第10講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（解析版）

第10講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)知識1.根式n次方根概念如果存在實數(shù)x,使得xn=a,則x稱為a的,其中n>1,n∈N*

性質(zhì)當n是時,a的n次方根為x=

n當n是時,正數(shù)a的n次方根為x=±na,負數(shù)的偶次方根0的任意正整數(shù)次方根均為0,記為n0=根式概念當na有意義的時候,na稱為,n稱為,a性質(zhì)當n為奇數(shù)時,nan當n為偶數(shù)時,na2.有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪:amn=nam(a>0,m,n∈N*②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪:a-mn=1amn=1nam(a>0,③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于,0的負分數(shù)指數(shù)冪.

(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①asat=(a>0,s,t∈Q);

②(as)t=(a>0,s,t∈Q);

③(ab)s=(a>0,b>0,s∈Q).

3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=ax(a>0且a≠1)a>10<a<1圖象定義域R值域

性質(zhì)過定點

當x>0時,;

當x<0時,

當x>0時,;

當x<0時,

在R上是

在R上是

1.n次方根奇數(shù)偶數(shù)沒有意義根式根指數(shù)被開方數(shù)a2.(1)③0沒有意義(2)①as+t②ast③asbs3.(0,+∞)(0,1)y>10<y<10<y<1y>1增函數(shù)減函數(shù)常用結(jié)論1.函數(shù)y=ax+b(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(0,1+b).2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖象以x軸為漸近線.分類訓(xùn)練探究點一指數(shù)冪的化簡與求值1.化簡[3(-5)2]A.5 B.5 C.-5 D.-51.B[解析][3(-5)2]34=(52)13×2.化簡a23b12·-3a12b13÷1A.6a B.-a C.-9a D.9a22.C[解析]a23b12·-3a12b13÷13a163.計算:(32×3)6+(-2020)0-4×1649

-12+43.99+π[解析](32×3)6+(-2020)0-4×1649

-12+4(3-π)4=(213)6×(312)6+1-4×47

2×(-12)+π-3=44.已知x+x-1=3,則x32+4.25-3[解析]由x+x-1=3,得(x+x-1)2=9,即x2+x-2=7,又(x12+x-12)2=x+2+x-1=5,x+x-1=3>0,所以x>0,x12+x-12=5,所以x32+x-32=(x12+x-1[總結(jié)反思]指數(shù)冪運算的一般原則:(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、負分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為正分數(shù)指數(shù)冪,以便利用法則計算.(2)先乘除后加減,負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是負數(shù),先確定符號;底數(shù)是小數(shù),先化成分數(shù);底數(shù)是帶分數(shù),先化成假分數(shù).(4)運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù),也不能既有分母又含有負指數(shù).探究點二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例1(1)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與函數(shù)y=(a-1)x2-2x-1在同一個坐標系內(nèi)的圖象可能是()圖2-10-1(2)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與y=xb的圖象如圖2-10-2所示,則下列不等式一定成立的是 ()圖2-10-2A.ba>0 B.a+b>0C.ab>1 D.loga2>b例1[思路點撥](1)所給指數(shù)函數(shù)的圖象恒過點(0,1),二次函數(shù)的圖象恒過點(0,-1),分0<a<1和a>1兩種情況,結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱軸分析可得答案;(2)由圖可知,y=ax單調(diào)遞增,知a>1,y=xb單調(diào)遞減,得b<0,從而可以求解.(1)C(2)D[解析](1)兩個函數(shù)分別為指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù),其中指數(shù)函數(shù)的圖象恒過點(0,1),二次函數(shù)的圖象恒過點(0,-1),故排除A,D.二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1a-1,當0<a<1時,指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減,1a-1<0,C符合題意;當a>1時,指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增,1a(2)由圖可知,y=ax單調(diào)遞增,則a>1,y=xb單調(diào)遞減,則b<0.對于A,ba>0不一定成立,如a=3,b=-1時,ba=-1<0;對于B,a+b>0不一定成立,如a=2,b=-3時,a+b=-1<0;對于C,由ab<0知ab>1不成立;對于D,loga2>0>b,故D一定成立.[總結(jié)反思](1)研究指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象要抓住三個特殊點:(1,a),(0,1),-1,1a.(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象問題的研究,往往利用指數(shù)函數(shù)的圖象,通過平移、對稱變換得到其圖象.(3)一些指數(shù)方程、不等式問題,往往結(jié)合相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象,利用數(shù)形結(jié)合求解.變式題(1)函數(shù)f(x)=12|x+1|的圖象大致為 ()圖2-10-3(2)設(shè)函數(shù)f(x)=e|lnx|(e為自然對數(shù)的底數(shù)),若x1≠x2且f(x1)=f(x2),則下列結(jié)論一定不成立的是 ()A.x2·f(x1)>1B.x2·f(x1)=1C.x2·f(x1)<1D.x2·f(x1)<x1·f(x2)變式題(1)B(2)C[解析](1)作出函數(shù)y=12|x|=(12)

x,x≥0,2x,x<0的圖象,如圖所示,將(2)由題知f(x)=x,x≥1,1x當0<x1<1<x2時,f(x1)=1x1>1,f(x2)=x2>1,則x2f(x1)>1;當0<x2<1<x1時,f(x2)=1x2>1,f(x1)=x1>1,則x2f(x1)=x2f(x2)=1,x1f(x2)=x1f(x1)=x12>1,得x2f(x1)<x1f(探究點三利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題 微點1比較指數(shù)式的大小例2(1)已知a=3615,b=343,c=9A.b<a<c B.a<b<cC.a<c<b D.c<a<b(2)(多選題)已知實數(shù)a,b滿足等式12a=13b,下列關(guān)系式可能正確的是 ()A.0<b<a B.0<a<bC.b<a<0 D.a=b=0例2[思路點撥](1)將a,c化為同指數(shù)的,將b,c化為同底數(shù)的,再根據(jù)有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;(2)利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得結(jié)果.(1)C(2)AD[解析](1)由題意得a=3615,c=925=8115,∵y=x15在[0,+∞)上為增函數(shù),∴a<c.∵b=343,c=925(2)函數(shù)y1=12x與y2=13x的大致圖象如圖所示.由12a=13b,得a<b<0或0<b<a或a=b=0,則A,D正確,B,C錯誤.故選AD.[總結(jié)反思]比較指數(shù)式的大小,其依據(jù)是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,原則上是將待比較的指數(shù)式化為同底的指數(shù)式,并要注意底數(shù)的范圍是(0,1)還是(1,+∞),若不能化為同底,則可化為同指數(shù)或利用中間變量比較.微點2解簡單的指數(shù)方程或不等式例3(1)已知關(guān)于x的不等式2x-a>0在區(qū)間-1,-12上有解,那么實數(shù)a的取值范圍是 ()A.-∞,12 B.-∞,22C.12,22 D.22,+∞(2)若f(x)為偶函數(shù),當x≥0時滿足f(x)=2x-4,則不等式f(x-2)>0的解集為.

例3[思路點撥](1)利用分離常數(shù)法,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求得a的取值范圍;(2)根據(jù)f(x)是偶函數(shù),先求出當x<0時f(x)的解析式,再分x≥2和x<2兩種情況求解不等式即可.(1)B(2){x|x>4或x<0}[解析](1)因為關(guān)于x的不等式2x-a>0在區(qū)間-1,-12上有解,所以存在x∈-1,-12,使得a<2x,也即a<(2x)max,又y=2x在-1,-12上單調(diào)遞增,所以a<22.故選B.(2)當x<0時,-x>0,則f(x)=f(-x)=2-x-4(x<0),∴f(x)=2x-4,x≥0,2-x-4,x<0.若f(x-2)>0,則x-2≥0,[總結(jié)反思](1)af(x)=ag(x)(a>0且a≠1)?f(x)=g(x).(2)af(x)>ag(x),當a>1時,等價于f(x)>g(x);當0<a<1時,等價于f(x)<g(x).(3)有些含參數(shù)的指數(shù)不等式,需要分離變量,轉(zhuǎn)化為求有關(guān)函數(shù)的最值問題.微點3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題例4(1)已知函數(shù)f(x)=3x+13x,則使得f(2x)>f(x+1)成立的x的取值范圍是 ()A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.-13,1 D.-∞,-13∪(1,+∞)(2)若關(guān)于x的不等式4ax-1<3x-4(a>0且a≠1)對于任意的x>2恒成立,則a的取值范圍為例4[思路點撥](1)根據(jù)題意,可得f(x)為偶函數(shù),求出f(x)的導(dǎo)數(shù),可得f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),據(jù)此可得原不等式等價于|2x|>|x+1|,解不等式可得x的取值范圍;(2)首先可以將4ax-1<3x-4轉(zhuǎn)化為ax-1<34x-1,然后令f(x)=ax-1以及g(x)=34x-1,分別作出a>1,0<a<(1)D(2)0,12[解析](1)根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=3x+13x,f(-x)=3x+13x=f(x),則函數(shù)f(x)為偶函數(shù),其導(dǎo)數(shù)f'(x)=3xln3-3-xln3=(3x-3-x)ln3,當x≥0時,f'(x)≥0,即函數(shù)f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù).若f(2x)>f(x+1),則有f(|2x|)>f(|x+1|),即|2x|>|x+1|,解得x<-13或x>1,故選D.(2)不等式4ax-1<3x-4等價于ax-1<34x-1,令f(x)=ax-1,g(x)=34x-1,當如圖1所示,由圖知不滿足條件;當0<a<1時,在同一平面直角坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象,如圖2所示,則f(2)≤g(2),即a2-1≤34×2-1,解得a≤12,故a的取值范圍是0,12[總結(jié)反思]指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題,主要涉及單調(diào)性、奇偶性、最值等,應(yīng)在有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行解決,而指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的重點是單調(diào)性,注意利用單調(diào)性實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.?應(yīng)用演練1.【微點1】下列關(guān)系中正確的是 ()A.12

23<15

23<12B.12

13<12

23<15C.15

23<12

13<12D.15

23<12

23<121.D[解析]因為y=12x在R上單調(diào)遞減,13<23,所以12

13>12

23,因為冪函數(shù)y=x23在(0,+∞)上單調(diào)遞增,15<12,所以15

23<12

23,即15

23<12.【微點1】(多選題)已知a=2,b=55,c=77,則 (A.a>b B.c>b C.b>c D.b>a2.AC[解析]∵a=2,b=55,,∴a70=235=(25)7=327,b70=514=(52)7=257,∴a>b.又b=55,c=77,∴b70=514=(57)2=(78125)2,c70=710=(75)2=(16807)2,3.【微點2】若關(guān)于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解,則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-∞,-8]∪[0,+∞) B.(-∞,-4)C.[-8,-4) D.(-∞,-8]3.D[解析]由9x+(4+a)3x+4=0,得3x+(4+a)+43x=0,∴-(4+a)=3x+43x≥4(當且僅當3x=2時等號成立),解得a4.【微點2】已知函數(shù)f(x)=ex(1+x),那么不等式f(x)<0的解集是 ()A.(-∞,-e) B.(-∞,-1)C.(-∞,1) D.(-∞,e)4.B[解析]因為對任意x∈R,ex>0,所以不等式f(x)<0可化為x+1<0,解得x<-1,所以不等式的解集為(-∞,-1),故選B.5.【微點3】已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,函數(shù)g(x)=2x-t,若對任意x1∈[1,6),總存在x2∈[1,6),使得f(x1)=g(x2),則A.t<1 B.t≥28或t≤1C.t>28或t<1 D.1≤t≤285.D[解析]由題意可得(m-1)2=1,m2-4m+2>0,解得m=0,即f(x)=x2.當x1∈[1,6)時,f(x1)∈[1,36),當x2∈[1,6)時,g(x2)∈[2-t同步作業(yè)1.若函數(shù)f(x)=(a2-3a+3)ax是指數(shù)函數(shù),則 ()A.a>0且a≠1 B.a=1C.a=1或a=2 D.a=21.D[解析]由指數(shù)函數(shù)的定義,得a2-3a+3=1,a>02.設(shè)m,n∈R,則“m<n”是“12m-n>1”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.C[解析]易知函數(shù)y=12x在R上單調(diào)遞減.若m<n,則m-n<0,∴12m-n>120=1,充分性成立;若12m-n>1,則12m-n>120,∴m-n<0,即m<n,必要性成立.綜上,“m<n”是“12m-n>1”的充要條件,故選C.3.若指數(shù)函數(shù)f(x)=ax在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值之和為10,則a的值為 ()A.13 B.C.±3 D.±13.B[解析]因為指數(shù)函數(shù)f(x)=ax在區(qū)間[0,2]上單調(diào),且f(0)=1,f(2)=a2,所以1+a2=10,解得a=±3,又a>0且a≠1,所以a=3,故選B.4.化簡a3b2·3ab2A.ab BC.ba D.4.A[解析]原式=a32b·a16b5.已知函數(shù)g(x)=3x+t的圖象不經(jīng)過第二象限,則t的取值范圍為 ()A.t≤-1 B.t<-1C.t≤-3 D.t≥-35.A[解析]由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得函數(shù)g(x)=3x+t的圖象恒過點(0,1+t),且函數(shù)g(x)是增函數(shù),∵函數(shù)g(x)的圖象不經(jīng)過第二象限,∴1+t≤0,解得t≤-1.故選A.6.函數(shù)f(x)=3x+5的值域是.

6.(5,+∞)[解析]因為y=3x在R上單調(diào)遞增,且y>0,所以函數(shù)f(x)=3x+5的值域是(5,+∞).7.已知a=235,b=325,c=5A.b<a<c B.a<b<cC.c<b<a D.c<a<b7.D[解析]∵a5=2355=23=8,b5=3255=32=9,∴b>a>1,又0<5-15<50=1,∴0<c<故選D.8.已知函數(shù)f(x)=12x2-2x+1,x∈[1,4],當x=a時,f(x)取得最大值b,則函數(shù)g(x)=a|x+圖K10-18.C[解析]f(x)=12x2-2x+1=12(x-2)2-1,x∈[1,4],∵f(x)max=f(a)=b,∴a=4,b=1,∴g(x)=a|x+b|=4|x+1|=4x+19.已知0<a<b<1,則 ()A.(1-a)1b>(1-aB.(1-a)b>(1-a)C.(1+a)a>(1+b)bD.(1-a)a>(1-b)b9.D[解析]因為0<a<1,所以0<1-a<1,所以y=(1-a)x是減函數(shù),又0<b<1,所以1b>b,b>b2,所以(1-a)1b<(1-a)b,(1-a)b<(1-a)b2,所以A,B均錯誤;又1<1+a<1+b,所以(1+a)a<(1+b)a<(1+b)b,所以C錯誤;因為0<1-b<1-a<1,所以(1-a)a>(1-a)b>(1-b10.(多選題)已知函數(shù)f(x)=2021x-2021-x+1,則下列說法正確的是 ()A.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)B.關(guān)于x的不等式f(2x-1)+f(2x)>2的解集為14,+∞C.函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)D.函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心是(0,1)10.BCD[解析]函數(shù)f(x)的定義域為R,∵f(x)+f(-x)=2021x-2021-x+1+2021-x-2021x+1=2,∴函數(shù)f(x)不是奇函數(shù),故A不正確;設(shè)F(x)=f(x)-1=2021x-2021-x,則F(-x)+F(x)=0,∴F(x)是定義在R上的奇函數(shù),∵函數(shù)y=2021x與y=-2021-x都是R上的增函數(shù),∴F(x)是R上的增函數(shù),又f(2x-1)+f(2x)>2等價于f(2x-1)-1>1-f(2x)=-[f(2x)-1],即F(2x-1)>-F(2x),∴F(2x-1)>F(-2x),∴2x-1>-2x,解得x>14,故不等式的解集是14,+∞,故B正確;易知f(x)是R上的增函數(shù),故C正確;∵f(-x)+f(x)=2,∴f(x)的圖象關(guān)于點(0,1)對稱,故D正確.故選BCD.11.2019年7月,中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產(chǎn)名錄,標志著中華五千年文明史得到國際社會認可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例,實證了中華五千年文明史.考古科學(xué)家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時間T(單位:年)的衰變規(guī)律滿足N=N0·2-T5730(N0表示碳14原有的質(zhì)量),則經(jīng)過5730年后,碳14的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?經(jīng)過測定,良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來的37至12,據(jù)此推測良渚古城存在的時期距今約在5730年到年之間.(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.11.126876[解析]∵N=N0·2-T5730,∴當T=5730時,N=N0·2-1=12N0,∴經(jīng)過5730年后,碳14的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?2.由題意可知2-T5730>37,得log22-T5730>log237,∴-12.已知函數(shù)f(x)=13

ax2-4x+3,若f(x12.1[解析]令g(x)=ax2-4x+3,則f(x)=13g(x),因為f(x)有最大值3,所以g(x)有最小值-1,得a>0,3a-4a13.已知函數(shù)f(x)=2x+(a-a2)·4x,其中a∈R.(1)當a=2時,求滿足f(x)≥0的實數(shù)x的取值范圍;(2)若x∈(-∞,1]時,函數(shù)f(x)的圖象總在直線y=-1的上方,且a為整數(shù),求a的值.13.解:(1)當a=2時,f(x)=2x-2