江蘇省南通市海安市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期初學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（教師版）

高三第二學(xué)期期初學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)注意事項：考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知樣本數(shù)據(jù)1，2，2，3，7，9，則2.5是該組數(shù)據(jù)的（）A.極差 B.眾數(shù) C.平均數(shù) D.中位數(shù)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)求得眾數(shù)、極差、均值、中位數(shù)后判斷.【詳解】由題意得眾數(shù)為，極差，均值，中位數(shù)，故D正確.故選：D.2.3名男生和2名女生站成一排．若男生不相鄰，則不同排法種數(shù)為（）A.6 B.12 C.24 D.72【答案】B【解析】【分析】不相鄰問題借助插空法計算即可得.【詳解】先排2名女生，有種排法，借助插空法，共有3個空位，故3名男生有種排法，共有種排法.故選：B.3.設(shè)．若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，且，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.且【答案】A【解析】【分析】借助指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分類討論即可得.【詳解】由函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，故且，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，有，不符合題意，故舍去；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，有，符合題意，故正確.故選：A.4.若a，b為兩條異面直線，，為兩個平面，，，，則下列結(jié)論中正確的是()A.l至少與a，b中一條相交B.l至多與a，b中一條相交C.l至少與a，b中一條平行D.l必與a，b中一條相交，與另一條平行【答案】A【解析】【分析】此種類型的題可以通過舉反例判斷正誤.【詳解】因為a，b為兩條異面直線且，，，所以a與l共面，b與l共面.若l與a、b都不相交，則a∥l，b∥l，a∥b，與a、b異面矛盾，故A對；當(dāng)a、b為如圖所示的位置時，可知l與a、b都相交，故B、C、D錯.故選：A.5.設(shè)各項均不相等的等比數(shù)列的前n項和為，若，則公比（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可求出，即，再結(jié)合，列出相關(guān)方程組，從而可求解.【詳解】由數(shù)列為各項均不相等的等比數(shù)列，設(shè)公比為，由，得，又因為，當(dāng)時，則，化簡得，解得，或（舍）；當(dāng)，則，化簡得，因，所以無解；綜上可得，故C正確.故選：C.6.記的內(nèi)角A，B的對邊分別為a，b，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合充要條件的性質(zhì)、正弦定理、二倍角的正弦公式計算即可得.【詳解】當(dāng)時，由正弦定理可得，又，在中，，故，即，故“”是“”的充分條件；當(dāng)時，例如，，，，有，符合題意，但，故“”不是“”的必要條件；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點P在C的左支上，，的周長為，則C的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)綜合條件，結(jié)合雙曲線定義，利用余弦定理計算即得.【詳解】令雙曲線的焦距為，依題意，，解得，在中，，由余弦定理得，整理得，所以雙曲線C的離心率為.故選：C8.已知正五邊形的邊長為a，內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形中為直角三角形，可表示出、，結(jié)合三角恒等變換計算即可得.【詳解】如圖所示，，，故，故，，由，故，即，即，故.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于得出、的表達式，從而得到，結(jié)合三角恒等變換計算即可得.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.關(guān)于直線對稱C.關(guān)于點中心對稱 D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】將函數(shù)可變形為，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)逐項分析計算即可得.【詳解】，由的最小正周期為，故的最小正周期為，故A正確；，且，故不關(guān)于直線，也不關(guān)于點對稱，故B、C錯誤；由，且，故，故D正確.故選：AD10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點為A，點M，N在C上，且，則（）A. B.直線MN的斜率為C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由可得為中點，設(shè)出點坐標(biāo)，表示出點坐標(biāo)，計算即可得、點的具體坐標(biāo)，結(jié)合選項逐項分析計算即可得.【詳解】由，故為中點，又為中點，故，故A正確；由，故，，設(shè)，則，故有，解得，即、，則，故B正確；，故C正確；，，則，故D錯誤.故選：ABC.11.已知非零函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，與均為偶函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】由題意結(jié)合賦值法可得函數(shù)與的對稱性及周期性，結(jié)合性質(zhì)逐項分析計算即可得.【詳解】由與均為偶函數(shù)，故，，即有，，故關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，又，故，即，故關(guān)于對稱，由，可得，即有，為常數(shù)，即關(guān)于對稱，故，故A錯誤；即對有、，則，即，故，即，即，故B正確；對有，，關(guān)于對稱且關(guān)于對稱，，有，即，故，即，故為周期為的周期函數(shù)，有，即，故關(guān)于對稱，不能得到，故C錯誤；由關(guān)于對稱，故，，由為周期為的周期函數(shù)，且關(guān)于對稱，故關(guān)于對稱，故，由關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，故關(guān)于對稱，故，，故，故D正確.故選：BD.【點睛】結(jié)論點睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：（1）關(guān)于對稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對稱，則，若函數(shù)關(guān)于點中心對稱，則，反之也成立；（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)，為虛數(shù)單位．若集合，且，則__________．【答案】【解析】【分析】利用集合交集的結(jié)果，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)列式，從而得解.【詳解】因為，，所以，解得.故答案為：.13.一個三棱錐形木料，其中是邊長為的等邊三角形，底面，二面角的大小為，則點A到平面PBC的距離為__________．若將木料削成以A為頂點的圓錐，且圓錐的底面在側(cè)面PBC內(nèi)，則圓錐體積的最大值為_________．【答案】①.②.【解析】【分析】畫出圖形后結(jié)合等體積法可計算點A到平面PBC的距離，在三角形中，找出以為圓心的最大的圓，即可得圓錐體積的最大值.【詳解】取中點，連接，由底面，則即為二面角的平面角，故，由是邊長為的等邊三角形，故，故，，由、平面，故、，又，故，則，則，設(shè)點A到平面PBC的距離為，則有，即，即，作于點，由，，故為中點，作于點，則有,即，故圓錐體積的最大值為.故答案為：；.14.已知a，b，c為某三角形的三邊長，其中，且a，b為函數(shù)的兩個零點，若恒成立，則M的最小值為__________．【答案】##【解析】【分析】由a，b為函數(shù)的兩個零點可得，即可得、，結(jié)合題意可得，即可將多變量問題轉(zhuǎn)化為單一變量，借助導(dǎo)數(shù)求取函數(shù)的單調(diào)性即可得的范圍，即可得.【詳解】由a，b為函數(shù)的兩個零點，故有，即恒成立，故，，則，，由a，b，c為某三角形的三邊長，且，故，且，則，因為必然成立，所以，即，解得，所以，則，令，，則，故在上單調(diào)遞增，故，故恒成立，故的最小值為為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于借助題目條件，將多變量問題轉(zhuǎn)化成單變量問題，計算出該單變量的范圍，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)得到單調(diào)性后即可得其范圍，即可得解.四、解答題：本題共5小題、共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程成演算步驟.15.假定某同學(xué)每次投籃命中的概率為，（1）若該同學(xué)投籃4次，求恰好投中2次的概率；（2）該同學(xué)現(xiàn)有4次投籃機會，若連續(xù)投中2次，即停止投籃，否則投籃4次，求投籃次數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）概率分布見解析，【解析】【分析】（1）有二項分布概率公式計算即可得；（2）分別計算出、、后結(jié)合概率分布及數(shù)學(xué)期望定義計算即可得.【小問1詳解】令投中次的概率為，則；【小問2詳解】的可能取值為、、，，，，故的概率分布為：其數(shù)學(xué)期望.16.己知函數(shù)，其中．（1）若曲線在處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求；（2）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義及截距的定義計算即可得；（2）借助導(dǎo)數(shù)分類討論即可得.【小問1詳解】，則，，故曲線在處的切線為，即，當(dāng)時，令，有，令，有，故，即，此時，無切線，故不符合要求，故舍去；當(dāng)時，此時切線為，符合要求，故【小問2詳解】，，則當(dāng)時，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.17.如圖，己知三棱臺的高為1，，為的中點，，，平面平面．（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）借助面面垂直的判定定理即可得線面垂直；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后借助空間向量計算即可得.【小問1詳解】由，，，故與全等，故，又為的中點，故，又平面平面，平面平面，且平面，故平面；【小問2詳解】連接，由平面，平面，故，又，為的中點，故，即、、兩兩垂直，且，故可以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有、、、，由三棱臺的高為1，故，故，、，則，，，令平面的法向量為，則有，即，令，則有、，故，則有，故與平面所成角的正弦值為，即與平面所成角為.18.已知橢圓的右焦點為，直線與相交于、兩點．（1）求直線l被圓所截的弦長；（2）當(dāng)時，．（i）求的方程；（ii）證明：對任意的，的周長為定值．【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（1）由點到直線的距離得圓到直線的距離，再利用幾何法求出直線與圓的相交弦長，從而可求解.（2）（i）當(dāng)時，直線的方程為，將該直線方程代入橢圓方程，求出，根據(jù)已知條件求出、的值，即可得出橢圓的方程；（ii）求出原點到直線的距離，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理分析額可知點、的橫坐標(biāo)均為正數(shù)，利用勾股定理、橢圓方程可求出的周長.【小問1詳解】由題意得圓的圓心為，到直線的距離，則直線被圓所截弦長為.故直線被圓所截得的弦長為.【小問2詳解】解：當(dāng)時，直線的方程為，（i）聯(lián)立，得，所以，又因為，所以，，所以，橢圓的方程為；（ii）設(shè)點、，則，且，所以，，同理可得，因為原點到直線的距離為，過原點作，垂足為點，如下圖所示：所以，，聯(lián)立可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時點、關(guān)于軸對稱，合乎題意，因為，則，由韋達定理可得，，故，，所以，，因此，的周長為（定值）.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．19.設(shè)集合，其中．若對任意的向量，存在向量，使得，則稱A是“T集”．（1）設(shè)，判斷M，N是否為“T集”．若不是，請說明理由；（2）已知A是“T集”．（i）若A中的元素由小到大排列成等差數(shù)列，求A；（ii）若（c為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項公式．【答案】（1）是“集”;不是“集”，理由見解析；（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)“T集”的定義判斷即可；（2）（i）寫出等差數(shù)列通項，得到向量的坐標(biāo)，再分類討論即可；（ii）設(shè)，利用三角數(shù)陣和等比數(shù)列定義即可.【小問1詳解】是“集”;不是“集”.理由：當(dāng)或時，只要橫縱坐標(biāo)相等即可，則滿足，當(dāng)，則；當(dāng)，則；當(dāng)，則；當(dāng)，則；綜上是“集”.對于向量，若存在，使得.則，故中必有一個為，此時另一個為或，顯然不符合，則不是“集”.【小問2詳解】(i)因為中的元素由小到大排列成