1第八章立體幾何初步（一）（知識(shí)歸納題型突破）

第八章立體幾何初步（一）（知識(shí)歸納+題型突破）1.通過(guò)對(duì)模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.2.經(jīng)歷從物體到幾何體的抽象過(guò)程，體驗(yàn)研究幾何體的方法，提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).3.了解簡(jiǎn)單組何體的概念及分類4.掌握?qǐng)A柱、圓臺(tái)、球的概念5.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)6.了解“斜二測(cè)畫法”的概念并掌握斜二測(cè)畫法的步驟．7.會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出一些簡(jiǎn)單平面圖形和立體圖形的直觀圖．8.通過(guò)對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的研究，掌握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積計(jì)算公式．9.能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題．10.通過(guò)對(duì)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的研究，掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積計(jì)算公式．11.能運(yùn)用圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)1：棱柱（1）棱柱的定義定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱底面(底)：兩個(gè)互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)（2）棱柱的圖形（3）棱柱的分類及表示①按棱柱底面邊數(shù)分類:②按棱柱側(cè)棱與底面位置關(guān)系分類:③直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱表示法：用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如圖棱柱知識(shí)點(diǎn)2：棱錐（1）棱錐的定義定義：有一面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐底面：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c(diǎn)的各三角形面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)（2）棱錐的圖形（3）棱錐的分類及表示按照棱錐的底面多邊形的邊數(shù)，棱錐可分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐……特別地，三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形，且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐表示法：棱錐也用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)字母表示，如圖棱錐知識(shí)點(diǎn)3：棱臺(tái)（1）棱臺(tái)的定義定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺(tái)上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫撼舷碌酌嬉酝獾拿鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)（2）棱臺(tái)的圖形（3）棱臺(tái)的分類及表示由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如棱臺(tái)知識(shí)點(diǎn)4：圓柱（1）圓柱的定義以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面圓柱側(cè)面的母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊（2）圓柱的圖形（3）圓柱的表示圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖，圓柱知識(shí)點(diǎn)5：圓錐（1）圓錐的定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫褐苯侨切蔚男边呅D(zhuǎn)而成的曲面母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體（2）圓錐的圖形（3）圓錐的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓錐知識(shí)點(diǎn)6：圓臺(tái)（1）圓臺(tái)的定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)軸：圓錐的軸底面：圓錐的底面和截面?zhèn)让妫簣A錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體（2）圓臺(tái)的圖形（3）圓臺(tái)的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓臺(tái)知識(shí)點(diǎn)7：空間幾何體的直觀圖（1）空間幾何體的直觀圖的概念直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體獲得的圖形.直觀圖是把空間圖形畫在平面內(nèi)，既富有立體感，又能表達(dá)出圖形各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形.（2）水平放置的平面圖形的直觀圖畫法（斜二測(cè)畫法）（1）畫軸：在平面圖形上取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn)，畫直觀圖時(shí)作出與之對(duì)應(yīng)的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn)，且使（或）（2）畫線：已知圖形中平行于或在軸，軸上的線段，在直觀圖中分別畫成平行或在軸，軸上的線段.（3）取長(zhǎng)度：已知圖形中在軸上或平行于軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度不變.在軸上或平行于軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)長(zhǎng)度的一半.（4）成圖：連接有關(guān)線段，擦去作圖過(guò)程中的輔助線，就得到了直觀圖.方法歸納：設(shè)一個(gè)平面多邊形的面積為，利用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖的面積為，則有.知識(shí)點(diǎn)8：空間幾何體的直觀圖的繪制方法（1）畫軸.在平面圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn),畫直觀圖時(shí)，把它們分別畫成對(duì)應(yīng)的軸與軸，兩軸交于點(diǎn),且使”(或）,它們確定的平面表示水平面；（2）畫底面.已知圖形中，平行于軸軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸、軸或軸的線段；（3）畫側(cè)棱.已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半；（4）成圖.連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.簡(jiǎn)記為：①畫軸；②畫底面；③畫側(cè)棱；④成圖.知識(shí)點(diǎn)9：斜二測(cè)畫法保留了原圖形中的三個(gè)性質(zhì)①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點(diǎn)性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；③平行于x，z軸的長(zhǎng)度不變．知識(shí)點(diǎn)10：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積（1）正方體、長(zhǎng)方體的表面積正方體、長(zhǎng)方體的表面積就是各個(gè)面的面積的和長(zhǎng)、寬、高分別為的長(zhǎng)方體的表面積：棱長(zhǎng)為的正方體的表面積：.（2）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面展開圖棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形，一邊為棱柱的側(cè)棱，另一邊等于棱柱的底面周長(zhǎng).如圖:棱錐的側(cè)面展開圖由若干個(gè)三角形拼成如圖棱臺(tái)的側(cè)面展開圖由若干個(gè)梯形拼成如圖（3）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積棱柱的表面積：棱錐的表面積：棱臺(tái)的表面積：知識(shí)點(diǎn)11：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（1）棱柱的體積①棱柱的高：柱體的兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點(diǎn)向另一底面作垂線，這點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離，即垂線段的長(zhǎng).②棱柱的體積：柱體的體積等于它的底面積和高的乘積，即.（2）棱錐的體積①棱錐的高：錐體的頂點(diǎn)到底面之間的距離，即從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離，即垂線段的長(zhǎng).②棱錐的體積：錐體的體積等于它的底面積和高的乘積的,即理解.（3）棱臺(tái)的體積①棱臺(tái)的高：臺(tái)體的兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線，此點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離，即垂線段的長(zhǎng)②棱臺(tái)的體積：(,分別為上下底面面積，為臺(tái)體的高)知識(shí)點(diǎn)12：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積（1）圓柱的表面積①圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形.圓柱的底面半徑為,母線長(zhǎng)為,那么這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)為圓柱的底面周長(zhǎng)，另一邊長(zhǎng)為圓柱的母線長(zhǎng)，故圓柱的側(cè)面積為.②圓柱的表面積：.（2）圓錐的表面積①圓錐的側(cè)面積：圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形.圓錐的底面半徑為,母線長(zhǎng)為,那么這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為圓錐的底面周長(zhǎng)，半徑為圓錐的母線長(zhǎng)，故圓錐的側(cè)面積為②圓錐的表面積：（3）圓臺(tái)的表面積①圓臺(tái)的側(cè)面積：圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán).圓臺(tái)的上底面半徑為,下底面半徑為,母線長(zhǎng)為,故圓臺(tái)的側(cè)面積為②圓臺(tái)的表面積：知識(shí)點(diǎn)13：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積（1）圓柱的體積：（2）圓錐的體積：（3）圓臺(tái)的體積：知識(shí)點(diǎn)14：球的表面積和體積（1）球的表面積：（2）球的體積:題型一：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征例題1．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）下列關(guān)于空間幾何體的敘述，正確的是（

）A．圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體B．有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C．一個(gè)棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)【答案】B【詳解】對(duì)于A，以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱，而以矩形的一條對(duì)角線為軸，旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體不是圓柱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若棱柱有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形，則側(cè)棱與底面兩條相交的邊垂直，則側(cè)棱與底面垂直，此時(shí)棱柱一定是直棱柱，故B正確；對(duì)于C，如圖所示，若，，滿足側(cè)面均為全等的等腰三角形，但此時(shí)底面不是正三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái).若截面與底面不平行，則不是梭臺(tái)，故D錯(cuò)誤.故選：B.例題2．（2023下·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期末）下列關(guān)于幾何體特征的判斷正確的是（

）A．一個(gè)斜棱柱的側(cè)面不可能是矩形B．底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐C．有一個(gè)面是邊形的棱錐一定是棱錐D．平行六面體的三組對(duì)面中，必有一組是全等的矩形【答案】C【詳解】對(duì)于A中，斜棱柱的側(cè)面中，可以有的側(cè)面是矩形，所以A不正確；對(duì)于B中，根據(jù)正棱錐的定義，底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影為底面多邊形的中心的棱錐是正棱錐，所以B不正確；對(duì)于C中，根據(jù)棱錐的分類，可得有一個(gè)面是邊形的棱錐一定是棱錐，所以C正確；對(duì)于D中，平行六面體的三組對(duì)面中，必有一組是全等的平行四邊形，所以D錯(cuò)誤.故選：C.例題3．（2023上·四川成都·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體B．有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)C．多面體至少有5個(gè)面D．六棱柱有6條側(cè)棱，6個(gè)側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形【答案】D【詳解】A選項(xiàng)：各側(cè)面都是正方形的四棱柱，可以是底面為菱形的直棱柱，不一定是正方體，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)：有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形，但若是各側(cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，則該幾何體不是棱臺(tái)，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)：多面體是指四個(gè)或四個(gè)以上多邊形所圍成的立體，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：根據(jù)棱柱的定義可知六棱柱有6條側(cè)棱，6個(gè)側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形，故D正確.故選：D.例題4．（多選）（2023上·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的有（

）A．正四面體是正三棱錐. B．棱錐的側(cè)面是全等的三角形.C．正三棱錐是正四面體. D．延長(zhǎng)棱臺(tái)所有側(cè)棱，它們會(huì)交于一點(diǎn).【答案】AD【詳解】A選項(xiàng)，正四面體的四個(gè)面都是等邊三角形，是正三棱錐，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，棱錐的側(cè)面是三角形，不一定全等，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和底面棱長(zhǎng)不一定相等，所以正三棱錐不一定是正四面體，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，根據(jù)棱臺(tái)的定義可知，延長(zhǎng)棱臺(tái)所有側(cè)棱，它們會(huì)交于一點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：AD鞏固訓(xùn)練1．（2022上·陜西榆林·高一陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．側(cè)棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱B．棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面C．底面是正方形的棱柱一定是正四棱柱D．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形【答案】A【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)直棱柱定義可知，側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，棱柱中兩個(gè)互相平行的平面不一定是棱柱的底面，例如正六棱柱的兩個(gè)相對(duì)的側(cè)面都互相平行，但不是底面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，底面是正方形，且側(cè)棱與底面垂直的棱柱是正四棱柱，因此底面是正方形的棱柱不一定是正四棱柱，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，棱柱的側(cè)面是平行四邊形，它的底面可以是任意多邊形，可以是三角形，也可以是平行四邊形，即D錯(cuò)誤.故選：A2．（2023下·安徽合肥·高一合肥市第七中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中成立的是（

）A．有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱B．各個(gè)面都是三角形的多面體一定是棱錐C．一個(gè)棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐D．各個(gè)側(cè)面都是矩形的棱柱是長(zhǎng)方體【答案】A【詳解】對(duì)A，以三棱柱為例，如圖，若側(cè)面和側(cè)面為矩形，則.又平面ABC，所以面，又棱柱側(cè)棱互相平行，故其他側(cè)棱也與底面垂直.所以此三棱柱為直三棱柱，故A正確；對(duì)B，如圖所示的八面體滿足每個(gè)面都是三角形，但它不是棱錐，故B不正確；對(duì)C，如圖所示的三棱錐中有，滿足側(cè)面是全等的等腰三角形，但它不是正三棱錐，故C不正確；對(duì)D，各個(gè)側(cè)面都是矩形且上下底面也是矩形的棱柱才是長(zhǎng)方體，故D不正確.故選：A3．（2023上·黑龍江大慶·高二大慶市東風(fēng)中學(xué)校考開學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的是（

）A．棱柱的兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面B．有兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為六棱錐D．如果一個(gè)棱柱的所有面都是長(zhǎng)方形，那么這個(gè)棱柱是長(zhǎng)方體【答案】D【詳解】選項(xiàng)A，例如六棱柱的相對(duì)側(cè)面也互相平行，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，其余各面的邊延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，當(dāng)棱錐的各個(gè)側(cè)面共頂點(diǎn)的角的角度之和是時(shí)，各側(cè)面構(gòu)成平面圖形，故這個(gè)棱錐不可能為六棱錐，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若每個(gè)側(cè)面都是長(zhǎng)方形，則說(shuō)明側(cè)棱與底面垂直，又底面也是長(zhǎng)方形，符合長(zhǎng)方體的定義，故D正確．故選：D4．（2023下·上海楊浦·高二統(tǒng)考期末）下列命題：①底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；②各側(cè)棱的長(zhǎng)都相等的棱錐是正棱錐；③各側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐.其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】是正棱錐必須滿足兩個(gè)條件：（1）底面是正多邊形（2）過(guò)頂點(diǎn)作底面垂線，垂足為底面正多邊形中心，即側(cè)面是全等的等腰三角形.對(duì)于①，底面是正多邊形的棱錐，但側(cè)面不是全等的等腰三角形時(shí)不滿足條件（2），故錯(cuò)誤；對(duì)于②，比如一個(gè)四棱錐滿足各側(cè)棱的長(zhǎng)都相等，但其底面可以為矩形，此時(shí)不滿足條件（1），故錯(cuò)誤；對(duì)于③，比如一個(gè)四棱錐滿足各側(cè)面是全等的等腰三角形，但其底面可以為菱形，此時(shí)不滿足條件（1），故錯(cuò)誤.故選：A題型二：旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征例題1．（2023下·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列命題正確的是（）A．用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形C．圓錐的頂點(diǎn)、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)這三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直角三角形D．一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺(tái)【答案】C【詳解】只有在平面平行于圓錐底面時(shí)，才能將圓錐截為一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，當(dāng)平面不平行于圓錐底面時(shí)，得到的幾何體并非圓錐和圓臺(tái)，所以A錯(cuò)；棱柱的側(cè)棱都相等且平行，且側(cè)面是平行四邊形，但其底面多邊形各邊不一定相等，則側(cè)面并不一定全等，所以B錯(cuò)；圓錐的頂點(diǎn)、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)這三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直角三角形，所以C對(duì)；直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐組成的簡(jiǎn)單組合體，如圖所示，所以D錯(cuò).故選：C.例題2．（多選）（2022下·廣東佛山·高一校考階段練習(xí)）下列關(guān)于圓柱的說(shuō)法中正確的是（

）A．圓柱的所有母線長(zhǎng)都相等B．用平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是與底面全等的圓面C．用一個(gè)不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個(gè)圓面D．一個(gè)矩形以其對(duì)邊中點(diǎn)的連線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體是圓柱【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，圓柱的所有母線長(zhǎng)都等于圓柱的高，且都相等，所以A正確，對(duì)于B，用平行于圓柱底面的平面截圓柱，由圓柱的性質(zhì)可知截面是與底面全等的圓面，所以B正確，對(duì)于C，用一個(gè)不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是橢圓面或橢圓面的一部分，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，一個(gè)矩形以其對(duì)邊中點(diǎn)的連線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體是圓柱，所以D正確，故選：ABD例題3．（多選）（2022下·廣東揭陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)B．以等腰三角形底邊上的高所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐C．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面D．用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，以直角梯形中垂直于底的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺(tái)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐，B對(duì)；對(duì)于C，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面，C對(duì)；對(duì)于D，用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面，D對(duì).故選:BCD.例題4．（2023上·上海虹口·高二校考期中）下列命題中錯(cuò)誤的是．①過(guò)圓柱的旋轉(zhuǎn)軸的截面是矩形；②母線長(zhǎng)相等的不同圓錐的軸截面的面積相等；③圓臺(tái)所有平行于底面的截面都是圓面；④圓錐所有的軸截面都是全等的等腰三角形．【答案】②【詳解】對(duì)于①，根據(jù)圓柱的特征，可知①正確；對(duì)于②，圓錐的軸截面為等腰三角形，該三角形頂角的取值范圍為，顯然面積不相等，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，根據(jù)圓臺(tái)的特征，可知③正確；對(duì)于④，圓錐所有的軸截面都是等腰三角形，且腰長(zhǎng)等于母線長(zhǎng)，底長(zhǎng)等于圓錐底面圓直徑，故④正確.故答案為：②.鞏固訓(xùn)練1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列敘述中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓臺(tái)；③用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)；④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是球．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】①應(yīng)以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)才可得到圓錐，故①錯(cuò)；②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)可得到圓臺(tái)，故②錯(cuò)；③用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，可得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，用不平行于圓錐底面的平面不能得到，故③錯(cuò)；④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是球，故④正確．故選：B.2．（多選）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）A．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體B．圓錐用平行于底面的平面截去一個(gè)小圓錐后剩余的部分是圓臺(tái)C．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線D．過(guò)球面上任意兩不同點(diǎn)的大圓有且只有一個(gè)【答案】BC【詳解】對(duì)于A，當(dāng)兩個(gè)平行平面與圓柱底面平行時(shí)，夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體是旋轉(zhuǎn)體，當(dāng)兩個(gè)平行平面與圓柱底面不平行時(shí)，夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)圓臺(tái)的定義，圓錐用平行于底面的平面截去一個(gè)小圓錐后剩余的部分是圓臺(tái)，故B正確；對(duì)于C，由圓錐的性質(zhì)得圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線，故C正確；對(duì)于D，過(guò)球面上球的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的大圓有無(wú)數(shù)個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選：BC3．（2023上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）給出以下四個(gè)命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②圓錐頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；③在圓臺(tái)上、下底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的．其中正確的是．【答案】②④【詳解】①不正確，因?yàn)檫@兩點(diǎn)的連線不一定與圓柱的旋轉(zhuǎn)軸平行；②正確，符合圓錐母線的定義；③不正確，結(jié)合圓臺(tái)母線的定義可知，母線與旋轉(zhuǎn)軸的延長(zhǎng)線應(yīng)交于一點(diǎn)，而從圓臺(tái)上、下底面圓周上各取一點(diǎn)，其連線未必滿足這一條；④正確，符合圓柱母線的性質(zhì).故答案為：②④.4．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列說(shuō)法：（1）圓柱的底面是圓面；（2）經(jīng)過(guò)圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面；（3）圓臺(tái)的任意兩條母線所在的直線可能相交，也可能不相交；（4）夾在圓柱的兩個(gè)截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體．其中說(shuō)法正確的是．【答案】（1）（2）【詳解】解：圓柱的底面是圓面，故（1）正確；圓柱的母線都平行且相等，且都垂直于底面，則經(jīng)過(guò)圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面，故（2）正確；圓臺(tái)是由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到的，則圓臺(tái)的任意兩條母線所在的直線相交，故（3）錯(cuò)誤；當(dāng)兩個(gè)截面不平行或截面平行但不與底面平行時(shí)，兩個(gè)截面間的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，故（4）錯(cuò)誤．故答案為：（1）（2）．題型三：空間幾何體的展開圖及應(yīng)用例題1．（2023下·遼寧錦州·高一渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某同學(xué)為表達(dá)對(duì)“新冠疫情”抗疫一線醫(yī)護(hù)人員的感激之情，親手為他們制作了一份禮物，用正方體紙盒包裝，并在正方體六個(gè)面上分別寫了“致敬最美逆行”六個(gè)字，該正方體紙盒水平放置的六個(gè)面分別用“前面?后面?上面?下面?左面?右面”表示.如圖是該正方體的展開圖.若圖中“行”在正方體的左面，那么在正方體右面的字是（

）A．最 B．美 C．逆 D．敬【答案】A【詳解】把正方體的表面展開圖再折成正方體，如圖，“行”在正方體的左面，那么在正方體右面的字是“最”．故選：A．例題3．（2022·高一單元測(cè)試）某人用如圖所示的紙片，沿折痕折后粘成一個(gè)四棱錐形的“走馬燈”，正方形做燈底，且有一個(gè)三角形面上寫上了“年”字，當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)時(shí)，正好看到“新年快樂(lè)”的字樣，則在①、②、③處應(yīng)依次寫上A．快、新、樂(lè) B．樂(lè)、新、快C．新、樂(lè)、快 D．樂(lè)、快、新【答案】A【詳解】根據(jù)四棱錐圖形，正好看到“新年快樂(lè)”的字樣，可知順序?yàn)棰谀辎佗?，故選A．例題3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）根據(jù)如圖所示的幾何體的表面展開圖，畫出立體圖形.【答案】答案見(jiàn)解析形，故應(yīng)是四棱錐；圖2有6個(gè)四邊形是四棱柱.【詳解】圖1是以ABCD為底面，P為頂點(diǎn)的四棱錐．圖2是以ABCD和A1B1C1D1為底面的棱柱．其圖形如圖所示．

圖1圖2鞏固訓(xùn)練1．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）下列圖形經(jīng)過(guò)折疊不能圍成一個(gè)棱柱的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【詳解】選項(xiàng)AD經(jīng)過(guò)折疊可以圍成四棱柱，選項(xiàng)C經(jīng)過(guò)折疊可以圍成三棱柱，選項(xiàng)B經(jīng)過(guò)折疊后有四個(gè)側(cè)面，而上下底面為五邊形，故不能圍成棱柱.故選：B2．（2022上·江西撫州·高一南城縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖①是一個(gè)小正方體的側(cè)面展開圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，這時(shí)小正方體朝上面的字是．【答案】路【詳解】由圖①可知，“國(guó)”和“興”相對(duì)，“夢(mèng)”和“中”相對(duì)，“復(fù)”和“路”相對(duì)；由圖②可得，第1、2、3、4、5格對(duì)應(yīng)面的字分別是“興”、“夢(mèng)”、“路”、“國(guó)”、“復(fù)”，所以到第5格時(shí)，小正方體朝上面的字是“路”.故答案為：路.3．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示的平面圖形沿虛線折疊，能折疊成什么樣的立體圖形？【答案】正五棱錐；三棱臺(tái)【詳解】（1）中一個(gè)面是正五邊形，其余各面都是等腰三角形，故（1）能折成正五棱錐.（2）中有三個(gè)面是梯形，有兩個(gè)面是相似的三角形，故（2）能折成三棱臺(tái).題型四：表面路徑最短問(wèn)題例題1．（2023上·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【詳解】將繞翻折到與共面，平面圖形如下所示：連接，則的長(zhǎng)度即為的最小值，因?yàn)?，所以，所以，所以，即的最小值?故選：D例題2．（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC＝2，，A為銳角，側(cè)棱PA＝PB＝PC＝2，一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，沿側(cè)面繞棱錐爬行一周后回到A點(diǎn)，則小蟲爬行的最短距離為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，在三棱錐中，，則有，可得，又，則，而，則，又△PAB，△PAC為正三角形，將三棱錐沿側(cè)棱展開，得到如圖所示的多邊形，其中，根據(jù)余弦定理，最短距離故選：D．例題3．（2023上·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市八中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是一坐山峰的示意圖，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為，峰底A到峰頂?shù)木嚯x為，B是山坡的中點(diǎn).為了發(fā)展當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)，現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，公路距山頂?shù)淖罱嚯x為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】以為分界線，將圓錐的側(cè)面展開，可得其展開圖如圖.則從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路徑為線段，，所以.過(guò)S作，則公路距山頂?shù)淖罱嚯x為，因?yàn)?，所以，故選:D.例題4．（2023上·上?！じ叨？茧A段練習(xí)）如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為，高為，是上底面的直徑.一只昆蟲從點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)，昆蟲爬行的最短路程是.【答案】【詳解】作出圓柱的側(cè)面展開圖如下圖所示，則當(dāng)昆蟲的爬行路線為線段時(shí)，爬行的路程最短，圓柱體的底面周長(zhǎng)為，；最短路程為：.故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（2023下·河南鄭州·高一校聯(lián)考期中）如圖，正三棱錐中，，側(cè)棱長(zhǎng)為，一只蟲子從A點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐的三個(gè)側(cè)面爬行一周后，又回到A點(diǎn)，則蟲子爬行的最短距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】將正三棱錐沿剪開，得到側(cè)面展開圖，如圖所示，因?yàn)椋?，由的周長(zhǎng)為，要使的周長(zhǎng)的最小，則共線，即，又由正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為，是等邊三角形，所以，即蟲子爬行的最短距離是.故選：B.2．（2022上·四川內(nèi)江·高二四川省資中縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為，、分別是兩底面的直徑，、是母線.若一只小蟲從點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到點(diǎn)，求小蟲爬行的最短路徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】展開圓柱的側(cè)面如圖所示，展開后，在矩形中，，，由圖可知小蟲爬行路線的最短長(zhǎng)度是.故選：B.3．（2022下·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）在已知長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)且，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【詳解】如圖，將矩形和三角形沿翻折成平面圖形，連接交于點(diǎn)，可知最短，，，，，．故答案為：4．（2022下·河北邯鄲·高一?？计谥校┤鐖D，在正四棱錐中，側(cè)棱長(zhǎng)均為4，且相鄰兩條側(cè)棱的夾角為分別是線段上的一點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【詳解】如圖，將正四棱錐的側(cè)面展開，則的最小值為；在中，，則．所以的最小值為.故答案為：.5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，圓臺(tái)的上底面半徑為2，下底面半徑為4，母線長(zhǎng)為6.求軸截面相對(duì)頂點(diǎn)A、C在圓臺(tái)側(cè)面上的最短距離.【答案】.【詳解】如圖所示：沿母線剪開將圓臺(tái)側(cè)面展開，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求展開圖中線段的長(zhǎng).設(shè)圓臺(tái)的上底面、下底面半徑分別為、，因?yàn)閭?cè)面展開圖圓心角，，且B、C分別為所在弧的中點(diǎn)，所以在等腰三角形中，，則是等邊三角形，因?yàn)?，所以，而，C為的中點(diǎn)，所以，即A、C兩點(diǎn)在圓臺(tái)側(cè)面上的最短距離為.題型五：空間幾何體的截面圖及應(yīng)用例題1．（2024上·福建泉州·高三統(tǒng)考期末）已知圓柱母線長(zhǎng)等于2，過(guò)母線作截面，截面的最大周長(zhǎng)等于8，則該圓柱的體積等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)過(guò)母線作截面，截面的周長(zhǎng)最大時(shí)，此時(shí)截面為軸截面.設(shè)圓柱的底面半徑為，則因?yàn)檫^(guò)母線作截面，截面的最大周長(zhǎng)等于8，所以，解得.所以該圓柱的體積為.故選：B.例題2．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）一個(gè)正棱錐被平行于底面的平面所截，若截得的截面面積與底面面積的比為1∶2，則此正棱錐的高被分成的兩段之比為（）A．1∶ B．1∶4 C．1∶（+1） D．1∶（﹣1）【答案】D【詳解】設(shè)截后棱錐的高為h，原棱錐的高為H，由于截面與底面相似，一個(gè)正棱錐被平行于底面的平面所截，若截得的截面面積與底面面積的比為1∶2，，則此正棱錐的高被分成的兩段之比：.故選：D例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，是正方體的棱，，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【詳解】如圖所示，分別取，，的中點(diǎn)，，，連接，，，，，，則，.，.同理可得，.由基本事實(shí)及其三個(gè)推論得，，，，，六點(diǎn)共面，所以平面截正方體所得的截面是六邊形.故選：D.例題4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，若E為棱的中點(diǎn)，則平面截正方體的截面面積為．【答案】【詳解】如圖，在正方體中，平面平面，平面與平面的交線必過(guò)且平行于，故平面經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，連接，得截面，易知截面是邊長(zhǎng)為的菱形，其對(duì)角線，，截面面積．故答案為：．鞏固訓(xùn)練1．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用與球心O距離為2的平面截球，所得截面與球心O構(gòu)成的圓錐的體積為6π，則球的表面積為（

）A．13π B．52πC．20π D．36π【答案】B【詳解】設(shè)平面截得截面圓的半徑為，球半徑為,所以，所以外接球的表面積為，故選：B2．（2024上·上海長(zhǎng)寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)?？计谀┮阎獔A錐的底面直徑為8，母線長(zhǎng)為5，過(guò)圓錐的任意兩條母線作一個(gè)平面與圓錐相截，則截面面積的最大值是．【答案】/【詳解】圓錐的高為，因?yàn)椋覟殇J角，所以，所以，不妨設(shè)任意兩條母線的夾角為，則截面面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)兩條母線的夾角為，所以，故答案為：.3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為a的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱BC，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)作一個(gè)截面，該截面將正方體分成兩個(gè)多面體，則體積較小的多面體的體積為.【答案】【詳解】如圖，依次連接，四邊形即為所求截面，因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為棱、的中點(diǎn)，所以∥，可知為三棱臺(tái)，所以，其體積，且正方體的體積為，則另一部分的體積為，因?yàn)椋泽w積較小的多面體的體積為.故答案為：.4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為6，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.作出過(guò)點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面，寫出作法；【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】如圖所示，五邊形即為所求截面.作法如下：連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，所以五邊形即為所求截面.題型六：立體圖形的直觀圖例題1．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）水平放置的的直觀圖如圖所示，是中邊的中點(diǎn)，且平行于軸，則，，對(duì)應(yīng)于原中的線段AB，AD，AC，對(duì)于這三條線段，正確的判斷是（

）A．最短的是AD B．最短的是AC C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)槠叫杏谳S，所以在中，，又因?yàn)槭侵羞叺闹悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，所以.故選：A例題2．（多選）（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，為水平放置的的直觀圖，其中，則在原平面圖形中有（）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】在直觀圖中，，取中點(diǎn)，連接，則，而，于是，，由斜二測(cè)畫法規(guī)則作出，如圖，則，，，，顯然，AD正確，BC錯(cuò)誤.故選：AD例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖所示）.，則這塊菜地的面積為【答案】【詳解】過(guò)作于，在直觀圖中，，，，所以，，故原平面圖形的上底為，下底，高為，所以這塊菜地的面積為，故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（多選）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，一個(gè)平面圖形的直觀圖為，其中，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．該平面圖形是一個(gè)平行四邊形但不是正方形B．該平面圖形的面積是8C．該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周形成的幾何體的體積是D．以該平面圖形為底，高為3的直棱柱的外接球直徑為【答案】BC【詳解】如圖所示:將直觀圖還原為平面圖形，由題意可得，，故該平面圖形為正方形，即A錯(cuò)誤；面積，即B正確；將平面圖形繞直線AC旋轉(zhuǎn)半周得幾何體為兩個(gè)圓錐，底面半徑和高均為2，故體積，即C正確；以該平面圖形為底，高為3的直棱柱其實(shí)為長(zhǎng)方體，且長(zhǎng)寬高分別為，所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，即D錯(cuò)誤.故選：BC2．（2024上·上?！じ叨？计谀┤鐖D，是的斜二測(cè)直觀圖，其中，斜邊，則的面積是.【答案】【詳解】由斜二測(cè)畫法原理可知：，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，又，，，.故答案為：.3．（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形OABC的面積為．【答案】24【詳解】因?yàn)榫匦问撬椒胖玫囊粋€(gè)平面圖形的直觀圖，所以根據(jù)畫直觀圖的基本原理知原圖形是底邊長(zhǎng)為6的平行四邊形，其高是，因此面積是，故答案為.題型七：簡(jiǎn)單組合體的表面積與體積例題1．（2024上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期末）已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為的半圓，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為的半圓，可得圓錐的母線長(zhǎng)，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則，解之得，則圓錐的高則該圓錐的體積為故選：C例題2．（2024·天津·?？寄M預(yù)測(cè)）中國(guó)國(guó)家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉(cāng)，富庶百姓”的中國(guó)文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個(gè)與中國(guó)國(guó)家館結(jié)構(gòu)類似的正四棱臺(tái)，上下底面的中心分別為和，若，，則正四棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)槭钦睦馀_(tái)，，，側(cè)面以及對(duì)角面為等腰梯形，故，，，所以，所以該四棱臺(tái)的體積為，故選：B.例題3．（2024上·天津河北·高三統(tǒng)考期末）底面邊長(zhǎng)為，且側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的體積和側(cè)面積分別為（

）A． B． C．32，24 D．32，6【答案】A【詳解】由正四棱錐底面為正方形，且底面中心為頂點(diǎn)在底面上射影，結(jié)合題設(shè)，底面對(duì)角線長(zhǎng)為，則棱錐的高，斜高為，所以正四棱錐的體積為，側(cè)面積為.故選：A.例題4．（2024上·上海長(zhǎng)寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)?？计谀┤粽睦忮F的底面邊長(zhǎng)是2，高為，棱錐被平行于底面的平面所截，已知所截得的棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)之比為，則該棱臺(tái)的體積是．【答案】/【詳解】如圖，因?yàn)槔馀_(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)之比為，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是，高為，所以正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，所以該棱臺(tái)的體積為.故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（2024上·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線與下底面所成的角為，則該圓臺(tái)的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，得上底面面積為，下底面面積為，由圖形可得，，母線與下底面所成的角為，故，故圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為2，所以側(cè)面積為，所以該圓臺(tái)的表面積為．故選：C．2．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，兩個(gè)相同的正四棱臺(tái)密閉容器內(nèi)裝有某種溶液，，圖1中液面高度恰好為棱臺(tái)高度的一半，圖2中液面高度為棱臺(tái)高度的，若圖1和圖2中溶液體積分別為，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【詳解】設(shè)四棱臺(tái)的高度為，在圖1中，中間液面四邊形的邊長(zhǎng)為4，在圖2中，中間液面四邊形的邊長(zhǎng)為5，則，所以.故選：D.3．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）若正四棱柱與以正方形的外接圓為底面的圓柱的體積相同，則正四棱柱與該圓柱的側(cè)面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，圓柱的高為，則圓柱的底面半徑為，則有，整理得，正四棱柱與圓柱的側(cè)面積之比.故選：B．4．（2024上·上海·高二?？计谀﹫D1中的機(jī)械設(shè)備叫做“轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)”，其核心零部件之一的轉(zhuǎn)子形狀是“曲側(cè)面三棱柱”，圖2是一個(gè)曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”，萊洛三角形是以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長(zhǎng)為半徑畫圓弧得到的，如圖3.若曲側(cè)面三棱柱的高為10，底面任意兩頂點(diǎn)之間的距離為40，則其側(cè)面積為.【答案】【詳解】由題意得為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為40，如圖所示，所以弧的長(zhǎng)度為，曲側(cè)面三棱柱的三個(gè)側(cè)面展開后，均是長(zhǎng)為，寬為10的矩形，所以曲側(cè)面三棱柱的側(cè)面積為.故答案為：5．（2024上·上海長(zhǎng)寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)?？计谀┮阎?，，將繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的表面積是．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所以旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為，高為，母線長(zhǎng)為的圓錐，所以表面積為，故答案為：.題型八：內(nèi)切球問(wèn)題之獨(dú)立截面法例題1．（2024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）以半徑為的球?yàn)閮?nèi)切球的圓錐中，體積最小值時(shí)，圓錐底面半徑滿足（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)圓錐的高為，如圖，為圓錐的軸截面，則，解得，故圓錐的體積，當(dāng)，即時(shí)，，所以圓錐體積最小值時(shí)，圓錐底面半徑滿足.故選：D.例題2．（2024·四川遂寧·統(tǒng)考一模）在正四棱臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球與該四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切（稱為該四棱臺(tái)的內(nèi)切球），若，則該四棱臺(tái)的外接球（四棱臺(tái)的頂點(diǎn)都在球面上）與內(nèi)切球的半徑之比為．【答案】【詳解】根據(jù)題意，該正棱臺(tái)的軸截面，如圖：由題意，由知，由圓的切線長(zhǎng)性質(zhì)可知，所以，所以，所以該四棱臺(tái)的內(nèi)切球的半徑為，下面畫出正四棱臺(tái)，連接,，交于點(diǎn),連接,，交于點(diǎn)，如圖，由可得,，，設(shè)外接球的半徑為，，則，由得，解得，于是，則.所以.故答案為：.例題3．（2023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，若圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為且，則此圓臺(tái)的內(nèi)切球(與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球叫圓臺(tái)的內(nèi)切球)的表面積為.【答案】【詳解】設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓心分別為，則圓臺(tái)內(nèi)切球的球心O一定在的中點(diǎn)處,設(shè)球O與母線切于M點(diǎn),所以,所以(R為球O的半徑),所以與全等,所以,同理，所以，，所以，所以圓臺(tái)的內(nèi)切球半徑，內(nèi)切球的表面積為.故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知球是底面半徑為4、高為的圓錐的內(nèi)切球，若球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三棱柱，則當(dāng)該正三棱柱的側(cè)面積最大時(shí)，正三棱柱的體積為．【答案】【詳解】圓錐與球的軸截面如圖所示，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐的底面直徑，D，E為切點(diǎn)，連接，，則，，且過(guò)點(diǎn)，設(shè)球的半徑為，由題意可得，故，即，整理得，得．設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，正三棱柱的高為，則，即，正三棱柱的側(cè)面積，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)該正三棱柱的側(cè)面積最大，故此時(shí)正三棱柱的體積．故答案為：2．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的表面積為.【答案】【詳解】有題意可知，，所以所以，圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為的正三角形，圓錐的內(nèi)切球的半徑等于該正三角形的內(nèi)切圓的半徑，所以，所以該圓錐的內(nèi)切球的表面積為.故答案為：3．（2023上·江蘇·高三期末）與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺(tái)的內(nèi)切球.若圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，且，則它的內(nèi)切球的體積的最大值為.【答案】【詳解】如圖，畫出截面圖，可得，則，記內(nèi)切球的半徑為R，可知，過(guò)B作，垂足為G，則，，所以，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以它的內(nèi)切球的體積的最大值為.故答案為：.題型九：內(nèi)切球問(wèn)題之等體積法例題1．（2024上·河南信陽(yáng)·高三信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)為正四面體的內(nèi)切球球面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為棱上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)取最大值時(shí)，（

）A． B．1 C． D．【答案】D【詳解】設(shè)該正四面體的棱長(zhǎng)為，設(shè)該正四面體的內(nèi)切球的球心為，頂點(diǎn)在底面的射影為，顯然在線段上，顯然該正四面體內(nèi)切球的半徑為，如圖所示：由正弦定理可知：，由勾股定理可知：，由三棱錐體積的等積性可得：，，由球的性質(zhì)可知：當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，如圖所示：，由圓的切線長(zhǎng)定理可知：，在直角三角形中，，最大時(shí)，最小，因?yàn)?，所以此時(shí)為的中點(diǎn)，即有，正四面體的內(nèi)切球的球心為，顯然也是該正四面體的外接球的球心，所以，因此，，于是有，故選：D例題2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】

因?yàn)樗拿骟w四個(gè)面都為直角三角形，平面，所以，，設(shè)四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，則所以，因?yàn)樗拿骟w的表面積為，又因?yàn)樗拿骟w的體積，所以，所以內(nèi)切球表面積.故選：C.例題3．（2024上·湖南永州·高三永州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四邊形ABCD為平行四邊形，，，，現(xiàn)將沿直線BD翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為.【答案】【詳解】在中，，故，即，則折成的三棱錐中，，，，即此三棱錐的對(duì)棱相等，故此三棱錐的三組對(duì)棱是一個(gè)長(zhǎng)方體的六個(gè)面的對(duì)角線，設(shè)長(zhǎng)方體從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c則，解得，此長(zhǎng)方體的外接球是三棱錐的外接球，設(shè)外接球的直徑，即，又因?yàn)槿忮F是長(zhǎng)方體切掉四個(gè)角，故三棱錐，三棱錐四個(gè)側(cè)面是全等的，，設(shè)內(nèi)切球半徑為，以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，把三棱錐分割為以球心為頂點(diǎn)，四個(gè)面為底面的的四個(gè)小三棱錐，四個(gè)小三棱錐體積等于大三棱錐的體積，故，則三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為.故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（2023上·山東濟(jì)南·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）棱長(zhǎng)為2的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這些小球的最大半徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題，當(dāng)球和正四面體的三個(gè)側(cè)面以及內(nèi)切球都相切時(shí)半徑最大，設(shè)內(nèi)切球的球心為，半徑為R，空隙處最大球的球心為，半徑為，為的中心，得平面，為中點(diǎn)，球和球分別和平面相切于，，在底面正三角形中，易求，，，又，由，即得，又，，，，又，可得即，即球的最大半徑為.故選：C.2．（2024上·江蘇無(wú)錫·高二江蘇省太湖高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）正四面體的棱長(zhǎng)為12，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到的距離為．【答案】【詳解】由正四面體的棱長(zhǎng)為12，則其高為，則其體積為，設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，則，解得，如圖，取的中點(diǎn)為，則，顯然，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，取得最小值，設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，可求得，則球心到點(diǎn)的距離，所以內(nèi)切球上的點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為，即當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到的距離為．故答案為：．3．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）一個(gè)正四面體表面積為，其內(nèi)切球表面積為S2.則=.【答案】【詳解】如圖所示：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，因?yàn)檎拿骟w表面積為，所以，正四面體的高為，設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為r，則正四面體的體積為，解得，所以，所以故答案為：題型十：外接球問(wèn)題之公式法例題1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知某正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由正六棱柱的性質(zhì)可得為其外接球的球心（如圖）,由于底面為正六邊形，所以為等邊三角形，故,所以,所以為外接球的半徑，故外接球表面積為，故選：D例題2．（2022下·陜西安康·高二統(tǒng)考期末）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為3，，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】球O的半徑為，∴體積．故選：A例題3．（2023上·貴州六盤水·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正方體的外接球的體積為，則該正方體的棱長(zhǎng)為．【答案】【詳解】設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為，則該正方體的外接球的半徑為.由，得,故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（2024上·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體八個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球上，則球的半徑為【答案】【詳解】正方體外接球的直徑等于體對(duì)角線長(zhǎng)，所以球的半徑為.故答案為：2．（2023下·福建寧德·高一統(tǒng)考期中）長(zhǎng)方體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，1，那么這個(gè)球的表面積是．【答案】【詳解】由題意，長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度即外接球的直徑，為，故這個(gè)球的表面積是.故答案為：3．（2021上·內(nèi)蒙古包頭·高三包頭市第四中學(xué)?？计谥校╅L(zhǎng)?寬?高分別為1，2，3的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為.【答案】【詳解】設(shè)球的半徑為，由于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為其外接球的直徑，則，故該球的表面積為.故答案為：.題型十一：外接球問(wèn)題之補(bǔ)形法（墻角形）例題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐中，，且PA，PB，PC兩兩垂直，點(diǎn)是三棱錐外接球的球面上一點(diǎn)，則三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題可得將三棱錐補(bǔ)形成正方體，可得三棱錐的外接球即正方體的外接球，且外接球半徑．設(shè)為外接球球心，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可知點(diǎn)到平面ABC的距離為，如下圖所示：又，故可得點(diǎn)到平面ABC的距離，則點(diǎn)到平面ABC的距離，故點(diǎn)到平面ABC的距離．易得是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，故三棱錐的體積，因此三棱錐體積的最大值為．故選：B．例題2．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，，，二面角的正切值是，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，所以是二面角的平面角，所以，由，得在中，，在中，，在中，由余弦定理得：，所以，由于，所以兩兩垂?由此將三棱錐補(bǔ)形成正方體如下圖所示，正方體的邊長(zhǎng)為，則體對(duì)角線長(zhǎng)為.設(shè)正方體外接球的半徑為，則，解得，所以外接球的表面積為.故選：B.例題3．（2023上·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，平面，且為等腰直角三角形，則該四棱錐的外接球的表面積為．【答案】【詳解】由題意得平面，為等腰直角三角形，則，可將四棱錐放到一個(gè)正方體內(nèi)，如圖所示：得此正方體的邊長(zhǎng)為，此正方體的外接球即是四棱錐的外接球，所以得外接球半徑，所以外接球的表面積.故答案為：.例題4．（2023上·四川達(dá)州·高二達(dá)州市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》是西漢張蒼等輯撰的一部數(shù)學(xué)巨著，被譽(yù)為人類數(shù)學(xué)史上的“算經(jīng)之首”.書中“商功”一節(jié)記錄了一種特殊的錐體，稱為鱉臑(biēnào).如圖所示，三棱錐中，平面，則該三棱錐即為鱉臑.若且三棱錐外接球的體積為，則三棱錐體積的最大值是【答案】【詳解】設(shè)三棱錐的外接球的半徑為,則其體積,解得,因?yàn)槠矫妫?構(gòu)造長(zhǎng)方體如下圖，由圖可知，，即，則三棱錐體積,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故三棱錐體積的最大值是故答案為：鞏固訓(xùn)練1．（2023上·天津·高三天津市咸水沽第一中學(xué)?？计谥校┕糯鷶?shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》中，將底面為矩形.且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.若四棱錐為陽(yáng)馬，平面，，，則此“陽(yáng)馬”外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由于平面，平面，所以，由于四邊形是矩形，所以，所以兩兩相互垂直，所以四棱錐可補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，且長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為，所以外接球的直徑，所以外接球的表面積為.故選：D2．（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）在四面體中，，，且滿足，，．若該三棱錐的體積為，則該錐體的外接球的體積為．【答案】【詳解】如圖，依題意將四面體放在長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)方體的高為.根據(jù)錐體的體積，解得，所以長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，和4，所以長(zhǎng)方體的外接球直徑即為對(duì)角線，解得.所以四面體外接球的體積為．故答案為：.3．（2022上·山西忻州·高三校考期末）在四面體ABCD中，，則四面體的外接球的體積為．【答案】/線長(zhǎng)度即可得到外接球半徑，代入球的體積積公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋杂晒垂啥ɡ砜芍?，，，，如圖，將四面體ABCD補(bǔ)全為長(zhǎng)、寬、高分別為、、的長(zhǎng)方體，則四面體外接球即為長(zhǎng)方體外接球，長(zhǎng)方體外接球直徑即為體對(duì)角線長(zhǎng)度，所以，即，所以該四面體外接球的體積為.故答案為：.題型十二：外接球問(wèn)題之補(bǔ)形法（對(duì)棱相等形）例題1．（2023上·陜西咸陽(yáng)·高三陜西咸陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正四面體的外接球的體積為，則該正四面體的棱長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)正四面體的外接球半徑為，則，解得，將正四面體放入正方體中，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，如下圖所示：則，所以，，故該正四面體的棱長(zhǎng)為.故選：C.例題2．（2023上·江西南昌·高三江西師大附中?？计谥校┮阎忮F的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且，，，則球的表面積是．【答案】【詳解】將三棱錐放入長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，如圖所示：則，則，因?yàn)榍虻闹睆郊礊殚L(zhǎng)方體的體對(duì)角線，則球的半徑為，所以球的表面積是.故答案為：.例題3．（2023下·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市翔宇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四面體中，，，則該四面體外接球的表面積為．【答案】【詳解】對(duì)于四面體中，因?yàn)?，，所以可以把四面體放入一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖：設(shè)從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條邊長(zhǎng)分別為、、，則有：，解得，點(diǎn)、、、均為長(zhǎng)、寬、高分別為，，的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，且四面體的外接球即為該長(zhǎng)方體的外接球，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，不妨設(shè)外接球的半徑為，∴，∴外接球的表面積為.故答案為：.例題4．（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，E，F(xiàn)，G分別為三邊，，的中點(diǎn)，將，，分別沿，，向上折起，使得A，B，C重合，記為，則三棱錐的外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，，由題設(shè).三棱錐中，，，，將放在棱長(zhǎng)為x，y，z的長(zhǎng)方體中，如圖，則有，三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，所以，由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以外接球表面積.故選：B.鞏固訓(xùn)練1．（2023上·四川成都·高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知四面體滿足，，，且該四面體的外接球的表面積是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】將四面體放入長(zhǎng)方體中，如圖，則四面體的外接球，即為長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)長(zhǎng)方體中，則，三式相加得，故，所以四面體的外接球半徑為，故四面體的外接球表面積為.故選：B2．（2023上·山東青島·高三山東省萊西市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）在中，，，，將各邊中點(diǎn)連線并折成四面體，則該四面體外接球直徑為；該四面體的體積為.【答案】【詳解】設(shè)、、分別為、、中點(diǎn)，沿、、折成四面體，設(shè)折起后、、重合為點(diǎn)，把四面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖，其中，，，設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為、、，則，解得，因此，該四面體的外接球直徑為，該四面體的體積為.故答案為：；.3．（2023上·貴州六盤水·高二統(tǒng)考期中）四面體ABCD中，，，，則該四面體的外接梂的表面積為．【答案】/【詳解】因?yàn)?，，，故此四面體ABCD的外接球等價(jià)于如圖所示的長(zhǎng)方體的外接球，所以，，，所以，外接球的直徑，故外接球的半徑為，所以外接梂的表面積為.故答案為：.題型十三：外接球問(wèn)題之單面定球心法例題1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知體積為的正四棱錐的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則體積，所以，設(shè)球的半徑為，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以球的表面積的最小值為.故選：B.例題2．（2024·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，底面為等腰三角形，，且，平面平面，點(diǎn)為三棱錐外接球上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到平面的距離的最大值為，則球的表面積為．【答案】【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鏋榈妊切?，，所以，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槿切螢榈妊切危?，則，設(shè)，則，設(shè)等腰三角形外接圓的圓心為，半徑為，球的半徑為，連接，則三點(diǎn)共線，由平面得平面，由正弦定理得，故，則，連接，則，由平面，且三角形外接圓的圓心為，可得，因?yàn)槠矫?，所以，又平面，平面，故平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，又因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離的最大值為，所以，解得，所以，球的表面積為.故答案為：.例題3．（2023上·全國(guó)·高三統(tǒng)考競(jìng)賽）在三棱錐中，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為．【答案】【詳解】由，，由余弦定理可得，又，所以為等邊三角形，令其外接圓圓心為，等腰的外接圓半徑，令其外接圓圓心為，在射線上，則是中點(diǎn)，連接，且，，又，所以，則，又，，面，則面，面，所以面面，若是三棱錐的外接球的球心，如上圖，易知為矩形，故，而，所以外接球半徑為，該三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：鞏固訓(xùn)練1．（2023上·海南?？凇じ呷？茧A段練習(xí)）在菱形中，，將沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)A到達(dá)的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示：由題意在菱形中，互相垂直且平分，點(diǎn)為垂足，，由勾股定理得，所以，即是等邊三角形，，設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，則外接圓的半徑為，，如圖所示：設(shè)三棱錐的外接球的球心、半徑分別為點(diǎn)，而均垂直平分，過(guò)點(diǎn)，所以點(diǎn)在面，面內(nèi)的射影分別在直線上，不妨設(shè)點(diǎn)在面，面內(nèi)的射影分別為，即，由題意，且二面角為直二面角，即面面，，所以，即，結(jié)合可知四邊形為矩形，不妨設(shè)，則由以上分析可知，，由勾股定理以及，即，可得，解得，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.2．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測(cè)）在正三棱臺(tái)中，，，，則正三棱臺(tái)的外接球體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】分別取、的中心，連結(jié)，過(guò)作,因?yàn)?，由正弦定理得，得，同理可得，所以，所以設(shè)正三棱臺(tái)的外接球球心O，O在EF上，設(shè)外接球O的半徑為R，所以，即，又因?yàn)榻獾盟哉馀_(tái)的外接球體積.故選：C.3．（2023上·四川·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知在直三棱柱中存在內(nèi)切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為.【答案】【詳解】由已知是直角三角形，，的內(nèi)切圓半徑為，直三棱柱中存在內(nèi)切球，則其高為，分別取的中點(diǎn)，連接，則也是該直三棱柱的高，的中點(diǎn)是其外接球球心，，所以外接球的表面積為．故答案為：．題型十四：外接球問(wèn)題之雙面定球心法例題1．（2024上·山東德州·高三統(tǒng)考期末）在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，由題意，，所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，且，所以，為外接圓的圓心，又是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，過(guò)點(diǎn)作與平面垂直的直線，則球心在該直線上，設(shè)球的半徑為，連接，可得，在中，，利用余弦定理可得，所以，解得，所以外接球的表面積為.故選：A.例題2．（2023上·江西九江·高二九江一中校考期中）如圖，是邊長(zhǎng)為的正三角形的一條中位線，將沿翻折至，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，四棱錐外接球的表面積為；過(guò)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是【答案】【詳解】第一空：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，在中，取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，則，由題意可知，、分別為、的中點(diǎn)，則，則，，翻折后，則有，所以二面角的平面角為，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作或其延長(zhǎng)線上，因?yàn)?，，，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，則，又因?yàn)?，，、平面，所以平面，所以，且，則，當(dāng)為直角時(shí)，取最大值，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為定值，故當(dāng)為直角時(shí)，取最大值，此時(shí)，平面平面，故是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，因?yàn)?，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，則且，同理可得，則為四邊形的外心，設(shè)等邊的外心為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平面，因?yàn)槠矫?，則，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線