陜西省西安市長安區(qū)2024屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學（理科）試題（教師版）

長安區(qū)高三第一次聯(lián)考數(shù)學（理科）試題注意事項：1．本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質和二次根式的定義域求解集合，再求并集即可.【詳解】令，解得，令，解得，顯然，故A正確.故選：A2.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)，依次代入計算即得.【詳解】函數(shù)，則，所以.故選：A3.著名的歐拉公式是，則在復平面內的（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由題意可得，結合三角函數(shù)在各象限的符號和復數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】由題意知，，又，所以該復數(shù)在復平面所對應的點的坐標為，為第二象限的點.故選：B4.已知向量，，若不超過3，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標表示和幾何意義可得，解之即可求解.【詳解】由題意知，，所以，得，即，解得，即實數(shù)m的取值范圍為.故選：B5.某班學生每天完成數(shù)學作業(yè)所需的時間的頻率分布直方圖如右圖，為響應國家減負政策，若每天作業(yè)布置量在此基礎上減少5分鐘，則減負后完成作業(yè)的時間的說法中正確的是（）A.減負后完成作業(yè)的時間的標準差減少25B.減負后完成作業(yè)的時間的方差減少25C.減負后完成作業(yè)的時間在60分鐘以上的概率為D.減負后完成作業(yè)的時間的中位數(shù)為25【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的頻率分布直方圖求出，利用方差、標準差的意義判斷AB；求出減負前完成作業(yè)的時間在60分鐘以上的概率及中位數(shù)判斷CD.【詳解】由頻率分布直方圖可得：，解得，減負后每天作業(yè)布置量減少5分鐘，則減負后完成作業(yè)的時間的平均數(shù)減少5分鐘，而完成作業(yè)的時間波動大小不變，因此減負后完成作業(yè)的時間的標準差、方差不變，AB錯誤；減負前完成作業(yè)時間在60分鐘以上的頻率為，減負后完成作業(yè)時間在60分鐘以上的頻率小于，由此估計減負后完成作業(yè)的時間在60分鐘以上的概率小于，C錯誤；減負前，第一組的頻率為，第二組的頻率為，則完成作業(yè)的時間的中位數(shù)在第二組的中間，即中位數(shù)為（分鐘），所以減負后完成作業(yè)時間的中位數(shù)為（分鐘），D正確.故選：D6.等比數(shù)列滿足，則（）A.30 B.62 C.126 D.254【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質，由題中條件，先求出首項和公比，即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由可得，則，所以，因此.故選：C7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由和差角公式可得，從而得解.【詳解】，所以，則.故選：D8.唐代詩人李頎詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為．若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找出對稱點，發(fā)現(xiàn)特殊情況路徑最短，用兩點間距離公式求解即可.【詳解】如圖，設點關于直線的對稱點為，與直線交于，且設飲馬處為，由軸對稱性質得，，，解得，，故，即與重合時，將軍飲馬的總路程最短，則最短路程為.故選：C9.在三角形中，內角的對邊分別為，，，已知，，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理和輔助角公式得到，結合余弦定理得到，利用三角形面積公式求出答案.【詳解】，由正弦定理得，因為，所以，故，即，故，因為，所以，故，解得，由余弦定理得，即，因為，，所以，解得，.故選：B10.從直角三角形頂點中任取兩個頂點構成向量，在這些向量中任取兩個不同的向量進行數(shù)量積運算，則數(shù)量積為0的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的定義，結合平面向量數(shù)量積的運算性質、古典概型的運算定義進行求解即可.【詳解】設是直角三角形的三個頂點，其中，從從直角三角形頂點中任取兩個頂點構成向量有：一共有6個，因為兩個向量數(shù)量積為零，所以它們互相垂直，即有符合題意，所以數(shù)量積為0的概率為，故選：B11.已知函數(shù)，若滿足，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和單調性，結合函數(shù)性質將已知的不等式轉化為，再利用奇偶性和單調性求解即可.【詳解】的定義域為，，為偶函數(shù)，，，當時，，，，，在單調遞增，，即，即，也就是，在單調遞增且為偶函數(shù)，在單調遞減，，即，解得.實數(shù)的取值范圍為.故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調性解不等式，解答本題的關鍵是得出為偶函數(shù)和在上單調遞增，由對數(shù)的性質結合函數(shù)為偶函數(shù)將不等式化為，再由單調性求解.12.已知農(nóng)歷每月的第天的月相外邊緣近似為橢圓的一半，方程為，其中為常數(shù)．根據(jù)以上信息，下列說法中正確的有（）①農(nóng)歷每月第天和第天的月相外邊緣形狀相同；②月相外邊緣上的點到橢圓焦點的距離的最大值為；③月相外邊緣的離心率第8天時取最大值；④農(nóng)歷初六至初八的月相外邊緣離心率在區(qū)間內．A.①③ B.②④ C.①② D.③④【答案】D【解析】【分析】利用已知條件求出第天和第天的方程即可判斷A，根據(jù)橢圓上點到焦點的距離的最大值為，求出的范圍即可判斷B，求出離心率的表達式判斷C，利用離心率的表達式，求出農(nóng)歷初六至初八時的的范圍即可判斷D.【詳解】由方程知：A：當時，橢圓方程為，當時，橢圓方程為，化簡為，即，所以①錯誤；B：月相外邊緣上的點到橢圓焦點的距離的最大值為：，因為，所以，所以，所以②錯誤；C：月相外邊緣的離心率為：，而，所以當時，最大，即月相外邊緣的離心率第8天時取最大值，所以③正確；D：農(nóng)歷初六至初八，即時，即，此時月相外邊緣離心率：，即，因為，，所以，，所以，故④正確.綜上所述，正確的有③④.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：判斷C選項的關鍵是求得，由此即可順利得解.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.設雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則此雙曲線的離心率為___________.【答案】【解析】【詳解】解析過程略14.若實數(shù)滿足，則展開式中常數(shù)項為______．【答案】【解析】【分析】解出方程求出參數(shù)，再利用二項式定理寫出通項求解即可.【詳解】令，可得，易知，故，解得，則求展開式中常數(shù)項即可，由二項式定理得的通項為，令，解得，則常數(shù)項為.故答案為：15.一個正四棱柱底面邊長為2，高為，上底面對角線交點與下底面四個頂點構成幾何體的內切球表面積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意該幾何體為正四棱錐，利用正四棱錐的結構特征，求出內切球半徑得解.【詳解】由題意可知該幾何體為正四棱錐，如圖，為內切球的球心，是棱錐的高，分別是的中點，連接，是球與側面的切點，可知在上，，設內切球半徑為，則，，，，由，，即，解得，所以內切球表面積為.故答案為：.16.，若有兩個零點，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】先求函數(shù)的值域，單調性，并畫出圖象，再設，結合復合函數(shù)的零點個數(shù)求實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】易知函數(shù)在R上增函數(shù)，函數(shù)在上減函數(shù)，所以，當時，，當時，，于是函數(shù)的值域為，又函數(shù)的在上單調遞增，在上單調遞減，函數(shù)圖象如圖所示：設，由可知，，則.因為有兩個零點，所以，即，于是，則方程，即有兩個零點，所以，由的圖象可知，使方程有兩個零點，則滿足，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.體育強則中國強，體育承載著國家強盛、民族振興的夢想.某學校從參加體育知識競賽的學生中抽出200名，將其成績（均為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)圖形，回答下列問題.（1）求；（2）估計這次體育知識競賽成績的眾數(shù)、平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）在抽出的200位學生中，若規(guī)定分數(shù)不低于80分的學生為獲獎學生，已知這200名學生中男生與女生人數(shù)相同，男生中有20人獲獎，請補充列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“體育知識競賽是否獲獎與性別有關”男生女生合計獲獎20未獲獎合計附：，其中.0.0500100.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1）（2）75，（3）列聯(lián)表見解析，沒有【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質求參數(shù)即可.（2）利用中位數(shù)，眾數(shù)的求解公式計算即可.（3）列出列聯(lián)表。求卡方判斷即可.【小問1詳解】，所以.故值為.【小問2詳解】平均數(shù)為：易知眾數(shù)為：75【小問3詳解】列聯(lián)表如下：男生女生合計獲獎201030未獲獎8090170合計100100200所以，沒有99%的把提認為“體育知識競賽是否獲獎與性別有關”.18.圖1所示的是等腰梯形于點，現(xiàn)將沿直線折起到的位置，連接，形成一個四棱錐，如圖2所示．（1）若平面平面，求證：；（2）求證：平面平面；（3）若二面角的大小為，求直線與平面夾角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）由線面平行的判定證得平面，再由線面平行的性質定理得證.（2）由線面垂直的判定證得平面，再由面面垂直的判定定理得證.（3）由（2）確定二面角的平面角，以點為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求出線面角的正弦值.【小問1詳解】依題意，，而平面，平面，則平面，又平面，平面平面，所以.【小問2詳解】依題意，，，而平面，，因此平面，又平面，所以平面平面.【小問3詳解】由（2）知，，則是二面角的平面角，，在平面內過點作，由（2）知平面平面，平面平面，則平面，又平面，于是，即直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，在等腰梯形中，，則有，于是，，設平面的法向量，則，令，得，設直線與平面的夾角大小為，則，所以直線與平面夾角的正弦值.19.已知數(shù)列的前項和為，，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用構造法和等差數(shù)列定義與通項公式可得，結合即可求解；（2）由（1）知，利用分組求和法計算即可求解.小問1詳解】根據(jù)題意，，所以，由于，則是以首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，當時，.驗證時滿足通項公式，故數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）知.設的前項和為，則當為偶數(shù)時，.當為奇數(shù)時，，設的前項和為，則.因為，所以20.在平面直角坐標系中，已知點，點為平面內一動點，線段的中點為，點到軸的距離等于，點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知點，曲線上異于點的兩點，滿足與斜率之和為4，求點到直線距離的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設點的坐標為，分別求出，點到軸的距離，，進而利用點到軸的距離等于列方程，從而化簡得到曲線的方程.（2）設直線的方程為，與曲線方程聯(lián)立組得到，，再結合曲線方程與進行化簡得到，進而易得直線過定點，從而驗證即可得出點到直線距離的最大值.【小問1詳解】設點的坐標為，因為點，則點，則點到軸的距離，因為點到軸的距離等于，所以，兩邊取平方得，整理得：，故曲線的方程為.【小問2詳解】由題意設直線的方程為，與曲線方程聯(lián)立：，消去可得，.設，，由韋達定理得，，①因為，所以，又因為點，在拋物線上，所以，化簡得，化簡得，將①代入可得，所以.所以，所以直線過定點.設直線也過定點，作，再中，，當與重合時，又假設，則，解得，則，而，此時，直線與曲線交于兩點，即成立.所以當直線與直線垂直時，點到直線的距離最大，此時.21.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意求出切點，利用導數(shù)求出斜率，最后得到方程即可.（2）化簡不等式，同構結合分離參數(shù)法求解即可.【小問1詳解】當時，，當時，，故切點為，設切線斜率為，，則，故切線方程為.【小問2詳解】若不等式恒成立，則恒成立，化簡得，定義域為，故，化簡得，令，而，令，，令，，故在上單調遞減，在上單調遞增，則最小值為，顯然，故令，則，化簡得，設，而，令，，令，，故在單調遞增，在單調遞減，則，故.【點睛】關鍵點點睛：本題考查求利用導數(shù)求解恒成立問題，解題關鍵是合理對化簡后的式子進行同構，然后使用分離參數(shù)法，最后得到所要求的參數(shù)范圍即可．（二）選考題：共10分．考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程