數(shù)學(xué)北師大版必修3學(xué)案第一章統(tǒng)計(jì)本章知識(shí)體系

本章知識(shí)體系專題一三種抽樣方法的比較【例1】(1)某社區(qū)有500戶家庭，其中高收入家庭125戶，中等收入家庭280戶，低收入家庭95戶，為了了解社會(huì)購買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本；(2)從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì)．Ⅰ.簡單隨機(jī)抽樣Ⅱ.系統(tǒng)抽樣方法Ⅲ.分層抽樣方法問題與方法配對正確的是()A．(1)Ⅲ，(2)Ⅰ B．(1)Ⅰ，(2)ⅡC．(1)Ⅱ，(2)Ⅲ D．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ【解答】(1)中由于這500戶家庭之間的收入有明顯的差異，故采用分層抽樣；(2)中個(gè)體無差異，且總體中個(gè)體數(shù)目較少，則采用簡單隨機(jī)抽樣．【答案】A【規(guī)律方法】選擇抽樣方法的標(biāo)準(zhǔn)是：先判斷總體中個(gè)體有無差異，當(dāng)總體中個(gè)體有差異時(shí)，無論總體中個(gè)體數(shù)目的多少，都應(yīng)選擇分層抽樣；當(dāng)總體中的個(gè)體無差異時(shí)，再判斷總體中的個(gè)體數(shù)目的多少，如果個(gè)體數(shù)目較少，則用簡單隨機(jī)抽樣，如果個(gè)體數(shù)目較多，則用系統(tǒng)抽樣．(1)為了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為(C)A．50B．40C．25D．20(2)甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測．若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為1_800件.解析：(1)根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)可知分段間隔為eq\f(1000,40)＝25，故選C.(2)設(shè)乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為x件，則甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為(4800－x)件．由分層抽樣特點(diǎn)，結(jié)合題意可得eq\f(50,80)＝eq\f(4800－x,4800)，解得x＝1800.專題二統(tǒng)計(jì)圖表【例2】2018世界錦標(biāo)賽中國女子排球隊(duì)隊(duì)員的年齡如下：號(hào)23467891012151618年齡/歲252424242523292924262422用不同的統(tǒng)計(jì)圖表示上述數(shù)據(jù)．【解答】用條形統(tǒng)計(jì)圖表示如下圖所示．用扇形統(tǒng)計(jì)圖表示如下圖所示．【規(guī)律方法】從不同的角度出發(fā)，可作出不同的統(tǒng)計(jì)圖．小明家2018年的四個(gè)季度的用電量如下：季度名稱用電量(單位：千瓦·時(shí))第一季度250第二季度150第三季度400第四季度200其中各種電器用電量如下表：各種電器用電量(單位：千瓦·時(shí))空調(diào)250冰箱400照明100彩電150其他100根據(jù)以下三幅統(tǒng)計(jì)圖回答：(1)從哪幅統(tǒng)計(jì)圖可看出各個(gè)季度用電量變化情況？(2)從哪幅統(tǒng)計(jì)圖可看出冰箱用電量超過總用電量的eq\f(1,4)？(3)從哪幅統(tǒng)計(jì)圖可以清楚地看出空調(diào)用電量？解：(1)折線統(tǒng)計(jì)圖；(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖；(3)條形統(tǒng)計(jì)圖．專題三用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布【例3】如下表所示給出了某校500名12歲男孩中用隨機(jī)抽樣得出的120人的身高資料．(單位：cm)區(qū)間界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)人數(shù)58102233區(qū)間界限[142,146)[146,150)[150,154)[154,158)人數(shù)201165(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計(jì)身高低于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比．【思路探究】(1)根據(jù)頻數(shù)計(jì)算出頻率．分“分組”、“頻數(shù)”、“頻率”三列，列出頻率分布表．(2)根據(jù)頻率分布表畫出頻率分布直方圖．(3)根據(jù)頻率分布表計(jì)算出身高低于134cm的頻率．【解答】(1)樣本的頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[122,126)50.04[126,130)80.07[130,134)100.08[134,138)220.18[138,142)330.28[142,146)200.17[146,150)110.09[150,154)60.05[154,158)50.04合計(jì)1201.00(2)畫出頻率分布直方圖，如下圖所示：(3)因?yàn)闃颖局猩砀叩陀?34cm的人數(shù)的頻率為eq\f(5＋8＋10,120)＝eq\f(23,120)≈0.19，所以估計(jì)身高低于134cm的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的19%.【規(guī)律方法】通常利用樣本的頻率分布和頻率分布直方圖對總體情況作出估計(jì)，有時(shí)也利用頻率分布折線圖和莖葉圖對總體情況作出估計(jì)．頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到在頻率分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式，這樣根據(jù)樣本的頻率分布，我們就可以大致估計(jì)出總體的分布．為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長情況，隨機(jī)抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有24株樹木的底部周長小于100cm.解析：底部周長在[80,90)的頻率為0.015×10＝0.15，底部周長在[90,100)的頻率為0.025×10＝0.25，樣本容量為60，所以樹木的底部周長小于100cm的株數(shù)為(0.15＋0.25)×60＝24.專題四用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【例4】某化肥廠甲、乙兩個(gè)車間包裝肥料，在自動(dòng)包裝傳送帶上每隔30min抽取一包產(chǎn)品，稱其重量，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：甲：102,101,99,98,103,98,99乙：110,115,90,85,75,115,110(1)這種抽樣方法是哪一種？(2)將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示；(3)將兩組數(shù)據(jù)比較，說明哪個(gè)車間產(chǎn)品較穩(wěn)定．【思路探究】(1)由簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)判斷；(2)“莖”上寫十位或百位，“葉”上寫個(gè)位；(3)計(jì)算方差的大小比較穩(wěn)定性．【解答】(1)根據(jù)三種抽樣的特點(diǎn)可知為系統(tǒng)抽樣．(2)莖葉圖為：(3)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,7)(102＋101＋99＋103＋98＋99＋98)＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,7)(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100，所以eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,7)[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2]≈3.4286，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,7)[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]≈228.5714.由于eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲車間產(chǎn)品較穩(wěn)定．【規(guī)律方法】總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差往往通過樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)．一般地，樣本容量越大，對總體的估計(jì)越精確．平均數(shù)描述集中趨勢，方差、標(biāo)準(zhǔn)差描述波動(dòng)大小，也可以說方差、標(biāo)準(zhǔn)差反映各個(gè)數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的離散程度．一組數(shù)據(jù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，說明這組數(shù)據(jù)波動(dòng)越大．方差的單位是原數(shù)據(jù)單位的平方，標(biāo)準(zhǔn)差的單位與原單位相同．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量表得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)頻數(shù)62638228(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；(2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？解：(1)(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為eq\x\to(x)＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值為100，方差的估計(jì)值為104.(3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為0．38＋0.22＋0.08＝0.68由于該估計(jì)值小于0.8，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定．專題五線性回歸分析【例5】每立方米混凝土的水泥用量x(kg)與28天后混凝土的抗壓強(qiáng)度y(kg/cm2)之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：x150160170180190200y56.958.361.664.668.171.3x210220230240250260y74.177.480.282.686.489.7(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)若y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；(3)如果兩種水泥用量下的抗壓強(qiáng)度相差12.5，則水泥用量相差多少？【思路探究】先畫出散點(diǎn)圖，確定y與x之間是否線性相關(guān)，再根據(jù)求回歸直線方程的步驟求出回歸直線方程，最后根據(jù)回歸方程確定水泥用量的差別．【解答】(1)由已知數(shù)據(jù)可畫出散點(diǎn)圖如下圖所示：(2)eq\x\to(x)＝205，eq\x\to(y)＝72.6，eq\i\su(i＝1,12,x)eq\o\al(2,i)＝518600，eq\i\su(i＝1,12,x)iyi＝182943，則b＝eq\f(\i\su(i＝1,12,x)iyi－12\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,12,x)\o\al(2,i)－12\a\vs4\al(\x\to(x))2)≈0.304，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝72.6－0.304×205＝10.28，故所求的線性回歸方程為y＝0.304x＋10.28.(3)設(shè)兩種水泥用量為x1，x2，則對應(yīng)抗壓強(qiáng)度為y1＝0.304x1＋10.28，y2＝0.304x2＋10.28.由題意y1－y2＝0.304(x1－x2)＝12.5，所以x1－x2≈41.12.故當(dāng)兩種水泥用量下的抗壓強(qiáng)度相差12.5kg/cm2時(shí)，水泥用量相差41.12kg.【規(guī)律方法】兩個(gè)變量之間的關(guān)系可能是確定的函數(shù)關(guān)系，也可能是不確定的相關(guān)關(guān)系．分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖確定兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，還可利用最小二乘法求出回歸方程．從散點(diǎn)圖上，我們可以分析出兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系．如果這些點(diǎn)大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，那么就說這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作回歸直線，直線的方程叫作回歸方程．求回歸方程的步驟：(1)先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計(jì)算出eq\i\su(i＝1,n,x)i，eq\i\su(i＝1,n,y)i，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi，eq\x\to(x)，eq\x\to(y)；(2)計(jì)算回歸系數(shù)a，b；(3)寫出回歸方程y＝bx＋a.有人收集了春節(jié)期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：平均氣溫(℃)－2－3－5－6銷售額(萬元)20232730根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用線性回歸的方法，求得銷售額y與平均氣溫x之間的線性回歸方程y＝bx＋a的系數(shù)b＝－2.4.則預(yù)測平均氣溫為－8℃A．34.6萬元 B．35.6萬元C．36.6萬元 D．37.6萬元解析：eq\x\to(x)＝eq\f(－2＋－3＋－5＋－6,4)＝－4，eq\x\to(y)＝eq\f(20＋23＋27＋30,4)＝25，所以25＝(－2.4)×(－4)＋a.所以a＝15.4，所以回歸直線方程為y＝－2.4x＋15.4.當(dāng)x＝－8時(shí)，y＝34.6，即預(yù)測平均氣溫為－8℃專題六數(shù)形結(jié)合思想【例6】為了調(diào)查甲、乙兩個(gè)網(wǎng)站受歡迎的程度，隨機(jī)選取了14天，統(tǒng)計(jì)上午8：00～10：00間各自的點(diǎn)擊量，得如圖所示的莖葉圖，根據(jù)莖葉圖求：(1)甲、乙兩個(gè)網(wǎng)站點(diǎn)擊量的極差分別是多少？(2)甲網(wǎng)站點(diǎn)擊量在[10,40]間的頻率是多少？(3)觀察莖葉圖，估計(jì)甲、乙兩個(gè)網(wǎng)站哪個(gè)更受歡迎，并說明理由．【思路探究】莖葉圖的比較可以觀察莖葉圖中反映的信息，通過極差可以粗略判斷分散集中程度．【解答】(1)根據(jù)莖葉圖，得甲網(wǎng)站的點(diǎn)擊量的最大值是73，最小值是8，乙網(wǎng)站的點(diǎn)擊量的最大值是71，最小值是5.則甲網(wǎng)站的極差為73－8＝65，乙網(wǎng)站的極差為71－5＝66.(2)觀察莖葉圖，得甲網(wǎng)站點(diǎn)擊量在[10,40]間的有20,24,25,38，共4個(gè)，所以甲網(wǎng)站點(diǎn)擊量在[10,40]間的頻率為eq\f(4,14)＝eq\f(2,7).(3)觀察莖葉圖，得甲網(wǎng)站的點(diǎn)擊量集中在莖葉圖的下方，而乙網(wǎng)站的點(diǎn)擊量集中在莖葉圖的上方，從數(shù)據(jù)的分布情況來看，甲網(wǎng)站更受歡迎．【規(guī)律方法】數(shù)形結(jié)合思想在本章中的重要應(yīng)用是通過頻率分布的態(tài)勢對總體進(jìn)行估計(jì)及根據(jù)散點(diǎn)圖確定兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系，并做出判斷．統(tǒng)計(jì)圖表(頻率分布直方圖、莖葉圖)與數(shù)字特征(平均數(shù)、中位數(shù)、方差)是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，幾乎每年必考，通常以莖葉圖和頻率分布直方圖為載體，