學(xué)霸高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)筆記全冊(最終)

1、名中照學(xué)邕祀書山有路勤為役，學(xué)海無涯苦作舟。XiaoMu目錄TOC o 1-5 h z第一章函致1 HYPERLINK l bookmark7 一、定義城1.具體函數(shù)定義戰(zhàn)1.抽察函數(shù)的定義城：1 HYPERLINK l bookmark9 二、值戰(zhàn)的六種求法2.分離常數(shù)法2.判別式法2.配方法2.代數(shù)換元法2.均值不等式26特殊函教有界法3三、號函致及其性質(zhì)3.常見的號函數(shù):3.奇晶數(shù)性質(zhì)：3 HYPERLINK l bookmark13 四、常見的偶函數(shù)及其性質(zhì)4.常比的偶函數(shù)4.偶函數(shù)的性盾4 HYPERLINK l bookmark15 五、國數(shù)的周期性5 HYPERLINK l bo

2、okmark17 六、島數(shù)的對稱性6.類型6.特點6 HYPERLINK l bookmark19 七、函數(shù)對稱性與周期性肆合考慮6 HYPERLINK l bookmark21 八、陽數(shù)的翻折7 HYPERLINK l bookmark23 九、抽象函數(shù)與具體函數(shù)的對應(yīng)8 HYPERLINK l bookmark25 十、高斯由數(shù)性質(zhì)9.概念9.性質(zhì)9十一、曲致不動點與穩(wěn)定點10.不動點10.穩(wěn)定點10.動點、與確定點的性質(zhì)10.導(dǎo)教習(xí)題集10 HYPERLINK l bookmark31 第二聿三角函數(shù)12 HYPERLINK l bookmark33 一、同角三角函數(shù)基本關(guān)系12.平方關(guān)

3、系12.商教關(guān)系13 HYPERLINK l bookmark35 二、各次三角函數(shù)13.概念13三、和基配湊法14四、三角函敷的平移變換（上加下戒，左加右減）14.特點14 HYPERLINK l bookmark37 五、導(dǎo)數(shù)在三角函數(shù)中的應(yīng)用15XiaoMu III.對稱軸15.求導(dǎo)16 HYPERLINK l bookmark39 六、射彩定理16 HYPERLINK l bookmark41 七、三角彩面積公式16 HYPERLINK l bookmark43 八、三角彩中的平方差公式17 HYPERLINK l bookmark45 九、正切恒等式17.公式17.三角的數(shù)習(xí)題18

4、HYPERLINK l bookmark47 第三章平面向量19 HYPERLINK l bookmark49 一、平面向量共線定理19 HYPERLINK l bookmark51 二、左右拆分法則19 HYPERLINK l bookmark53 三、降維秒殺（實質(zhì)是特殊值法）20 HYPERLINK l bookmark55 四、平面向量特殊值法的應(yīng)用20 HYPERLINK l bookmark57 五、“k”值法（共起點）21 HYPERLINK l bookmark59 六、向貴共線模型的三角彩式21 HYPERLINK l bookmark61 七、向量極化恒等式22 HYPER

5、LINK l bookmark63 八、平面向量的坐標(biāo)系23九、善地定理23 HYPERLINK l bookmark67 十、三角彩“四心”風(fēng)采23.空心23.垂心24.內(nèi)心24.外心24.平面向量習(xí)題集24 HYPERLINK l bookmark69 第四章不等式25 HYPERLINK l bookmark71 一、均值不等式“1”的調(diào)用25 HYPERLINK l bookmark73 二、合并法26 HYPERLINK l bookmark75 三、輪換對稱不等式26 HYPERLINK l bookmark77 四、部分對稱不等式27 HYPERLINK l bookmark79

6、 五、對稱不等式與均值不等式的結(jié)合27 HYPERLINK l bookmark81 六、對稱不等式與三用形的結(jié)合28 HYPERLINK l bookmark83 七、柯西不等式的三維彩式28 HYPERLINK l bookmark85 八、柯西不等式與均值不等式的結(jié)合29 HYPERLINK l bookmark87 九、柯西不等式的三維影式29 HYPERLINK l bookmark89 十、柯西不等式的三推冊式與均值不等式的結(jié)合30十一、不容式題集32 HYPERLINK l bookmark95 第五章數(shù)列32 HYPERLINK l bookmark97 一、數(shù)列的通項公式32

7、 HYPERLINK l bookmark99 二、等差致列的通項公式35 HYPERLINK l bookmark101 三、等差數(shù)列前n項和35 HYPERLINK l bookmark103 四、等比數(shù)列的前n項和37 HYPERLINK l bookmark105 五、等差致列求和37 HYPERLINK l bookmark107 六、周期教列求和38 HYPERLINK l bookmark109 七、我項相消敷列求和38入、數(shù)列習(xí)卷集39XiaoMu高中數(shù)學(xué)筆記第一章函數(shù)一、定義域1.具體函數(shù)定義域。.分母不為Onx工0X0例1：求/（x）=/1的定義域J2-1og/解：2-lo

8、g2x0=xW42-log.tW0=xW4=0 x0=x0，定義域為（0,4）例2：求x）=ln，-4x-12）的定義域5士x?-4x-120=X6解:有定義域為（。廠2）U（6,+qo）2.抽象函數(shù)的定義域：例1:E為/（幻的定義域為（7,0）,則/（2x-l）的定義域為解：抽象函數(shù)的定義域求法抓單個x的極值范圍和括號里對多個的取俏范圍相同解題，由/（x）的定義域為（-1,0.f2x-l與K都是括號里的2定義域為（0，口例2：己知函數(shù)=工+1）的定義域為-2,3,貝3=/口-1洶定義域是?XiaoMuXiaoMu 解:/(X+1)的定義域為-2,3：.-2WxW3括號里的“x+l”范圍為1W

9、x+1&4括號里“*1”與“x+1”范圍相同-1WxlW40W5，定義域為0,5二、值域的六種求法L分離常數(shù)法例：求函數(shù)幻=在口的值域x-2解：/(X)=3x+l3(x-2)+7,7=3+x-2x-2x-27V7t0 x-2：.f(x)W3，值域為(。，3)U(3,+oo)2.判別式法例：求八幻二X一X的值域X-X+1=y(x2-x+l)=x2-x=(y-l)x2_(yl)x+y=0a當(dāng)y-1=0ny=1,方程無解力.當(dāng)y-lHO時，A=(y-l)2-4y(r-l)0，一;&4值域為-g,D.配方法例：求f(x)=4-4-，-2(2、2-)的最大值域解：令g2T+2ro22)則八=4J4r+2

10、/.4t+4-x=/2-2./(x)=/2-2-2z=(/-1)2-3：/(x)m1n=/0)=-3值域卻3,+8.代數(shù)換元法例：求f(.r尸2工+4Jl-MJ值域解：令f=7(720).則x=I-/./(x)=-2/2+4/+2/Wmax=/=4值域為(f4.均值不等式例：求函數(shù)y=的值域(x20)X+X+1解：當(dāng)atHOW，y=x+-+,.工+-22JHJ-=2(x0)v3yW=12+1，淵值域為0,16特殊函數(shù)有界法例：求函數(shù)的值域e+1解:函數(shù)的定義域為Ry(/+l)=eT0ex(y-)=-ya當(dāng)y-1=0時,方程不成立也當(dāng)y-1H0時,.Iy-iOn-1vyv1三、奇函數(shù)及其性質(zhì).常

11、見的奇函數(shù)：f(x)=ax-ax(2)f(x)=-=(a0,且aWl)優(yōu)+a(3)/(幻二匕8或者八外二心目。；!(4)f(x)=loga(Vx.奇函數(shù)性質(zhì)：(1)奇函數(shù)的定義域包含0,則#0，=。(2)/7汨是奇函數(shù)，乂是周期函數(shù)，則力力的半周期是零點(3)奇函數(shù)為何在所對稱的區(qū)間單調(diào)性相同(4)奇函數(shù)fix)=g(x)aMf(x)+f(-x)=2a(5)“關(guān)眉函數(shù)力即在區(qū)間a力上的最大值為M,最小值為M則+N=2/(學(xué)).若區(qū)間未知，則/(等)=/(0)2例1:茍V)=g(+)為奇函數(shù)，則實數(shù)嗎?1+x解:/(x)為奇函數(shù)且祗=0外有意義，/(0)=0,即他(+)=0=4=一1(性質(zhì)1)1

12、+X+1xa0,Ha1)例：茍(x)=ln(1+x)-ln(1-x)刖x)是A.奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在(0,1)是減函數(shù)C.偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在(0,1)是減函數(shù)-例2：定義在R上的函數(shù)欣既是奇函數(shù)又是周期函數(shù)，7是包含火的一個周期，若將方程力。M在7：7上的根的個數(shù)記為，則可能為()A.0B.1C.3D.5解：奇函數(shù)具有周期性，故可類比為正弦函數(shù)，將，=s仇x,顯然_/?刈在2-2用上有5個根，故選。(性質(zhì)2)-winx+1例3：/(X)=n在止的最大值與最小值之和為d十1解析：很明顯的滿足“美眉函數(shù)”由性質(zhì)(5),M+N=2/1T)=2

13、/(0)=21f；：；=2四、常見的偶函數(shù)及其性質(zhì).常見的偶函數(shù)(l)/(.v)=x2+c(2)/(為=優(yōu)+1、(3)/(x)=|x|+c例：若函如a)=xma+而7)為偶函數(shù)，貝必=解：令g(.r)=ln(x+yja+x2)/(x)=xg(.r)為有函數(shù)，/(幻為偶函數(shù)g(x)為奇函數(shù)由常見函數(shù)(4)可知：=1.偶函數(shù)的性質(zhì)(1)偶函數(shù)人分財物)=/)(2)偶函數(shù)人工)在x=0處可導(dǎo)，貝爐(0)=012例1：偶函數(shù)公向0,同上單調(diào)遞增，滿足2x-1)T=a-b(2)/(x+a)=-/(1)=T=2a(3)/(x+a)=yj=T=|2a|(5)/(+。)=7=國(6)/(x+)三編nT=|4a

14、|例1：/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意的xwA.滿足/(x+l)-/(x)=0,且當(dāng)0k1時，/(x)=32貝切(log/8)+/(4)=解:(幻+1)=0WQ+1)丁=2(性質(zhì)(2)/(4)=/(0),奇函數(shù)=/(0)=0/(4)=0/(log；18)+/(4)=6+0=6例2：已知函數(shù)八x)滿足1)=7,4/(.r)/(y)=f(x+y)-f(x-y貝步(2022)=解：令工=1,)，=0.則4/(1)/(0)=/(1+0)+/(1-0)Xf(l)=7)=2/(1)=：，又尸1，則/(x)=/(x+1)+/(x-1)42由(1)可知:f(x)的周期r=6.-./(2022)=/(0)

15、=i六、函數(shù)的對稱性.類型(1)線對稱:/(x)滿Hf(a+x)=f(b一x)。對稱軸lx=Q+*；，(2)點對稱：/(幻+/仍-幻=2。0對稱點(號).特點類比于周期函數(shù)的時稱函數(shù)的區(qū)別一一“同周異稱”/(-2)/(0),故加七、函數(shù)對稱性與周期性綜合考慮L兩線對稱：函數(shù)/(x)關(guān)于直線無=a,x=6對稱，則/(x)的周期為7=2|a-b|.一點一線對稱：/*)關(guān)于直物=4及點(6,0)對稱，則/(：)的周期為T=4|-U.兩點對稱：/&)關(guān)于(&0),仍.0)村稱，則/*)的周期為7=2,一目例：/(%)是定義在A上的偶函數(shù)，11/(2)=-1,對任意xeK都句/。)=-/(2貝曠(201

16、6/J值為解:/為偶函數(shù)，即/Xx)關(guān)于直線x=0對稱W(2t)=/(x)+/(2-x)=0,即/U)關(guān)于點(L0)對稱滿足(2).7=4(1-0)=4A/(2016)=/(0)令x=0,代入/V)=/(2t)Wlf(0)=-/(2)=l/,/(2016)=1八、函數(shù)的翻折IJV）=|X）K0即XlEW軸的圖像不變.負(fù)半軸的圖像去掉,把正半軸圖像關(guān)于），軸對稱過去（去左翻轉(zhuǎn)）/（T）,X0點撥：之前偶函數(shù)有而要性質(zhì)外x|）=/（x）J（k|）為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖像美力，軸對稱（去左翻右）2.|/（刈=?可即r軸上方的圖像不變,必軸下方的圖像由身對稱翻上去1-/（X）J（x）W0點撥即函數(shù)圖像一

17、定在X軸的上方，所以把人工）的圖像在卅下方部分沿著冊向上翻折（去下翻上）例1：直蜘=1與y=x2-|x|+四個交點，則。的取值范圍解：/一同+4=1=/一卜|=1一4令g（x）=丁-同=|x|2-區(qū)=g（k|）g（x）為偶函數(shù)（去左翻右）如下圖：例2：已知函數(shù)/（X）=,-4x+3,若方程（，（x）F+”（幻+c=Of合仔匕個不同的實數(shù)根,則實數(shù)硼取值范圍是解：/（外二卜2一叔+3|20=幻變換（去下翻上）如卜.圖:九、抽象函數(shù)與具體函數(shù)的對應(yīng)抽象函數(shù)具體函數(shù)f(x+y)=f(x)f(y)y-kx(kWO)/(x)9=/W(y)/(x)=/(xW0)f(x-y)=f(xW(y)f(x)=aaO

18、,flaWl)八叼卜祟/(y)f(x)=ax(a0,且aWl)/)=/()+/U)f(x)=logdx(a0,且。1)ryf(x)=logux(a0,且。Hl)例1：己孫(x+y)=/*)/(y)對任意的實數(shù)xj都成立，11/(1)=4,則歿+&+巫Uo8。/(0)/(I)/(20I9)解：由/(x+)=/(x)+f(y)對應(yīng)的具體函數(shù)約為f(x)=ax./(1)=44=4.,/(制=41%+歿+,(2020)=4+4+4=4x2020=8080/(0)/(I)/(2019)例2：己知/)=/(x)+Ry),對任意的非負(fù)實數(shù)都成立，Je1/(4)=2,貝曠(1)十，(2)+/(4)+/(64)

19、=解：rtl/(x)=/(x)+/(y)對應(yīng)的具體函數(shù)為/(幻=log/V/(1)=2/.logfl4=2a=2/(x)=log,x/+八2)+/(4)+/(64)=0+1+2+6=21十、高斯函數(shù)性質(zhì).概念對任意函數(shù)K國為不超過x的最大整數(shù)，j，=印稱為取整函數(shù)或叫高斯函數(shù).并將y=/i7=x-x稱為小數(shù)部分函數(shù),表示x的小數(shù)部分.性質(zhì)j=x的定義域為凡值域為Z(2)如果xwR,sZ,則+x=+x(3)對任意xgR,有1x+l,x-lxW(4)當(dāng)rWy時，有1對0用,即y=國是遞減函數(shù)(5)對于占yH荀小yWx+yWx+訓(xùn)+1(6)如果gNxgR,則內(nèi)(7)如果wNJxwR則與=區(qū)nn例：用

20、燈表示不超出的最大整數(shù)，如1.8=1對于下面關(guān)于函數(shù)/()=(工-刈)2的四個命題:函數(shù)J，=/(K)的定義域為凡值域為(0,1；(2)函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于y軸對稱；(3)/(幻是周期函數(shù)，最下正周期為1；(4)/(x)在伏,上+1)上是增函數(shù)，其中正確的序號是：解：x-lxWx,故()Wx-xl,從而八工)的值域為0,1,故錯誤當(dāng)xwZ時，/(%)=0=f(-x);SxZ0t.x=k+a,0a1,則x=k,-x=-k-a=(-k-l)+(l-a),0l-a0,則制取值范圍是(6)/(xMlMl+kD-p二,則使版Xx)/(2x-l)成立得x的取值范圍是1IX(7)/(x)=ln+l)-

21、3ox為偶函數(shù),則。=/=/x2+2x+/:+sinxx2+r(Z0)得到最大值為“,最小值為M且M+N=4,則實數(shù)f的值為(9)已為!/(工)=ax5+W+8,/(2)=3,貝/(一2)二(10)定義在R上的函數(shù)/G)滿足4丫+6)=/(x),當(dāng)時，/(x)=(x+2產(chǎn),當(dāng)141時，/(x)的遞增區(qū)間是TOC o 1-5 h z55774匕,+勾8.(1,了C.-,+)D(l.)4444XiaoMu與y=/(x)的圖像交點為(14)已知函如(x)(xwA)滿山(0=2/(x),若y=(西，乂)，(2，)，(0H)，(匕，以)，則Z(X/)=(15)/(k*J定義域為凡布口+1)與/6-1)都

22、是有函數(shù)，則4/(k)是偶函數(shù)8/(x)是奇函數(shù)C./(.r)=/(x+2)D.f(x+3)是奇函數(shù)(16)已知定義在A上的奇函豺(x)滿足/(x-4)=-/(x),且在區(qū)|可0,2上是增函數(shù)，若方程曲)=m(m0那區(qū)間-8,8上有四個不同的根與小3,七，如燈+超+/+七=一(17)關(guān)于剃方程(丁-1)2-3,_|卜2二即不相同實根的個數(shù)是A.3B.4C.5D.8(18)己知函數(shù)/(幻=|戈2+3工|,六/?方程外%)-|工-1|=0恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)MJ取值范圍是(19)到。+)，)=/(燈,/(歹)對任意的未知數(shù)都成立，5/(1)=2,則+也+歿+/00)=/(I)/(2)/(3

23、)/(9)(20)若“X+)，)=/(幻+/(,)時任意實數(shù)都成立，月/=3,貝/(3x-5)/Fo=tan0=110V10V10103又。為象限角aiecos0=J10,tun0=103例2：若tan。=,Msin0=,cos。=12解：同例1：但是，題目條件中沒有說明0是第二象限角，所以sin。=2，cos0=二、各次三角函數(shù).概念分子和分母的次數(shù)都是相同的齊次式，特別注意：例：ab為二次式，國為三次式,小為四次式（各項次數(shù)之和）例1：己知tan0=2,則叫3皿3sin0+4cos0解：分子:sin8+2cos6為一次式，分母：3sin6+4cos6為一次式sin9+2cos。3sin+4

24、cos0為一次齊次式，sinOnsin0+2cos0_cosO3sin0+4cos0sin0/cos。tand+2_2+2_23ian0+43x2+45g一a-1mlsin?0+sin8cos-2c。/6例2：已知urn0=2,貝i,，八-r-=sin*0+2cos-0解:fssin20+sinOos0-2cos20為二次(sin10Tcos10為二次分母:si/。+2cos為二次為二次齊次式sin204-sin0cosO-2cos二0sin20+2cos20sin20sin。.sin20sin0cos0-2cos20_cos2q+cos。_tan20+tan0-2_2?+2-2_2sin2(

25、?+2cos20sin201tan20+22:+23cos1(?*拓展詢0=29求5畝20的值解八出2。=2$后拆05。=2加。8$=2黑。85?轉(zhuǎn)化為二次齊次分式1sirrO+cos，。2sin0”-。產(chǎn)夕一二工要力二沼二2sinfc0fiairO+12-15-277+,cos*0三、和差配湊法題設(shè)條件中出現(xiàn)兩式子之間有明顯聯(lián)系，采用和差配湊法解決例1：已知sin(2+a)=且，則sin(2/r-a)的值為TOC o 1-5 h z424解：令6二工+a,f、=3萬一a；顯然:0+八=乃=sin.=4-4112例2：已知cos(C-a)=追，則cos(;r+a)-sin2(a-)=6366c

26、ub=-/r+a.4=a6.636顯然:/l+/2=,/l+r3=o/cosr2=cos(-/1)=-cos/psin/3=sin(-r1)=-sin.15丁耳,拒.sinr1=忑四、三角函數(shù)的平移變換(上加下減，左加右減)1.特點(1)正弦平移得到正弦(2)余弦平移得到余弦(3)正弦平移得到余弦，余弦得到正弦例k若想得到g(x)=sin(2+sin(2.v-乙)進(jìn)行怎樣的平移？3解：圖像之間平移的實質(zhì)就是點之間的平移，故我們將坐標(biāo)系點(0,0)g(x):令2工+=0=x,=-g36/:令=36從數(shù)軸可以清晰看出向左平移:個單位長度可以得到例2：為得到g(x)=cos(3.r+y)/(x)=c

27、os(3x-進(jìn)行怎樣的平移變換?解：同例1：找出坐標(biāo)系原點(0,0)g(x):令3x+=Onx.=-6118/(幻：令3叫一1=0=x2=5v從數(shù)軸可以看出，/(X)向左平移三個單位長度可以得到g(x)例3：為得到函數(shù)尸cos(x+g),將函數(shù)y=sinx進(jìn)行怎樣平移變換?解：y=cos(x+?):令M+g=071/、/-；y=sinx:令x=一32注意：根據(jù)誘導(dǎo)公式sin(x+%)=cosx,即sin乂句左平移二個單位長度可得到cosx22故若cosx找原點(0,0),sinx得找(I)各點從數(shù)軸可以看出向左平移-7個單位長度即可6五、導(dǎo)數(shù)在三角函數(shù)中的應(yīng)用.對稱軸：三角函數(shù)中出現(xiàn)對稱軸，直

28、接求導(dǎo)便可解題(對稱軸指的是極值點)例：若函卻(x)=sinx+acos2t的圖像關(guān)Jfiy=-y對稱，則a=8解：/=2cos2x-2sin2x由題設(shè)條件知：/(-)=082cos(-)-2asin(*-)=0=a=I442.求導(dǎo)：題設(shè)條件中出現(xiàn)最tfi，直接求導(dǎo)例：若x=。時，函批(工)=sinx-2cosx取得最大值，則cos”解：由題設(shè)條件知：/(0)=0/(x)=cosx+2sinx=cos0+2sinO=O=tanO=-2又/(1)取得最大值：cos。0cos。=-5/?六、射影定理在04801，4,/氏/。所對邊分別長0也0,則：a=hcosC+ccosBh=acosC+ccos

29、Ac=acosB+bcosA例：在6cosc+ccosH=2A則色=h解：山射影定理知：bcosC+ccos8=。：.a=2b：.-=2h七、三角形面積公式S=-absinC=iacsini?=/csinJ222S=-(b+c2-a)tanA=-(a+c?-Z)tan5=(a;+/?-c)tanC444例：他48O44,滿足：4cos8+bcos/=csinC,S=(方2-a)求N84解：由射影定理的：acosB+bcos/=c/c=csinc=sinc=lZC=90。XS=(62+c2-o2)tani(Z2+c2-a2)44tan/=1=Z/4=45.,/B=45*八、三角形中的平方差公式s

30、in2/I-sin2=sin(J+)sin(/4-=sinCsin(/4-B)sin2/I-sin2C=sin(X+C)sin(/f-C)=sinBsin(/f-C)sin25-sin2C=sin(5+C)sin(-C)=sinCsin(5-C)例：在LJ/8O3-/)sin(/+砌=(/+)sin(4-8)判斷三角形的形狀解：由正弦定理得：(sin2A-sin8)sin(4+B)=(sin2J+sin2li)sin(A-B)nsin(4+8)sin(力-8)sin(/+8)=(sin4+sM8)sin(4-8)=sin(X-B)sin2C-(sin24+sin28)sin(4-8)=0=si

31、n(4-5Xsin2C-sin2/f-sin28)=01sin(4-8)=0或sin，C=sin2J+sin2=b或sin?C=sin2/J+sin2Bnc2=a2+d2，三角形為等腰或直角三角形九、正切恒等式1.公式在非直角三角形中,tan。+tan5+tanC=tanAtanBtanC例：在DABC中，已知tan力：tan8:tanC=1:2:3,求,的值c解：設(shè)tanA=k,tanB=2k.tanC=3k由正切恒等式得：k+2k+3k=k：2k3knk=l/tan4=1.tan8=2,tanC=3tanB=2=sinB=馬小tanC=3nsinC=f=V10.bsin82/2=csinC

32、32.三角函數(shù)習(xí)題已知0是第四象限角,tan0=-5，則sin0=,cosO=(2)已知tan,求3si+2cos。的值.24sin0-cos0(3)已知lan0=2,則一型投一=sin0cos0+l(4)若sin(乙一。)=L則cos(2+2。)=535(5)為得到人工)=cos(x+三),只需要符g(x)=sin(g.r)進(jìn)行怎樣的平移？(6)/(x)=。sin(x+工)+bsin(工一三)(abHO)是偶函數(shù),求+b的值44“x)=sinx+2ocosx關(guān)丁立線x=對稱，則=4(8)f(x)=sinx+3cosx,在t=0日寸取得最小值，則tan。=(9)在IdBC中4/36-c)cos

33、AacosC,則cos.4=(10)位ABC1,a2+b2-c2=ab,S=(a2+c2-b21則NC=4)在銳角三角形中滿足:sin2/_sin24=；sin(4-8),則NG(12)在銳角三角形中，若sinJ=2sin3sinC貝4tan/IlanBurnC最小值為第三章平面向量一、平面向量共線定理若48.C互不重合，是48,C三點所在平面的任意一點，且滿足京川西+y麗則48,C三點共線ux+y=l例：在4803己知。是48上的一點,西二;15+%函則2=解:由題意得:4昆。三點共線+2=1=%=2二、左右拆分法則在點Q為點，滿足畏如圖所示:則：cd=m+wm+n例:在“8C中，點。在/f

34、K滿足而=2而，連接CD取e的中點，過點，作直線MN分別交于/C于點M,8c于點M若=yCB.則2x+）的最小值XiaoMu解：由脫意條件知:二二=2DB：.CD=CA+-CB=2CH33：.CH=-CA-CB63xCN=yCBCB=-CNy：.cfi=CM+CN6x3y又M,N,三點共線A+=16x3y，(2%+y)(J+6x3y3三、降維秒殺（實質(zhì)是特殊值法）在題設(shè)條件中，沒有出現(xiàn)角度，均采用降維秒殺處理向量問題TOC o 1-5 h z例：若。為8c所在平角內(nèi)一點，比=31，則（）=+8,而而且衣3333414一1一（J.AD=AB+ACD.AD=-ABAC3333解：題設(shè)條件中沒有出現(xiàn)

35、角度，故采用降維秒殺.A當(dāng)4點與8點重合時，如圖l一假設(shè)CD=L貝|J8C=3,（48兩點重合，而=0）化4,ad=-ac；HlAa四、平面向量特殊值法的應(yīng)用題設(shè)條件中，對于三角形沒有過多的限制，說明一般吧它特殊式等邊三角形或是直角三角形，以方便計算，（四邊形特殊成矩形或正方形）例：在14403例是ZKTKJ中點,4W=3,4C=10,則而正=XiaoMu 解：此題設(shè)條件無其多余的限制，故可假設(shè)4/18(:以點M為坐標(biāo)原點，MC為xtt，也4為軸建立坐標(biāo)系4(0,3),B(-5,0),C(5,0)方=(一5,3),衣=(5,-3)/.4C=-5x5+(-3)x(-3)=-16五、“k”值法(共

36、起點)平面內(nèi)組基角/、麗及任向量而=UHi+加(兒wR)若。在直線力8上或在平行于48的五線匕則=A(定值)例：在平行四邊形力中，P為對角線/IC靠近四等分點，如圖所示,若=AAB+疝，則+=解：連接C。物。于點O由k值法，可知：a+=kJ優(yōu)=。AO2六、向量共線模型的三角形式XiaoMu由點。發(fā)出三條射線/,P8,尸設(shè)4尸=a/CPB=PlAAPB=a+尸那么48,C三點共線的充要條件是:sin(a+p)sinasinft=+PCPBPA例：如圖，在同一平面內(nèi)，刀,礪，灰的模分別為1,1,6刀與麗夾角為60。訴與的的夾角為30。，若反=根況+而，則相+=解：連接與OC的交點為點。rhk”值法

37、知：加+=%=也|OD|由向量共線模型的三角形式，可得sin60sin30sin300“、GODOBOA2.26+=4=3七、向量極化恒等式46=(a+h)2一(一盯如圖葩48。3A7是8c的中點，則通前=癡;!應(yīng)。4例：在UACf,A1是/ft勺中點，BM=AC=4MBABC=22XiaoMu 解：由極化恒等式可得，4而友=(而+畫2-(而-壇)2=(2麗=4|兩T函2=4x3。=20八、平面向量的坐標(biāo)系題設(shè)條件若出現(xiàn)直角，則通常采用建系坐標(biāo)系運算例：如圖，4B=8C=4,NABC=30?,是邊8c上的高，則詬衣=解：題設(shè)條件中，出現(xiàn)高也就是直角，故采用建系以免D為坐標(biāo)原點，OC為x軸，04

38、為釉4(0,2),0(0,0),C(4-2后-2)而=(0,-2),衣=(4-2萬,-2)：.7aAC=4九、奔馳定理若點。是X8C內(nèi)一點，則S，/乂OA+S,gOB+S,、式用OC=6推論：已知為48(訥一點，且滿足加刀+而+定=0則：Sa/sc:S4pbcS八pc#p-in.n例：已知點。在/IB。勺內(nèi)部，力西+2麗+3反=0,貝ij2a=SOC解方=荏衣=(+而)+g(+畫化簡可得2方+2萬+正=0由奔馳定理得：之=-Sabc2+2+15十、三角形“四心”風(fēng)采1.重心G是/18C所在平面上的一點，且而十而+而=，則G是/18C的重心(三條中線的交點)OP=OAa(AB+元),2(0,+8

39、),則用勺軌跡一定通過重心奔馳定理點。是416EJ重心。SgRc:=1:1:12.垂心都是居所在平面內(nèi),點且可用=而方=方可則尸是J8CM垂心（三條高線的交點）麗=日+以_而|而此os8AC+.|JC|g:osC）則。一定通過垂心奔馳定理：。是/!&的垂心SBC:SgoB=tan4:tan8:tanC3.內(nèi)心若/是a8（7所在平角內(nèi)一點，且。石+力7；+。7；=0,則/是48E外心（三條角平分線的交點）好+“篙籍”定通過內(nèi)心奔馳定理：s/：Smoa：SQB=a：b:c若O是力8r所在平面上的點,SlOA：=ob2=OC：則。是乙48的夕卜E三條中垂線的交點）OP=4B|/月|cos6|ACco

40、sC），則P一定通過外心奔馳定理:：S&E:S2GB胃sin2川:|sin2B|:|sin2C|例：點/是力水的內(nèi)心，乙4=30。，NB=45。，求力=解：有內(nèi)心性質(zhì)和奔馳定理Sabc:5awc=1Sin2川sin2814.外心若O是A46C所在平面上的一點，且赤、麗丁灰冶面的保持不變5.平面向量習(xí)題集.已知數(shù)列凡為等差數(shù)列，且滿足2=q而+/灰，若茄=%反點O為直線8c外一點，則期=.在L/18C+，D為8c邊的中點,”為/DfKj中點，過點“作直線A/N分別交NC于點M、N,若而二a不，而=，衣，則x+4y的最小值是點/在上，CD平分N48C,若息二,右3=反|=2,仍|=2,則S=”22

41、1-3-4-4-3一4與+tbB.-a+-bC.-a+-bD.-a+-b33335555.在48C+，。跳過48上一定點，滿足008=1/8,且對于邊匕任一點P,4恒有而屁2兩的己則4N力8c=90。8.N84C=90C.AB=ACD.AC=BC.如圖，在NB=60。,4B=3,BC=2,點DgCl.,WO=|oC,則而云=.在同一平面內(nèi),OA,OB,OClfJ模分別為1,1,后方與面的夾角為a,且tana=7OBljOCm夾角為45。，若歷=mOA+前,則i+=.在直角梯形/I8CQ41,BCHAD,ABA.AD,AB=4,=2,AD=4若?為CD（向中點，則可向的值為.如圖，在矩形4燈”,

42、4B=戊,BC=2點E為BC的中百、，點尸在邊CD上,若布萬:血，則%I而訥值為.在平行四邊形48a，點”在8。上滿足的=2麗，點N在C上滿足麗=3灰/8=&4。=6,則麗詢=.已知點。在/火的內(nèi)部，且刀+3麗+40C=6,則408的面積與，。向面積的比為11已知點P在力BQAl，行麗=4赤+5充,則1”=12.如圖所示：|8|=|函|=1,它們之間的夾角為120。，點C在以。為圓心的圓弧4夕上運動，OC=xOAyOB,則x+M勺最大值是第四章不等式一、均值不等式“1”的調(diào)用湊出可以得到其不等式的形式2例1：己知xO,y0,x+2y=1,求一+一的最小值xy解：(+)l1=(+)(x+2y)=

43、1+-+425+2V4=9xyxyyx當(dāng)且僅當(dāng)空=紅，即尸1時取等yx3I2例2：%歹0,x+2y=3,求一+的最小值1y：(-+-H=-(-+-)(x+2y)=(l+-+4)1(5+2回=3xy3xy3yx3當(dāng)且僅當(dāng)巴即當(dāng)K=y=1時取等yx3二、合并法(分子為一次式，分母為二次式)類似于等差數(shù)列的等差中項例：已知x-1,求函數(shù)),=荒詈?的最大項解：令x+l=O=x=-lx+3=0=x=-3然后，各項分子分母引入新的參數(shù)使得-3.-La成為新的等差數(shù)列-3+a=1x2=a=1.當(dāng)工=。=1時，y取得最大值為3三、輪換對稱不等式ill：a+bAab,交換4刪位置,從十/，2必與原式相同。與b

44、完全對稱，則取等的條件是。=6例1：若x0,y0,滿足/+),2+町,=1與題設(shè)條件相同則x與完全對稱，x+的最大值取得的條件忌=yHfx=yAx2+y2+町,=1=x2=：=x=x,州最大值為亭+李=飆例2：x0,y0,x+2y=L求的最大值解：題設(shè)中：x與y交換位置，y+2x=1和y-x與原式不同，即不與y不是完全對稱但是與2丁交換位置”+匯=1可=；（2y-X）交換為h=；（x-2刃與原式相同，故x與2y完全對稱當(dāng)孫取得最大值的條件是x=2=19的最大值為:四、部分對稱不等式題設(shè)條件中，出現(xiàn)三個及以上的未知數(shù)時，則會出現(xiàn)部分對稱例：A,x-2y+=4,施？+：+二?的最小值解：題設(shè)條件中

45、，出現(xiàn)三個未知數(shù)，現(xiàn)明顯x與c完全對稱與y不對稱，貝卜與之部分對稱當(dāng)/+/+d取得最小值的條件如=-將“工=二”代Ax-2y+二=4中，化簡的：工-），=2求2/+/的最小值TOC o 1-5 h zQ42x2+y2=2（y+2）2+V=3丁+8y+4當(dāng)y=_：時取得）33五、對稱不等式與均值不等式的結(jié)合22例1：x0j0,x+y=l.求上一+上一的最小值工+1y+1解：顯然x與y完全對稱，則工+的最小值的條件是x+iy+1X2）,2（|）2（1）：X=yng，J+J的最小值為/-+*_=:2%+1戶11+1+13TOC o 1-5 h z22例2：x0j0,x+y=L求的最小值xy解：顯然X

46、與y完全對稱，則,+1取得最小值的條件忠=y=:xy2+1的最小值為1+=4XV1122六、對稱不等式與三角形的結(jié)合在解三角形中經(jīng)常出現(xiàn)范圍問題例：在N8=g,8=2,求鼠最大值解S=-acsnB=ac24由余弦定理：b1=a:c2-2accos8=a2+c2-ac顯然，。與c完全對稱，財取得最大值的條件是a=c又VZfi=yA/8C是等邊三角形a=c=b=2S&acgx)=fx2x2=6七、柯西不等式的三維形式(/+/2)(c2+d,)2(。(?+/)當(dāng)且僅當(dāng)4二6時取等推得：a0.b040”O(jiān),(a+b)(c+d)(7+而當(dāng)且僅當(dāng)取等例1：a2b2=5,/，心+方=5,貝1/1下的最小值為

47、解：行柯西不等式的：(/+/)(/+6)(ma+nb)2畫+2)2(ma+nbYa2+b2例2：已知kjwR,3/+2V=4則2+)的最大值為解：由柯西不等式：(3/+2/)(/+/2)2(5x+0為，尸二令瓜=2n=,&b=Inb=(3/+2川+；)曲”JM(2x+j)2WU，(2x+y)YVTT八、柯西不等式與均值不等式的結(jié)合17例1：x0,y0,-+-=2,求6x+2j的最小值xy解：(6x+2y)(-+劣)=22(而+2=22+12應(yīng)xy/.(6x+2y)222+12&=11+65/2例2：x0j0.x+2y=町，求r+2)的最小值解：由x+2y=xy12,21yxxy：.(x+2y)

48、(2+-)2(71+y/2)2=8xy/.(x+2y)N8例3：xO,yO,x+y=1,求x+yy+的最小值解：x+y=1=x+l+y+l=3心+1+)，+1)(1+42x+yy+3例4：x0,yO,x+y=1,求2x+y歹+3的最小值解：（+2x+yy+3)a(2x+y)+by+3)2(石+0力廣a(2x+y)+b(y+3)=lax+(a+b)y+3b令2a=1+2x+yy+3l)2w3、)(x+y+-)3+2立2x+yy+3)2=-2九、柯西不等式的三維形式（a：+a；+a3:）（/12+b；+22（岫+生&+也）？當(dāng)且僅當(dāng)=a2b:=44取等推導(dǎo)：入出，4也,”均為正實數(shù)（%+生+&+4

49、）2（mB+皿+例1：X,%,nex-2y+二=4,求/+y2+二?的最小值為解：，-y2+z2a2+bz+c2)(ax+by-cz)2令。=l,A=-2,c=lA(x2+/+z2)(I+4+1)2(x-2y+z)2,222、168.(r+/+z2)=-例2：x,y,三w-2y+2=4,求V+(-)2+/的最小值為解：x-2y+z=4=x-2(y-l)+z=6x：+(y-l)2+?(+6+c?)(ar+/)(-1)+er)令q=l,b=2,c1.r+(y-l)2+?(l+4+l)(x-2(-l)+r)2.,f+G,-l)/吟=6例3：x,j,re/?,x-2y+r=4,求/+2y?+z?的最小

50、值解:，+2y2+z2)(a2+b2+c2)(ax+/2by+cz)2令a=-2,c=1/.(x2+2/+z2Xl2+(-71(+12)*-2y+)2Ax2+2v2+z2=4,4十、柯西不等式的三維形式與均值不等式的結(jié)合4016例La0,Z0,c0,a+B+c=9,則一+7+的最小值為ahc4Q14llj-解：(二十二+12乂4+8+U)漢鳳灰)0labc.4914810abc923例2：a0.609c0,a+26+3c=2,則+22的最小值為abc：(-+7+-)(a+2/+336一+2=18abc2例3：a0,0,c0,。+b+c=1,求一!一+!+!的最小值+a1+b1+c解：a+b+c

51、=l=a+l+/+l+c+l=4L+_L+J+a1+61+c)(a+l+6+l+c+1)2(1+1+1尸=9b:1+b1+a1+bl+c44.2l+al+b1+c4例4：a0.力0.cOm+b+c=L求一+一的最小值+a1+6l+c解：a+b+c=1=o+l+b+l+c+1=4X+l+/+l+c+l)(a+h+c)2l+c卜一、不等式題集12.已知xO,y0,-+=I.求x+2j的最小值*y.已知x0,y0,犬+產(chǎn)+犯.=+的最大值3已知x-2求函縱=曳2的最大值(x+4).一知x0,y0,2x+3y=xy求3x+2)的最小值二wRx+y_3二=5.tr2+y2-i的最小值.已知x0,y0-+

52、=2.求心一十的最小值xy1+xl+y.已知x0,y0,*+2y=2.求白+-的最小值x2y.在E,ZC=-c=2/I求力8c周長的最大值2.49+3產(chǎn)=9求3x+j的最大值與最小值4I.已知lx0,y0,+=3.求x+4i的最小值xy14.已知*0)0,*+=2.求+的最小值x+1y+3.已知0)0,+=1.求1一十；的最小值4x+2vy+4I49.已知x0j0:0,。+5+。=3.求一+的最小值abc.已知x0,y0,二0.+/+。=3.求一+的最小彳直+a1+61+c.已知x,乂二w七2一-二=3.求/+2)+2二4J最小值第五章數(shù)列一、數(shù)列的通項公式特征根方程pa,N=qa*令%=%=

53、xnpx=qx+c=x=(pHg)p-q啥啥啥時工的解稱為WJ的特征根處理：形如：panA=qan+c式f第一步：解出特征根方程=。p-q第二步：應(yīng)用特征根：p(q-x)=q(a“-x)代入化簡：-)=q(an)p-qp-qp2cq=pa“.i=qap-qp-q=p%=qa*例1：已知數(shù)列為滿足=3勺+4,4.,q=1.求勺的通項解；列出特征根方程：x=3x+4nx=-2應(yīng)用特征根：。7-(-2)=3(%一(一2)=/+2=3(4+2)=生耳=3,令”=6+2牝+2=導(dǎo)=3,“=4”=3=3-2形如雁=叫+q”式子先簡單處理變形：加的夕=之+1qq令“=哂+尸叫+iq剩卜的處理如特征根方程例2

54、M滿足1=3%+2”Mm產(chǎn)1.物的通項.解：處理變形:卻=3爭+1令吟=2bs解出特征根：2x=3x+1=x=-l應(yīng)用特征根：2(u+1)=3(4+1)判別也+1是比為。的等比數(shù)列.,也=6-1形如：ma.3=nan+q+c先舍去c=-nanq同2,=餐=&+1/qinmqx=/ir+l=x=mq-n代入：加)=(3-)qmq一qmq-n令“吟qmq-n=加血”=必代入原式：mqbz=n，+c同1:可得4的通項例3：m+(J)+L求凡O02解：舍;，財尸2令。=2anb,R=“+1nnn*i3n7解出特征根：r=-x+lnx=3、2則：%一3=(4-3)將”.3=(4-3)代回原式=%-3=2

55、3)+12令,=2-3=一+1nnnl3n2“t=C=3-Q3*y心z2+136131=b.=6=a=累積法的另一種形式例4也滿足:4=7a.求可3/I+1解：由馮=4討(+1)=w+1令“=nannb.=bnnfi+in2即是常數(shù)列JA2f2例5皿讖足號獨=2求應(yīng)解：由4-扁(2)j=q=(+2K+D，.i一令4=m+M=%=即色是常數(shù)列=4n勺=二、等差數(shù)列的通項公式(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)的聯(lián)系an=al+(-)d=nd+(a-d)令k=d,b=Q-d=an=kn+h例I：已知等差數(shù)列外,%=4.(=12.求。10ah10-6例2：等差數(shù)列a“，4=m.am=n(m工),則q加=解：k=aef._a”=4=7m-nm+nnni-n=，._=_=J=o(2)一個算式模型若題設(shè)條件中，只給出一個等式，那么久令數(shù)列為常數(shù)列例:等差數(shù)列血中，q+3/+%=120,則2%-4。的值是解：在腮設(shè)條件中，只給出一個等式，故4為常數(shù)列q+3%+15=120=ax+3q+q=120=q=24貝Ij24-j10=2q-q=q=24三、等差數(shù)列前n項和。電=?/+(一g)令A(yù)=g,BztSnAn1+Bn