高考物理復習講義第77講 帶電粒子在磁場中的動態(tài)圓模型（解析版）

第77講帶電粒子在磁場中的動態(tài)圓模型

I真題示例____________________________

I.（2021?乙卷）如圖，圓形區(qū)域內有垂直紙面向里的勻強磁場，質量為m、電荷量為q（q

>0）的帶電粒子從圓周上的M點沿直徑MON方向射入磁場。若粒子射入磁場時的速度

大小為Vi,離開磁場時速度方向偏轉90°；若射入磁場時的速度大小為V2,離開磁場時

速度方向偏轉60°.不計重力。則也為（）

×

X

XXx

XX，

【解答】解：根據題意，粒子兩次射入磁場的運動軌跡如圖所示:

??

Na××Oxr×;N

?×××X/

設磁場的圓形區(qū)域半徑為r,由幾何關系可知，兩次軌跡圓的半徑分別為:

R2=?H?=倔

,2

由洛倫茲力提供向心力可知：qvB=v

則粒子的速度：V=曙

則粒子兩次的入射速度之比為：-=—,解得：”=立，故B正確，ACD錯誤;

V2R2V23

故選：B.

一.知識回顧

1.模型構建

此類模型較為復雜，常見的磁場邊界有單直線邊界、雙直線邊界、矩形邊界和圓形邊界

等。因為是有界磁場，則帶電粒子運動的完整圓周往往會被破壞，可能存在最大、最小面積，

最長、最短時間等問題。

2.模型條件

(1)在勻強磁場中做勻速圓周運動。(2)磁場有一定范圍。

3.模型分類

(一)動態(tài)放縮法

粒子源發(fā)射速度方向一定、大小不同的帶電粒子進入

速度方向一定、大小不同勻強磁場時，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動

的軌道半徑與粒子速度大小有關

如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度『越

大，運動半徑也越大。可以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁

適用條

場后，它們運動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線

件

PP,上

軌跡圓圓心共線

XXXXXX

XɑXX

×I×/v?XAjX

×V??1

XXXX&X

界定方

以入射點P為定點，圓心位于初'直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨

法

界條件，這種方法稱為“放縮圓”法

帶電粒子在矩形有界勻強磁場中運動的臨界問題

帶電粒子在矩形有界勻強磁場中運動的特點：

(1)若粒子射入的初速度方向和矩形磁場某邊界垂直，如圖甲所示?

①當粒子速度較小時，粒子將在磁場中做半個圓周運動后從原邊界射出磁場區(qū)域；

②當粒子速度在某一范圍內時，粒子將在磁場中做部分圓周運動后從側面邊界飛出磁場;

③當粒子速度較大時，粒子將在磁場中做部分圓周運動后從對面邊界飛出磁場。

(2)若粒子射入的初速度方向和矩形磁場某邊界成一夾角，如圖乙所示。

①當粒子速度較小時，粒子將在磁場中做部分圓周運動后從原邊界飛出磁場;

②當粒子速度在某一范圍內時，粒子將在磁場中做部分圓周運動后從上側面邊界飛出磁

場；

③當粒子速度較大時，粒子將在磁場中做部分圓周運動后從右側面邊界飛出磁場；

④當粒子速度更大時，粒子將在磁場中做部分圓周運動后從下側面邊界飛出磁場。

綜合以上分析可知，求解帶電粒子在矩形有界勻強磁場區(qū)域運動的時間范圍、速度范圍

等的問題時，尋找“相切或相交”的臨界點是解決問題的關鍵；另外可知在磁場邊界上還有

粒子不能達到的區(qū)域即‘'盲區(qū)"。

(二)定圓旋轉法

粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進入

勻強磁場時.，它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相

同，若射入初速度大小為附，則圓周運動半徑為r=

如圖所示

qB

速度大小一定，方向不同

XXXXX①X

適用條

件

\......Qvl

L

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點

軌跡圓圓心共圓

。為圓心、半徑「=警的圓上

qB

界定

將半徑為片卷的軌跡圓以入射點為圓心進行旋轉，從而探索粒子的臨界條件，

方法

這種方法稱為“旋轉圓”法

(1)解決帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題,關鍵在于運用動態(tài)思維,尋找臨界點，

確定臨界狀態(tài),根據粒子的速度方向，找出半徑方向，同時由磁場邊界和題設條件畫好軌跡，

定好圓心，建立幾何關系。粒子射出或不射出磁場的臨界狀態(tài)是粒子運動軌跡與磁場邊界相

切。

(2)要重視分析時的尺規(guī)作圖，規(guī)范而準確的作圖可突出幾何關系，使抽象的物理問題

更形象、直觀。

(三)平移圓法

粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點不

適用條速度大小一定，方向一定，但入射

同但在同一直線上的帶電粒子，它們進入勻

件點在同一直線上

強磁場時，做勻速圓周運動的半徑相同，若

入射速度大小為例則運動半徑r=受，如

qB

圖所示

××××××X

×

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在

軌跡圓圓心共線

同一直線

界定方將半徑為詈的圓進行平移,從而探索粒子的臨界條件,這種方法叫“平移

法

圓”法

二.例題精析

題型一：動態(tài)放縮圓

（多選）例1.如圖所示，在正方形區(qū)域abed內有方向垂直于紙面向里、磁感應強度大小為

B的勻強磁場.在t=0時刻，位于正方形中心。的離子源向平面abed內各個方向發(fā)射

出大量帶正電的粒子，所有粒子的初速度大小均相同，粒子在磁場中做圓周運動的半徑

恰好等于正方形的邊長，不計粒子的重力以及粒子間的相互作用力.已知平行于ad方向

向下發(fā)射的粒子在t=to時刻剛好從磁場邊界cd上某點離開磁場，下列說法正確的是

A.粒子在該磁場中勻速圓周運動的周期為6t。

TC

B.粒子的比荷為=

6Bt0

C.粒子在磁場中運動的軌跡越長，對應圓弧的圓心角越大

D.初速度方向正對四個頂點的粒子在磁場中運動時間最長

【解答】解：粒子在磁場中做勻速圓周運動，初速度平行于ad方向發(fā)射的粒子運動軌跡

如圖，其圓心為6.設正方形邊長為L,由幾何關系得：

L1

SinZOOik=?=訝…①

得：ZOOik=J

Ξrr

貝IJt=to==??…②

又T=等…③

QTl

解得：F就：故B正確;

由②式得：T=l2to,故A錯誤;

由于粒子的初速度大小相等，所有粒子的軌跡半徑相等，運動軌跡最長的粒子轉過的圓

心角最大，在磁場中運動時間也最長，故C正確D錯誤:

故選：BC0

題型二：旋轉圓

（多選）例2.如圖所示，在熒屏MN上方分布了水平方向的勻強磁場，方向垂直紙面向里。

距離熒屏d處有一粒子源S,能夠在紙面內不斷地向各個方向同時發(fā)射電荷量為q,質量

為m的帶正電粒子，不計粒子的重力，已知粒子做圓周運動的半徑也恰好為d,貝式）

XXXX×××X

S

××××t××××

××××;××××

,,××××!××××、，

MIN

A.粒子能打到板上的區(qū)域長度為2bd

B.能打到板上最左側的粒子所用的時間為座

V

C.粒子從發(fā)射到達到絕緣板上的最長時間為歿

V

D.同一時刻發(fā)射的粒子打到絕緣板上的最大時間差型

6v

【解答】解：A、粒子受到的洛倫茲力充當向心，粒子運動的半徑：R=d

粒子運動到絕緣板的兩種臨界情況如圖，設SC垂直于MN與C點，由兒何關系可知，

左側最遠處與S之間的距離恰好是圓的直徑，

B

則左側最遠處A離C距離為√5d,右側離C最遠處為B,距離為d,所以粒子能打在板

上的區(qū)域長度是（6+1）d,故A錯誤；

B、左側最遠處與S之間的距離恰好是圓的直徑，所以S到A的時間恰好是半個周期，

則：J=g=第=等，故B正確：

1ZZvV

C、在磁場中運動時間最長和最短的粒子運動軌跡示意圖如下：

粒子做整個圓周運動的周期7=詈

由幾何關系可知最短時間：t2==寥

如圖所示粒子在磁場中最長時間：t?=∣T=?^

δt=t1-t2=??,故C錯誤，D正確

?zOV

故選：BDo

題型三：平移圓

（多選）例3.如圖所示，在直角三角形ABC內充滿垂直紙面向外的勻強磁場（圖中未畫

出），AB邊長度為d,ZB=現(xiàn)垂直AB邊射入一質量均為m、電荷量均為q、速度大

小均為V的帶正電粒子，已知垂直AC邊射出的粒子在磁場中運動的時間為to,而運動

4

時間最長的粒子在磁場中的運動時間為（不計重力）.則下列判斷中正確的是（）

B.

9?

AC

A.粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期為4to

B.該勻強磁場的磁感應強度大小為史巴

2qto

C.粒子在磁場中運動的軌道半徑為京

D.粒子進入磁場時速度大小為畫里

7C0

【解答】解：A、帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，垂直AC邊射出的粒子在磁場中運

動的時間是1τ,即為：［τ=to,則得周期為：T=4to,故A正確;

T一，nZnuT2πR

B、由rhT=4to,R=而,T=—'

C2πmπm,CTrfo

得:B=4=函’故4B正確;

C、運動時間最長的粒子在磁場中運動的軌跡如圖所示，根據幾何關系有：RSing+

6

R

~~.~"π=d,

Sin-

6

解得：R=∣d,故C正確;

D、根據粒子在磁場中運動的速度為：V=半，周期為：T=4to,半徑為：R=∣d,聯(lián)立

可得：V=黑，故D錯誤。

三.舉一反三，鞏固練習

1.如圖所示，在直角坐標系Xoy中，X軸上方有勻強磁場，磁感應強度的大小為B,磁場

方向垂直于紙面向外。許多質量為m、電荷量為+q的粒子，以相同的速率V沿紙面內，

由X軸負方向與y軸正方向之間各個方向從原點0射入磁場區(qū)域。不計重力及粒子間

的相互作用。下列圖中陰影部分表示帶電粒子在磁場中可能經過的區(qū)域，其中R=器，

正確的圖是（）

Ar

y

【解答】解：粒子在磁場中做勻速圓周運動，以X軸為邊界的磁場，粒子從X軸進入磁

場后在離開，速度V與X軸的夾角相同，根據左手定和R=器，

知沿X軸負軸的剛好進入磁場做一個圓周，沿y軸進入的剛好轉半個周期，如圖，在兩

圖形的相交的部分是粒子不經過的地方，故D正確；

2.（2020?新課標I）一勻強磁場的磁感應強度大小為B,方向垂直于紙面向外，其邊界

如圖中虛線所示，懿為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一

束質量為m、電荷量為q（q>0）的粒子，在紙面內從C點垂直于ac射入磁場，這些粒

子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時

間為（）

7πm5πm4πm3πm

I.B.C.D.

6qB4qB3qB2qB

【解答】解：粒子在磁場中運動的時間與速度大小無關，由粒子在磁場中運動軌跡對應

圓心角決定，即t=即

方法r設林半圓的半徑為R,采用放縮法如圖所示:

粒子垂直ac,則圓心必在ac直線上，將粒子的軌跡半徑由零逐漸放大，在rW0.5R和r

》1.5R時，粒子從ac、bd區(qū)域射出，磁場中的軌跡為半圓，運動時間等于半個周期；當

O.5R<r<1.5R時，粒子從半圓邊界射出，逐漸將軌跡半徑從0?5R逐漸放大，粒子射出位

置從半圓頂端向下移動，軌跡圓心角從n逐漸增大，當軌跡半徑為R時，軌跡圓心角最

大，然后再增大軌跡半徑，軌跡圓心角減小，因此當軌跡半徑等于R時軌跡圓心角最大，

即。=兀+§=:兀；

方法二：O點為半圓弧的圓心，過C點做半圓弧的切線，與圓弧相切與e點，由于Co=

2R,oe=R,且CeJ_eo,故∕oce=30°,因為只有Ce與圓弧相切時，/oCe為最大，如

果不相切，Zoce小于30°,Ce為軌跡圓的一條弦，則此時弦切角最大為90°+30°=

120°,根據圓心角等于弦切角的2倍，所以最大圓心角為9=2X120°=240°；

即。=兀+等="，粒子運動最長時間為t=旦7=嘉X^=空當，故C正確，ABD

332τrZnqβSqB

錯誤。

故選：CO

3.(2020?浙江)某種離子診斷測量簡化裝置如圖所示。豎直平面內存在邊界為矩形EFGH、

方向垂直紙面向外、磁感應強度大小為B的勻強磁場，探測板CD平行于HG水平放

置，能沿豎直方向緩慢移動且接地。a、b、C三束寬度不計、間距相等的離子束中的離

子均以相同速度持續(xù)從邊界EH水平射入磁場，b束中的離子在磁場中沿半徑為R的四

分之一圓弧運動后從下邊界HG豎直向下射出，并打在探測板的右邊緣D點。已知每

束每秒射入磁場的離子數(shù)均為N,離子束間的距離均為0.6R,探測板CD的寬度為0.5R,

離子質量均為m、電荷量均為q,不計重力及離子間的相互作用。

(1)求離子速度V的大小及c束中的離子射出磁場邊界HG時與H點的距離s：

(2)求探測到三束離子時探測板與邊界HG的最大距離Lmax;

(3)若打到探測板上的離子被全部吸收，求離子束對探測板的平均作用力的豎直分量F

與板到HG距離L的關系。

?

b

HG

C------D

?p2

【解答】解：(1)根據洛倫茲力提供向心力可得：qvB=m不

解得：V=嘴

設C束離子運動軌跡對應的圓心為0,從磁場邊界HG邊的Q點射出，根據幾何關系可

得：OH=0.6R

c束中的離子射出磁場邊界HG時與H點的距離S=√R2一(0.6R)2=0.8R;

(2)(2)a束中的離子運動軌跡對應的圓心為Ol從磁場邊界HG邊射出時距離H點的

距離為X,由幾何關系可得：

HO,=aH-R=0.6R,x=√Λ2-HO'2=0.8R,

離開磁場的速度分別與豎直方向的夾角為0、α,由幾何關系可得：a=0,探測到三束離

子，則C束中離子恰好達到探測板的D點時，探測板與邊界HG的距離最大，根據幾何

關系可得:

RsOH0.6R

2-=「麗

解得：Lmax=條R；

（3）a或C束中每個離子動量的豎直分量：PX=PeOSa=O.8qBR,根據動量定理可得：

當OVL≤白R時，F(xiàn)l=NP+2NPx=2.6NqBR

4

當GRVLWO.4R時，F(xiàn)2=NP+NPx=l.8NqBR

當L>0.4R時，F(xiàn)a=NP=NqBRo

答：（1）離子速度V的大小為c束中的離子射出磁場邊界HG時與H點的距離為

m

0.8R；

4

（2）探測到三束離子時探測板與邊界HG的最大距離為.R；

（3）當OVL≤*R時,Fι=2.6NqBR;當&RVLW0.4R時，F(xiàn)2=1.8NqBR;當L>0.4R

??15

時，F(xiàn)a=NqBRo

4.如圖，虛線所示的圓形區(qū)域內存在一垂直于紙面的勻強磁場，P為磁場邊界上的一點，

大量相同的帶電粒子以相同的速率經過P點，在紙面內沿不同方向射入磁場。若粒子射

入速率為VI,這些粒子在磁場邊界的出射點分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為

V2,相應的出射點分布在三分之一圓周上。不計重力及帶電粒子之間的相互作用。則這

兩種情況下帶電粒子從P點射入到距P點最遠處射出，其在磁場中所經歷的時間比W

t2為（）

.??......

/\

嘖；

??

????../

??.....??

A.1：2B.2：1C.√3:1D.1：1

【解答】解：粒子在磁場中做圓周運動，洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律得：

4π2rV2

qvB=m廠

M俎mvT2mι

解得：『=曹T=而

可知粒子在磁場中運動的周期均相同，通過旋轉圓可知，這兩種情況下帶電粒子從P點

射入到距P點最遠處射出，入射點和最遠射出點連線應是軌跡圓的直徑，軌跡所對圓心

角均為TT,在磁場中所經歷的時間比ti：t2=l:1,故D正確，ABC錯誤。

故選：D。

5.真空中有一勻強磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向

與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。--速率為V的電子從圓心沿半徑方向進入磁場。

已知電子質量為m,電荷量為e,忽略重力。為使該電子的運動被限制在圖中實線圈圍

成的區(qū)域內，磁場的磁感應強度最小為（）

mv3mv3mυ

A.——B.一C.——D.——

2aeae4aeSae

【解答】解：當電子在磁場中的運動軌跡和外圓相切時，電子在圖中實線圓圍成的區(qū)域

內運動的半徑最大,

電子的運動軌跡如圖,

令電子的半徑為r,根據幾何知識有r2+a2=（3a-r）2,

所以電子的最大半徑為r=^α,

因為eu8=my-,

所以B=翳，

則磁感應強度的最小值為B=袈，故ABD錯誤，C正確。

故選：Co

6.（多選）如圖所示，在XOy平面的第一象限內存在磁感應強度大小為B、方向垂直紙面

向里的勻強磁場。兩個相同的帶電粒子，先后從y軸上的P點（0,a）和Q點（縱坐

標b未知），以相同的速度Vo沿X軸正方向射入磁場，在X軸上的M點（c,0）相遇。

不計粒子的重力及粒子之間的相互作用，由題中信息可以確定（）

JfJ,XXXX

P-5××××

B

XXXXX

OM

A.Q點的縱坐標b

B.帶電粒子的電荷量

C.兩個帶電粒子在磁場中運動的半徑

D.兩個帶電粒子在磁場中運動的時間

【解答】解：粒子在磁場中運動只受洛倫茲力作用，故粒子做勻速圓周運動，軌跡如圖所

示:

洛倫茲力做向心力，故有：BqDO=Zn3----①；

AC、根據幾何關系可得P點粒子的軌道半徑，從而可以求出Q點射出粒子半徑及坐標,

故AC正確;

B、由于是同種粒子，比荷相同，無法具體求解電荷量和質量，但可以求出比荷，故B錯

誤;

D、根據粒子運動軌道半徑和粒子轉過的圓心角；故根據周期T=篝，可求得運動時間

t=∕r,故D正確;

故選：ACDo

7.(2021?湖南)帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關鍵技術之一。帶電粒

子流(每個粒子的質量為m、電荷量為+q)以初速度V垂直進入磁場，不計重力及帶電

粒子之間的相互作用。對處在Xoy平面內的粒子，求解以下問題。

圖(a)

(1)如圖(a),寬度為2rι的帶電粒子流沿X軸正方向射入圓心為A(0,ri)、半徑為ri

的圓形勻強磁場中，若帶電粒子流經過磁場后都匯聚到坐標原點O,求該磁場磁感應強

度Bi的大??；

（2）如圖（a）,虛線框為邊長等于2r2的正方形，其幾何中心位于C（O,-r2）.在虛線

框內設計一個區(qū)域面積最小的勻強磁場，使匯聚到O點的帶電粒子流經過該區(qū)域后寬度

變?yōu)?n,并沿X軸正方向射出。求該磁場磁感應強度B2的大小和方向，以及該磁場區(qū)

域的面積（無需寫出面積最小的證明過程）；

（3）如圖（b）,虛線框I和∏均為邊長等于巧的正方形，虛線框O和IV均為邊長等于曾

的正方形。在I、II、HI和IV中分別設計一個區(qū)域面積最小的勻強磁場，使寬度為2巧的

帶電粒子流沿X軸正方向射入I和H后匯聚到坐標原點O,再經過HI和IV后寬度變?yōu)?n,

并沿X軸正方向射出，從而實現(xiàn)帶電粒子流的同軸控束。求I和IIl中磁場磁感應強度的

大小，以及II和Iv中勻強磁場區(qū)域的面積（無需寫出面積最小的證明過程）。

【解答】解：（1）利用圓形區(qū)域勻強磁場實現(xiàn)對帶電粒子流的磁聚焦，需要滿足：粒子勻

速圓周運動半徑與圓形磁場區(qū)域的半徑相等，設粒子做勻速圓周運動的半徑為Ri,則有

Rl=Fb

粒子勻速圓周運動所需向心力等于洛倫茲力，則有：qvBι=m-

解得：Bl=黑

QrI

（2）在磁場Bl中匯聚到O點的帶電粒子進入磁場B2后，射出后變?yōu)閷挾葹?9平行粒

子束，此為磁聚焦的逆過程（磁控束），粒子運動軌跡如右圖中紅色軌跡，則可知需要的

區(qū)域面積最小的勻強磁場應為以出射的粒子流的寬度為直徑的圓形區(qū)域磁場，如右圖中

藍色圓形區(qū)域，設粒子勻速圓周運動半徑為R2,需要的最小圓形磁場區(qū)域半徑為r√,

則有R2=Γ2'=Γ2,

02

粒子做勻速圓周運動所需向心力等于洛倫茲力，則有：