1.5有限集合的子集系

1.5有限集合的子集系如果是一個(gè)元有限集合，它的子集組成的集合叫作的一個(gè)子集系，其性質(zhì)有：（1）元集合有個(gè)子集．（2）若是的子集，稱(chēng)與的補(bǔ)集組成一個(gè)互補(bǔ)子集組（無(wú)序），則個(gè)元素的集合有個(gè)互補(bǔ)子集組．（3）若中的元素滿足，，則稱(chēng)為的一個(gè)分拆（劃分）．這時(shí)中元素的個(gè)數(shù)之間滿足加法原理．此處用表示集合的元素個(gè)數(shù)，與含義一樣，以下同．（4）若中的元素滿足，則稱(chēng)為的一個(gè)覆蓋．這時(shí)中元素的個(gè)數(shù)滿足容斥原理．．1．將已知集合分為子集系這常常是對(duì)中的子集提出一些要求，看對(duì)的分解能否進(jìn)行（存在性），如何進(jìn)行（構(gòu)造性），有多少種方法進(jìn)行（計(jì)數(shù)）等．例1設(shè)，若的子集兩兩的交集都不是空集，求的最大值．例2設(shè)是正整數(shù)，是從到的所有整數(shù)組成的集合，試問(wèn)能否把分拆為兩個(gè)子集，，使得？2．討論子集的一些性質(zhì)它是第一類(lèi)問(wèn)題的延續(xù)，按一定的要求作出的子集之后，本身會(huì)有一些性質(zhì)，之間也會(huì)有一些性質(zhì)，這又構(gòu)成一類(lèi)新的問(wèn)題．例3求集合的所有子集的元素之和的和（規(guī)定的元素之和為0）．例4設(shè)，，都是的真子集，，，證明：或中必有兩個(gè)不同數(shù)的和為完全平方數(shù)．例5設(shè)，，且具有下列兩條性質(zhì)：(1)對(duì)任何，恒有；(2)．試證明：中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)，且中所有數(shù)字的平方和為一個(gè)定數(shù)．3．由子集系的性質(zhì)討論全集的性質(zhì)這與第一類(lèi)問(wèn)題方向相反，下例是一個(gè)很重要的結(jié)論．例6設(shè)，，若中每個(gè)元的交集不空，而個(gè)元的交集為空集，問(wèn)：（1）至少是多少？（2）當(dāng)最小時(shí)為多少？4．子集系的一些其他問(wèn)題及應(yīng)用例7對(duì)于集合或，中的任意兩個(gè)元素和定義它們的距離為：，取的一個(gè)子集系，使中任意兩個(gè)元素之間的距離都大于2，問(wèn)：子集系中的子集最多含多少個(gè)元素？證明你的結(jié)論．例8．有11個(gè)人需要進(jìn)入某一保險(xiǎn)庫(kù)，試問(wèn)：應(yīng)當(dāng)怎樣給庫(kù)門(mén)加鎖和分配鑰匙，才能使得任何6個(gè)人的鑰匙湊到一起就可以把門(mén)打開(kāi)，而任何5個(gè)人的鑰匙則不可能打開(kāi)？例9．設(shè)是大于3的自然數(shù)，且具有下列性質(zhì)：把集合任意分為兩組，總有某個(gè)組，它含有三個(gè)數(shù)（允許），使得求滿足條件的的最小值．例10．稱(chēng)的某些非空子集為奇子集，如果其中所有數(shù)的和為奇數(shù)，則共有多少個(gè)奇子集？

例11．已知集合，是正整數(shù)，是的子集，滿足：對(duì)任意的可以相同都有.求所有這種集合的元素個(gè)數(shù)的最大值．賽題訓(xùn)練1．集合的某些子集滿足條件：沒(méi)有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍，這樣的子集最多含有多少個(gè)元素？

2．設(shè)為的具有下列性質(zhì)的子集，中任意兩個(gè)不同元素之和不被7整除，則中元素最多可能有幾個(gè)？

3．設(shè)集合,現(xiàn)對(duì)的任一非空子集,令表示中最大數(shù)與最小數(shù)之和，那么，所有這樣的的算術(shù)平均值是多少？4．設(shè)S為集合的具有下列性質(zhì)的子集，中任意兩個(gè)不同元素之和不被7整除，求S的是大值．

5．設(shè)都是的子集，定義當(dāng)且僅當(dāng)，則滿足的個(gè)數(shù)有多少？

6．已知集合和集合各含有12個(gè)元素，含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的集合的個(gè)數(shù)：（1）且中含有3個(gè)元素；

7．能否給出集合的一個(gè)劃分，使得子集中各數(shù)之和組成一個(gè)公差為10的遞增等差數(shù)列？

8．已知集合為的非空子集，且），求的最大值．

9．集合的所有子集中，有多少子集含偶數(shù)個(gè)元素？有多少子集含奇數(shù)個(gè)元素？

10．10個(gè)學(xué)生決定按下列方式組成運(yùn)動(dòng)隊(duì)：每個(gè)人均可報(bào)名參加任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，每個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)均不能完全地包含或重合于另一運(yùn)動(dòng)隊(duì)．在這些條件下，最多可以組成多少個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)？

11．求證：集合可以分為117個(gè)互不相交的子集使得：（1）每個(gè)中含有17個(gè)元素

（2）每個(gè)中各元素之和相等．

12．西方其國(guó)家在某次競(jìng)選中，各個(gè)政黨共作出種不同的諾言任何兩黨都至少有一種公共的諾言，但沒(méi)有兩黨作出全部相同的諾言．試證：政黨的數(shù)目不多于個(gè)．

13．設(shè)為的非空子集，用表示中所有元素的乘積，當(dāng)歷遍的所有非空子集時(shí)所得出的乘積之和記為，求的表達(dá)式．

14．11個(gè)歌唱演員參加聯(lián)歡節(jié)，每天有一些演