三角形（6個知識點）-中考復習講義及練習（解析版）

第四部分三角形

專題13三角形（6大考點）

核心考點一三角形及邊角關(guān)系

核心考點二三角形中的重要線段

核心考點三等腰三角形

核心考點

核心考點四等邊三角形

核心考點五直角三角形

核心考點六等腰直角三角形

新題速遞

核心考點一三角形及邊角關(guān)系

H（2021?湖北宜昌?統(tǒng)考中考真題）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點尸在AC上，其中

ZACB=90。，NABC=60。，NEFO=90。，ZDEF=45°,AB//DE,則NAa）的度數(shù)是（）

A.15oB.30oC.450D.60°

【答案】A

【分析】設(shè)48與石廠交于點根據(jù)45//。石,得到NAMf'=/￡=45。，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出

結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)與斯交于點”，

AB//DEi

o

ZAMF=ZE=451

ZACB=90。,ZABC=60。，

□ZA=30o,

ZAFM=180°-30°-45°=105°,

/EFD=90。.

NAQ>=15。，

故選：A.

【點睛】此題考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記平行線的性質(zhì)并應用是解題的關(guān)鍵.

甌（2021?黑龍江大慶?統(tǒng)考中考真題）三個數(shù)3,1-a,l-24在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個數(shù)

為邊長能構(gòu)成三角形，則。的取值范圍為

【答‘父】-3<a<-2

【分析】根據(jù)三個數(shù)在數(shù)軸上的位置得到3<l-α<l-2“，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到1-。+3>1-勿，

求解不等式組即可.

【詳解】解：3,l-α,l-24在數(shù)軸上從左到右依次排列，

3<l-a<?-2a,解得αv-2,

這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，

1—a+3>1—2tz,解得α>—3>

綜上所述，。的取值范圍為-3<a<—2,

故答案為：-3<a<-2.

【點睛】本題考查不等式組的應用、三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題意列出不等式組是解題的關(guān)鍵.

甌（2022?北京?統(tǒng)考中考真題）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，

求證：ZA+ZB+ZC=180.

方法一

方法二

證明：如圖，過點Z作。石〃5C

A

A

Λ∕D

證明：如圖，過點C作8∕∕M?3C

BC

【答案】答案見解析

【分析】方法一：依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到NB=NB4￡＞，ZC=ZEAC,從而可求證三角形的內(nèi)角和

為180°.

方法二：由平行線的性質(zhì)得：UA=ACD,5+BCD=180°,從而可求證三角形的內(nèi)角和為180。.

【詳解】證明：

方法一：過點A作。E〃8C,

則NS=NfiAO,ZC=ZMC.（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

點A,E在同一條直線上，

ZDAB+ABAC+ZC=ISOo.（平角的定義）

.?.ZB+ZBAC+ZC=180°.

即三角形的內(nèi)角和為180。.

方法二：

如圖，過點C作CD〃A8

A

A/D

\/

B

CDIIAB9

□ΓJ=ΠJCD,8+8CZ>180°,

□□B+□^Cθ÷□^=180o.

即三角形的內(nèi)角和為180。.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

厚命題出函

三角形是初中階段幾何圖形學習的基礎(chǔ)，也是中考必考內(nèi)容之一；三角形及邊角關(guān)系內(nèi)容比較簡單，

中考中一般會出在選擇題、填空題，解答題偶有出現(xiàn)，注意以下最基本的三角形邊角關(guān)系：

1.兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

2.2.三角形的內(nèi)角和為180。；

3.3.三角形外角和為360°；

【變式1】（2023?陜西西安??？级＃┤鐖D，在，ABC中，ZA=6（）。,ZABC=80。，BO是,ABC的高線，BE

是.,4?C的角平分線，則23E的度數(shù)是（）

A.10oB.12oC.15oD.18°

【答案】A

【分析】利用角平分線的定義可求出的度數(shù)，在AABD中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出NABD的

度數(shù)，再結(jié)合NDBE=ZABE—ZABD,即可求出NDBE的度數(shù).

【詳解】解：

BE是,ABC的角平分線，

ZABE=NCBE=-ZABC=l×80°=40o.

22

BD是ABC的高，

ZADB=90o.

在NAOB=90。,NA=60。，

ZABD=180o-ZADB-ZA=180o-90o-60°=30°,

ZDBE=ZABE-ZABD=40o-30o=10°,

NDB后的度數(shù)為10。

故選A.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，牢記三角形內(nèi)角和是180。是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2023?河北秦皇島?統(tǒng)考一模）如圖，在RtzλA5C中，ZACB=90°,將ABC繞頂點C順時針

旋轉(zhuǎn)得到4A'B'C,。是的中點，連接8。，若BC=2,NABC=60。，則線段BO的最大值為（）

A.√3B.2√3

【答案】D

【分析】連接C0,由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半知CD=2,在ABCD中，利用三角形三邊關(guān)

系可得BO的最大值.

【詳解】解：如圖，連接C。，

在RtzλABC中，NACB=90°,BC=2,ZABC=60°,則NA=30。,

AB=2BC=4,

由旋轉(zhuǎn)可知，AB=4，

D是A?的中點，

CD=-A'B'=2,

2

在ABCD中，利用三角形三邊關(guān)系可得BD≤BC+8,（當B,C,￡）三點共線時取等號）

βD<BC+CD=4,

30的最大值為4,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了含30。的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，掌握幾何最值的求解方法是解題的關(guān)鍵.

【變式3】（2022?廣東韶關(guān)??？级＃┤鐖D，AABC,ZC=90o,AC=10,8C=8,線段。E的兩個端

點。,E分別在邊AC,BC上滑動,且E>E=6,若點M,N分別是OR/8的中點，則MN的最小值為.

【答案】√41-3

【分析】根據(jù)三角形斜邊中線的性質(zhì)求得CN=gλB="i,CM=；DE=3,由當C、M、N在同一直線上時,

MV取最小值，即可求得MN的最小值.

MBC中，ZC=90o,AC=10,BC=S,

AB=JAC2+BC2=2歷?

DE=6,點N分別是48的中點,

CN=LAB=向，CM=-DE=3.

22

當C,M,N三點在同一條直線上時，MN取最小值，

MN的最小值為q-3

故答案為：√41-3

【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理的應用等，明確C、M.N在

同一直線上時，MN取最小值是解題的關(guān)鍵.

【變式4】(2023?廣東佛山??？家荒?如圖，在四邊形ABC。中，NABC=NMQ=90。，E為對角線AC的

中點，連接BE,ED,BD,若/841)=52。，則NEBr)=°.

【答案】38

【分析】證明EA=EB=EC=OE,可得NAAE=NfZM,ZBAE=NEBA,可得

ZDEB=2(ZZME+ZβAE)=104°,再利用等腰三角形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：ZABC=ZADC=90°,

EA=EB=EC=DE,

NDAE=∕EDA,NBAE=NEBA,

在4?Dψ,NDEC=NDAE+ZADE=IADAE,

同理可得到：NBEC=2NBAE,

NDEB=ZDEC+ZBEC=2(ZZA4￡+ZBAE)=2×52o=104°,

在等腰三角形BED中，NEDB=→(180o-104°)=38°；

故答案是：38.

【點睛】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練

的求解=ZDEC+NBEC=104。是解本題的關(guān)鍵.

【變式5](2022?江蘇無錫?模擬預測)如圖，在..ABC和VADE中，AB=AC,AD=AE,S.ZBAC=ZDAE,

且B,D,E在同一直線上，連接EC.

)

BZ_________________

⑴求證：BD=EC.

(2)若NAeB=55。，求NBEC的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)70°

【分析】(1)利用SAS,即可證得4ΛBO∕2?ACE,即可證得結(jié)論；

⑵利用(1)中的結(jié)論可得N4OB=ZAEC,則N3AC=NZME=70。；在等腰VADE中可得

ZADE=ZAED=55°,則NADB=I25。，再由NBEC=NAEC-ZAED,即可求解.

【詳解】(1)證明：NBAC=NDAE,

:.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDACr

即ZBAD=ZCAE.

在△的￡>和ZiACE中，

AB=AC

</BAD=ZCAE,

AD=AE

.?AΛBD^AACE(SAS).

BD=CE.

(2)解：由⑴知：AABO嶺ZXACE,

.?.ZADB=ZAEC.

AB=AC,

ZABC=ZACB=55°,

??.ZBAC=180o-2ZABC=180o-110o=70o,

.?.NDAE=NEAC=70°.

AD=AEf

.?ZADE=ZAED=550f

.?.ZADB=1SOo-ZADE=180o-55o=125o.

.?.ZAEC=125o.

ZBEC=ZAEC-ZAED=n5o-55o=10o.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理.利用全等

三角形的對應角相等是解題的關(guān)鍵.

核心考點二三角形中的重要線段

0氟題招究

雨（2022?貴州安順?統(tǒng)考中考真題）如圖，在45C中，ΛC=2√2,ZAcS=I20。，。是邊A3的中點，

E是邊BC上一點，若OE平分，ABC的周長，則OE的長為（）

C

【分析】延長BC至F,使得CF=C4,連接AF,構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)題意可得DE是ZkA/方的中位線,

即可求解.

【詳解】解：如圖，延長BC至尸，使得CF=C4,連接AF,

.?.NFCA=60。，

又；CF=CA,

.?..AFC是等邊三角形，

.?.AF=AC=2血,

。是邊AB的中點，E是邊BC上一點，E）E平分-ABC的周長,

.?.AC+CE+AD=BE+BD,AD=BD,

:.AC+CE=BE,

AC=CFf

，CF+CE=BE,

即E/=￡B,

.?.E。是aAB尸的中位線，

:.ED=-FA=y/2.

2

故選C.

【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形中線的定義，構(gòu)造等邊三角

形是解題的關(guān)鍵.

甌（2021?遼寧阜新?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線A8//CD,一塊含有30。角的直角三角尺頂點E位于直

線CO上，EG平分-CE/，則Nl的度數(shù)為°.

【分析】根據(jù)角平分線的定義可求出NCEG的度數(shù)，即可得到NCE戶的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)即可解

決問題.

【詳解】一塊含有30。角的直角三角尺頂點E位于直線CZ）上，

:.ZFEG=30°,

,EG平分NCEF,

.?.NCEG=NFEG=30。，

.?.NCEF=NCEG+NFEG=60°,

ABHCD,

.?.zi=ZCEF=60°.

故答案為：60.

【點睛】本題考查了角平分線定義和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

甌（2022?山東青島?統(tǒng)考中考真題）【圖形定義】

有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形.

例如：如圖□.在ABC和AEC中，AaATy分別是BC和BC'邊上的高線，且Ao=A/，則4?C和

A'B'C是等高三角形.

圖①圖②圖③

【性質(zhì)探究】

,

如圖□,用SABc,SA.B.C分別表示.ABC和A'BC的面積.

11

則SMBC=；BC.3SMev=?BC?AD,

DAD=AD

□^ΔABC?,^ΔΛ,β,C=BC：BC.

【性質(zhì)應用】

(1)如圖口,。是CAgC的邊BC上的一點.若8O=3,r>C=4,則S△人皿：S”。C=;

(2)如圖□,在二ABC中，。,E分別是BC和AB邊上的點.若BE:AB=1:2,CD：8C=I:3,SAΛUC=1,則SABEC=

，SACDE=：

(3)如圖L,在:ABC中，D,E分別是BC和48邊上的點，若8E:AB=l:m,CD:BC=i;n,Sλtsc=a,

則S&CDE

【答案】（1）3:4

(2)?:7

NO

⑶二

nm

【分析】（I）由圖可知AABO和ZW）C是等高三角形，然后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)即可得到答案；

（2）根據(jù)BE:AB=I:2,SOK=I和等高三角形的性質(zhì)可求得SBQ,然后根據(jù)CD：8C=I：3和等高三角形

的性質(zhì)可求得SMCE；

(3)根據(jù)8E:A8=1:〃7,S.C="和等高三角形的性質(zhì)可求得SBEC,然后根據(jù)CD:BC=I:〃，和等高

三角形的性質(zhì)可求得SAc

【詳解】(1)解：如圖，過點工作/EBC,

ΠAE=AE,

SAABD?SAADC=BD:DC=3:4.

（2）解：BEC和JIBC是等高三角形,

SBEC?SAMC=BE:AB=1:2,

SBEC_3SAABC_5X^^Q；

CDE和ABEC是等高三角形，

SACDE：SBEC=CD:BC=1:3,

?.CDE-α3BEC~"TxT^"T?

JJZO

（3）解：BEC和，4?C是等高三角形,

mtnm

CDE和/BEC是等高三角形,

S4CDE?SBEC=C0：BC=1：Hf

_1_1aa

?cCDE=_、cBEC=-×-=----.

nnmmn

【點睛】本題主要考查了等高三角形的定義、性質(zhì)以及應用性質(zhì)解題，熟練掌握等高三角形的性質(zhì)并能靈

活運用是解題的關(guān)鍵.

厚命題居限

三角形中的主要線段包括三角形的高線，中線和角平分線。

三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線畫垂線，從頂點到垂足之間的線段叫做這個三角形的高線，簡稱

三角形的高。

在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫做這個三角形的中線。一個三角形共有三條中線，這

三條中線相交于一點，這個點叫三角形的重心。

三角形中一個角的角平分線與這個角的對邊相交，得到頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線。

,曾就SD繚

【變式1】（2022?吉林長春?校考模擬預測）如圖，在ASC中，小美同學按以下步驟作圖：①以點C為圓

心，以BC的長為半徑畫弧，交AC于點O,連接8。；②分別以點8,。為圓心，以大于;協(xié)的長為半徑

畫弧，兩弧交于點E;③作射線CE交80于點尸，連接AE若√IBC的面積為10,則AACF的面積為（）

A.2.5B.5C.7.5D.8

【答案】B

【分析】證明Z）F=FS,推出SCFD=SeSadf=Saeb,可得結(jié)論.

【詳解】解：山作圖過程可知，CD=CB,且CE平分4Be0,

點/是BO的中點，

??—?,?—Q

,?0.CFD—OCFB?°ADF~°AFB，

??OACF=S加+Sadf=—,SABC=5X1。=5

故選：B.

【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意,

靈活運用所學知識解決問題.

【變式2］（2022?重慶大渡口?重慶市第三十七中學校?？级＃┤鐖D，正方形A88的對角線AC與3。相

交于點。，/ACB的角平分線分別交AB、BD于M、N兩點.若BM=2五,則線段AC的長為（）

A.4√2+4B.4√5+2c?4√2+6D.4√2

【答案】A

【分析】過點"做MGLAC于G,利用角平分線的性質(zhì)定理，得MG=2&，然后再利用AACM的面積公

式求解正方形的邊長，從而得解.

【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為X,則4C=√ir,

過點M做MG,AC于G,如圖所示，

CM平分NACB,ZABC=90o,BM=2近,

MB=MG=26，

AM—X-2λ∕^，

S,?^-AMBC^-ACMG,

w22

.?.?(x-2>∕2)x=?×y∕2x×2?∣2,

22

.?.x=4+2>∕2,

Λ√2Λ-=4√2+4.

.?.AC=4√2+4;

故選：A.

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)與角平分線的性

質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵.

【變式3】（2022?江西九江?統(tǒng)考一模）如圖，在矩形/8C。中，AB=2,4）=4,點E在AABO邊上運

動，設(shè)線段CE的長度為機，則〃?的取值范圍是.

BC

【答案】警新？2√5

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理先求出/C、8。的長，當點E運動到點/時，CE的長度最長，當

點E在8。上運動，且CE8。時?，CE最小，分別求出此時CE的長，即可求出m的取值范圍.

【詳解】解：「四邊形/8Co為矩形，

CD=AB=2,BC=AD=4,ZABC=ZACB=ZADC=ABAD=90°,

.?.AC=BD=√22+42=2√5'

當點E運動到點/時，CE的長度最長，此時CE=4C=2石,

即m的最大值為2石；

當點E在3。上運動，且CE8。時，CE最小，

SMCD=-~BCXCD=?BD×CE,

?BC×CD4×24√5

CE=—τ=?—，

BD2√55

即m的最小值為生叵，

5

綜上分析可知，〃7的取值范圍是竽≤m≤2√5.

故答案為：≤加≤2二.

AD

BC

【點睛】本題主要考查J'矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的計算，根據(jù)題意找出CE取最大值和最小值

時，點E所處的位置，是解題的關(guān)鍵.

【變式4】(2022?內(nèi)蒙古包頭?包鋼第三中學?？既?在RtZ?A8C中，ZfiAC=90°,。是BC的中點，E

是Ae)的中點，過點A作A尸〃BC交CE的延長線于點尸，若A8=8,四邊形4E>BF的面積為40.則AC=

【答案】10

【分析】山E是AD的中點及A尸〃BC,可證明IADEDCE,則可得NE=CZ),再由。是8C的中點，可

得四邊形廠是平行四邊形，則可得/8尸與F8。的面積相等，再由三角形中線平分三角形面積，易得

/BC面積等于四邊形ADBF的面積，則由三角形面積公式即可求得AC的長.

【詳解】E是AD的中點，

AE=DE,

AF//BC,

□FAE=CiCDE

WAEF=?JDEC,

ADEDCE(ASA),

QAF=CD.

□。是BC的中點，

力。是RtZxABC斜邊BC上的中線，

BD=CD=AD,SABD=；SABC，

∏AF=BDf

AFBC,

四邊形408b是平行四邊形，

UAD=BF,

QAB=ABfAF=BD,

[JUABF3ΠABD(SSS)f

S>ABF=SZSABD=5S四邊形AD5產(chǎn)二2O.

ΔAβc~2S4ABD=40,

即」AB?4C=40,

2

?×8AC=40,

2

口4010.

故答案為：10.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)

等知識，判定四邊形408尸是平行四邊形，進而得到它的面積等于IN8C的面積是解題的關(guān)鍵.

【變式5](2022?浙江杭州?翠苑中學校考二模)在圖1,圖2,圖3中，AF,BE是ABC的中線，AF±BE,

垂足為P.設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.

⑴口如圖1,當NABE=45。，c=20時，?=,b=.

門如圖2,當ZAβE=30°,c=8時，"=,b=.

(2)觀察(1)中的計算結(jié)果，猜想a)02三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明.

【答案】⑴2√5,2√5:4√13:4√7

(2)a2+b2=5c2.見解析

【分析】(1)先判斷，ABP是等腰直角三角形，再得到aEEP也是等腰直角三角形，最后計算即可;

(2)先設(shè)AP=m,BP=n,表示出線段PE,PF,最后利用勾股定理即可.

【詳解】(1)

圖1

如圖1,連接防，則E尸是,ΛBC的中位線,

ZABE=45o,AE±EF,

:.A6P是等腰直角三角形，

EF//AB,

：.由也是等腰直角三角形，

.?.AP=BP=2,EP=FP=1,

:.AE=BF=M,

.?a=BC=2BF=2-j5.b=AC=2AE=2舟

故答案為：2亞,2√5;

□如圖2,

連接EF,則EF是,.ABC的中位線.

ZABE=30°,AE±BF,AB=8,

.?.AP=4,BP=√3,AP=4yβ,

PF=LEF=2,PE=6=2

2

.?.ΛE=2√7,BF=2√i3,

.?.BC=a=2BF=4√B,?=AC=2AE=4√7；

故答案為：4√13.4√7.

(2)a2+h2=5c2,理由如下:

圖3

如圖3,連接EF,則EF是，ΛBC的中位線.

/.EF〃AB,EF=>AB,

2

ABP^FEP，

APBPC

—=—=2,

FPEP

設(shè)AP=mfBP=nf

222

則/=AB=ιn+nf

:.PE=LBP=L",PF=LAP=Lm,

2222

222222222

:.AE=AP+PE=∕n+?/r,BF=PF+BP=-m+n1

44

2222222222

.?.b=AC=4AE=4m+n,a=BC=4BF=4n+mf

222

:.a+b=5(M+/)—5C

【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定

理等知識，熟練掌握三角形中位線定理和勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

核心考點三等腰三角形

甌（2022?湖南益陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知C中，。18=20。，□∕15C=30o,將A∕8C繞/點

逆時針旋轉(zhuǎn)50。得到△/9C,以下結(jié)論：OBC=B'C',OACCCB',QC'B'rJBB',ODABB'=QACC',正確的

【答案】B

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC=B1C',ΠC'AB'=?CAB=20o,AB'C'=?ABC=30o,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的

度數(shù)為50°,通過推理證明對□□□匚四個結(jié)論進行判斷即可.

【詳解】解：］匚月BC繞/點逆時針旋轉(zhuǎn)50。得到ANQC,

DBC=B'C'.故」正確；

48C繞/點逆時針旋轉(zhuǎn)50°,

B4B'=50°.

□□08=20。，

DLB'AC=^BAB'-C^β=30o.

AB1C=ABC=30o,

DDAB'C=UB'AC.

QACacB'.故□正確；

口在ABW中，AB^AB',BAB'50°,

AB1B=ABB'*(1800-50°)=65°.

BB'C=∕8'8+L∕8'C'=65°+30°=95°.

□C?與88,不垂直.故口不正確；

口在ZUCC中，

AC=AC',口。(7=50。，

ACC'=^(180°-50°)=65°.

ABB'=UACC'.故U正確.

UU這三個結(jié)論正確.

故選：B.

【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應用，圖形的旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小，還考查

了等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識.熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

甌（2022?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在RtABC中，NAa5=90。，AC=BC=3,。為AB邊上一點，

且BO=BC,連接8,以點。為圓心，OC的長為半徑作弧，交BC于點E（異于點C）,連接。E,則8E

的長為___________

【答案】3√2-3??-3+3√2

【分析】過點。作。尸BC于點、F,根據(jù)題意得出。C=QE,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出B=M,根據(jù)

RFRn

NACB=90°,AC=BC=3,得出AB=3√Σ,設(shè)CF=X,則3F=3-x,證明DF〃AC,得出—=——,

CFAD

列出關(guān)于X的方程，解方程得出X的值，即可得出BE=3夜-3?

【詳解】解：過點。作。尸BC于點、F,如圖所示：

根據(jù)作圖可知，DC=DE,

DFBC,

CF=EF,

ZACB=90°.AC=BC=3,

AB=^AC2+BC2=√32+32=3√2-

BD=BC=3,

AD=3√2-3-

設(shè)CF=X,則3尸=3-X,

ZACB=90。,

ACJ.BC,

DF1BC,

DF//AC,

BFBD

~CF~^D,

3-x3

即丁訪廿

解得：χ=6∑3√2,

2

CE=2x=2×?^^=6-3√2,

2

BE=3-CE=3-6+3√2=3√2-3?

故答案為：3>∕2-3?

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，平行線分線段成比例定理，平行線的判定,

作出輔助線，根據(jù)題意求出Cr的長，是解題的關(guān)鍵.

甌(2022?山東日照?統(tǒng)考中考真題)如圖1,AzJBC是等腰直角三角形，AC=BC=4,0C=90o,M,N分

若ab=8.

備用圖

Sl備用圖

(1)判斷由線段∕E,EF,BF組成的三角形的形狀，并說明理由;

(2)口當α=b時，求JECF的度數(shù);

□當。孫時，口中的結(jié)論是否成立？并說明理由.

【答案】(1)直角三角形，理由見解析

(2)□45o;□成立，理由見解析

【分析】(1)分別表示出AE,BF及EF,計算出46+8產(chǎn)及EF2,從而得出結(jié)論;

(2)連接PC,可推出PC匚48,RT?H'1AE=PE=PF=BF,從而得由ME=EG=GF=NF,進而得出CE平分

PCF,C尸平分BCP,從而得出結(jié)果;

將A8C戶逆時針旋轉(zhuǎn)90。至△44),連接。E,可推出OE=ER進而推出△￡>(?尸門尸CE,進一步得出結(jié)果.

(1)解：線段∕E,EF,B尸組成的是直角三角形，理由如下：AM=AC-CM=A-Ci,BN=4-b,AE=歷AM=

√2(4-α),BE=√2(4-?),AE2+BF2=2(4-a)2+2(4-6)2=2(a2+b2-Sa-Sb+32),&NC=4&,EF=AB-AE-BF=

√2[4-(4-α)-(4-6)],M=8,EF2=2(a+b-4)2=2(a2+b2-Sa-Sb+16+2ab)=2(aW-8α-8?+32),AE2+BF2=EF2,

線段/EEF,8/組成的是直角三角形；

CVPA/是矩形，」矩形CNPM是正方形，PC平分L4C8,CGAB,PEG=9Q0,UCM=CN=PM=PN,

Γ?PE=PF,ΠΠAEM,BNF,尸E/7是等腰直角三角形，EF2=AE2+BF2,EF2=PE2^PF2,UPE=AE=PF=BF,

OME=EG=FG=FN,?MCE=LGCE,□ΛΓCP=□GCF,□□NCB=90。，I□5CG+FCG=-∏ACB^5o□如

2

□□Zλ4C=口8=45°,AD=BF,□ΠDAE=DDAC+DCAB=90o,CDE2=AD2+AE2=BF2+AE2,?T?EF2=BF2+AE-,

DE=EF,CD=CF,CE=CE,DCFFCE(SSS),ECF=DCF=-DCF=-×90°=45°.

22

【點睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，正方形判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和

性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形.

◎命題內(nèi)確

知識點：等腰三角形的性質(zhì)

1、等腰三角形

(1)定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫

做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。

(2)性質(zhì)

①兩腰相等

②兩底角相等(簡稱等邊對等角)

③等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合(簡稱為“三線合一”)

④等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在的直線式對稱軸。

證明題目中的寫法:

①已知高線：VAB=AC,ADlBC,ΛBD=CD,ZBAD=ZCAD

②已知中線：VΛB=AC,BD=CD,ΛAD±BC,ZBAD=ZCAD

③已知角平分線：VAB=AC,ZBAD=ZCAD,ΛAD±BC,BD=CD

(3)等腰三角形的構(gòu)造

(1)“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形

①如下左圖所示，OP評分NAOB,CD〃0A,則4OCD是等腰三角形

②如下右圖所示，OP評分NAoB,CD〃0B,則4OCD是等腰三角形

(2)“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形

如下左圖所示，已知AD是NBAC的平分線，ADlBC,得出等腰三角形

(3)“角平分線+中線”構(gòu)造等腰三角形

如下中圖所示，已知AD是NBAC的平分線，D是BC中點，則AABC是等腰三角形

(4)“中點+垂直”構(gòu)造等腰三角形(垂直平分線)如下右圖所示

己知等腰AABC,過腰或底上作腰或底的平行線

知識點：等腰三角形的判定

等腰三角形的判定

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

②有兩個角相等的三角形是等腰三角形。（簡稱“等角對等邊”）

總結(jié):

'?圖形

定義性質(zhì)簞

A兩腰相等兩邊相等

等

有兩條邊相等等邊對等角等角對等邊

腰

的三角形叫做

等腰三角形三線合一

角A

形軸對稱圖形

勒客就硼繞

【變式1】（2022?江蘇南京?南京大學附屬中學?？寄M預測）如圖，銳角三角形ABC中，直線/為BC的

中垂線，直線加為NABC的角平分線，/與機相交于尸點.若NA=60。，？ACP24?,則NABP的度數(shù)是

A

30°C.320D.36o

【答案】C

【分析】根據(jù)角平分線定義求出NA8P=NC8P,根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)得出BP=C?，求出

ZCBP=ZBCP,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出方程3/452+24。+60。=180。，求出方程的解即可.

【詳解】解：BP平分NABC,

.?ZABP=Z.CBP,

直線/是線段8C的垂直平分線,

.-.BP=CP,

..NCBP=NBCP,

：.ZABP=NCBP=ABCP,

ZA+ZACB+ZABC=180°,ZA=60o,ZACP=24°,

.?.3ZABP+24°+60°=180°,

解得：ZABP=32°,故C正確.

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，能

求出NABP=NeBP=ZBCP是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.

【變式2］（2022?四川樂山?統(tǒng)考二模）如圖，在RtZ?A5C中，BC=2,ZBAC=30°,斜邊A3的兩個端

點分別在相互垂直的射線。”和QN上滑動，給定下列命題，其中正確命題的序號是（）.

□若C、。兩點關(guān)于AB對稱，則。A=2右;

□C、。兩點距離的最大值為4；

口若AB平分CO,則A8_LCO；

□斜邊AB的中點。運動路徑的長為g兀.

A.□□□B.□□□C.□□D.□□

【答案】D

【分析】一先根據(jù)直角三角形30。的性質(zhì)和勾股定理分別求AB和AC,由對稱的性質(zhì)可知：AB是OC的垂

直平分線，所以。4=AC；由OC≤OE+CE=4,當OC經(jīng)過AB的中點E時，OC最大，則C、O兩點距

離的最大值為4；□如圖2,當NABo=30。時，易證四邊形。4CB是矩形，此時4?與OC互相平分，但所夾

銳角為60。，明顯不垂直，口如圖3,半徑為2,圓心角為90。的扇形的圓弧是點。的運動路徑，根據(jù)弧長公

式進行計算即可.

【詳解】在RIZ?A8C中，BC=2,ZBAC=30°,

=4,AC=√42—22=26?

I若C、。兩點關(guān)于AB對稱，如圖1,

A8是OC的垂直平分線，則OA=AC=26：

所以口正確；

「如圖1,取AB的中點為E,連接OE、CE,

ZAOB=ZACB=90°,

OE=CE=LAB=2.

2

OC<OE+CE=4,

當OC經(jīng)過點E時，OC最大，且C、。兩點距離的最大值為4；

所以□正確；

如圖2,當NABo=30。時，NOBC=ZAoB=ZACB=90°,

四邊形OACB是矩形，

AB與OC互相平分，但48與OC的夾銳角為60。，不垂直；

所以□不正確；

「如圖3,斜邊AB的中點。運動路徑是：以。為圓心，以2為半徑的圓周的!，

4

則其弧長為：=Q∩τ?r×9=萬.

所以不正確;

綜上所述，本題正確的有:

故選：D.

【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了含30。角直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三

角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、動點運動路徑問題、弧長公式，熟練掌握直角三角

形斜邊中線等于斜邊一半是本題的關(guān)鍵，確定點D的運動路徑是本題的難點.

【變式3】（2023?山東濟南?山東大學附屬中學校考一模）如圖，點E是正方形A8CO邊8C的中點，AD=2,

連接AE,將_ABE沿他翻折，得到ZXAFE,延長EF,交A￡＞的延長線于點M,交CO于點M則MN的

長度為______

【答案】I

O

【分析】連接AN,過點M作Λff∕LΛE于點”，求出AE=JAB2+8￡；2=舊,得出A4=E”=gAE=4,

證明.A”MS,.EBA,求出A"=g,再證明ZiDMWS一C/VE,求出結(jié)果即可.

【詳解】解：連接AN,過點M作MW_LAE于點，，如圖所示:

四邊形ABCD為正方形，

AB=BC=CD=AD=2,ZB=NC=ZADC=NBAD=90。,

AD//BCf

E是8C的中點，

口BE=CE=L

根據(jù)折疊可知，AF=AB=2,EF=BE=?,NAFE=NB=90。，ZAEF=ZAEB.

AE=y∣AB2+BE2=√5?

AD//BCf

ZEAM=ZAEB,

ZAEF=ZEAM,

AM=EM，

MHVAE.

AH=EH=-AE=-,

22

ZAHM=NB=90°,ZEAM=ZAEB,

AHMS二EBA,

AMAH

~AE=~BE,

好

即AM?,

解得：AM=I,

DM=AM-AD=-ME=AM=-

292f

NMr)N=NC=90。，ADNM=/CNE,

DNMSACNE,

DM-=MN

C

1

-

2V

即-=

1

V

5

2-5

得

解=-

:6

5

yv

故答

案

大

6-?

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，

折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明怨=槳，求出AM=《.

AEBE2

【變式4](2022?重慶銅梁?銅梁中學校?？寄M預測)如圖，DABCO中，AB=4),點E是A3上一點,

連接CE、DE,且BC=CE,若NBCE=40。，則ZWE=

【答案】15。##15度

【分析】首先證明四邊形ABC。是菱形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NCEB=NB=1(180°-40°)=70°,

利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題.

【詳解】解：在uABCO中，

AB^AD,

四邊形ABco是菱形，

.-.AB=AD=BC=CD,ABHCD,

BC=CE,

.*.CD=CE,

/CED=ZCDE,

NBCE=40。，

.?.ZCEB=ZB=?(180°-40°)=70°,

.?.ZADC=NB=700,

O

ZECD=ZBEC=IOF

:.NCDE=NCED=∣（180o-70o）=55o,

.?.NADE=70°-55。=15。.

故答案為：15。.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握

菱形的判定與性質(zhì).

【變式5】（2023?陜西西安?統(tǒng)考一模）如圖，在YABCo中，ZBAD,4M>C的平分線AF,OE分別與線

段BC交于點居E,A尸與DE交于點G.

(1)求證：AF?DE,BF=CE.

(2)若AD=10,AB=6,AF=S,求OE的長度.

【答案】(1)見解析

(2)4√5

【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NBA。+NAZ）C=I80。，再由角平分線的定義證明

ZDAF+ZADE=?ZBAD+?ZADC=90°,得到/4G。=90。，即可證明AFIOE；再根據(jù)平行線的性質(zhì)和

角平分線的定義證明NSAF=NAFB,得到AB=B尸，同理可得CD=CE,則B尸=C￡；

（2）過點C作CK〃凡F交AD于K,交OE于點/,證明四邊形AFCK是平行四邊形，ZKID=90o,得到

AF=CK=S,再證明ADKI=ZDCI,得至∣JDK=DC=6,貝∣JK/=C/=4,同理證明CE=CD,得到EI=DI,

求出。/=2有，則OE=2。/=4下.

【詳解】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，ABDC,

ZBAD+ZADC=↑80o.

AE,￡>F分別是NSW,NAΓ>C的平分線,

ZDAF=ZBAF=?ZBAD,ZADE=ZCDE=-AADC.

22

ZDAF+NADE=?ZBAD+-ZADC=90o.

22

ZAGD=90o.

AFLDE.

四邊形ABCo是平行四邊形，

AD∕∕BC,AB=CD,

ZDAF=ZAFB,

又ZDAF=ZBAF，

ABAF=ZAFB,

AB=BF,

同理可得CD=CE,

BF=CE;

（2）解：過點C作CK〃A/交AO于K,交OE于點/,

□AK//FGAF//CK,

四邊形AFCK是平行四邊形，ZAGD=NKID=90°,

AF=CK=S,

/KDI+/DKI=90。,/CDI+/DCI=90。,AIDK=AIDC,

ZDKI=ZDCI,

DK=DC=6,

KI=CI=4,

AD〃BC,

ZADE=ZDEC=ZCDE,

CE=CD,

CI-LDEf

□EI=DI,

^D∕=√CD2-C∕2=2√5?

DE=2DI=4√5.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和

定理，角平分線的定義等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

核心考點四等邊三角形

取氟題招冕

硝(2022?四川巴中?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標系中，直線y=-6x+6與X軸交于點A,與N軸

交于點B,將AOB繞。點逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖NWOB'的位置，A