黑龍江省齊齊哈爾市2024屆高三下學(xué)期2月一模考試 數(shù)學(xué)

絕密★啟用前數(shù)學(xué)考試全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內(nèi)容：高考范圍.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知，若為純虛數(shù)，則（）A.B.2C.1D.3.已知為奇函數(shù)，則（）A.-2B.2C.1D.-14.某飲料廠生產(chǎn)兩種型號的飲料，已知這兩種飲料的生產(chǎn)比例分別為，且這兩種飲料中的碳酸飲料的比例分別為，若從該廠生產(chǎn)的飲料中任選一瓶，則選到非碳酸飲料的概率約為（）A.0.12B.0.20C.0.44D.0.325.已知數(shù)列為等比數(shù)列，均為正整數(shù)，設(shè)甲：；乙：，則（）A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件6.若函數(shù)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.7.已知，則（）A.B.C.D.8.已知為雙曲線的右頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上兩點(diǎn)，且，直線的斜率分別為2和，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.2二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓，則下列結(jié)論正確的有（）A.若圓和圓外離，則B.若圓和圓外切，則C.當(dāng)時(shí)，圓和圓有且僅有一條公切線D.當(dāng)時(shí)，圓和圓相交10.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，的最小正周期為B.當(dāng)時(shí)，的最小值為C.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)D.若在上單調(diào)遞減，則11.已知四面體的各個(gè)面均為全等的等腰三角形，且.設(shè)為空間內(nèi)任一點(diǎn)，且五點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則（）A.B.四面體的體積為C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為D.當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.第33屆奧運(yùn)會于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，某高校需要選派4名大學(xué)生去當(dāng)志愿者，已知該校現(xiàn)有9名候選人，其中4名男生，5名女生，則志愿者中至少有2名女生的選法有__________種（用數(shù)字作答）.13.已知為橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為__________.14.若直線為曲線的一條切線，則的最大值為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15.（本小題滿分13分）睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而許多人被睡眠時(shí)長過短?質(zhì)量不高等問題所困擾.2023年3月21日是第23個(gè)世界睡眠日，這一天某研究小組隨機(jī)調(diào)查了某高校100名學(xué)生在某一天內(nèi)的睡眠情況，將所得數(shù)據(jù)按照分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該校所有學(xué)生每一天的平均睡眠時(shí)長（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）每一天睡眠時(shí)長不低于7.75小時(shí)認(rèn)定為睡眠充足，以頻率代替概率，樣本估計(jì)總體，在該高校學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，求至少有兩人每一天睡眠時(shí)長充足的概率.16.（本小題滿分15分）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若的面積為，求邊上的中線長.17.（本小題滿分15分）如圖1，在平面四邊形中，.點(diǎn)是線段上靠近端的三等分點(diǎn)，將沿折成四棱錐，且，連接，如圖2.（1）在圖2中，證明：平面；（2）求圖2中直線與平面所成角的正弦值.18.（本小題滿分17分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動點(diǎn)，以為直徑的圓與軸相切，記的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)為直線上的動點(diǎn)，過的直線與相切于點(diǎn)，過作直線的垂線交于點(diǎn)，求面積的最小值.19.（本小題滿分17分）已知函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性；（2）設(shè)分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，證明：.數(shù)學(xué)考試參考答案?提示及評分細(xì)則1.B由，解得，所以，所以，故選B.2.B，若為純虛數(shù)，則，故選B.3.A當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故選A.4.C由題意，選到非碳酸飲料的概率為.44，故選C.5.B設(shè)數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，則，即，滿足必要性.當(dāng)時(shí)，對任意正整數(shù)均有，不滿足充分性，所以甲是乙的必要不充分條件，故選B.6.D，即對任意恒成立，即恒成立，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），所以，故選D.7.A設(shè)，則.故選A.8.C，可知是中點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，，設(shè)，則.故選C.9.BCD.若和外離，則，解得或，故錯(cuò)誤；若和外切，，解得，故B正確；當(dāng)時(shí)，和內(nèi)切，故C正確；當(dāng)時(shí)，和相交，故D正確，故選BCD.10.AB當(dāng)時(shí)，，所以的最小正周期為選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，令，解得或，此時(shí)或或在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，設(shè)，易知在上單調(diào)遞減，且，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，在上單調(diào)遞增，所以，解得選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選.11.AC依題意，，將四面體放入長方體中，設(shè)長方體的長，寬，高分別為，則，解得，所以選項(xiàng)正確；由于，即異面直線和的距離為，且，所以四面體的體積為選項(xiàng)錯(cuò)誤；由可知，四面體的外接球半徑為，易知點(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓，設(shè)軌跡圓的半徑為，則，解得，所以的軌跡長度為，C選項(xiàng)正確；易知的外接圓半徑為，所以球心到所在平面的距離為，三棱錐的體積為，又由，所以點(diǎn)的軌跡長度大于，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選AC.12.105恰有兩名女生人選的選法有種，恰有3名女生人選的選法有種，恰有4名女生人選的選法有種，所以至少有兩名女生人選的選法有（種）.13.設(shè)，則，根據(jù)三角形相似可得，，且，因?yàn)?，所?14.設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，整理可得.所以解得，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為.15.解：（1），解得，依題意，該校學(xué)生每一天的平均睡眠時(shí)長為（小時(shí)）；（2）100名學(xué)生的睡眠充足的頻率為，以頻率代替概率，樣本估計(jì)總體，該校學(xué)生睡眠充足的概率為0.2，所以至少有兩人睡眠時(shí)長充足的概率為.16.解：（1）由正弦定理可得，所以，即，又，所以，整理得，解得；（2）依題意，，解得，又，所以，由正弦定理可得，又，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以，所以邊上的中線長為.17.（1）連接交于點(diǎn)，連接，，平面平面平面，（2）解：在圖1中，，在圖2中，，平面，，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則可取，又，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.解：（1）設(shè)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橐詾橹睆降膱A與軸相切，所以，化簡得，所以的方程為；（2）設(shè)，由，則點(diǎn)處的切線斜率為，所以直線方程為，整理為，令，則，所以，易知直線斜率為，所以直線，整理為，與聯(lián)立可得，有，解得，即的橫坐標(biāo)為