2022-2023學(xué)年湖南省益陽(yáng)市小北洲中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2022-2023學(xué)年湖南省益陽(yáng)市小北洲中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知三棱錐A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，則有（

）A、平面ABC⊥平面ADC

B、平面ADC⊥平面BCDC、平面ABC⊥平面BDC

D、平面ABC⊥平面ADB參考答案：B2.若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，有，則的值為Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.參考答案：B3.，表示空間不重合兩直線，，表示空間不重合兩平面，則下列命題中正確的是

（

）

A.若，，且，則B.若，，則C.若，，則

D.若，，，則參考答案：C略4.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（

）A．i

B．－i

C．2+i

D．2－i

參考答案：B由題意，復(fù)數(shù)滿足，故選B．

5.一個(gè)有11項(xiàng)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為30，則它的中間項(xiàng)為()A．8

B．7

C．6 D．5參考答案：D6.（普）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則當(dāng)取最小值時(shí),n等于（

）A．6

B．7

C．8

D．9參考答案：A7.設(shè)α∈（0，），β∈[0，]，那么2α﹣的取值范圍是（）A．（0，） B．（﹣，） C．（0，π） D．（﹣，π）參考答案：D【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式；角的變換、收縮變換．【分析】從不等式的性質(zhì)出發(fā)，注意不等號(hào)的方向．【解答】解：由題設(shè)得0＜2α＜π，0≤≤，∴﹣≤﹣≤0，∴﹣＜2α﹣＜π．故選D．8.在正方體ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、DC的中點(diǎn)，則直線OM(

)A是AC和MN的公垂線

B

垂直于AC但不垂直于MNC垂直于MN，但不垂直于AC

D

與AC、MN都不垂直參考答案：A9.若函數(shù)，則是（）A．僅有最小值的奇函數(shù)

B．僅有最大值的偶函數(shù)C．既有最大值又有最小值的偶函數(shù)

D．非奇非偶函數(shù)參考答案：C10.點(diǎn)是曲線，（為參數(shù)）上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A. B. C.3 D.參考答案：D【分析】利用曲線的參數(shù)方程得化簡(jiǎn)求解即可詳解】由題故當(dāng)時(shí)，的最大值為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程求最值，考查輔助角公式，是基礎(chǔ)題二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線的斜率是

▲

．參考答案：12.已知偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且則時(shí)，函數(shù)的解析式為

參考答案：略13.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，,則__________.參考答案：12【分析】由函數(shù)的奇偶性可知，代入函數(shù)解析式即可求出結(jié)果.【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，則，.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題型.14.定義在R上的函數(shù)滿足：，且對(duì)于任意的,都有，則不等式的解集為__________________參考答案：略15.若直線ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始終平分圓x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周長(zhǎng)，則的最小值為

．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；基本不等式．【專題】計(jì)算題．【分析】由題意可知圓x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的圓心（2，1）在直線ax+2by﹣2=0上，可得a+b=1，而=（）（a+b），展開利用基本不等式可求最小值【解答】解：由圓的性質(zhì)可知，直線ax+2by﹣2=0即是圓的直徑所在的直線方程∵圓x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=13，∴圓心（2，1）在直線ax+2by﹣2=0上∴2a+2b﹣2=0即a+b=1∵=（）（a+b）==3+2∴的最小值故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的性質(zhì)的應(yīng)用，利用基本不等式求解最值的問題，解題的關(guān)鍵技巧在于“1”的基本代換16.若x，y＞0，且，則x+3y的最小值為

．參考答案：16【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性質(zhì)和“乘1法”即可得出．【解答】解：∵x，y＞0，且，∴x+3y==10+≥10+6=16，當(dāng)且僅當(dāng)x+3y=1，即=y取等號(hào)．因此x+3y的最小值為16．故答案為16．17.若函數(shù)f（x）=2x﹣5，且f（m）=3，則m=．參考答案：3【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值；函數(shù)的值．【分析】由題意化為方程f（m）=2m﹣5=3，從而解得．【解答】解：由題意知，f（m）=2m﹣5=3，解得，m=3；故答案為：3．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線l1：x﹣y﹣2=0相切（Ⅰ）求直線l2：4x﹣3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長(zhǎng)．（Ⅱ）過點(diǎn)G（1，3）作兩條與圓C相切的直線，切點(diǎn)分別為M，N，求直線MN的方程（Ⅲ）若與直線l1垂直的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若∠POQ為鈍角，求直線l縱截距的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由直線與圓相交的性質(zhì)可知，（）2=r2﹣d2，要求AB，只要求解圓心到直線4x﹣3y+5=0的距離．即可求直線l2：4x﹣3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長(zhǎng)．（Ⅱ）求出圓C的方程以及以G（1，3）為圓心，QM為半徑的圓，利用圓系方程求直線MN的方程．（Ⅲ）設(shè)直線l的方程為：y=﹣x+b聯(lián)立x2+y2=4，設(shè)直線l與圓的交點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），利用△＞0，以及韋達(dá)定理，通過∠POQ為鈍角，求出﹣2＜b＜2，當(dāng)與反向共線時(shí)，直線y=﹣x+b過原點(diǎn)，此時(shí)b=0，不滿足題意，即可得到結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）由題意得：圓心（0，0）到直線l1：x﹣y﹣2的距離為圓的半徑，r==2，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2+y2=4，…所以圓心到直線l2的距離d=

…∴…（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)G（1，3），所以，所以以G點(diǎn)為圓心，線段GM長(zhǎng)為半徑的圓G方程：（x﹣1）2+（y﹣3）2=6（1）又圓C方程為：x2+y2=4（2），由（1）﹣（2）得直線MN方程：x+3y﹣4=0…（Ⅲ）設(shè)直線l的方程為：y=﹣x+b聯(lián)立x2+y2=4得：2x2﹣2bx+b2﹣4=0，設(shè)直線l與圓的交點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），由△=（﹣2b）2﹣8（b2﹣4）＞0，得b2＜8，x1+x2=b，（3）…因?yàn)椤螾OQ為鈍角，所以，即滿足x1x2+y1y2＜0，且與不是反向共線，又y1=﹣x1+b，y2=﹣x2+b所以（4）由（3）（4）得b2＜4，滿足△＞0，即﹣2＜b＜2，…當(dāng)與反向共線時(shí)，直線y=﹣x+b過原點(diǎn)，此時(shí)b=0，不滿足題意，故直線l縱截距的取值范圍是﹣2＜b＜2，且b≠0

…19.甲、乙二名射擊運(yùn)動(dòng)員參加2011年廣州舉行亞運(yùn)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了4次，成績(jī)?nèi)缦卤恚▎挝唬涵h(huán)）甲56910乙6789（1）從甲、乙兩人的成績(jī)中各隨機(jī)抽取一個(gè)，求甲的成績(jī)比乙高的概率；（2）現(xiàn)要從中選派一人參加決賽，你認(rèn)為選派哪位運(yùn)動(dòng)員參加比較合適？請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】等可能事件的概率；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）根據(jù)題意，分別記甲、乙被抽到的成績(jī)?yōu)閤、y，用（x，y）表示從甲、乙兩人的成績(jī)中各隨機(jī)抽取一個(gè)的基本事件，記甲的成績(jī)比乙高為事件A，用列舉法可得從甲、乙兩人的成績(jī)中各隨機(jī)抽取一個(gè)和事件A的基本事件的數(shù)目，由的等可能事件的概率公式計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，分別求出甲乙兩人成績(jī)的平均數(shù)與方差，比較可得兩人的平均數(shù)相等，但甲的方差大于乙的方差，由方差的意義，可得答案．【解答】解：（1）記甲被抽到的成績(jī)?yōu)閤，乙被抽到的成績(jī)?yōu)閥，用（x，y）表示從甲、乙兩人的成績(jī)中各隨機(jī)抽取一個(gè)的基本事件，記甲的成績(jī)比乙高為事件A，從甲、乙兩人的成績(jī)中各隨機(jī)抽取一個(gè)，有（5，6）、（5，7）、（5，8）、（5，9）、（6，6）、（6，7）、（6，8）、（6，9）、（9，6）、（9，7）、（9，8）、（9，9）、（10，6）、（10，7）、（10，8）、（10，9），共16個(gè)基本事件；則A包含（9，6）、（9，7）、（9，8）、（10，6）、（10，7）、（10，8）、（10，9），共7個(gè)基本事件；P（A）=；（Ⅱ）甲成績(jī)的平均數(shù)為==7.5，乙成績(jī)的平均數(shù)為==7.5，甲成績(jī)的方差S12==4.25，乙成績(jī)的方差S22==1.25，比較可得，=，而S12＞S22，即乙的成績(jī)比較穩(wěn)定；選派乙參加決賽比較合適．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等可能事件的概率計(jì)算與數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的計(jì)算，是基礎(chǔ)題，但計(jì)算量較大；需要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性．20.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足求出、、、

并推測(cè)通項(xiàng)公式？（不要求證明）

參考答案：解：………………2分……5分………………7分…10分由此猜測(cè)……12分略21.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)p,q都滿足f(p+q)=f(p)f(q)，且f(1)=當(dāng)n時(shí)，求f(n)的表達(dá)式；設(shè)=nf(n)(n)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：<設(shè)(n)，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T，若<對(duì)n恒成立，求最小正整數(shù)m.參考答案：解：(1)由題意可得當(dāng)時(shí)有

f(n+1)=f(n)f(1)又f(1)=即數(shù)列{f(n)}是以為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列(2)因?yàn)?nf(n)=兩式相減得

=所以=得證（3）=

所以=由題意可得6恒成立即m2012所以m的最小正整數(shù)是2012略22.已知曲線的極坐標(biāo)方程是，設(shè)直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．（