陜西省咸陽市2024屆高三上學(xué)期模擬檢測（一）文科數(shù)學(xué)試題（教師版）

咸陽市2024年高考模擬檢測（一）數(shù)學(xué)（文科）試題注意事項(xiàng)：1．本試題共4頁，滿分150分，時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將答題卡上密封線內(nèi)的各項(xiàng)目填寫清楚．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得集合，再求交集即可.【詳解】；，故.故選：B.2.已知i為復(fù)數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)相等求出的值，再由復(fù)數(shù)幾何意義得解.【詳解】由，則，由復(fù)數(shù)相等得，所以在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D3.已知向量，，若，則（）A. B. C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線的坐標(biāo)表示求出，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即得.【詳解】由向量，，得，由，得，解得，于是，所以.故選：A4.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且等比數(shù)列滿足，若，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，求得，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)有，即可求解．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以．故選：D.5.著名的本福特定律：以數(shù)字1開頭的數(shù)字在各個(gè)領(lǐng)域中出現(xiàn)的頻率似乎要高于其他數(shù)，也稱為“第一位數(shù)定律”或者“首位數(shù)現(xiàn)象”．意指在一堆從實(shí)際生活中得到的十進(jìn)制數(shù)據(jù)中，一個(gè)數(shù)的首位數(shù)字是的概率為．以此判斷，一個(gè)數(shù)的首位數(shù)字是1的概率與首位數(shù)字是9的概率之比約為多少？（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.2.9 B.3.8 C.4.5 D.6.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求得對應(yīng)的概率，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算，即可估算結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，首位數(shù)字是1的概率，首位數(shù)字是的概率，故.故選：D.6.直線與圓有公共點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)直線與圓有公共點(diǎn)求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】的圓心，半徑.圓心到直線的距離，因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，所以，即，解得.于是，區(qū)間的任何一個(gè)真子集是直線與圓有公共點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件.則四個(gè)選項(xiàng)只有C選項(xiàng)是區(qū)間的真子集，所以C正確.故選：C.7.某同學(xué)寒假期間想到咸陽市的6個(gè)旅游景點(diǎn)乾陵、茂陵、漢陽陵、旬邑馬欄革命舊址、長武亭口活動(dòng)舊址、涇陽安吳青訓(xùn)班中的2個(gè)景點(diǎn)進(jìn)行旅游，其中旬邑馬欄革命舊址、長武亭口活動(dòng)舊址、涇陽安吳青訓(xùn)班三個(gè)景點(diǎn)為紅色旅游景點(diǎn)，則他所去的景點(diǎn)中至少包含一個(gè)紅色旅游景點(diǎn)的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用組合知識及古典概型求概率.【詳解】某同學(xué)所有的旅游方案有：，至少包含一個(gè)紅色旅游景點(diǎn)的方案有：，故他所去的景點(diǎn)中至少包含一個(gè)紅色旅游景點(diǎn)的概率.故選：D8.將一個(gè)棱長為4的正四面體同一側(cè)面上的各棱中點(diǎn)兩兩連接，得到一多面體，則這個(gè)多面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定所得多面體的外接球球心位置，再求出其外接球半徑即可得解.【詳解】如圖，點(diǎn)是正四面體所在棱的中點(diǎn)，連接，顯然，則四邊形是平行四邊形，又，且，于是，因此是正方形，則，同理，從而得點(diǎn)在以點(diǎn)為球心，為半徑的同一球面上，即這個(gè)多面體的外接球球心為，半徑，所以這個(gè)多面體的外接球的表面積為.故選：A9.等差數(shù)列中的，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，再利用等差數(shù)列性質(zhì)求出即可計(jì)算得解.【詳解】由求導(dǎo)得：，有，即有兩個(gè)不等實(shí)根，顯然是的變號零點(diǎn)，即函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，依題意，，在等差數(shù)列中，，所以.故選：A10.已知函數(shù)，若方程有四個(gè)根，且，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，在上遞減，函數(shù)值集合，在上遞增，函數(shù)值集合為，當(dāng)時(shí)，在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，方程的根是直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程有四個(gè)根，即直線與函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，，，AD正確；顯然，而，則，即，，，B正確；顯然，，C錯(cuò)誤.故選：C11.已知雙曲線，直線與雙曲線相切于點(diǎn)，與兩條漸近線相交于，兩點(diǎn)，則此時(shí)三角形（O為原點(diǎn)）的面積為（）A B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，由求出，再把直線方程與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立求出點(diǎn)橫坐標(biāo)差即可得解.【詳解】由消去并整理得，顯然，則，解得，由對稱性，不妨取，直線，而雙曲線的漸近線方程為，由消去并整理得，設(shè)，則，直線交y軸于點(diǎn)，所以三角形的面積為：.故選：B12.數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，如法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了以下猜想：是質(zhì)數(shù)．直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出，不是質(zhì)數(shù)．現(xiàn)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使不等式成立的正整數(shù)的最大值為（）A.11 B.10 C.9 D.8【答案】B【解析】【分析】結(jié)合已知條件求出的通項(xiàng)公式，并求出，然后利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】依題意，，，則，則，即，而，解得，所以滿足條件的正整數(shù)的最大值為.故選：B【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知角，為銳角，且，，則角______．【答案】【解析】【分析】由于，由兩角差的正切公式求解.【詳解】由為銳角，，且，則，，所以，又為銳角，所以.故答案為：14.已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，若圓錐的體積為，則該圓錐的表面積為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，根據(jù)已知得，，可解出，再由表面積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，由題意，由扇形弧長得，①又圓錐的高為，則，②由①②可得，所以圓錐的表面積.故答案為：.15.設(shè)，滿足約束條件，設(shè)，則取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】作出不等式組表示的可行域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解即得.【詳解】作出不等式組表示的可行域，如圖中陰影（不含邊），其中，目標(biāo)函數(shù)，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)，直線斜率，直線的斜率，顯然，即，，所以取值范圍為.故答案為：16.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】判斷給定函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)性質(zhì)求出的關(guān)系，再借助基本不等式“1”的妙用求解即得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即函數(shù)是奇函數(shù)，又函數(shù)都是R上的增函數(shù)，則在R上遞增，由，得，于是，即，則，而，即有，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用基本不等式最值的方法與技巧：①在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”、“拼”、“湊”等技巧，使用其滿足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的條件；②利用基本不等式求最值時(shí)，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，有時(shí)可乘以一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，以及“1”的代換等應(yīng)用技巧.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知該三角形的面積．（1）求角的大??；（2）若時(shí)，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形面積公式、余弦定理求解即得.（2）由（1）中信息，結(jié)合基本不等式求出的最大值即可得解.【小問1詳解】在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.【小問2詳解】由（1）知，，，而，于是，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，因此的面積，所以當(dāng)時(shí)，面積取得最大值.18.已知三棱柱，如圖所示，是，上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）當(dāng)平面，且時(shí)，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）由中位線得到線線平行，得到線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)到平面的距離，利用三棱錐體積公式求出答案.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；【小?詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面法向量的法向量為，則，解得，令，則，故，則點(diǎn)到平面的距離為，由勾股定理得，，則三棱錐的體積為.19.能源和環(huán)境問題是目前全球性急需解決的問題，雖然近百年人類文明有了前所未有的發(fā)展，但對于能源的使用和環(huán)境的破壞也造成了嚴(yán)重的后果，發(fā)展新能源是時(shí)代的要求，是未來生存的要求．新能源汽車不僅對環(huán)境保護(hù)具有重大的意義而且還能夠減少對不可再生資源的開發(fā)，是全球汽車發(fā)展的重要方向．“保護(hù)環(huán)境，人人有責(zé)”，在政府和有關(guān)企業(yè)的努力下，某市近幾年新能源汽車的購買情況如下表所示：年份x20192020202120222023汽車購買y（萬輛）0.300.601.001.401.70（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算與的相關(guān)系數(shù)，并說明與的線性相關(guān)性強(qiáng)弱（若，則認(rèn)為與線性相關(guān)性很強(qiáng)；若，則認(rèn)為與線性相關(guān)性一般；若，則認(rèn)為與線性相關(guān)性較弱）；（2）求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該市2024年新能源汽車購買輛數(shù)（精確到個(gè)位）．參考公式：，，參考數(shù)值：．【答案】（1），與線性相關(guān)性很強(qiáng)；（2），約為2.08萬輛.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的數(shù)表求出，及相關(guān)系數(shù)公式中的量，代入公式計(jì)算并比較得解.（2）利用最小二乘法公式求出線性回歸方程，再作出預(yù)測即可.【小問1詳解】，，，，，所以與線性相關(guān)性很強(qiáng).【小問2詳解】由（1）知，，，所以關(guān)于的線性回歸方程是，當(dāng)時(shí)，（萬輛）該市2024年新能源汽車購買輛數(shù)約為2.08萬輛.20.橢圓的離心率為，上、下頂點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)圍成的三角形的面積為．（1）求橢圓C的方程：（2）過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求證：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，求得，即可求得橢圓方程；（2）先證明過橢圓上一點(diǎn)的切線方程的形式，再求得過點(diǎn)的切線方程，從而得到直線的方程，即可證明其恒過的頂點(diǎn).【小問1詳解】根據(jù)題意可得：，又，解得，故橢圓方程為：.【小問2詳解】下證過橢圓上一點(diǎn)作橢圓的切線，其切線方程為：.當(dāng)且，，求導(dǎo)得：；同理可得，當(dāng)且時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，過點(diǎn)的切線的斜率為，故切線方程為：，即，又，故切線方程為：，即證.設(shè)坐標(biāo)為，故可得過點(diǎn)切線方程為：，又其過點(diǎn)，則；同理可得，故直線方程為，其恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決第二問的關(guān)鍵是證明過橢圓上一點(diǎn)作橢圓的切線，其切線方程為：，本題利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得斜率，是解決問題的關(guān)鍵.21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）證明：．【答案】（1）極小值0，無極大值；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值.（2）利用（1）中信息，構(gòu)建關(guān)于的不等式，再利用累加法求和即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，無極大值.【小問2詳解】證明：由（1）知，，即，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，令，，則，，而，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：證明第（2）問的數(shù)列不等式，利用第（1）的結(jié)論，變形構(gòu)造不等式，再結(jié)合累加法求和是解題之關(guān)鍵.（二）選考題：共10分，考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）直線與軸的交點(diǎn)為P，經(jīng)過點(diǎn)P的直線m與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線的斜率.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式求解即得.（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，借助弦長公式計(jì)算即得.【小問1詳解】曲線的極坐標(biāo)方程化為，把代入得，直線的極坐標(biāo)方程化為，把代入得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程是，直線的直角坐標(biāo)方程是.【小問2詳解】由（1）知點(diǎn)，