【數(shù)學(xué)】河北省名校聯(lián)合體2024屆高三下學(xué)期2月開學(xué)測試試題（解析版）

河北省名校聯(lián)合體2024屆高三下學(xué)期2月開學(xué)測試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知一組數(shù)據(jù)3，7，4，11，15，6，8，13，去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后所得數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為（）A.4 B.6 C.11 D.13【答案】C【解析】依題意，所得新數(shù)據(jù)按由小到大排列為：4，6，7，8，11，13，由，得所得數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為11.故選：C.2.已知向量，且，則向量與的夾角為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)向量與的夾角為θ，則，又，故.故選：B.3.若，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，即成立；又因?yàn)?，所以或，結(jié)合，解得或或，即成立，推不出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：B.4.某單位春節(jié)共有四天假期，但每天都需要留一名員工值班，現(xiàn)從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選出四人值班，每名員工最多值班一天.已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，則值班安排共有（）A.184種 B.196種 C.252種 D.268種【答案】C【解析】從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選出四人安排到假期的四天值班，一共有種方法；甲在第一天值班有種方法；乙在第四天值班有種方法；甲在第一天值班且乙在第四天值班有種方法；因此從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選出四人值班，甲第一天不值班，乙在第四天不值班共有種方法，故選：C.5.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，有，得，.故選：D6.已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，可知以上四種情況循環(huán)，故集合，的元素個(gè)數(shù)為3.故選：C.7.在四面體中，，，且，則該四面體的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，作平面，連接，易得因，平面，所以平面，平面，故,由題可得，，則.不妨設(shè)，則有①，在中，由余弦定理，，在中，②，將兩式相減化簡即得：，.取線段中點(diǎn)，過點(diǎn)作平面，其中點(diǎn)為外接球的球心，設(shè)外接球半徑為，由余弦定理求得，在直角梯形中，，由計(jì)算可得：，則該四面體外接球表面積為.故選：B.8.已知雙曲線，設(shè)是的左焦點(diǎn)，，連接交雙曲線于.若，則的離心率的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如下圖所示：設(shè)，由題意可得，，則，且，所以，，因?yàn)椋瑒t，由余弦定理可得，所以，，由雙曲線的定義可得，即，故該雙曲線的離心率為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題9.下列式子中最小值為4的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，但不成立，所以的最小值不為4，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，當(dāng)時(shí)，取得最小值4，故C成立；對(duì)于選項(xiàng)D：由題意，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．故選：BCD．10.在中，角的對(duì)邊分別是，若，，則（）A. B.C. D.的面積為【答案】AC【解析】由余弦定理可得，解得，故A正確；由及正弦定理，可得,化簡可得.因?yàn)?，所以，所以，?因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋郧?，代入，可得，解得?因?yàn)?，，，所以由正弦定理可得，由，可得，化簡可得，解得或（舍），故C正確；.故選:AC.11.歐拉函數(shù)是數(shù)論中的一個(gè)基本概念，的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（只有公因數(shù)1的兩個(gè)正整數(shù)互質(zhì)，且1與所有正整數(shù)（包括1本身）互質(zhì)），例如，因?yàn)?，3，5，7均與8互質(zhì)，則（）A. B.數(shù)列單調(diào)遞增C. D.數(shù)列的前項(xiàng)和小于【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，由題可知與4互質(zhì)的數(shù)為1，3，則；與6互質(zhì)的數(shù)為1，5，則；與10互質(zhì)的數(shù)為1，3，7，9，則，故，即A正確；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，，故數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，即B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，注意到，則從1到100，這100個(gè)整數(shù)中，被2整除的有50個(gè)，被5整除的有20個(gè)，同時(shí)被2和5整除的有10個(gè)，則從1到100，這100個(gè)整數(shù)中，不能被被2或5整除的數(shù)，即與100互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè)，則，故C正確；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)分析可知，與互質(zhì)的數(shù)，就是從1到，這個(gè)整數(shù)中去掉所有的2的倍數(shù).其中2的倍數(shù)有個(gè)，則，同理可得.則，即為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和，故D正確.故選：ACD.三、填空題12.已知二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，則_____________.試估算時(shí)，的值為_____________.（精確到）【答案】【解析】二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，解得，當(dāng)時(shí)，.故答案為：；.13.蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，所以這個(gè)圓又被叫做“蒙日?qǐng)A”，已知點(diǎn)A、B為橢圓（）上任意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，若恒為銳角，則根據(jù)蒙日?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)，可知橢圓C的離心率的取值范圍為______.【答案】【解析】依題意，直線都與橢圓相切，因此直線所圍成矩形的外接圓即為橢圓的蒙日?qǐng)A，由點(diǎn)A、B為橢圓上任意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足為銳角，得點(diǎn)在圓外，又動(dòng)點(diǎn)P在直線上，因此直線與圓相離，于是，解得，則，解得，所以橢圓C的離心率的取值范圍為.故答案為：14.在數(shù)列中，滿足，則的值為_____________.【答案】【解析】設(shè)，則，,所以，解得,所以，所以,故答案為：四、解答題15.已知圓C經(jīng)過兩點(diǎn)，，且圓心直線上．（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)作直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，若，求直線l的方程．解：（1）設(shè)圓C的方程為，則，解得，所以圓C的方程為．（2）設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，則．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：，滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即，所以，解得，此時(shí)，直線l的方程為，即．綜上所述，直線l的方程為或．16.在如圖所示的三棱錐中，分別是線段的中點(diǎn)，且.（1）證明：直線平面;（2）若二面角的大小為，求直線和平面所成角的余弦值.（1）證明：因?yàn)椤?，為的中點(diǎn)，，所以，又為的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)?，所以，即⊥，因?yàn)椤?，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面；?）解：因?yàn)椤推矫?，，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，⊥，因?yàn)椤?，故二面角的平面角為，所以，因?yàn)椤推矫?，平面，所以⊥，因?yàn)椤?，，平面，所以⊥平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，以平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則，設(shè)平面的法向量，則，解得，令，則，故，又，設(shè)直線和平面所成角大小為，則，則，故直線和平面所成角的余弦值為.17.如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，隨機(jī)移動(dòng)次，每次等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長度，次移動(dòng)結(jié)束后，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的位置的數(shù)字記為.（1）若，求;（2）若，求的分布列和的值.解：（1）；（2）設(shè)表示6次移動(dòng)中向左移動(dòng)的次數(shù)，則，質(zhì)點(diǎn)最后到達(dá)的數(shù)字，則：，，，，，，，的分布列為：0246.18.已知函數(shù)（1）若、在處切線的斜率相等，求的值；（2）若方有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，試證明：;（3）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，試證明：.（1）解：，,又,所以.（2）證明：由（1）知，則令，令時(shí)，單調(diào)遞增時(shí)，單調(diào)遞減所以因?yàn)橛刹畋鹊男再|(zhì)知：，又，則欲證：即證：不妨設(shè)：下證，令下證令所以在上單調(diào)遞增，所以所以（3）證明：不妨設(shè)，下證在處的切線方程為構(gòu)造當(dāng)時(shí)，;時(shí)，;所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，設(shè)方程的函數(shù)值為的根，則因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，在處的切線方程為,構(gòu)造當(dāng)時(shí)，;時(shí)，;所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以所以設(shè)方程的根又，由在上單調(diào)遞增，所以又所以.19.菲波納契數(shù)列又稱“兔子數(shù)列”“黃金分割數(shù)列”，是由13世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家菲波納契提出的，其定義是從數(shù)列的第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和，即