第02講 函數(shù)的切線問題（人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)）（解析版）

第02講函數(shù)的切線問題【人教A版2019】·模塊一導(dǎo)數(shù)的幾何意義·模塊二課后作業(yè)模塊一模塊一導(dǎo)數(shù)的幾何意義1．函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的定義在曲線y=f(x)上任取一點(diǎn)P(x,f(x))，如果當(dāng)點(diǎn)P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點(diǎn)(,f())時(shí)，割線P無限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線T(T是直線T上的一點(diǎn))稱為曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線.(2)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在x=處的導(dǎo)數(shù)f'()就是切線T的斜率，即==f'().這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.相應(yīng)地，切線方程為y-f()=f'()(x-).2．切線方程的求法(1)已知切點(diǎn)時(shí)求切線方程的方法：①求出函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處切線的斜率；②在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f'(x0)(x-x0).(2)切點(diǎn)未知時(shí)的解題通法：①設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)T(x0,f(x0))(不出現(xiàn)y0)；②利用切點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③將已知條件代入②中的切線方程求解.【考點(diǎn)1求曲線切線的斜率（傾斜角）】【例1.1】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）曲線fx=9x在點(diǎn)A．45° B．60° C．135°【解題思路】利用導(dǎo)函數(shù)定義求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)切線的幾何意義以及傾斜角的定義，可得答案.【解答過程】f'x=所以f'3=-1.又切線的傾斜角α的范圍為0故選：C.【例1.2】（2022上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知fx=xex，過P1A．3e2 B．3e2 C．【解題思路】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為x0,x0【解答過程】解：由fx=xe設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為x0,x把點(diǎn)P12,0解得x0=1或故切線斜率為f'故選：C．【變式1.1】（2023下·廣東梅州·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x，fA．f'x1C．f'x3【解題思路】根據(jù)已知條件作出切線，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及斜率的定義即可求解.【解答過程】依次作出函數(shù)fx在x根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圖形中切線的斜率可知，f'故選：B.【變式1.2】（2023下·湖北·高二校聯(lián)考期中）點(diǎn)P在曲線y=2x3-3x+14上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)PA．2π3,π B．0,π2【解題思路】求導(dǎo)得y'=6x2【解答過程】解：由y=2x3-所以y∈-3,+當(dāng)tanα∈-3,0時(shí)，α∈2π所以角α的范圍是0,π故選：B.【考點(diǎn)2求在曲線上一點(diǎn)的切線方程、過一點(diǎn)的切線方程】【例2.1】（2023·江蘇連云港·校考模擬預(yù)測(cè)）曲線y=x3+1在點(diǎn)a,2A．y=3x+3 B．y=3x-1C．y=-3x-1 D．y=-3x-3【解題思路】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【解答過程】因?yàn)閍3+1=2，所以a=1，即切點(diǎn)坐標(biāo)為1,2，由f'x=3x2，所以f'1=3，所以故選：B.【例2.2】（2023下·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）過原點(diǎn)且與函數(shù)fx=lnA．y=-x B．y=-2ex C．y=-【解題思路】先設(shè)出切點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程求出切線的斜率即可得到結(jié)果.【解答過程】因?yàn)閒(x)=ln(-x)，所以設(shè)所求切線的切點(diǎn)為(x0,f(由題知，1x0=f(x故所求切線方程為y=-1故選：C.【變式2.1】（2022下·河南洛陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x3-A．y=x B．y=2x C．y=3x D．y=4x【解題思路】設(shè)切點(diǎn)為t,t3-t【解答過程】設(shè)切點(diǎn)為t,t3-t2所以，所求切線方程為y-t將原點(diǎn)坐標(biāo)代入所求切線方程可得2t3-t2因此，所求切線方程為y=3x.故選：C.【變式2.2】（2023下·山東東營(yíng)·高二統(tǒng)考期末）已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)fx=3x3+2ax2+2+ax的導(dǎo)函數(shù)為A．11x-y-6=0 B．9x+y-6=0C．5x-11y+2=0 D．6x+5y-11=0【解題思路】由偶函數(shù)的定義確定參數(shù)a的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算求解即可得切線方程.【解答過程】因?yàn)閒'所以f'所以a=0，故f'x=9所以f1=5，故曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為即11x-y-6=0.故選：A.【考點(diǎn)3已知切線（斜率）求參數(shù)】【例3.1】（2023上·福建龍巖·高三校聯(lián)考期中）若直線x-y+a=0與曲線y=x+cosx相切，則實(shí)數(shù)a的值可以是（A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)題意，求得y'=1-sinx，可得y'|x=x【解答過程】設(shè)直線x-y+a=0與曲線y=x+cosx相切的切點(diǎn)為由函數(shù)y=x+cosx，可得y'所以1-sinx0=1，可得則y0=x將切點(diǎn)(kπ,kπ可得kπ-kπ當(dāng)k=0時(shí)，可得a=1.故選：B.【例3.2】（2023上·四川·高三南江中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）曲線y=x5-ax+1在x=1處的切線的斜率大于1，則A．-∞,4 B．-∞,3 C．【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【解答過程】設(shè)函數(shù)fx=x5-ax+1，則故選：A.【變式3.1】（2023下·西藏日喀則·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=x2e1-x+ax的圖象在點(diǎn)1,fA．-1 B．1 C．-2 D．2【解題思路】求得f'x=2x-【解答過程】解：f'因?yàn)楹瘮?shù)fx的圖象在點(diǎn)1,f1處的切線斜率為可得f'1=1+a=2故選：B.【變式3.2】（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=ex+m-n的圖象與直線y=eA．若m=1，則n=e B．若n=1，則C．n=m+e D．【解題思路】根據(jù)切點(diǎn)和斜率列方程，從而判斷出正確答案.【解答過程】設(shè)fx=ex+m-nf'x=e所以切點(diǎn)為t,e-n，而斜率為所以切線方程為y-e則-e由①②得1-m=1-ne,m=ne，n=e所以當(dāng)m=1時(shí)，n=e，A選項(xiàng)正確當(dāng)n=1時(shí)，m=1e，B故選：C.【考點(diǎn)4切線的條數(shù)問題】【例4.1】（2023下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）若過點(diǎn)(a,b)可作曲線y=x2-2x的兩條切線，則點(diǎn)(a,b)A．(0,0) B．(1,1) C．(2,0) D．(3,2)【解題思路】設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(t,t2-2t)，求得切線方程為y=(2t-2)(x-t)+t2-2t，把點(diǎn)(a,b)代入得t2-2at+2a+b=0【解答過程】由函數(shù)y=x2-2x設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(t,t2-2t)把點(diǎn)(a,b)代入，可得b=(2t-2)(a-t)+t整理得t2-2at+2a+b=0，因?yàn)檫^點(diǎn)(a,b)可作曲線則方程t2所以Δ=4a2分別把點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0),(3,2)代入驗(yàn)證，可得只有(3,2)滿足，所以點(diǎn)(a,b)可以是(3,2).故選：D.【例4.2】（2023上·湖北·高三鄂南高中校聯(lián)考期中）函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2-x+b為R上的奇函數(shù)，過點(diǎn)A．1 B．2 C．3 D．不確定【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)確定f(x)=x3-x，求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)切線方程公式計(jì)算【解答過程】f(-x)=-x3+(a-1)x2f(x)=x3-x設(shè)切點(diǎn)為Mx0,y0整理得到x0+14x0故切線方程為y=2x+2，故選：A.【變式4.1】（2022下·山東泰安·高二統(tǒng)考期中）過曲線C:fx=x3-ax+b外一點(diǎn)AA．a(chǎn)=b B．a(chǎn)-b=1 C．b=a+1 D．a(chǎn)=2b【解題思路】設(shè)出切點(diǎn)，求出切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)即切線的斜率，據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線的方程，將切點(diǎn)代入，列出關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，據(jù)題意此方程有兩個(gè)根，構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)求出兩個(gè)極值，令極值為0，求出a，b的關(guān)系.【解答過程】f'x=3x2-a設(shè)切點(diǎn)x0,fx將x0,f即2x03-3x02令ux=2x顯然有兩個(gè)極值點(diǎn)x=0與x=1，于是u0=0當(dāng)u0=0時(shí)，當(dāng)u1=0時(shí)，a-b=1，此時(shí)fx=x故選：A.【變式4.2】（2023上·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=-x3+2x2-x，若過點(diǎn)P1,tA．(0,130) B．(0,129)【解題思路】首先設(shè)過點(diǎn)P的切線方程l:y=kx-1+t，切點(diǎn)x0,y0，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式，轉(zhuǎn)化為t+1=2x03-5【解答過程】設(shè)過點(diǎn)P的直線為l:y=kx-1f'x=-3則-3x02+4令gx=2x當(dāng)g'x>0，得x>1或x<25所以gx在-∞,23，1,+∞又g23=2827得1<t+1<2827，即故選：D.【考點(diǎn)5兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題】【例5.1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=px-1x-2lnx，gx=2【解題思路】首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)得到切線l：y=2p-1x-1，從而得到p-1【解答過程】f'x則切線l：y=2p-1因?yàn)閘與gx圖象相切，所以2即p-1x2當(dāng)p=1時(shí)，方程無解；當(dāng)p≠1時(shí)，由Δ=p-1綜上：p=1-4e【例5.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩曲線y=x3+ax和y=x2(1)求a，b，c的值；(2)求公切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；【解題思路】（1）先求導(dǎo)，根據(jù)兩曲先都經(jīng)過點(diǎn)P1,2，且在點(diǎn)P（2）由（1）得到公切線方程y-2=4(x-1)，分別令x=0，y=0，再利用面積公式求解.【解答過程】（1）解：兩函數(shù)y=x3+axy'=3x由題意1+a=21+b+c=2解得a=1b=2（2）由（1）知公切線方程為y-2=4(x-1)，即4x-y-2=0，令x=0得y=-2，令y=0得x=1所以所求面積為S=1【變式5.1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2+2x+ax<0，點(diǎn)Ax1,fx1、B【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求f'x，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義k=f'x0【解答過程】f∵x1<x2<0，過A，∴2x1+2<0，2x當(dāng)且僅當(dāng)-2x1+2=2∴x2-x【變式5.2】（2023下·江西·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=x-a(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=fx在x=0處的切線方程(2)若a+b=1，是否存在直線l與曲線y=fx和y=gx都相切？若存在，求出直線l的方程（若直線l的方程含參數(shù)，則用a【解題思路】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先求導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得方程；（2）先求兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用公切線建立等量關(guān)系，求解方程可得答案.【解答過程】（1）當(dāng)a=1時(shí)，f'x=2x-1，曲線y=fx在x=0處的切線方程為y-f0=（2）設(shè)直線l與曲線y=fx相切于點(diǎn)Ax1,y1，與曲線y=gx曲線y=fx在點(diǎn)A處的切線為y-與曲線y=gx相切于點(diǎn)B則-2(x2-b)=2(x1由x1+x代入（*）得-x解得x1=a或當(dāng)x1=a時(shí)，直線l:y=0.當(dāng)x2=a時(shí)，故存在直線l與曲線y=fx和y=gx都相切，直線l的方程為y=0或模塊二模塊二課后作業(yè)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)fx=x3-3x+1A．-1 B．-3 C．1 D．0【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得.【解答過程】由于f'x=3故選：D.2．（2023下·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）函數(shù)y=fx的圖象如圖所示，f'x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，則下列大小關(guān)系正確的是

A．2B．2C．2D．f【解題思路】由函數(shù)圖象及導(dǎo)函數(shù)幾何意義得到f'2【解答過程】由圖象可知fx在0，+∞

故f'2<故選：B．3．（2023上·四川南充·高三?？茧A段練習(xí)）過函數(shù)fx=1A．0,π2∪C．π4,π【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率的范圍，進(jìn)而求得傾斜角的范圍.【解答過程】依題意，fx=1即切線的斜率的取值范圍是-1,+∞所以傾斜角的取值范圍是0,π故選：B.4．（2023下·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）如圖，函數(shù)y=fx的圖象在點(diǎn)P1,y0處的切線是l，則

A．1 B．2 C．0 D．-1【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)求出切線l的方程，從而可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，則可得f(1)，求出直線的斜率可得f'(1)【解答過程】由圖象可得切線過點(diǎn)(2,0),(0,2)，所以切線l的方程為x2+y所以切線的斜率為-1，所以f因?yàn)辄c(diǎn)P1,y0在切線上，所以y所以f1故選：C.5．（2023·陜西咸陽(yáng)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=1ex-1，則曲線A．ex+y+1=0 B．C．ex+y-1=0 D．【解題思路】先由導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，再求出切點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)斜式方程寫出即可.【解答過程】由fx=1所以f'-1=-故曲線y=fx在點(diǎn)-1,f-1處的切線的方程為y-e故選：A.6．（2023上·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線y=3x與曲線y=ln3x-a+2相切，則aA．14 B．ln13+53【解題思路】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為x0,3x0，求導(dǎo)y'=【解答過程】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為x0因?yàn)閥=ln3x-a+2所以切線的斜率k=3又3x0=ln3所以由3x0-a=1故選：D.7．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）過原點(diǎn)可以作曲線y=fx=xA．y=x和y=-x B．y=-3x和y=3xC．y=x和y=-3x D．y=-x和y=3x【解題思路】由解析式得fx為偶函數(shù)，故過原點(diǎn)作的兩條切線一定關(guān)于y軸對(duì)稱，再由導(dǎo)數(shù)幾何意義求x>0上的切線，結(jié)合偶函數(shù)對(duì)稱性寫出另一條切線【解答過程】由x∈R,f-x=(-x)故過原點(diǎn)作的兩條切線一定關(guān)于y軸對(duì)稱．當(dāng)x>0時(shí)，fx=x設(shè)切點(diǎn)為Px0,x02-所以切線斜率為1，從而切線方程為y=x．由對(duì)稱性知：另一條切線方程為y=-x．故選：A.8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若過點(diǎn)P(m,0)與曲線f(x)=x+1ex相切的直線只有2條，則mA．(-∞,+∞C．(-1,3) D．(-【解題思路】求得f'(x)=-xex，求得切線PQ方程,結(jié)合題意，轉(zhuǎn)化為方程【解答過程】設(shè)過點(diǎn)P(m,0)的直線與曲線f(x)=x+1ex由f(x)=x+1ex，可得f'(x)=-整理得t2因?yàn)榍芯€有2條，所以切點(diǎn)有2個(gè)，即方程t2+(1-m)t+1=0有則Δ=(1-m)2-4>0，解得所以m的取值范圍是(-∞故選：D．9．（2023下·湖北·高二校聯(lián)考期中）若直線x+y+a=0是曲線fx=x3+bx-14與曲線gA．26 B．23 C．15 D．11【解題思路】先由gx=x2-3lnx，利用切線斜率為-1求得切點(diǎn)，再將切點(diǎn)代入切線方程求得a，然后設(shè)切線與【解答過程】解：因?yàn)間x所以g'x=2x-3x，由2x-所以切點(diǎn)為1,1，因?yàn)榍悬c(diǎn)在切線x+y+a=0上，解得a=-2，所以切線方程為x+y-2=0，f'x=3由題意得3t2+b=-1所以a-b=11，故選：D.10．（2022下·江蘇蘇州·高二?？计谥校┰O(shè)對(duì)于曲線y=f(x)=-ex-x上任一點(diǎn)處的切線l1，總存在曲線y=g(x)=3ax+2cosx上一點(diǎn)處的切線l2A．[-13,2] B．[-13,【解題思路】由題設(shè)兩曲線任意一點(diǎn)切線斜率分別為f'(m)=-em-1、g'【解答過程】由f'(x)=-ex-1由g'(x)=3a-2sinx，則而兩曲線上總存在切線l1、l2有l(wèi)1而sinn∈[-1,1]，即3a-2sinn∈[3a-2,3a+2]所以{3a-2≤03a+2≥1，解得故選：B.11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)y=fx在x=x0(1)f'(2)f'(3)f'【解題思路】分別設(shè)切線斜率為k1,k2,【解答過程】（1）設(shè)該函數(shù)的圖象在x0,fx0處的切線斜率為根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義由f'x0又k1=tan因?yàn)棣?∈0,（2）設(shè)該函數(shù)的圖象在x0,fx0處的切線斜率為根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義由f'x0又k2=tan因?yàn)棣?∈0,（3）設(shè)該函數(shù)的圖象在x0,fx0處的切線斜率為根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義由f'x0又k3=tan因?yàn)棣?∈0,12．（2023上·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=x(1)當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像上任意一點(diǎn)處的切線斜率為k，若k≥-3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若a=-2，求曲線y=f(x)過點(diǎn)M(-1,f(-1))的切線方程.【解題思路】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得當(dāng)x∈0,1時(shí)，f'(2)設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將M-1,1代入切線方程計(jì)算即可【解答過程】（1）函數(shù)f(x)=x2(x-a)由題意可得當(dāng)x∈0,1時(shí)，3即有2a≤3x+函數(shù)y=3x+1x在(-∞,-1)和(1,+所以3(x+1x)>3(1+11所以a的取值范圍是-∞（2）函數(shù)f(x)=x2(x+2)設(shè)切點(diǎn)為m,n，則n=m3+2m2，f即有切線方程為y-n=3將M-1,1代入可得1-整理可得(m+1)2(2m+1)=0，解得m=-1或即有所求切線的方程為y-1=-x+1或y-1=-即y=-x或y=-513．（2