最小值____________【答案】【解析】【分析】結(jié)合題意要使得此棱臺(tái)能在此球內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則需滿足截面圓半徑最小，利用球的相關(guān)知識(shí)計(jì)算即可.【詳解】如圖所示：連接上下底面的對(duì)角線，找到的中心,連接，設(shè)球心為,連接,記,因?yàn)樗倪呅问莾蓚€(gè)菱形，，，所以，所以,同理，所以,因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角不互補(bǔ)，故無外接圓，因?yàn)榍虻陌霃綕M足，要使得球O半徑的最小，只需最小即可,故只需滿足為截面圓的直徑，故，在梯形中，易得，即，解得,所以，故故答案為：.10.已知對(duì)于任意的整數(shù)、、，，有成立，且，則____________【答案】【解析】【分析】通過對(duì)、不斷賦值，求得，可得出，利用累加法求出的表達(dá)式，即可得出的表達(dá)式.【詳解】在等式中，令，可得，解得，令，可得，可得，令，，則，可得，令，，其中，則，則當(dāng)且時(shí)，，故當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足，故對(duì)任意的，，所以，.故答案為：.11.定義：若，則稱是函數(shù)的倍伸縮周期函數(shù)．設(shè)，且是的2倍伸縮周期函數(shù)．若對(duì)于任意的，都有，則實(shí)數(shù)m的最大值為__________【答案】##【解析】【分析】確定函數(shù)解析式，得到時(shí)，，考慮和兩種情況，得到不等式，解得答案.【詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，，，于是，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，，，即，由，解得或，即或，觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，恒有，依題意，，所以實(shí)數(shù)m的最大值為.故答案為：12.求有___________組、、、（、、、均為正整數(shù)），滿足等式.【答案】【解析】【分析】設(shè)，分的取值進(jìn)行分類討論，利用數(shù)的整除性推導(dǎo)得出的取值，進(jìn)一步解出、的值，然后考慮將、、排序，綜合可得出符合條件的數(shù)組的個(gè)數(shù).【詳解】不妨設(shè)，分以下兩種情況討論：（1）當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，若，則被整除，矛盾，故，于是有，可知或，解得或，則或，只需將、、排序即可，此時(shí)共有種符合條件的數(shù)組；（2）當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，若，則能被整除，矛盾，事實(shí)上，則，則能被整除，則被整除余，矛盾，所以，，如果，那么，此時(shí)，若，則不能被整除，而能被整除，矛盾，若，則能被整除，而為奇數(shù)，則不能被整除，矛盾，故，于是，當(dāng)時(shí)，能被整除，但為奇數(shù)，則不能被整除，所以，或，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，，可得，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，所以，，可得，解得.此時(shí)，或.只需將、、排序即可，此時(shí)共有種符合條件的數(shù)組.綜上所述，共有種符合條件的數(shù)組.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)數(shù)的整數(shù)性確定的取值，進(jìn)而得出、、的取值，從而使問題得到解答.二.單選題13.已知復(fù)數(shù)，滿足下列表達(dá)式，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題中條件求出的值，再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得的值.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，則，所以，，即，解得，所以，，故.故選：A.14.已知都是實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)滿足，實(shí)數(shù)滿足，判斷以下哪個(gè)選項(xiàng)正確（）A.對(duì)任意的實(shí)數(shù)、，恒有成立 B.若，則C.若，則， D.不存在實(shí)數(shù)、，使得【答案】A【解析】【分析】利用絕對(duì)值三角不等式可判斷A選項(xiàng)；絕對(duì)值三角不等式成立的條件可判斷BC選項(xiàng)；取可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由絕對(duì)值三角不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，，即，則不一定成立，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，，即，則，不一定成立，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，取，則，D錯(cuò).故選：A.15.下列命題中，真命題的是（）A.若回歸方程，則變量與負(fù)相關(guān)B.線性回歸分析中決定系數(shù)用來刻畫回歸的效果，若該值越小，則模型的擬合效果越好C.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差18D.若與獨(dú)立，則【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，結(jié)合回歸方程的相關(guān)性的性質(zhì)，即可求解;對(duì)于B，結(jié)合線性回歸決定系數(shù)的定義，即可求解;對(duì)于C，結(jié)合方差的線性公式，即可求解;對(duì)于D,舉反例說明.【詳解】對(duì)于A，回歸方程為，又，所以變量與負(fù)相關(guān)，故A正確，對(duì)于B，線性回歸分析中決定系數(shù)用來刻畫回歸的效果，若值越大，說明模型的擬合效果越好，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差，故C正確，對(duì)于D,擲一枚骰子，設(shè)事件A：點(diǎn)數(shù)小于3，則；事件B：點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，則，所以，即與獨(dú)立，又，，故D錯(cuò)誤.故選：AC．16.對(duì)于無窮數(shù)列，給出如下三個(gè)性質(zhì)：①；②對(duì)于任意正整數(shù)，都有；③對(duì)于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得定義：同時(shí)滿足性質(zhì)①和②的數(shù)列為“s數(shù)列”，同時(shí)滿足性質(zhì)①和③的數(shù)列為“t數(shù)列”，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若為“s數(shù)列”，則為“t數(shù)列”B.若，則為“t數(shù)列”C.若，則為“s數(shù)列”D.若等比數(shù)列為“t數(shù)列”則為“s數(shù)列”【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)，可判定A錯(cuò)誤；對(duì)于，分為奇數(shù)和為偶數(shù)，不存在，使得，可判定B錯(cuò)誤；若，推得滿足①②，可判定C正確；設(shè)，取，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】設(shè)，此時(shí)滿足，也滿足，，即，，因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤；若，則，滿足①，，令，若為奇數(shù)，此時(shí)，存在，且為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)滿足，若為偶數(shù)，此時(shí)，則此時(shí)不存在，使得，所以B錯(cuò)誤；若，則，滿足①，，，因，所以，，滿足②，所以C正確；不妨設(shè)，滿足，且，，當(dāng)為奇數(shù)，取，使得；當(dāng)為偶數(shù)，取，使得，所以為“數(shù)列”，但此時(shí)不滿足，，不妨取，則，而，則為“數(shù)列”，所以D錯(cuò)誤.故選：ABD.三.解答題17.在中，已知分別為的對(duì)邊，且，，（1）求滿足的表達(dá)式（2）如果，求出此時(shí)面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合正弦邊角關(guān)系及差角余弦公式、誘導(dǎo)公式得，最后由正余弦邊角關(guān)系得到的關(guān)系式；（2）應(yīng)用余弦定理及平方關(guān)系得且，根據(jù)向量模長(zhǎng)坐標(biāo)表示得，進(jìn)而有，再由三角形面積公式得面積，即可求最大值.【小問1詳解】由題設(shè)，所以，則，，又，則，所以，故，故.【小問2詳解】由，故，且，由，即，故，又面積，當(dāng)，即時(shí)，.18.已知雙曲線的方程：，直線與雙曲線的兩支交于，直線與雙曲線的兩支交于.（1）若雙曲線焦距為4，求能使時(shí)的取值范圍.（2）在（1）的條件下，若雙曲線的離心率為時(shí)，求四邊形的面積最小值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)斜率關(guān)系可得，故可求的取值范圍.（2）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求面積，由不等式放縮和基本不等式可求面積的最小值.【小問1詳解】由題設(shè)雙曲線的半焦距.因?yàn)榉謩e與雙曲線的兩支交于，所以的斜率均存在且不為零，設(shè)的斜率為，則為，則，且，故且，若，則且，此時(shí)不存在使得這兩個(gè)不等式成立，故，所以，故.【小問2詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為且，故，故，故雙曲線的方程為.設(shè)直線，可得，整理得到：，因直線與兩支都相交，故即，此時(shí)恒成立，且,又，又直線，同理有，其中，故或，又四邊形的面積為：故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故四邊形的面積最小值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線與雙曲線的位置關(guān)系中，我們可利用漸近線來判斷直線與雙曲線的左右均有交點(diǎn)時(shí)斜率的范圍，這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.19.全國(guó)新高考數(shù)學(xué)推行8道單選，4道多選的政策.單選題每題5分，選錯(cuò)不得分，多選題每題完全選對(duì)5分，部分選對(duì)2分，不選得0分.現(xiàn)有小李和小周參與一場(chǎng)新高考數(shù)學(xué)題，小李的試卷正常，而小周的試卷選擇題是被打亂的，所以他12題均認(rèn)為是單選題來做.假設(shè)兩人選對(duì)一個(gè)單選題的概率都是，且已知這四個(gè)多選題都只有兩個(gè)正確答案.（1）記小周選擇題最終得分為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.（2）假設(shè)小李遇到四個(gè)多選題時(shí)，每個(gè)題他只能判斷有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，且小李也只會(huì)再選1個(gè)選項(xiàng)，假設(shè)他選對(duì)剩下1個(gè)選項(xiàng)的概率是，請(qǐng)你幫小李制定回答4個(gè)多選題的策略，使得分最高.【答案】（1）分布列見解析，（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由題意得到小周做對(duì)單選題與多選題的個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布，然后設(shè)他單選題與多選題分別對(duì)了個(gè)，由此結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式、乘法公式以及期望公式即可得解；（2）若他不選其他選項(xiàng)肯定能得兩分，如果繼續(xù)選其它選項(xiàng)的話，那么這個(gè)題的得分期望是，故只需比較這兩個(gè)數(shù)的大小即可.【小問1詳解】由題意，對(duì)于單選題，小周每個(gè)單選題做對(duì)的概率為，對(duì)于多選題，小周每個(gè)多選題做對(duì)的概率為，設(shè)小周做對(duì)單選題的個(gè)數(shù)為，做對(duì)多選題的個(gè)數(shù)為，則，，所以，，而小周選擇題最終得分為，所以.設(shè)小周單選題與多選題分別對(duì)了個(gè)，則，所以的分布列為，【小問2詳解】由題意他能判斷一個(gè)選項(xiàng)正確，先把這個(gè)正確選項(xiàng)選上，如果他不繼續(xù)選其他選項(xiàng)肯定能得兩分，如果他繼續(xù)選其它選項(xiàng)的話，設(shè)此時(shí)他的最終得分為，則的所有可能取值為0，5，則的分布列為：05那么這個(gè)題的得分期望是，所以我們只需要比較2和的大小關(guān)系即可，令，解得，此時(shí)四個(gè)多選題全部選兩個(gè)選項(xiàng)得分要高，反之，若，此時(shí)四個(gè)多選只選他確定的那個(gè)選項(xiàng)得分最高.20.對(duì)于一個(gè)三維空間，如果一個(gè)平面與一個(gè)球只有一個(gè)交點(diǎn)，則稱這個(gè)平面是這個(gè)球的切平面.已知在空間直角坐標(biāo)系中，球的半徑為，記平面、平面、平面分別為、、.（1）若棱長(zhǎng)為的正方體、棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球均為球，求的值；（2）若球在處有一切平面為，求與的交線方程，并寫出它的一個(gè)法向量；（3）如果在球面上任意一點(diǎn)作切平面，記與、、的交線分別為、、，求到、、距離乘積的最小值.【答案】（1）（2）交線方程為，該直線的一個(gè)方向向量為（3）【解析】【分析】（1）求出的值，利用等體積法求出的值，由此可得出的值；（2）在與的交線上任取一點(diǎn)，記點(diǎn)，由結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出與的交線方程，由此可寫出交線的一個(gè)法向量；（3）設(shè)為球面上一點(diǎn)，則，求出平面的方程，可求出平面與三條軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用等面積法求出點(diǎn)到直線、、距離，在利用三元基本不等式可求得到、、距離乘積的最小值.【小問1詳解】解：由題意可知，球內(nèi)最大內(nèi)切正方體棱長(zhǎng)為，設(shè)球?yàn)樽畲髢?nèi)切正四面體為，如下圖所示：設(shè)頂點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，則為正的中心，取線段的中點(diǎn)，連接，則，則，，所以，，，因?yàn)椋?，解得，所以?【小問2詳解】解：在與的交線上任取一點(diǎn)，記點(diǎn)，則，即，即，即，所以，與的交線方程為，該直線的一個(gè)法向量為.【小問3詳解】解：設(shè)為球面上一點(diǎn)，則，在平面上任取一點(diǎn)，則，即，即，即，因平面與三個(gè)坐標(biāo)平面均有交線，則，平面分別交、、軸于點(diǎn)、、，設(shè)到、、距離分別為、、，則，同理可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)，故到、、距離乘積的最小值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查立體幾何與平面解析幾何的綜合問題，解題時(shí)主要要清楚直線與球的切結(jié)關(guān)系，考查學(xué)生的邏輯思維能力與空間想象能力，屬于難題.21.對(duì)于一個(gè)在區(qū)間上連續(xù)的可導(dǎo)函數(shù)，在上任取兩點(diǎn)，，如果對(duì)于任意的與的算術(shù)平均值的函數(shù)值大于等于對(duì)于任意的與的函數(shù)值的算術(shù)平均值，則