2023-2024學(xué)年人教A版必修第一冊(cè) 兩角和與差的余弦 學(xué)案

兩角和與差的余弦

學(xué)習(xí)目標(biāo)抬頭望青山

1.能利用單位圓與向量的數(shù)量積推導(dǎo)證明兩角差的余弦公式.（邏輯推理）

2.能利用兩角差的余弦公式與誘導(dǎo)公式推導(dǎo)證明兩角和的余弦公式.（邏輯推理）

3.理解兩角和與差的余弦公式，并能利用公式解決簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的求值、化

簡(jiǎn)和證明問(wèn)題.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）

教材認(rèn)知?內(nèi)化必備知識(shí)/

某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上.如圖所示，在地平面上有一點(diǎn)

A,測(cè)得A,C兩點(diǎn)間距離約為60米，從點(diǎn)A觀測(cè)電視發(fā)射塔的視角（NCA。）約為

45。,NCA5=15。,你能否求出這座電視發(fā)射塔的高度?如何用兩角的正弦、余弦值

來(lái)表示兩角和與差的余弦值？

D

/

//!

/X

/

zdo60C

緞二二

4'15。B

兩角和與差的余弦公式

簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件

cos（a-夕）=cosacos￡+

CQ/

sinasinB

cos（a+夕）=cosacos￡-

Ca+B

sinasinB

國(guó)思考

（1）兩角和的余弦公式是怎樣由兩角差的余弦公式推導(dǎo)而來(lái)的？

提示:在兩角差的余弦公式cos（a/）=cosacos夕+sinasin夕中，只要用/替換便可

以得到兩角和的余弦公式.

（2）兩角和與差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特征是什么?可用什么口訣記憶？

提示:可簡(jiǎn)單記為“余余正正，符號(hào)相反”，即展開(kāi)后的兩項(xiàng)分別為兩角的余弦乘余

弦、正弦乘正弦;展開(kāi)前兩角間的符號(hào)與展開(kāi)后兩項(xiàng)間的符號(hào)相反.

教師專(zhuān)用@【教材深化】

1.對(duì)公式Ca/和Ca+夕的三點(diǎn)說(shuō)明

⑴公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn):公式的左邊是差(和)角的余弦，右邊的式子是含有同名函數(shù)之

積的和(差)式，可用兩角和與差的余弦公式口訣，結(jié)構(gòu)是“余余正正,加減相反”.

⑵公式的適用條件:公式中的a/不僅可以是任意具體的角,也可以是一個(gè)“團(tuán)體”,

如中的“呼”相當(dāng)于公式中的a,“竽相當(dāng)于公式中的小

⑶公式的“活”用:公式的運(yùn)算要“活”，體現(xiàn)在正用、逆用、變用.而變用又涉及兩個(gè)

方面：

①公式本身的變用，如cos(a/)-cosacosQ=sinasin..

②角的變用，也稱(chēng)為角的變換，如cosa=cos[(a+夕)￡等.

2.辨明一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)

利用兩角差的余弦公式解決給值求角問(wèn)題時(shí),易忽視角的范圍而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

【自我小測(cè)】

1.辨析(正確的打y”,錯(cuò)誤的打口”)

(l)cos(70°+40°)=cos700-cos40°.(x)

提示:cos(70°+40°)=cos110°#cos700-cos40°.

(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a/,cos(a/)=cosa-cos夕都不成立.(x)

提示:當(dāng)打=-45。/=45。時(shí),cos(a/)=cos(-45O-45o)=cos(-9()o)=0,cosa-cos￡=

cos(-45°)-cos45。=0,止匕時(shí)cos(a/)=cosa-cos￡.再如打=0。/=60。時(shí)也成立.

(3)對(duì)任意a/WR,cos(a+份=cosacos夕-sinasin4都成立.(d)

提示:結(jié)論為兩角和的余弦公式.

(4)cos30°cos60°+sin30°sin60°=l.(x)

提示:cos30°cos600+sin30°sin60°=cos(60°-30°)=cos30°=?.

2.(教材改編例4)5由70飛布40。與1150。(：0$110。=()

A-1B-|CTD-f

【解析】選C.sin50°=sin(90°-40°)=cos40°;

cos110°=cos(1800-70°>-cos70°;

所以原式=$11170°sin40°+cos40°cos70°=cos(700-40°)=cos30°=當(dāng)

3.(教材改編,例3)已知a￡(0,7i),tana=-2，則cos(a-；)=.

[

【解析】由tana=-2得sinot=-2cos。，又sin2a+cos2ot=1cos2ot=-,

因?yàn)閍(0,7i),tana=-2,所以a￡(辛冗),所以cosa=--y,sin

因?yàn)閏os(a-：)=cosacos：+sinasin-,

匚匚I”/K\VsV22V5V2VTo

所以cos(a--)=-yxT+—xT=—.

軟安.yiu

口木?10

合作探究?形成關(guān)鍵能力懷山之水，必4其源

類(lèi)型一給角求值問(wèn)題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)

[例1](1)(2023濟(jì)南高一檢測(cè))cos導(dǎo)()

V6+V2「V6-V2

xTL.D.-----------

4_4

V6+V2nV6-V2

L).-

44_

【解析】選A.cos導(dǎo)cos聯(lián))=|x曰+爭(zhēng)經(jīng)等.

(2)化簡(jiǎn)下列各式：

①cos(6?+21°)cos(824°)+sin((9+21°)sin(19-24°);

②-sin1670-sin223°+sin2570-sin313°.

[解析】①原式=cos[(e+21°)-(0-24°)]=cos45°=y.

②原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)sin(360°-47°)=sin13°sin43°

+sin77°sin47°=sin13°sin43°+cos13°cos43°=cos(13°-43°)=cos(-30°)=苧.

【總結(jié)升華】

兩角和與差的余弦的一般思路及注意點(diǎn)

(1)一般思路：

①把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差,正用公式直接求值.

②在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角和或差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，然

后逆用公式求值.

⑵注意點(diǎn):在兩角和與差的余弦公式中,a/可以是單個(gè)角，也可以是兩個(gè)角的和或

差,在運(yùn)用公式時(shí)常將兩角的和或差視為一個(gè)整體.

【即學(xué)即練】

1.(2023?本溪高一檢測(cè))cos525。=()

AV6+V2DV6+V^

A.---------B?--------

44

C逐一-D顯-顯

44

【解析】選A.利用誘導(dǎo)公式得cos525°-cos(360°+165°)=cos165°-cos(180°-15°)

=-cos15°—cos(45°-30°)—(cos45°cos30°+sin45°sin30O)=-(YX~~+~X|)--^^^

2.sin40°sin500-cos40°cos50°等于()

A.-lB.l

C.OD.-cos10°

【解析】選C.由兩角和的余弦公式得:sin40°sin50°-cos40°cos50。=

-(cos40°cos500-sin40°sin50°)=-cos(40°+50°)=-cos9Q0-0.

類(lèi)型二給值求值問(wèn)題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)

[例2](教材提升.例3)(1)(2023?沈陽(yáng)高一檢測(cè))若cos(a+份=|屈此-6=2,。/￡(。三),

則cos(a+：)=()

.33-33

A.—B—

6565

C.-D.--

6565

【解析】選C.因?yàn)?a+￡)-(/?T)=a+T，

所以cos(a+^)=cos[(a+^)-(^-^)]=cos(a+^)-cos(^-^)+sin(a+^)-sin(^-^),

因?yàn)閍/￡(0,9,所以0<a+￡<7T,有所以sin(?+^)=|,cos(/?-^)=if,

L44454±D

匚匚[\]/TC、3124556

所以cos(a+-)=-x—+-x—.

451351365

⑵已知cos"],。￡(|TI,27I)則cos(a?)=.

【解析】因?yàn)閏osa=|,a￡(|TI,27I),

所以sina=-*

r-r*I\I/TUTC..TU31/4、y/33-4V^

所以cos(a--)X=cosacos-+sinasin-=-x-+(--)x—=.

父安.3-48

u木.10

【總結(jié)升華】

1.解決三角函數(shù)求值問(wèn)題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示

⑴當(dāng)'已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)'已知角”的和或差的形式;

(2)當(dāng)，已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后

應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.

2.常見(jiàn)的配角技巧

2a=(a+份+(af),a=(a+階四釁手-號(hào)。彗+號(hào)號(hào)=(a++0)等.

【即學(xué)即練】

1.(2023?濟(jì)寧高檢測(cè))已知cos(a+9=|,a￡(0,1則cos(a+])=

3-4V34

JLV.(B.-

105

c?噂D*

【解析】選c.因?yàn)閍￡(0,5所以a+醫(yī)G*與，又cos(a+J=|,

所以sin(a+^|)=Jl-cos2(a+

所以cos(a+^)=cos[(a+守+斗

/11、71?/11.113V24-\/2V2

=cos(a+—)cos-sin(ot+—x)sin-=-x——x—=—-.

'12，4x1274525210

2.設(shè)a,13都是銳角，且cosa=,,sin（a+夕）=|,求cos￡的值.

【解析】依題意得sina=Vl-cos2a=等,

cos（a+夕）=±Jl-sin2（a+6）=±±

又a/均為銳角，

所以0<a<a+4<7i,cosa>cos(a+,).

因?yàn)?所以cos(a+￡).

所以cosQ=cos[(a+夕)-a]=cos(a+夕)cosa+sin(a+份sina=--x—

555525

類(lèi)型三給值求角問(wèn)題(邏輯推理)

[例3]⑴(2023?沈陽(yáng)高一檢測(cè))若sin2a=^sin0-a)=*，且ET4卜，胃則

a+/3的值是()

A.—B,—

44

C號(hào)或rD.斗或廣

4444_

【解析】選B.因?yàn)椴灰?口|,所以2a目22。,又因?yàn)閟in2聽(tīng)唱所以2a￡

.4LNJ5Lz

￡(,外，所以cos2a=-7l-sin?2a=-等.

又贏何咤]，所以B-a:

所以cos3-a)=-Jl-sin2(/?-a)=-^|^

于是cos(a+夕)=cos[2a+(/?-?)]=cos2acos(^-a)-sin2asin(^-a)

二咨(-鬻)-3票當(dāng)易得"蚱仔詞，則a+B(.

⑵已知cosa=g,sin0-a)=-呼,a/均為銳角,求少.

【解析】因?yàn)閍/均為銳角，即a/G(04)，

所以6a

所以cos(j3-a)-y/l-sin2(/?-a)=^|^,JZ.sina=Vl-cos2a=^^,

所以cos^=cos[(^-a)+a]=cos(^-a)cosa-sin(^-a)sina=^^x立-(-^^)義^^=立，又眸

1051052

(0,2所以外也

Z41

【總結(jié)升華】

解決給值求角問(wèn)題的步驟

⑴求角的某一個(gè)三角函數(shù)值；

(2)確定角的范圍；

⑶根據(jù)角的范圍寫(xiě)出要求的角.

提醒:在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)，易忽視角的范圍而得到錯(cuò)誤的答案.

【即學(xué)即練】

1.