LSL最小二乘格型算-劉智

LSL最小二乘格型算法2009112829劉智LSL(leastsquareoflattice)自適應算法的目標在于，使濾波器輸出與需要信號的誤差的平方的統(tǒng)計平均值最小。這個準那么根據輸入數據的長期統(tǒng)計特性尋求最正確濾波。然而，我們通常的僅是一組數據，因而只能對長期統(tǒng)計特性進行估計或近似。LMS算法、格形梯度算法都是這樣。能否直接根據一組數據尋求最正確呢？最小二乘算法就可解決這個問題。leastsquareoflattice采用遞推的方法實現最小二乘，一個遞推算法的完成，終止條件是估計的誤差或誤差信號能否滿足某一條件，LSL算法的關鍵是基于預測誤差濾波器的格型結構，即由M階〔前向、后向〕預測誤差遞推計算M+1階〔前向、后向〕預測誤差

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+——LS前向線性預測濾波器對于LS前向預測濾波器由線性系統(tǒng)理論預測向量研究目的：求最小二乘意義下的最正確解和最正確前向預測向量.將上式用矩陣方程表示為

Yule-Walker方程式由Y-W方程求得最加權系數，以及最小前向預測誤差

LSL算法原理:LS格型算法是變階型算法，即由第M階濾波器參數計算M+1階濾波器參數。通常說來，移動環(huán)境是時變的，向量必須周期性地更新或自適應，每次更新計算的權值向量通常相對上一次計算的權值向量只有很小的變化，而且，由于估計最優(yōu)解所需的數據受到噪聲的污染，需要對權向量的上一個解進行更新，以平滑對最優(yōu)響應的估計，減小噪聲的影響。算法原理：基于以上原因，通常使用自適應算法周期性地更新權向量。迭代算法中，第n步迭代時：當前權向量w(n)增加一個向量，形成新的權向量，w(n+1)來近似優(yōu)化解(回憶)最小二乘準那么最小二乘自適應濾波是以誤差的平方和最小作為最正確準那么的誤差準那么定義：其中是誤差信號的平方和，是j時刻的誤差信號，是j時刻的期望信號，Xj是j時刻的輸入信號構成的信號，W表示濾波器的權系數構成的向量。通過選擇W,使得取得最小值。有n個信號輸入量{x(1),x(2),…,x(n)}，對其中任何一個輸入信號量x(i)采用M個權的FIR濾波器對信號序列進行濾波，期望信號為d(i)。LSL目的就是以較少的運算復雜度，在快速收斂的情況下，給出最優(yōu)解，以尋找某時刻的最優(yōu)權值。算法分析如下圖

濾波器輸出的估計預測誤差為：當在n時刻組成M維向量時那么有(M是權的個數)：權向量信號向量x(n)=[x(n),x(n-1),…,x(n-M+1)]T。表示輸入信號n時刻及其之前時刻直到n一M+1時刻的輸入量。誤差信號向量e(n)=[e(1),e(2),…,e(n)]T。期望信號向量d(n)=[d(1),d(2),…,d(n)]T。輸入信號向量構成維矩陣之所以組成矩陣，是因為每個輸入量都采用M個權的濾波器。其最小二乘估計為：

回憶：很多自適應方法使用基于梯度的方法尋找可以到達最小均方誤差的權矢量。均方誤差性能曲面的梯度定義為：最優(yōu)權重矢量處梯度為零：遞推算法過程最小二乘格型算法LSL是采用遞推的方法實現最小二乘。輸入向量x(n)=[x(n),x(n-1),…,x(n-M+1)]T，n個輸入信號組成的數據向量。相應的權向量為，前向預測估計為的最正確解和最正確前向預測向量分別為：遞推算法過程遞推算法過程:通過對x(n)的平移，其基向量全部是被延時的向量，現時向量不在其中，M階前向預測濾波器就是根據的M個基向量來計算現時數據向量x(n)的估計遞推算法過程當用表示輸入數據矩陣張成的空間的投影矩陣時那么由投影定理那么n時刻前向預測誤差向量(正交投影矩陣)前向預測誤差，其中為求得現時刻的標量所引入的單位現時向量：遞推算法過程同理，在最小二乘意義下，對后向預測濾波器有最正確解最正確估計：遞推算法過程其中：遞推算法過程用表示輸入數據矩陣張成的空間的投影矩陣，那么由那么n時刻后向預測誤差向量和后向預測誤差分別為：遞推算法過程n時刻后向預測誤差向量和后向預測誤差分別為：那么前后向預測誤差能量分別為前后向預測濾波器參數更新由標量更新公式

代入前后向預測濾波器參數更新由以上四個式子，把調整因子帶入可以得出：

LSL濾波器遞推算法過程取

,由標量更新公式(3.4.56)：

前向能量

更新為取

,由標量更新公式(3.4.56)后向能量更新為：

其中偏相關系數:遞推終止條件與總結可以選擇遞推終止的條件有兩個：①和②和。選擇其一即可,例如當或滿足以下條件時迭代停止，設置迭代次數即可，或者使前向或后項誤差能量小于某個值例如：while(sf<50){…}orwhile(iteration<300){…}遞推終止條件與總結總結：按以下顧序計算。假設格型濾波器共M級，初始化，對n=1，2…計算對m=0,1,…,M-1計算

………….①遞推終止條件與總結

………②………③相對LMS算法LSL具有較快的收斂速度，而LMS要加快收斂速度，將付出增大噪聲的代價，LSL運算量要遠小于LMS和RLS?！?/p>