第三章 計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述3(修正Z變換)

§3.4修改Z變換1．具有多采樣頻率系統(tǒng)在某些控制系統(tǒng)中，存在著不同采樣頻率的采樣開關(guān)，如圖3.10所示。圖3.10具有不同采樣頻率系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖3.10表示，該系統(tǒng)反饋回路的采樣頻率高一倍，這是為了要了解采樣周期T之間的反饋信號，如圖3.11所示。

圖3.11具有采樣周期為的輸出響應(yīng)系統(tǒng)具有采樣周期的采樣信號可表示為（3.37）(3.37)式表示在采樣周期與之間包含有個附加脈沖信號。對(3.37)式兩邊進行采樣信號的拉氏變換，得（3.38）分析圖3.10所示，具有不同采樣頻率系統(tǒng)的方法，可以采用最低一個采樣頻率（即采用周期為T）的采樣開關(guān)的N個并行環(huán)節(jié)連接，并經(jīng)過超前/滯后處理，對圖3.10所示系統(tǒng)可變?yōu)槿鐖D3.12所示。

圖3.12與圖3.10等效系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖因為一個系統(tǒng)內(nèi)不能有多種采樣周期，否則無法求得系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)，移位定理也不能使用。經(jīng)過圖3.12的處理，就可求得采樣周期為的傳遞函數(shù)，而系統(tǒng)中的采樣周期都是為T。

其原理可用圖3.12A來說明。為了說明清楚起見，設(shè)要求采樣的波形為三角波，要實現(xiàn)周期采樣時，應(yīng)將圖3.12A(a)中峰值與谷值同時采樣出來。

（a）（b）圖3.12A這樣就可以應(yīng)用通常Z變換的分析方法，從圖3.12可寫出Z傳遞函數(shù)表示式為

(3.39)

（3.40）

(3.41)在（3.41）式中，右邊第2項，因為延時為非整數(shù)，故不能應(yīng)用移位定理處理，需要采用修改Z變換方法。其中

2.修改Z變換從理論上講，修改Z變換有兩種形式，即超前和滯后兩種。（1）超前形式。超前形式修改Z變換示意圖，如圖3.13所示。其中，圖(a)為的時間函數(shù)，圖(b)為超前T()的的時間函數(shù)ba圖3.13超前形式修改Z變換圖形它的Z變換式為（2）滯后形式滯后形式修改Z變換示意圖，如圖3.14所示。類似（3.42)式，滯后形式的Z變換式可寫成（3.43）圖3.14滯后形式修改Z變換圖形(3.43)式在理論上似乎是正確的，但在分析中存在一定的問題，這可以下例進行說明。例3.11設(shè)滯后時間為，求的修改Z變換式，根據(jù)（3.43）式，得

(3.44)上式右邊第1項是不應(yīng)該存在的，因為函數(shù)在時是不存在的，怎么能產(chǎn)生Z變換式呢？為了解決滯后修改Z變換在分析中存在的困難，引入（3.45）因為，故也是，將（3.45）式代入（3.43）中，得（3.46）式定義為修改Z變換，記作對例3.8重新進行計算，可得（3.47）利用（3.46）修改Z變換式，可對圖3.12所示的系統(tǒng)寫出閉環(huán)Z傳遞函數(shù)式。重寫（3.39）式，即(3.48)其中

上式右邊第2項可利用（3.46）式進行計算，即查表法將上述各式代入（3.48）式中，得（3.49）3.具有N倍采樣頻率和不同采樣頻率的系統(tǒng)表達方法（1）具有N倍采樣頻率系統(tǒng)的表達方法設(shè)具有N倍采樣頻率系統(tǒng)，如圖3.15所示，其中圖3.15（a）為原理圖，圖3.15（b）為圖3.15(a)的等效結(jié)構(gòu)圖。

(a)