怎樣實現(xiàn)舉一反三

怎樣實現(xiàn)“舉一反三、融會貫通”——初中數(shù)學(xué)“融通歸一復(fù)習(xí)法”作者：石家莊市第40中學(xué)梁建輝什么是“融會貫通”？“融會貫通”出自宋朝的朱熹的《朱子全書·學(xué)三》，它指將各方面知識都能匯聚起來，得到透徹的理解。比如我們把一個人的外表、行為舉止等方方面面都了解了，那對他的行事也就可以做出一個準(zhǔn)確的判斷，這就叫“融會貫通”。它在數(shù)學(xué)上的定義是狹義的，是說如果對某一個數(shù)學(xué)知識的各種用法非常熟悉了，它和相關(guān)知識之間的關(guān)系也就非常熟悉了，也就是“融會貫通”。什么叫“舉一反三”？“舉一反三”出自《論語》，是指通過一類事情能推得很多事情。比如說看到楊樹落葉了，就想槐樹也可能要落葉，柳樹也要落葉，這叫“舉一反一”。而當(dāng)你看到楊樹葉落了，就想是不是秋天到了，天就要涼了；這個樹葉落了，是不是生蟲子了，這才叫“舉一反三”。我在數(shù)學(xué)上指的“舉一反三”是最簡單的，是說通過做一道題，或者幾道題后，能夠解決同類的題，我們就叫“舉一反三”。所以“舉一反三”和“融會貫通”，我都把它這個限制降低了。通過剛才咱們對“舉一反三”、“融會貫通”的限定，我們就很容易知道，絕大多數(shù)的人都是可以實現(xiàn)“舉一反三”、“融會貫通”的，并不是只限于智力高的人。可是學(xué)生為什么不能實現(xiàn)“舉一反三”，為什么對知識的掌握達不到“融會貫通”的程度？為什么實現(xiàn)不了“舉一反三”呢？我認為，學(xué)生不能實現(xiàn)“舉一反三”，是因為腦子里沒有那個“一”，如果有了那個“一”，他就可以“反三”了。一般來說，我們在整個學(xué)習(xí)過程中遇到了一個題就去想，這個題和哪一個題類似，然后用那道類似題的方法去解決新的問題，這樣我們就把新的問題解決了。偉大的心理家和教育家皮亞杰認為人的認知就是一種同化和適應(yīng)的過程。就是說，用所有的舊的認知解決新的問題。只要遇到新的問題，你就把它轉(zhuǎn)化成一個過去熟悉的問題，用過去熟悉的問題去解釋和解決，一旦能夠解釋了，你就會了。如果遇到的問題，一點都不知道，就把它重新植入大腦，就說這是一個新的問題，必須把它記住，之后再拿它作為一個最原始的知識來學(xué)新的東西。比如說上學(xué)的時候?qū)W乘法，2×4，我們說它是2+2+2+2，4個2相加，把乘法轉(zhuǎn)換為加法來解釋，于是說，乘法是幾個相同加數(shù)和的運算。那我們學(xué)了乘法之后再用乘法，就不會再想它是幾個加數(shù)和的運算了，就用乘法的法則去解決新的問題，比如乘方問題。說2的四次方，是4個2連著相乘，到最后學(xué)了乘方，又不會再想到乘法，所以它的知識就是用舊知識解決新知識，不斷把知識體系擴充的過程。也就是說，剛才我說的這個“舉一反三”的“一”，就是首先得要有這個“一”。如果這個知識之前就沒有，比如2的平方等于4，3的平方等于9，那么誰的平方等于2呢？學(xué)生學(xué)到這就不會了，不會怎么辦呢，那就做個規(guī)定，根號2的平方就等于2。為什么學(xué)生對知識的掌握達不到融會貫通的程度？不是學(xué)生不下功夫，而是他努力了卻沒有收效，所以一定要告訴學(xué)生融會貫通的方法。后面我將告訴大家3種實現(xiàn)舉一反三的方法和3種實現(xiàn)融會貫通的方法。那什么是“融通歸一法”？“融通歸一法”，是我自己起的名字，它是“聯(lián)想融通法”和“歸一法”的合稱。而“聯(lián)想融通法”是說對知識間關(guān)系進行溝通形成一體，或?qū)ν恢R的各種不同用法進行歸納總結(jié)，使學(xué)生對該知識各種用法了若指掌，最后能夠達到融會貫通的復(fù)習(xí)法。因為聯(lián)想融通法最主要的是學(xué)生通過自己的大腦去回憶、去搜索、去聯(lián)想，達到知識的融會貫通，所以叫聯(lián)想融通。“歸一法”是多題歸一、多解歸一、還有照著做的統(tǒng)稱。聯(lián)想融通法根據(jù)定義可以發(fā)現(xiàn)，要想實現(xiàn)聯(lián)想融通法，有3種方法，第一個就是找到知識間的聯(lián)系，形成網(wǎng)絡(luò)。第二個就是歸納同一知識在不同背景下的應(yīng)用，使學(xué)生熟悉。第三個就是一題多解。第一個，找到知識間的聯(lián)系，形成網(wǎng)絡(luò)。舉例說明，公式是怎么記的。我們來看一下，梯形的面積公式是（上底+下底）乘以高除以2，三角形面積公式是底乘以高除以2，那它跟梯形面積公式有什么關(guān)系呢？如果要梯形讓上底變成0，就變成三角形的面積公式了。那平行四邊形的呢？讓上底和下底相等，就轉(zhuǎn)化成平行四邊形的面積公式了。而扇形的面積公式有一種計算方法就是它弧長與半徑乘積的一半。這公式很多學(xué)生記不住，但是經(jīng)過一個對比，就能把它記牢了。其實扇形特別像一個等腰三角形。那三角形的面積公式是底乘以高除以2，扇形面積也可以近似看成是底乘以高除以2，也就是弧長乘以半徑的一半。這些公式在小學(xué)學(xué)習(xí)時，是單一的。如果我們通過這樣的聯(lián)想把相關(guān)的知識通過一個點連起來，就能記清楚了。再看一個例子，代數(shù)之間的關(guān)系。初中數(shù)學(xué)學(xué)了很多東西，正數(shù)負數(shù)，有理數(shù)，實數(shù)，代數(shù)式，分式，整式，一元一次方程，二元一次方程，分式方程，一元二次方程等等。這些東西在考試中，特別是在大題當(dāng)中，以函數(shù)為背景來回轉(zhuǎn)化，讓掌握不好的人迷糊。如果能把代數(shù)之間的關(guān)系弄清楚就很簡單了。小學(xué)是學(xué)數(shù)，初中引入字母就變成了式，讓代數(shù)式相等就是方程，或者等式。如果兩個式子不等就是不等式。用一個字母來表示代數(shù)式的值，就是函數(shù)。也就是說自變量變化，對應(yīng)的唯一的函數(shù)也隨著變化。對應(yīng)每一個自變量的值，唯一的對應(yīng)一個函數(shù)的值。同樣，如果給函數(shù)變量一個值就變成了方程。初中數(shù)學(xué)還有一個分支叫統(tǒng)計與概率，它是研究大量無序數(shù)據(jù)的規(guī)律。所以我們經(jīng)過這樣的歸納，立刻就把初中代數(shù)知識系統(tǒng)起來了。再舉一個幾何的例子，我稱之為“定理合一”。兩條直線相交形成的對頂角相等。那么把其中一個角沿角的一邊向下平移，新位置所形成的角肯定和原角相等，新角和原角的對頂角也肯定相等，那兩條直線肯定平行。也就是平行線的性質(zhì)定律。緊接著，如果把這個角沿另外一條邊向右平移，就形成一個井字型，而這里面有很多角是相等的，很多角是互補的。那如果兩個角的兩邊是相互平行的，這兩個角具有什么樣的關(guān)系？多數(shù)情況下我們只答出相等的。而經(jīng)過像這樣一個對比之后你會發(fā)現(xiàn)，這兩個角可能相等也可能互補。我們還可以用“+、-”號來解讀這一圖形。直線的延伸方向相同的標(biāo)為“+”，相反的標(biāo)為“-”。如果兩個角的兩邊標(biāo)號相同，那么這兩個角就相等；如果有一邊標(biāo)號不同，那這兩個角就互補；如果兩邊標(biāo)號均不同，那這兩個角也相等。這樣不僅是把我們的定理掌握了，而且和我們代數(shù)上的正負得負、負負得正也聯(lián)系起來了。其實我們學(xué)習(xí)的正負號，最本質(zhì)的意義并不是說正數(shù)、負數(shù)，它最本質(zhì)的意思是相反或者一致。比如說正3乘以正2等于正6，我們舉一個非常實在的例子就是上樓梯?！?3”代表從一個地方向上走三個臺階，乘以正2就是沿著這個指定的方向連續(xù)向上走兩次，就是六個臺階。那如果要是負3乘以正2，我們可以規(guī)定負3代表以此向下走三個臺階，如果乘以正2，就是向下走連續(xù)走兩次三個臺階，那就是六個臺階，用負6來表示。那負3乘以負2又不一樣了，就變成向上走六個臺階。其實正負本身是沒有什么大小的，它只是一個意義代表，一個是一致，一個是相反。只是我們記數(shù)之后，才規(guī)定了大小，而且人們習(xí)慣認為多的就記作正，少的記為負；高的記為正，低的記為負。于是我們?yōu)榱朔蠑?shù)的這些運算和大小的比較才規(guī)定了正負。經(jīng)過這樣的研究，我們就把對頂角相等，平行線的性質(zhì)，即同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補以及我們剛剛說的這些都可以聯(lián)系在一起，歸為一個了。只要角的兩邊是分別平行的，如果這兩個角兩邊是同向的，那就相等；如果都是逆向的也相等；一個同向一個逆向的就是互補。所以通過找知識間的關(guān)系，就可以形成知識的網(wǎng)絡(luò)，就有助于學(xué)生實現(xiàn)融會貫通。這樣，知識就不再是孤單的，而是成串的，連續(xù)在一起的。而且書越讀越薄，學(xué)生就覺得“學(xué)這個東西，我都學(xué)透了”，學(xué)習(xí)就有信心了。第二個就是歸納同一知識在不同背景下的應(yīng)用。要舉的例子就是怎么能夠得到兩角相等。先看兩道題。第一道是前兩年的一個中考題，能夠做上它的人不到50%。這題非常簡單說把直角三角形ABC繞著點A旋轉(zhuǎn)這個角度得到了AB’C’，把BB’一連作一下射線CC’和AB交于點E，和BB’交于點F，證明△AEC和△FEB是相似的。學(xué)生在初二就學(xué)了旋轉(zhuǎn)而且知道旋轉(zhuǎn)角相等，但是因為沒有進行歸納總結(jié)，很多學(xué)生不會做。第二道題是在圓O中，AB是直徑，AE、BD是弦，且AD=DE。把AE和BD一連交于點C，問與∠BCE相等的角有幾個。因為學(xué)生知識是零散的，所以能夠做對這道題的有20%就不錯了。CAFB’EC’

現(xiàn)在我們總結(jié)兩角相等的方法：對頂角相等；平行線被第三條直線所截，同位角相等、內(nèi)錯角相等；角平行線分得的兩角相等；全等三角形（相似三角形）對應(yīng)角相等；等腰三角形兩底角相等；已知兩角相等那么把它們都加上相等的角或者都減去相等的角，那么最后的和差角也是相等的；經(jīng)過折疊，也可以得到同角；旋轉(zhuǎn)角相等；旋轉(zhuǎn)中對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所成的三角形都是等腰三角形，那它的底角是相等的；平行四邊形，對角也相等；等腰梯形同一底上的兩底角相等；三角函數(shù)值相等的角是相等的；在圓中同弧所對的圓形角是相等的。還有很多情況兩角也相等，這里就列舉了一部分。這樣經(jīng)過重要的歸納后，再做這些題目就太簡單了。第一道題，一看見旋轉(zhuǎn)就有等腰三角形。即CAC’和BAB’都是等腰三角形。因為旋轉(zhuǎn)角相等，所以這些等腰三角形都是相似的。所以角ACC’、ABB’、AC’C、AB’B都是相等的。這道題就解決了。第二道題，一看到圓形，就想到同弧或者同弦所對的圓周角相等，所對的圓心角也相等。半徑組成的三角形都是等腰三角形。立刻就知道角EBD和ABD是相等的，三角形AOD和DOE全等。然后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角。則角BCE和角EBD互余，角ABD和角DAB互余，則角BCE和角DAB相等，即角DAB、ADO、EDO、DEO和角ECB都相等。還有個對頂角也相等。所以五個角一看就出來了，這個問題就迎刃而解了。同樣的，數(shù)學(xué)中的最值有多少，怎樣得垂直等等知識都可以總結(jié)歸納整理出來。那遇到中點的題目怎么做，一般就分那么幾類。第一類，利用中點構(gòu)造全等。第二類，利用中點構(gòu)造相似。第三類，利用中點連中線等分面積。所以一看中線就連中線做全等造相似。通過歸納整理之后，做題就會有思路，有思路才有出路。如果經(jīng)常性的找關(guān)鍵詞，進行整理，進行歸納，這些數(shù)學(xué)你想達不到融會貫通都難。第三個是一題多解。咱們來看一道題目。已知D點坐標(biāo)是（1，-3），E點坐標(biāo)是（-1，-4）。你要在Y=X上找一點Q使得QD加上QE的和最小。求點Q的坐標(biāo)。絕大部分同學(xué)都知道通過作對稱點找到點Q。但是交點的坐標(biāo)好多學(xué)生就不會了。其實總結(jié)一下，只要是直角坐標(biāo)系的題目都可以用函數(shù)問題來解答。另外，我們還可以介入幾何圖形解決問題。這兩種方法一對比，你的視野立刻就拓展了。再看一個題。已知三角形ABC的中線BE、CD它們相交于點O，求證BO等于OE的二倍。這個題目上了初三，或?qū)W了相似太簡單了。很多同學(xué)都知道DE是中位線。中位線平行并且等于第三邊的一半。那在兩個相似三角形中，EO和OB就是1：2，這道題很快就做出來了。如果這一道題做到這就結(jié)束，就失去了它的價值。這道題有很多很多解法。我的學(xué)生做出來的有十一二種。有通過輔助線做平行四邊形的，有用不同頂點做中位線證相似的，還有用三條中線交于一點做的。那么經(jīng)過這樣一題多解之后，學(xué)生對知識的掌握就更加牢固和靈活，對學(xué)習(xí)也會越來越有興趣?！奥?lián)想融通法”就是“你中有我，我中有你；前后照應(yīng)，八方聯(lián)系”。掌握知識，形成網(wǎng)絡(luò)，提升能力，最終就實現(xiàn)了融會貫通。歸一法“歸一法”，我也提供了三種。第一個就是“多題歸一”；第二個是“多解歸一”；第三個叫“合情推理”，口語叫“照著做”。用“歸一法”來幫助學(xué)生實現(xiàn)舉一反三。第一個叫“多題歸一法”。先看一道題目，已知梯形ABCD，它的面積是4，M是腰CD中點，問三角形ABM的面積。一看這個題目，出現(xiàn)中點，構(gòu)造全等就可以了。AD和BC是平行的，因此就有內(nèi)錯角相等，對頂角相等；借助這條線段的中點，于是得到兩個三角形全等，那面積也就相等了，也就是實施了轉(zhuǎn)化。那么因為三角形全等，M點又稱了BE的中點，MB和ME相等，那么AM就是三角形ABE中，BE邊上的中線了，那么三角形ABM和三角形AEM，它們是等底同高，所以面積相等。再看下一個題目，說AB等于7，AC得5，AD是三角形ABC的中線。問AD的取值范圍是多少。顯然，這兩個題一看，題目是不一樣的，問題是不一樣的，已知也是不一樣的。但是咱們看它的解法。延長AD到E，使DE和AD相等，把這個BE一連，三角形BDE和ADC就是全等了。同樣是通過中點造全等。造了全等之后，AC得5，轉(zhuǎn)化為BE得5，那么在三角形ABC當(dāng)中，我們根據(jù)三邊關(guān)系，那么兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，立刻知道AE就小于5加7，小于12，大于7減5，大于2。那么AE又是AD的2倍，那么AD就是大于1，小于6的。這兩個題，類型是不同的，已知條件也不一樣，問題也不一樣，但是它的方法是相同的。我們把背景不同、問題不同、能夠有一個共同方法的題目歸結(jié)到一起，找到解決問題的通法。這就是“多題歸一法”。這樣“一”在學(xué)生心中也建立起來了。大家再感受一下“多解歸一法”。說三角形ABC中，延長BC到D，使得BC等于CD，取AB的中點F，連接FD交AC于點E，求AE：AC的值。這也是中點的題目，但是全等挺難造的。學(xué)生的方法是做平行，通過相似做出這道題目。當(dāng)然，不同的學(xué)生作平行的方式也是不相同的。做完這道題再做下面這道，說是OA等于OB，角AOB是90度，D、C是中點，求AP：PC的值。一樣是過中點D或者C做平行線。這樣就可以總結(jié)出“見中點，做平行，用相似”。也可以通過連接CD和AB，構(gòu)成平行線。也就是，如果兩條線段具有公共的端點，并且它們的中點都知道了，但是這兩條線段，沒有構(gòu)成三角形，就通過找出這兩條線段所在三角形，造上三角形。這就叫“多解歸一”。我們剛才這么多的解法，它的共同點和關(guān)鍵點，就是中點。見中點，造平行，所有的思路都是一樣的。于是，再把這道題給這學(xué)生，通通都知道怎么做平行線了。所以“多解歸一”，就是有的題目看起來有很多解法，但它歸結(jié)到最關(guān)鍵的是一個點?！岸嘟鈿w一”，就是找到通法，找到解題的關(guān)鍵點。這樣也可以實現(xiàn)舉一反三。我們經(jīng)過這樣的努力之后，很多題目，學(xué)生拿到就做，就有思路了。再看第三個“照著做”。“照著做”，叫合情推理，又叫知識的遷移。咱們來用一道簡單的題目說明這個問題。已知ABC和EFP都是等腰直角三角形，BC、FP在直線L上，EP和AC交于點Q，求證AP等于BQ。顯然，這AP等于BQ要找它所在的三角形全等。我們一觀察，等腰直角三角形的底角是45度，又有直角，又有等腰。三角形QCP和EFP相似，即QCP也是等腰直角三角形，QC等于CP。然后，借助BC等于AC，AC和BC垂直，就可以發(fā)現(xiàn)，三角形BCQ和ACP全等，那么AP和BQ就相等了。這個題是比較簡單的，一般中等生就能做出來。這是河北省08年的中考題。這是它的第一問，咱們再看它第二問。第二問是說把三角形EPF向左平移，那平移到這個位置之后，EP的延長線和AC的延長線交于Q，問AP和BQ還相等嗎？這一下，學(xué)生就不會了。遇到一道題，如果不會，看看能不能“照著做”。剛才，怎么找到CP等于CQ的，我們是借助了角EPF等于45度，那么在移動后的圖形上看，要想得到CP等于CQ，我們能不能也借助角EPF等于45度，通過借助對頂角相等，AC和BC垂直，直角三角形，得到三角形CPQ是一個等腰直角三角形。我們剛才證的是三角形ACP和BCQ全等，我們現(xiàn)在一樣，借助CA等于CB，角PCA和BCQ是90度，CP等于CQ，得到三角形全等。這個題目是如果第一問會做了，第二問直接抄下來就行，因為所有的思路都是一樣的。唯一的不同點就是，第一個圖我們根據(jù)角EPB得45度，第二個圖是EPF的頂角是45度。用了頂角，這是唯一的區(qū)別。雖然它們的圖不同，但思路是一樣的。所以叫“照著做”。像“照著做”這一類的題目，在全國中考試題當(dāng)中有很多很多。河北省過去年年都會有這樣的題，它出現(xiàn)在中考的探究題、證明題、閱讀理解題等