四川省德陽市2024屆高三下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測考試（二）數(shù)學(xué)（理科）試卷（教師版）

德陽市高中2021級質(zhì)量監(jiān)測考試（二）數(shù)學(xué)試卷（理工農(nóng)醫(yī)類）說明：1.本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4頁，考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回，2.本試卷滿分150分，120分鐘完卷.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出，再利用復(fù)數(shù)模的公式即可求解.【詳解】由題，，.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式求得集合，進(jìn)而求得.【詳解】，解得，所以.由得，解得，所以.所以.故選：C3.若，滿足約束條件，則的最大值為（）A.19 B.13 C.9 D.5【答案】A【解析】【分析】畫出可行域，結(jié)合圖形計算可得.【詳解】根據(jù)線性約束條件，畫出可行域如下所示：目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為，因此，當(dāng)直線在上的截距最大時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，由圖象可得當(dāng)直線過點(diǎn)時，在上的截距最大，所以得最大值為.故選：A.4.已知為拋物線：（）上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為，則（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義列方程來求得的值.【詳解】根據(jù)拋物線的定義可知，.故選：C5.質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素數(shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個素數(shù)叫做“孿生素數(shù)”.如：3和5，5和7……，在1900年的國際數(shù)學(xué)大會上，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了23個問題，其中第8個就是大名鼎鼎的孿生素數(shù)猜想：即存在無窮多對孿生素數(shù).我國著名數(shù)學(xué)家張益唐2013年在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表論文《素數(shù)間的有界距離》，破解了困擾數(shù)學(xué)界長達(dá)一個半世紀(jì)的難題，證明了孿生素數(shù)猜想的弱化形式.那么，如果我們在不超過的自然數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，記事件，這兩個數(shù)都是素數(shù)；事件：這兩個數(shù)不是孿生素數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件概率的計算方法求得正確答案.【詳解】不超過的自然數(shù)有個，其中素數(shù)有共個，孿生素數(shù)有和，和，和，和，共組所以，，所以.故選：D6.一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為，則這個球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將正四面體放置在正方體中，由正方體的內(nèi)切球的體積來確定正確答案.【詳解】如圖所示，正四面體在正方體中，一個球與正四面體的六條棱都相切，則該球與正方體內(nèi)切，正四面體的棱長為，則正方體的邊長為，也即是球的直徑，半徑，所以體積為.故選：B7.已知各項不相等的等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A. B. C. D.64【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，以及等比數(shù)列的基本量運(yùn)算求得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，依題意，，兩式相除得，解得或（舍去），所以.故選：C8.已知函數(shù)的定義域為，且滿足，則“”是“是奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式、充分和必要條件等知識確定正確答案.【詳解】依題意，，①若，則，所以，此時，是奇函數(shù).②若是奇函數(shù)，則由于的定義域是，所以，此時為奇函數(shù)，符合題意，所以.所以“”是“是奇函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A9.已知平面向量，，滿足，，若，共線，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由與共線，分共線同向和共線反向討論，并結(jié)合向量模和數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】因與共線，，，當(dāng)與共線同向時，則，所以，，這與矛盾，所以與共線反向時，則，，，即，解得，.故選：B.10.已知雙曲線：（，），為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形的面積列方程，求得的關(guān)系式，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線的方程為，設(shè)其傾斜角為，為銳角，且，由于，所以，，所以，所以.故選：A11.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡函數(shù)，分類討論，結(jié)合恒成立，即可求解.【詳解】由函數(shù)，當(dāng)時，，可得，要使得在為單調(diào)遞增函數(shù)，則恒成立，即在恒成立，即在恒成立，可得；當(dāng)時，，可得，要使得在為單調(diào)遞增函數(shù)，則恒成立，即在恒成立，即在恒成立，可得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍.故選：D.12.已知三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩互相垂直，是的垂心.若，，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先證明兩個線面垂直“平面”和“平面”，進(jìn)而得到，得到等式，并將其轉(zhuǎn)化為關(guān)系式，求解即可.【詳解】連接，并延長交于點(diǎn)，連接，連接，由于三條側(cè)棱、、兩兩互相垂直，易得平面，又因為平面，平面，所以，，因為是的垂心，所以，因為，，且平面，平面，，所以平面，且平面，所以，同理可得，因為，，且平面，平面，，所以平面，平面，所以，因為，所以，，即，所以，由平面，易得，所以，所以.故選：B.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13～21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卡上.13.在的展開式中，的系數(shù)為______.【答案】25【解析】【分析】分別求解展開式中含，的項，再求出展開式中含的項的系數(shù)即可.【詳解】的展開式中項為，的項為，所以中含的項的系數(shù)為.故答案為：25.14.已知數(shù)列滿足，且對任意，有，則______.【答案】【解析】【分析】利用累加法求得.【詳解】依題意，，，，，……，，上述個式子相加得.故答案為：15.已知函數(shù)在處取得極大值，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由以及導(dǎo)數(shù)、極大值等知識對問題進(jìn)行分析，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.【詳解】的定義域是，，由于函數(shù)在處取得極大值，所以，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，所以，所以，構(gòu)造函數(shù)，顯然，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以是的極大值也即是最大值，所以，也即取值范圍是.故答案為：16.已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】因式分解得到，變形后得到，利用基本不等式求出最小值.【詳解】因為為正實(shí)數(shù)，故，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，此時，所以的最小值為.故答案為：三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角、、所對的邊分別為、、，且，.（1）求；（2）若為銳角三角形，求的面積范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，，利用正弦定理得到，再利用三角恒等變換求解；（2）設(shè)的外接圓半徑為，得到，再由求解.【小問1詳解】因為，，所以，因為，所以，則，因為，所以，又，則，所以.【小問2詳解】設(shè)的外接圓半徑為，則，所以，，，，，因為銳角三角形，所以，解得，則，則，所以，所以的面積范圍.18.輕食是餐飲的一種形態(tài)、輕的不僅僅是食材分量，更是食材烹飪方式簡約，保留食材本來的營養(yǎng)和味道，近年來隨著消費(fèi)者健康意識的提升及美顏經(jīng)濟(jì)的火熱，輕食行業(yè)迎來快速發(fā)展.某傳媒公司為了獲得輕食行業(yè)消費(fèi)者行為數(shù)據(jù)，對中國輕食消費(fèi)者進(jìn)行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計其中400名中國輕食消費(fèi)者（表中4個年齡段的人數(shù)各100人）食用輕食的頻數(shù)與年齡得到如下的頻數(shù)分布表.使用頻數(shù)偶爾1次3015510每周1～3次40403050每周4～6次25404530每天1次及以上552010（1）若把年齡在的消費(fèi)者稱為青少年，年齡在的消費(fèi)者稱為中老年，每周食用輕食的頻數(shù)不超過3次的稱為食用輕食頻率低，不低于4次的稱為食用輕食頻率高，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為食用輕食頻率的高低與年齡有關(guān)；（2）從每天食用輕食1次及以上樣本消費(fèi)者中按照表中年齡段采用分層抽樣，從中抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為，，.求的分布列與期望；（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用輕食，且早餐與晚餐在低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁3種輕食中選擇一種，已知小李在某天早餐隨機(jī)選擇一種輕食，如果早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，則晚餐選擇低卡甜品的概率分別為，，，求小李晚餐選擇低卡甜品的概率.參考公式：，.附：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有99%的把握認(rèn)為食用輕食頻率的高低與年齡有關(guān)，理由見解析（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為（3）【解析】【分析】（1）數(shù)據(jù)分析，得到列聯(lián)表，計算出卡方，與6.635比較后得到結(jié)論；（2）先利用分層抽樣得到，，和的抽取人數(shù)，得到的可能取值和對應(yīng)的概率，得到分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)出事件，結(jié)合全概率公式得到答案.【小問1詳解】列聯(lián)表如下：

青少年中老年合計食用輕食頻率低12595220食用輕食頻率高75105180合計200200400故，故有99%的把握認(rèn)為食用輕食頻率的高低與年齡有關(guān)；【小問2詳解】每天食用輕食1次及以上的樣本消費(fèi)者中按照表中年齡段采用分層抽樣，的抽取人數(shù)為，的抽取人數(shù)為，的抽取人數(shù)為，的抽取人數(shù)為，的可能取值為0，1，此時的取值為0，1，2，故的可能取值為0，1，2，其中包含兩種情況，即和，故，包含三種情況，，和，故，包含1種情況，即，故，故的分布列如下：012則數(shù)學(xué)期望為；【小問3詳解】記小李早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，分別為事件，則，，，小李晚餐選擇低卡甜品為事件，則，，，故，故小李晚餐選擇低卡甜品的概率為.19.如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)P，Q分別在棱、上.（1）若P是的中點(diǎn)，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明異面直線的垂直；（2）求平面法向量，由二面角的余弦值為和平面，解得P點(diǎn)坐標(biāo)，可求四面體的體積.【小問1詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，x軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，其中，，若P是的中點(diǎn)，則，，，于是，∴，即.【小問2詳解】由題設(shè)知，，是平面內(nèi)的兩個不共線向量.設(shè)是平面的一個法向量，則取，得.又平面的一個法向量是，∴，而二面角的余弦值為，因此，解得或（舍去），此時.設(shè)（），而，由此得點(diǎn)，，∵平面，且平面的一個法向量是，∴，即，解得，從而.將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，故四面體的體積.20.已知圓：，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）為直線：上的動點(diǎn)，、為曲線與軸的左右交點(diǎn)，、分別與曲線交于、兩點(diǎn).證明：為定值.【答案】（1）（2）證明過程見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出相應(yīng)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】如圖所示：連接，由，所以該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因為線段的垂直平分線交于點(diǎn)，所以有，由，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，即，所以的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，因為直線的斜率為，所以直線的方程為，代入橢圓方程中，得，顯然有，，即，因為直線的斜率為，所以直線的方程為，代入橢圓方程中，得，顯然有，，即，于是有，，，，因此為常數(shù).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).21.（）.（1）當(dāng)時，證明：；（2）證明：.【答案】（1）證明過程見解析（2）證明過程見解析【解析】【分析】（1）放縮得到，構(gòu)造，得到函數(shù)的奇偶性，二次求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值，證明出結(jié)論；（2）由（1）知，令，且放縮得到，再由得到，從而得到，相加后得到結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時，，令，，故為偶函數(shù)，，令，，故為奇函數(shù)，其中恒成立，故在上單調(diào)遞增，其中，故在恒成立，故在上單調(diào)遞增，其中，故在上恒成立，結(jié)合為偶函數(shù)，故在上恒成立，故在上恒成立；【小問2詳解】由（1）知，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，令，且，所以，故，即，由（1）可知，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，當(dāng)且時，，故，故，即，所以，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項相消法求和）達(dá)到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)特征式的特征而得到.請考生在22，23二題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與曲線相交于、兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的值.【答案】（