2024年新高考數(shù)學一輪復(fù)習題型歸納與達標檢測第41講直線平面垂直的判定與性質(zhì)（講）

第41講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（講）思維導(dǎo)圖知識梳理1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α題型歸納題型1線面垂直的判定與性質(zhì)【例11】（2019秋?合肥期末）如圖，正方體中，（1）求證：；（2）求證：平面．【分析】（1）連結(jié)、，推導(dǎo)出，，從而平面，由此能證明．（2）由，得，同理可得，由此有證明平面．【解答】證明：（1）連結(jié)、，平面，平面，，又，，、平面，平面，又平面，．（2）由，即，同理可得，又，，平面，平面．【例12】（2020?新課標Ⅲ）如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．證明：（1）當時，；（2）點在平面內(nèi)．【分析】（1）因為是長方體，且，可得平面，因為平面，所以．（2）取上靠近的三等分點，連接，，．根據(jù)已知條件可得四邊形為平行四邊形，得，再推得四邊形為平行四邊形，所以，根據(jù)直線平行的性質(zhì)可得，所以，，，四點共面，即點在平面內(nèi)．【解答】解：（1）因為是長方體，所以平面，而平面，所以，因為是長方體，且，所以是正方形，所以，又．所以平面，又因為點，分別在棱，上，所以平面，所以．（2）取上靠近的三等分點，連接，，．因為點在，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，又因為在上，且，所以，且，所以為平行四邊形，所以，，即，，所以為平行四邊形，所以，所以，所以，，，四點共面．所以點在平面內(nèi)．【跟蹤訓練11】（2019?梅州二模）如圖，正方形所在平面與三角形所在平面相交于，平面．（1）求證：平面．（2）當，且該多面體的體積為時，求該多面體的表面積．【分析】（1）由已知利用線面垂直的性質(zhì)可知，由，可求，利用線面垂直的判斷定理可證平面．（2）在中，經(jīng)點作交于點，設(shè)，則，，由多面體的體積可求的值，進而可求，，，由，利用勾股定理可求，由，利用勾股定理可求的值，根據(jù)三角形的面積公式，正方形的面積公式即可計算得解該多面體的表面積的值．【解答】解：（1）證明：平面，平面，，正方形中，，，又正方形中，，，平面．（2）在中，經(jīng)點作交于點，由（1）可知平面，平面，，，平面，設(shè)，則，，多面體的體積為，解得：，，，，，，，可得：平面，又平面，可得，可得：，又，可得：，，該多面體的表面積．【跟蹤訓練12】（2019秋?新余期末）如圖四棱錐，平面，四邊形是矩形，點為側(cè)棱的中點，過、、三點的平面交側(cè)棱于點．（1）求證：點為側(cè)棱的中點；（2）若，求證：．【分析】（1）推導(dǎo)出．平面．從而．由此能證明點為側(cè)棱的中點．（2）推導(dǎo)出．，且，從而平面，進而．從而平面，由此能證明．【解答】證明：（1）四邊形是矩形，．且平面，平面，平面．又平面，平面平面，．而點為側(cè)棱的中點，點為側(cè)棱的中點．（2），且點為側(cè)棱的中點，．又平面，，且，故平面，．平面，．【名師指導(dǎo)】證明直線與平面垂直與利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直的通法是線面垂直的判定定理的應(yīng)用，其思維流程為：題型2面面垂直的判定與性質(zhì)【例21】（2020?新課標Ⅰ）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐的體積．【分析】（1）首先利用三角形的全等的應(yīng)用求出，，進一步求出二面角的平面角為直角，進一步求出結(jié)論．（2）利用錐體的體積公式和圓錐的側(cè)面積公式的應(yīng)用及勾股定理的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）連接，，，是底面的內(nèi)接正三角形，所以．是圓錐底面的圓心，所以：，所以，所以，由于，所以，所以，，由于，所以平面，由于平面，所以：平面平面．（2）設(shè)圓錐的底面半徑為，圓錐的母線長為，所以．由于圓錐的側(cè)面積為，所以，整理得，解得．所以．由于，解得則：．【例22】（2020?江蘇）在三棱柱中，，平面，，分別是，的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．【分析】（1）證明，然后利用直線與平面平行的判斷定理證明平面；（2）證明，結(jié)合，證明平面，然后證明平面平面．【解答】證明：（1），分別是，的中點．所以，因為平面，平面，所以平面；（2）因為平面，平面，所以，又因為，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．【跟蹤訓練21】（2019?新課標Ⅲ）圖1是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中，，．將其沿，折起使得與重合，連結(jié)，如圖2．（1）證明：圖2中的，，，四點共面，且平面平面；（2）求圖2中的四邊形的面積．【分析】（1）運用空間線線平行的公理和確定平面的條件，以及線面垂直的判斷和面面垂直的判定定理，即可得證；（2）連接，，由線面垂直的性質(zhì)和三角形的余弦定理和勾股定理，結(jié)合三角形的面積公式，可得所求值．【解答】解：（1）證明：由已知可得，，即有，則，確定一個平面，從而，，，四點共面；由四邊形為矩形，可得，由為直角三角形，可得，又，可得平面，平面，可得平面平面；（2）連接，，由平面，可得，在中，，，可得，可得，在中，，，，可得，即有，則平行四邊形的面積為．【跟蹤訓練22】（2020春?本溪縣期末）在矩形中，，是的中點，沿將折起，得到如圖所示的四棱錐．（1）若平面平面，求四棱錐的體積；（2）若，求證：平面平面．【分析】（1）取的中點，連接，易知，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，即為四棱錐的高，求得的長和梯形的面積后，再根據(jù)棱錐的體積公式即可得解．（2）取的中點，連接、，則，，由線面垂直的判定定理可推出平面，從而得，由（1）知，，再結(jié)合線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得證．【解答】解：（1）如圖所示，取的中點，連接，由題意知，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，即為四棱錐的高．在等腰中，，，而梯形的面積，四棱錐的體積．（2）取的中點，連接、，則，，，，、平面，平面，平面，，由（1）知，，又、平面，且與是相交的，平面，平面，平面平面．【名師指導(dǎo)】1．面面垂直判定的2種方法與1個轉(zhuǎn)化(1)2種方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．(2)1個轉(zhuǎn)化：在已知兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化．在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．2．面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用(1)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”．(2)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．題型3垂直關(guān)系中的探索性問題【例31】（2020?紅河州二模）在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，且平面平面，，．（1）上是否存在一點，使得平面平面；若存在，請證明，若不存在，請說明理由；（2）若的面積為，求四棱錐的體積．【分析】（1）當為的中點時，使得平面平面．運用面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，即可得證；（2）設(shè)，運用三角形的勾股定理和線面垂直的性質(zhì)，可得，求得和四邊形的面積，由棱錐的體積公式可得所求．【解答】解：（1）當為的中點時，使得平面平面．證明：由是等邊三角形，可得，而平面平面，為平面和平面的交線，可得平面，又平面，可得平面平面；（2）設(shè)，可得，，連接，可得，則，，由，可得，而的面積為，可得，四棱錐的體積為．【例32】（2019秋?新余期末）如圖，是半圓的直徑，，為圓周上一點，平面，，，，．（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在點，且使得平面？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．【分析】（1）推導(dǎo)出，，從而平面，進而平面，由此能證明平面平面．（2）設(shè)，則，，．由，得到．．取中點，連接、、、．．從而平面平面，平面．四邊形為平行四邊形，由此能證明平面．【解答】解：（1）證明：平面，．又為圓周上一點，且是半圓的直徑，．平面．又，平面，且平面，平面平面．（2）解：點為線段中點，證明如下：設(shè)，則，，．又，．．取中點，連接、、、．．又由（1）可知平面平面，故平面．又，，故，即四邊形為平行四邊形，，平面．【跟蹤訓練31】（2020春?東城區(qū)期末）在正方體中，，分別為和的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）在棱上是否存在一點，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【分析】（Ⅰ）取的中點，連接，，運用中位線定理和平行四邊形的判定和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得證；（Ⅱ）在棱上假設(shè)存在一點，使得平面平面，取為的中點，連接，，，由線面垂直的判定和性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的判定定理，可得所求結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）取的中點，連接，，因為為的中點，所以，且，在正方體中，因為為的中點，所以，且，所以，，可得四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，則平面；（Ⅱ）在棱上假設(shè)存在一點，使得平面平面，取為的中點，連接，，，因為為的中點，所以，因為，可得，因為平面，平面，所以，因為平面，平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面，故．【跟蹤訓練32】（2020?黃山二模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，點是與的交點，點在線段上，且．（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在一點，使得平面平面，若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由．【分析】（1）首先推得，且為的中點，分別求得，，再由平行線分線段成比例的逆定理可得，再由線面平行的判定定理，即可得證；（2）過作，垂足為，延長交于，連接，，結(jié)合線面垂直的判定和性質(zhì)可得平面，平面，可得平面平面，再由正弦定理計算可得，即可判定存在性．【解答】解：（1）證明：在四邊形中，由，，可得，可得，且為的中點，由，，可得，，則，由，可得，而平面，平面，可得平面；（2）過作，垂足為，延長交于，連接，，由平面，平面，可得，又，可得平面，平面，可得平面平面，故存在這樣的點．在直角中，，可得在中，，，由，，可得，即為的中點，則為的中點時，平面平面．【跟蹤訓練33】（2019秋?西湖區(qū)校級期末）如圖所示，在四棱錐中，底面是且邊長為的菱形，側(cè)面為正三角形，其所在平面垂直于底面，若為的中點，為的中點．（1）求證：平面；（2）求證：；（3）在棱上是否存在一點，使平面平面，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．【分析】（1）連接、，證明四邊形是平行四邊形，得出，即可證明平面；（2）連接，證明，再證，得出平面，即可證明；（3）為邊的中點時，平面平面，再證明即可．【解答】（1）證明：連接、，則，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）證明：連接，因為為正三角形，為邊的中點，所以；又，，所以，所以，即；又平面，平面，，所以平面，又平面，所以；（3）解：當為邊的中點時，滿足平面平面