《21.3 第2課時(shí) 平均變化率與一元二次方程》課件（兩套）

21.3實(shí)際問題與一元二次方程第二十一章一元二次方程第2課時(shí)平均變化率問題與一元二次方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握建立數(shù)學(xué)模型以解決增長(zhǎng)率與降低率問題.(重點(diǎn)）2.正確分析問題中的數(shù)量關(guān)系并建立一元二次方程模型.（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課問題引入

小明學(xué)習(xí)非常認(rèn)真，學(xué)習(xí)成績(jī)直線上升，第一次月考數(shù)學(xué)成績(jī)是80分，第二次月考增長(zhǎng)了10%，第三次月考又增長(zhǎng)了10%，問他第三次數(shù)學(xué)成績(jī)是多少？填空：假設(shè)某種糖的成本為每斤2元，售價(jià)為3元時(shí)，可賣100斤.(1)此時(shí)的利潤(rùn)w=_____;

(2)若售價(jià)漲了1元，每斤利潤(rùn)為_____元，同時(shí)少買了10斤，銷售量為_____斤，利潤(rùn)w=_____(3)若售價(jià)漲了2元，每斤利潤(rùn)為_____元，同時(shí)少買了20斤，銷售量為____斤，利潤(rùn)w=_____100元290180元380240元講授新課平均變化率問題與一元二次方程一合作探究(4)若售價(jià)漲了3元，每斤利潤(rùn)為____元，

同時(shí)少買了30斤，銷售量為____斤，利潤(rùn)w=______(5)若售價(jià)漲了4元，每斤利潤(rùn)為____元，

同時(shí)少買了40斤，銷售量為____斤，利潤(rùn)w=_______(6)若售價(jià)漲了x元，每斤利潤(rùn)為____元，

同時(shí)少買了____斤，銷售量為_______斤，利潤(rùn)w=__________________451+x7060100-10x10x280元300元(1+x)×(100-10x)元漲價(jià)售價(jià)成本單件利潤(rùn)少賣量銷售量總利潤(rùn)3+x3-2+x10x100-10xw=(3-2+x)×(100-10x)試一試：假設(shè)某種糖的成本每斤為2元，售價(jià)為3元時(shí)，可賣100斤.每漲1元，少賣10斤.設(shè)利潤(rùn)為x元，則總利潤(rùn)w為多少元（用含有x的式子表示出來）？01234x22222233+13+23+33+403-23-2+13-2+23-2+33-2+410×410×310×210×1100100-10×1100-10×2100-10×3100-10×4w=(3-2)×100w=(3-2+1)×(100-10×1)w=(3-2+3)×(100-10×3)w=(3-2+4)×(100-10×4)w=(3-2+2)×(100-10×2）每漲一元少賣十斤漲價(jià)售價(jià)成本單件利潤(rùn)少賣量銷售量總利潤(rùn)3+x3-2+x10x100-10xw=(3-2+x)×(100-10x)01234x22222233+13+23+33+403-23-2+13-2+23-2+33-2+410×410×310×210×1100100-10×1100-10×2100-10×3100-10×4w=(3-2)×100w=(3-2+1)×(100-10×1)w=(3-2+3)×(100-10×3)w=(3-2+4)×(100-10×4)w=(3-2+2)×(100-10×2）每漲一元少賣十斤總利潤(rùn)（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷售量=總利潤(rùn)單件利潤(rùn)×銷售量=填空：1.前年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，去年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是4650

元，則下降率是

.如果保持這個(gè)下降率，則現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是

元.探究歸納7%4324.5下降率=下降前的量-下降后的量下降前的量2.前年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，設(shè)下降率是x,則去年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是

元，如果保持這個(gè)下降率，則現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是

元.下降率x第一次降低前的量5000(1-x)第一次降低后的量5000下降率x第二次降低后的量第二次降低前的量5000(1-x)(1-x)5000(1-x)25000(1-x)5000(1-x)2例1

前年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元，試求甲種藥品成本的年平均下降率是多少？解：設(shè)甲種藥品的年平均下降率為x.根據(jù)題意，列方程，得5000(1－x)2=3000，解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根據(jù)問題的實(shí)際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5％.注意下降率不可為負(fù)，且不大于1.練一練：前年生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元.隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，試求乙種藥品成本的年平均下降率？解：設(shè)乙種藥品的年平均下降率為y.根據(jù)題意，列方程，得6000(1－y)2=3600.解方程，得y1≈0.225，y2≈－1.775.

根據(jù)問題的實(shí)際意義，乙種藥品成本的年平均下降率約為22.5％.解后反思

答：不能.絕對(duì)量：甲種藥品成本的年平均下降額為（5000-3000）÷2=1000元，乙種藥品成本的年平均下降額為（6000-3000）÷2=1200元，顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大．

問題1

藥品年平均下降額大能否說年平均下降率（百分?jǐn)?shù)）就大呢？

答：不能.

能過上面的計(jì)算，甲、乙兩種藥品的年平均下降率相等.因此我們發(fā)現(xiàn)雖然絕對(duì)量相差很多，但其相對(duì)量（年平均下降率）也可能相等．

問題2從上面的絕對(duì)量的大小能否說明相對(duì)量的大小呢?也就說能否說明乙種藥品成本的年平均下降率大呢?

問題3

你能總結(jié)出有關(guān)增長(zhǎng)率和降低率的有關(guān)數(shù)量關(guān)系嗎？

類似地這種增長(zhǎng)率的問題在實(shí)際生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增長(zhǎng)(或降低)百分率為x,增長(zhǎng)(或降低)前的是a,增長(zhǎng)(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為a(1±x)n=b(其中增長(zhǎng)取“+”,降低取“－”).變式1：某藥品經(jīng)兩次降價(jià)，零售價(jià)降為原來的一半.已知兩次降價(jià)的百分率一樣，求每次降價(jià)的百分率.（精確到0.1%）解：設(shè)原價(jià)為1個(gè)單位，每次降價(jià)的百分率為x.根據(jù)題意，得

解這個(gè)方程，得

答：每次降價(jià)的百分率為29.3%.

變式2:某藥品兩次升價(jià)，零售價(jià)升為原來的1.2倍，已知兩次升價(jià)的百分率一樣，求每次升價(jià)的百分率（精確到0.1%）解，設(shè)原價(jià)為a元，每次升價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意，得

解這個(gè)方程，得

由于升價(jià)的百分率不可能是負(fù)數(shù)，所以(不合題意，舍去)答：每次升價(jià)的百分率為9.5%.

例2

某公司去年的各項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中，一月份的營(yíng)業(yè)額為200萬元，一月、二月、三月的營(yíng)業(yè)額共950萬元，如果平均每月營(yíng)業(yè)額的增長(zhǎng)率相同，求這個(gè)增長(zhǎng)率．

解：設(shè)這個(gè)增長(zhǎng)率為x.根據(jù)題意，得答：這個(gè)增長(zhǎng)率為50%.200+200(1+x)+200(1+x)2=950整理方程，得4x2+12x-7=0，解這個(gè)方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5.注意增長(zhǎng)率不可為負(fù)，但可以超過1.例3：百佳超市將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元出售時(shí)，能賣500個(gè)，已知該商品要漲價(jià)1元，其銷售量就要減少10個(gè)，為了賺8000元利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少，這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨為多少個(gè)？分析：設(shè)商品單價(jià)為（50+x)元,則每個(gè)商品得利潤(rùn)[(50+x)－40]元，因?yàn)槊繚q價(jià)1元，其銷售會(huì)減少10，則每個(gè)漲價(jià)x元，其銷售量會(huì)減少10x個(gè)，故銷售量為(500－10x)個(gè)，根據(jù)每件商品的利潤(rùn)×件數(shù)=8000，則(500－10x)·[(50+x)－40]=8000.解：設(shè)每個(gè)商品漲價(jià)x元，則銷售價(jià)為(50+x)元，銷售量為(500－10x)個(gè)，則

(500－10x)·[(50+x)－40]=8000，整理得x2－40x+300=0，

解得x1=10，x2=30都符合題意.當(dāng)x=10時(shí),50+x=60，500－10x=400；當(dāng)x=30時(shí)，50+x=80，500－10x=200.答：要想賺8000元，售價(jià)為60元或80元；若售價(jià)為60元，則進(jìn)貸量應(yīng)為400；若售價(jià)為80元，則進(jìn)貸量應(yīng)為200個(gè).當(dāng)堂練習(xí)1.某廠今年一月份的總產(chǎn)量為500噸,三月份的總產(chǎn)量為720噸,平均每月增長(zhǎng)率是x,列方程(

)A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=5002.某校去年對(duì)實(shí)驗(yàn)器材的投資為2萬元,預(yù)計(jì)今明兩年的投資總額為8萬元,若設(shè)該校今明兩年在實(shí)驗(yàn)器材投資上的平均增長(zhǎng)率是x,則可列方程為

.B2（1+x)+2(1+x)2=8

3.青山村種的水稻去年平均每公頃產(chǎn)7200千克，今年平均每公頃產(chǎn)8712千克，求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率.解：設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意，得系數(shù)化為1得，直接開平方得，則答：水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為10%.7200（1+x)2=8712（1+x)2=1.211+x=1.1,1+x=-1.1x1=0.1,x2=-1.1,解：設(shè)每件襯衫降價(jià)x元，根據(jù)題意得：（40-x)(20+2x)=1200整理得，x2-30x+200=0解方程得，x1=10,x2=20因?yàn)橐M快減少庫存，所以x=10舍去.答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元.4.某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件，若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？能力提升:菜農(nóng)李偉種植的某蔬菜，計(jì)劃以每千克5元的價(jià)格對(duì)外批發(fā)銷售.由于部分菜農(nóng)盲目擴(kuò)大種植，造成該蔬菜滯銷，李偉為了加快銷售，減少損失，對(duì)價(jià)格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克3.2元的價(jià)格對(duì)外批發(fā)銷售.(1)求平均每次下調(diào)的百分率；解：設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，由題意，得5(1－x)2=3.2，

解得

x1=20%，x2=1.8（舍去）∴平均每次下調(diào)的百分率為20%;(2)小華準(zhǔn)備到李偉處購買5噸該蔬菜，因數(shù)量多，李偉決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇：方案一，打九折銷售；方案二，不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金200元.試問小華選擇哪種方案更優(yōu)惠？請(qǐng)說明理由.解：小華選擇方案一購買更優(yōu)惠，理由如下：方案一所需費(fèi)用為：3.2×0.9×5000=14400(元)；方案二所需費(fèi)用為：3.2×5000－200×5=15000(元)，∵14400＜15000，∴小華選擇方案一購買更優(yōu)惠.課堂小結(jié)平均變化率問題增長(zhǎng)率問題a(1+x)2=b,其中a為增長(zhǎng)前的量，x為增長(zhǎng)率，2為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.降低率問題a(1-x)2=b,其中a為降低前的量，x為降低率，2為降低次數(shù)，b為降低后的量.注意1與x位置不可調(diào)換.21.3實(shí)際問題與一元二次方程（二）

學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊(cè)，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7.2萬冊(cè).求這兩年的年平均增長(zhǎng)率.設(shè)這兩年的年平均增長(zhǎng)率為x,

去年今年明年5萬冊(cè)5(1＋x)萬冊(cè)5(1＋x)(1＋x)萬冊(cè)xx由題意得:5(1＋x)2=7.2

5(1＋x)2萬冊(cè)7.2萬冊(cè)引入關(guān)于兩次平均增長(zhǎng)(降低)率問題的一般關(guān)系:A(1±x)2=B(其中A表示基數(shù),x表表示增長(zhǎng)(或降低)率,B表示新數(shù))

例1：瓊海市市政府考慮在兩年后實(shí)現(xiàn)市財(cái)政凈收入翻一番，那么這兩年中財(cái)政凈收入的平均年增長(zhǎng)率應(yīng)為多少？

（精確到0.1%）嘗試探索，合作交流，解決問題

1、翻一番，你是如何理解的？（翻一番，即為原凈收入的2倍，若設(shè)原值為1，那么兩年后的值就是2）

2、“平均年增長(zhǎng)率”你是如何理解的。（“平均年增長(zhǎng)率”指的是每一年凈收入增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)是一個(gè)相同的值。即每年按同樣的百分?jǐn)?shù)增加，而增長(zhǎng)的絕對(duì)數(shù)是不相同的）3、獨(dú)立思考后，小組交流，討論。4、展示成果，相互補(bǔ)充。解：設(shè)平均年增長(zhǎng)率應(yīng)為x，依題意，得因?yàn)樵鲩L(zhǎng)率不能為負(fù)數(shù)所以增長(zhǎng)率應(yīng)為解這個(gè)方程，得嘗試探索，合作交流，解決問題

在例1中，（1）翻一番是什么意思？設(shè)原值為1，方程應(yīng)該如何列？設(shè)原值為A，方程又應(yīng)該如何列？（2）若調(diào)整計(jì)劃，兩年后的財(cái)政凈收入值為原值的1.5倍、1.2倍、…，那么兩年中的平均年增長(zhǎng)率相應(yīng)地調(diào)整為多少？又若第二年的增長(zhǎng)率為第一年的2倍，那么第一年的增長(zhǎng)率為多少時(shí)可以實(shí)現(xiàn)市財(cái)政凈收入翻一番？拓展應(yīng)用拓展應(yīng)用若調(diào)整計(jì)劃，兩年后的財(cái)政凈收入值為原值的1.5倍、1.2倍、…，那么兩年中的平均年增長(zhǎng)率相應(yīng)地調(diào)整為多少？又若第二年的增長(zhǎng)率為第一年的2倍，那么第一年的增長(zhǎng)率為多少時(shí)可以實(shí)現(xiàn)市財(cái)政凈收入翻一番？

例2：某商品經(jīng)兩次降價(jià)，零售價(jià)降為原來的一半，已知兩次降價(jià)的百分率一樣。求每次降價(jià)的百分率。（精確到0.1%）

分析：“兩次降價(jià)的百分率一樣”，指的是第一次和第二次降價(jià)的百分?jǐn)?shù)是一個(gè)相同的值，即兩次按同樣的百分?jǐn)?shù)減少，而減少的絕對(duì)數(shù)是不相同的，設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，若原價(jià)為a，則第一次降價(jià)后的零售價(jià)為a-ax=a(1-x)，又以這個(gè)價(jià)格為基礎(chǔ)，再算第二次降價(jià)后的零售價(jià)。

思考：原價(jià)和現(xiàn)在的價(jià)格沒有具體數(shù)字，如何列方程？請(qǐng)同學(xué)們聯(lián)系已有的知識(shí)討論、交流。問題思考

解:設(shè)原價(jià)為1個(gè)單位，每次降價(jià)的百分率為x.根據(jù)題意，得解這個(gè)方程，得問題解答由于降價(jià)的百分率不可能大于1，所以

不符合題意，因此符合本題要求的x為≈29.3％答：每次降價(jià)的百分率為29.3%.問題解答

1、黨的十六大提出全面建設(shè)小康社會(huì)，加快推進(jìn)社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)，力爭(zhēng)國(guó)民生產(chǎn)總值到2020年比2000年翻兩番，在本世紀(jì)的頭二十年（2001年至2020年），要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，以十年為單位計(jì)算，設(shè)每個(gè)十年的國(guó)民生產(chǎn)總值的平均增長(zhǎng)率為x，那么x滿足的方程為_____________

小試身手(1+x)2=4

2、某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，第一季度總產(chǎn)值達(dá)175億元，問二、三月份平均每月的增長(zhǎng)率為多少？設(shè)平均每月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得方程：________________________

小試身手50+50(1+x)+50(1+x)2=175練習(xí)1：某藥品經(jīng)兩次降價(jià)，零售價(jià)降為原來的一半.已知兩次降價(jià)的百分率一樣，求每次降價(jià)的百分率.（精確到0.1%）

解：設(shè)原價(jià)為1個(gè)單位，每次降價(jià)的百分率為x.根據(jù)題意，得

解這個(gè)方程，得

答：每次降價(jià)的百分率為29.3%.

練習(xí)2.某種藥劑原售價(jià)為4元,經(jīng)過兩次降價(jià),現(xiàn)在每瓶售價(jià)為2.56元,問平均每次降價(jià)百分之幾?

練習(xí)3、某鋼鐵廠去年1月某種鋼產(chǎn)量為5000噸，3月上升到7200噸，這兩個(gè)月平均每月增長(zhǎng)的百分率是多少？解：設(shè)平均每月增長(zhǎng)的百分率為x，依題意，得

解這個(gè)方程，得

因?yàn)椴缓项}意，所以只能取答：平均每月增長(zhǎng)的百分率是小結(jié)拓展列方程解應(yīng)用題的一般步驟是:1.審:審清題意:已知什么,求什么?2.設(shè):設(shè)未知數(shù),語句要完整,有單位(同一)的要注明單位;3.列:列代數(shù)式,找出相等關(guān)系列方程;4.解:解所列的方程;5.驗(yàn):是否是所列方程的根;是否符合題意;6.答:答案也必需是完整的語句,注明單位且要貼近生活.列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是:找出相等關(guān)系.關(guān)于兩次平均增長(zhǎng)(降低)率問題的一般關(guān)系:A(1±x)2=B(其中A表示基數(shù),x表表示增長(zhǎng)(或降低)率,B表示新數(shù))

關(guān)于量的變化率問題，不管是增加還是減少，都是變化前的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，每次按相同的百分?jǐn)?shù)變化，若原始數(shù)據(jù)為a，設(shè)平均變化率為x，經(jīng)第一次變化后數(shù)據(jù)為a(1±x)；經(jīng)第二次變化后數(shù)據(jù)為a(1±x)2。在依題意列出方程并解得x值后，還要依據(jù)0＜x＜1的條件，做符合題意的解答。小結(jié)拓展21.3實(shí)際問題與一元二次方程第2課時(shí)平均變化率問題與一元二次方程教學(xué)目標(biāo)：1、會(huì)列一元二次方程解應(yīng)用題;2、進(jìn)一步掌握解應(yīng)用題的步驟和關(guān)鍵;3、通過一題多解使學(xué)生體會(huì)列方程的實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)靈活處理問題的能力.重點(diǎn)：列方程解應(yīng)用題.難點(diǎn)：會(huì)用含未知數(shù)的代數(shù)式表示題目里的中 間量（簡(jiǎn)稱關(guān)系式）；會(huì)根據(jù)所設(shè)的不 同意義的未知數(shù)，列出相應(yīng)的方程。一、復(fù)習(xí)列方程解應(yīng)用題的一般步驟？第一步：弄清題意和題目中的已知數(shù)、未知數(shù)，用字母表示題目中的一個(gè)未知數(shù)；第二步：找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；第三步：根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式（簡(jiǎn)稱關(guān)系式）從而列出方程；第四步：解這個(gè)方程，求出未知數(shù)的值；第五步：在檢查求得的答數(shù)是否符合應(yīng)用題的實(shí)際意義后，寫出答案（及單位名稱）。

課前熱身1：二中小明學(xué)習(xí)非常認(rèn)真，學(xué)習(xí)成績(jī)直線上升，第一次月考數(shù)學(xué)成績(jī)是a分，第二次月考增長(zhǎng)了10%，第三次月考又增長(zhǎng)了10%，問他第三次數(shù)學(xué)成績(jī)是多少？分析：第三次第二次第一次aaX10%a+aX10%=a（1+10%）X10%a(1+10%)+a(1+10%)X10%=a（1+10%）2a（1+10%）課前熱身2：某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，三月份產(chǎn)值為72