2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 一　三角函數(shù)、解三角形

第二層級高分考點(diǎn)突破(把握考向——重點(diǎn)攻關(guān))

專題一三角函數(shù)、解三角形

小題專項(xiàng)1三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

命I題I分I析

1.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考必考的內(nèi)容，在高考中多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。

2.高考小題對此部分內(nèi)容的命題主要集中于三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，主要考查圖象的變換，函數(shù)

的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性及最值，命題以基礎(chǔ)性的小綜合題為主。

明確考點(diǎn)扣準(zhǔn)要點(diǎn)

必備知識

I.三角函數(shù)的定義

設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),則Sina=y,cosα=?E,tanα=*x≠O)<,各象限角

的三角函數(shù)值的符號可記為：?全正，二正弦，三正切，四余弦。

2.函數(shù)y=Asin(3+9)的圖象

(1)“五點(diǎn)法”作圖。

設(shè)z-ox+o，令Z=0,5π,?,2π,求出X的值與相應(yīng)的y的值，描點(diǎn)、連線可得。

(2)兩種圖象變換方式。

向左(歹>0)或向右(WVO)

①》=sin?

平移I,個(gè)單位

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腖(S>O)倍

ω

3>=sin(j7+φ)

縱坐標(biāo)不變

./縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁(A>O)倍

lx；

V=sιn(ωjc÷+φ)---------------—橫—坐標(biāo)不-變---------------

y=ASin(cor+g)o

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?(3>0)倍

ω

②y=sinX

縱坐標(biāo)不變

向左“>0)或向右(9Vo)

y=sinω.r

平移I,I個(gè)單位

縱坐黨變?yōu)樵瓉淼腁(A>O)倍

y=sin(oλτ+伊)

橫坐標(biāo)不變

=

yAsin(ωx+φ)o

3.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(l)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是∣2E-5，2桁+外伏∈Z),單調(diào)遞減區(qū)間是,兀+52E+苧卜∈Z)°

(2)y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間是[2代(一Ti,2Zπ](Ar∈Z),單調(diào)遞減區(qū)間是[2依，2^∏+π](^∈Z)0

(3)y=tanX的單調(diào)遞增區(qū)間是1兀一看Λπ+^(^∈Z)o

4.三角函數(shù)圖象的對稱軸與對稱中心

函數(shù)y=sinXy=cosxy=tanx

圖象的對稱直線X=

直線x=Aπ+^(∕c∈Z)無

軸E(k∈Z)

點(diǎn)

點(diǎn)停,

圖象的對稱0.

點(diǎn)(尿，0)(Λ∈Z)(E+去0)

中心

∈Z)

伏WZ)

5.三角函數(shù)奇偶性的充要條件

函數(shù).V=Asin(ft>x+9)(χCR)是奇函數(shù)今P=E(AEZ)；

函數(shù))，=4sin(3r+8)(x￡R)是偶函數(shù)㈡9=E+^(A￡Z)：

函數(shù).y=Acos(ftλv+e)(χeR)是奇函數(shù)<=>9=尿+女女￡Z)；

函數(shù),V=Λcos(ωx+^)(x￡R)是偶函數(shù)臺e=E(A∈Z)。

精析精研重點(diǎn)攻關(guān)

考向突破

考向一三角函數(shù)的定義

【例1】(1)(2021?鄭州模擬)點(diǎn)P從(1,0)點(diǎn)出發(fā)，沿單位圓Λ-2÷∕=1逆時(shí)針方向運(yùn)動號弧長到達(dá)Q點(diǎn)，

則Q點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.&*B.(一坐T

c??qD.卜享?］

解析點(diǎn)P從點(diǎn)(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動W弧長到達(dá)Q點(diǎn)，所以NQoX=全。為坐標(biāo)原點(diǎn))，

所以*若，sin機(jī)即。點(diǎn)的坐標(biāo)為喙卜故選A。

答案A

(2)(2021.天津模擬)己知θ是第二象限角，P(M2)為其終邊上一點(diǎn)且CoS6=g,則瞿先鬻的值為

JSlllCzIVUSCz

()

533

5-C--

A.B.22D.4

解析因?yàn)?。是第二象限角，Pa,2)(x<0)為其終邊上一點(diǎn)，所以IoPl=√Λ2÷4,所以COS。=*；+4=坐，'

,n,τ,“2sin6——C0Sa2tan0-1,

解得/=一］(正舍)。所以tanO=-20所以高亦晟萬再7==r=5°故選A。

答案A

網(wǎng)總儺1

(1)任意角的三角函數(shù)值僅與角α的終邊位置有關(guān)，而與角α終邊上點(diǎn)尸的位置無關(guān)。若角。已經(jīng)給出，

則無論點(diǎn)P選擇在?終邊上的什么位置，角α的三角函數(shù)值都是確定的。

(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系開方運(yùn)算時(shí)，一定要注意三角函數(shù)值的符號；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡

要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等。

【變式訓(xùn)練1】(1)(2021?揚(yáng)州市適應(yīng)性練習(xí))如圖，曲線段AB是?段半徑為R的圓弧，若圓弧的長度為

竽，則A,8兩點(diǎn)間的距離為()

.O

A.RB.√2∕?C.√3∕?D.2R

解析設(shè)AB所對的圓心南為ɑ,則由題意，得QR=爭?，所以ɑ=號，所以A8=2Rsi球=2RSinW=2RX孚

=√3Λ<,故選C。

答案C

(2)在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，角α與角夕均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱。若Sinα=j,則

cos(a-β)=a

解析由題設(shè)，得“=(2k+1)冗一a(kWZ),所以si∏4=sina=；,CoSS=-COsa。則cos(a-p)=COSaCOS0

I7

÷sinasinβ=-cos2a÷sin2a=2sin2a-1=2×ξ-1=一§。

答案-三

考向二三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用重點(diǎn)微專題

角度I圖象變換

【例2】(2021?全國乙卷)把函數(shù)>?=∕U)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍，縱坐標(biāo)不變，再把所

得曲線向右平移E個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=sin卜一野的圖象，則加)=()

A.Sin修一覆B.Sin'+盍)

C.sin(2jL患］D.sin(lr+司

解析依題意.將》=5m(上一個(gè))的圖象向左平移方

個(gè)單位長度?再將所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)獷大到原

來的2倍，得到/(H)的圖象.所以y=sin(J--V)

將其圖象向左平移三個(gè)單位長度

------------------------------------------------>y=sin(?÷?)的圖象

所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)如大到原來的2倍/?π?

---------------------------------------------------(∕)=sin(5+誦)的f

圖象。

解決三角函數(shù)圖象的變換問題，要注意以下兩點(diǎn):

(1)掌握函數(shù)圖象的變換法則，即“左加右減，上加下減”；

(2)掌握函數(shù)圖象變換的本質(zhì)，“左加右減”是相對于函數(shù)的自變量來講的，因此對三角函數(shù)y=Asin(sx

+⑺的圖象進(jìn)行變換時(shí)，要先將自變量的系數(shù)①提出來。

2?T)

【變式訓(xùn)練2】(2021?河南適應(yīng)性測試)已知曲線G：j=sinx,曲線C?：J=COJ,則下列結(jié)論正

確的是()

A.將曲線G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移,個(gè)單位長度，得

到曲線C2

B.將曲線Cl上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移盍個(gè)單位長度，

得到曲線。2

C.將曲線C,上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腗縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移點(diǎn)個(gè)單位長度，得到

曲線C2

D.將曲線Cl上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移盍個(gè)單位長度，得到

曲線C2

花.πππ

---+-

-Sl32X6

解析曲線C2：y=，3212、X,將曲線G:y=Sinx上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵?/p>

來的：，縱坐標(biāo)不變，得到曲線y=sinZr,再把曲線y=sinIr向左平移g個(gè)單位長度,得到曲線y=si《21+制

=SinQx+*,即曲線C2。故選D。

答案D

角度2三角函數(shù)圖象的應(yīng)用

[例3](2021?全國甲卷)已知函數(shù)/)=2cos(/x+°)的部分圖象如圖所示，則滿足條件(ΛX)√-?)

(Ax)-iyjx)的最小正整數(shù)X為.

解析由題圖可知，(7=詈-W=T(T'為7(%)的最小正周期)，得T=π,所以①=2,所以y(x)=2cos(2x

+⑺。點(diǎn)存，0)可看作“五點(diǎn)作圖法”中的第二個(gè)點(diǎn),則2X；+T，得8=一去所以?=2CoSbL所

以/(一華)=2CoS卜乂卜與卜丹=2cos卜竽)=2COST=I,/停)=2COS(2X專一看)=2CoS等=O,所以

(Λυ-∕-?χ)-∕?))>0?即依)-1次r)>0,可得"r)>l或/Ci)V0,所以COS(ZL露:或COS(1￥—能0。當(dāng)工

,

ππ三

時(shí)-=2-∈∣不符合題意；當(dāng)x=2時(shí),Λ∣∈裔,

2X-6-63j,2-^=4-^π,cos^2χ-

<0,符合題意<,所以滿足題意的最小正整數(shù)X為2。

答案2

由“圖”定”式”找“對應(yīng)”的方法

由三角函數(shù)的圖象求解析式y(tǒng)=Asin（3t+9）+伙A>0,Q>0）中參數(shù)的值，關(guān)鍵是把握函數(shù)圖象的特征與參

數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，其基本依據(jù)就是“五點(diǎn)法”作圖：

（1）最值定A,B：根據(jù)給定的函數(shù)圖象確定最值，設(shè)最大值為M,最小值為機(jī)，則Λ∕=A+8,m=—A+

.,M+機(jī)M~m

B,解r得ztjB=-2-，A=-2-；

⑵丁定口：由周期的求解公式T=普，可得，O=爺；

（3）點(diǎn)坐標(biāo)定仍一般運(yùn)用代入法求解3值，注意在確定°值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為

突破口，即“峰點(diǎn)”“谷點(diǎn)”與三個(gè)“中心點(diǎn)”。

【變式訓(xùn)練3】（2021?濰坊市聯(lián)考）音樂，是人類精神通過無意識計(jì)算而獲得的愉悅享受。1807年法國

數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)代表任何周期性聲音的公式是形如y=Asinωx的簡單正弦型函數(shù)之和，而且這些正弦型函

數(shù)的頻率都是其中一個(gè)最小頻率的整數(shù)倍。比如用小提琴演奏的某音叉的聲音圖象是由如圖①，②，③所示

的三個(gè)函數(shù)圖象組成的，則小提琴演奏的該音叉的聲音函數(shù)可以為（）

yy

0.02ZXZX/?ZXv=0.01sin3000πl(wèi)

4WW叩哼，

②③

A.W)=O.06Sin1OoOTU+0.02Sin1500π∕÷0.0Isin3OOOTU

B.<z)=0.06sin500π∕+0.02sin2000π∕+().0Isin3000π∕

C.W)=O.06Sin1OOOR+0.02Sin2000πr÷0.0Isin3000π∕

D.y(∕)=0.06sin1000π∕÷0.02sin2500π∕÷0.01sin300()π∕

解析題圖①中，A=O.06,最小正周期7=A;,所以亨=J不，所以@=1000π,則題圖①對應(yīng)的函數(shù)

?uvco?uu

解析式為y=0.06sin1000%其頻率為為=500,又題圖③對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=0.01sin3000πf,其頻率為

牛=1500,所以排除B。若題圖②對應(yīng)的函數(shù)解析式為v=0.02sin150Qπ∕,則其頻率為黑='∕°π=750,不

是500的整數(shù)倍，故A不符合題意；若題圖②對應(yīng)的函數(shù)解析式為產(chǎn)0.02sin2000πf,則其頻率為券=怨詈

=I000,是500的整數(shù)倍，故C符合題意：若題圖②對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=0.02sin2500πf,則其頻率為卷

=M^=I250,不是500的整數(shù)倍，故D不符合題意?！?r)=0.06sin1000πr÷0.02sin2000πr+0.01sin

3000πt.故選C。

答案C

考向三三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用重點(diǎn)微專題

角度1三角函數(shù)的單調(diào)性與最值

[例4]⑴若函數(shù)啟）=2√5sin①XCoScαx+2sin2ωx+cos2ωx在區(qū)間卜苧，用上單調(diào)遞增，則正數(shù)ω

的最大值為（）

?-8b-6c?4D-3

解析解法一：因?yàn)?（.r）=2??∕3sinSXCOSωx÷2sin2ωx÷cos2cυx=小Sin2ωx+I在區(qū)間卜蕓與j上單調(diào)遞

C、π

3(0TC3-^2>

解得①所以正數(shù)勿的最大值是故選。

增,所以?4B

3ωπ≤2*

3π

T解得>≤∣.

解法二:易知"r)=SSin2<υx+1,可得凡I）的最小正周期T=今所以β

答案B

（2）（202卜河南省適應(yīng)性測試）若函數(shù)Kt）=Sin（x+G+2CoSX的最大值為巾，則常數(shù)φ的一個(gè)可能取值為

）

ππππ

?--6b-_3c?3D-6

解析fix)=sin(x÷￠))÷2cosx=cos?>sinx÷(sin伊+2)CoSX=YCoS2^+(Sin°+2ySin(X+0)=Λ∫4sin勿+5

sin(.r+i),其中tan〃="泊,由題意知4sin￠+5=7,即sin^=；,所以e=2E+∕(&∈Z)或p=2E+歲伏

CoS(P，OO

∈Z),當(dāng)A=O時(shí)，8=。故選D。

答案D

(1)求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法

①代換法：求形如y=Asin(Gx+e)(或y=Acos(s+9))(4,ω,3為常數(shù)，A≠0,/>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，令

ωx+φ=z,得y=Asinz(或y=Acosz),然后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得。

②圖象法：畫出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求其單調(diào)區(qū)間。

(2)求三角函數(shù)的最值的方法

①將問題化為y=Asin(?r+e)+B的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象性質(zhì)求解.

②將問題化為關(guān)于SinX或COSX的二次函數(shù)的形式求解。

【變式訓(xùn)練4】⑴若x∈[0,π],則函數(shù)Kr)=Cosx-sinx的增區(qū)間為()

A.[θ,WB.巧,加]

C.[o,第D.仔,π]

解析由題得/(x)=COSX—sinx=—(SinX-cosx)=-Λ∕5sin(x—竽，令竽+2依，^∈Z,所

以2依+,Wτ≤2E+%k∈Z°令A(yù)=O得4?xW與，因?yàn)棣諻[0,π],所以函數(shù)/U)的增區(qū)間是蓍，π],

故選Do

答案D

(2)(2021?北京高考)已知函數(shù)/)=cosX-COS2x,則該函數(shù)是()

A.奇函數(shù)，最大值為2

B.偶函數(shù)，最大值為2

C.奇函數(shù)，最大值為《

D.偶函數(shù)，最大值為葭

解析函數(shù)/(Λ?)的定義域?yàn)镽,且五一X)=貝x),則兒丫)為偶函數(shù)。y(x)=cos%—cos2x=COSX—(2cos2χ-1)

=-2cos2x+cosx+1=—2^cosχ-∣j2+∣,故最大值為青，故選D。

答案D

角度2三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性

【例5】(1)設(shè)函數(shù)*x)=CoG+手，則下列結(jié)論不正確的是()

A.A丫)的一個(gè)周期為一2π

B.尸危)的圖象關(guān)于直線X=號對稱

C.於+兀)的一個(gè)零點(diǎn)為X=專

D.犬”)在g,兀)上單調(diào)遞減

解析由三角函數(shù)的周期公式可得T=華=2兀，所以周期是一2π也正確，所以A正確；由于三角函數(shù)在

對稱軸上取得最值，所以把X=號代入函數(shù)於)，得y∣?=cos吃+Wj=cos3π=T,所以B正確；兀v+兀)=

COG+π+^)=-88卜+斗=0,解得其中一個(gè)解是X=1，所以C正確；函數(shù)危)在區(qū)間朕，江I上有增有減，所

以D不正確。

答案D

(2)(2021?南京市一模)若函數(shù)Ar)=Sin(2ι+o)為偶函數(shù)，則0的一個(gè)值為。(寫出一個(gè)即可)

解析因?yàn)楹瘮?shù)Ar)是偶函數(shù)，解得Sinp=±1,￠=1+ATr(KeZ),令《=0,得￠=楙°

答案方答案不唯一)

(1)正弦、余弦、正切函數(shù)圖象的對稱軸與對稱中心

函數(shù)y=sinxy=Cos*?=tanX

^WWW^直線K=

直線.v=Aτc+^(Ar∈Z)無

軸kπ(k≡Z)

點(diǎn)

點(diǎn)得°)

圖象的對稱,+會0)

點(diǎn)(E,0)(?∈Z)

中心

(k≡Z)

(Λ∈Z)

（2）求三角函數(shù)周期的常用結(jié)論

①y=Asin（Q）X+3）和y=Acos（ωx+少）的最小正周期為高，γ=tan（ωx+￠）的最小正周期為百；

②正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是:個(gè)周期，相鄰的對稱中心與對稱軸

之間的距離是:個(gè)周期；正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是T個(gè)周期。

【變式訓(xùn)練5】已知函數(shù)/U）=Sin（SX+9）（cυ>O,陽母與g（x）=∣sinM的周期相同，將函數(shù)IAX）的圖象向

右平移聿個(gè)單位長度得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則下列選項(xiàng)不正確的是（）

A.函數(shù)段）的圖象關(guān)于點(diǎn)信Oj中心對稱

B.使坐成立的工的取值范圍是惘+;，E+得卜∈Z）

C.當(dāng)工∈∣0,2時(shí)，函數(shù)兒r）的最大值為:

D.函數(shù)g（∕）=/㈤T在[θ,周上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)

解析g（x）=∣sinx∣的最小正周期為T=π,所以①=爺=2,所以危）=sin（2x+e）,將其圖象向右平移會個(gè)

Sij#一制+夕Nin"*+。)

單位長度，得到y(tǒng)=的圖象，因?yàn)槠錇榕己瘮?shù)，所以一升夕=桁+方左∈Z,解

得°=E+",A∈Z<>因?yàn)閨例《，所以k=—1,0=一5，所以./U）=sin"-彳色=0,故A正確。由危）

=Sin"x一§2坐,得2E+Ww2r*W2E+號,k∈Z,所以?π÷^≤x≤Λπ÷γ^,k∈Z,故B正確。當(dāng)X目0,EI

時(shí)，一器2Λ一紅工，所以當(dāng)2xW，即X=W時(shí)/）取得最大值，?max=1,故C錯誤。當(dāng)Λ?∈[θ,時(shí)，

一臺2x一色等，所以當(dāng)左一季=?；蛐罨蚺蕰r(shí)，?=：，則函數(shù)g（x）=√（X）一如[θ,藉]上恰有三個(gè)不同的

零點(diǎn)，故D正確。故選C。

答案C

練真題明確考向

回味高考

I.（2021?全國乙卷）函數(shù)段）=si,+cos押最小正周期和最大值分別是（）

A.3π和&B.3π和2

C.6兀和√5D.6兀和2

解析因?yàn)楹瘮?shù)∕ζr）=si奇+cog=啦停Sig+乎Co司=因.靖CoS申+cos,siι電=∕sin修+；）,所以函數(shù)

?r）的最小正周期「=￥=6兀，最大值為位。故選C。

3

答案C

2.（2021?新高考全國I卷）下列區(qū)間中，函數(shù)啟）=7SiG一斗單調(diào)遞增的區(qū)間是（）

A.（0,野B.修冗）C.（冗,.D.侍,2π）

解析解法一：（常規(guī)求法）令一5+2EWX-專<]+2E,女WZ,得一;+2EWXW號+2E,Zr∈Z<>取Z=

0,則一,WxW弩。因?yàn)椋?-2）[-3'?]'所以區(qū)間（0,，是函數(shù)兀r）的單調(diào)遞增區(qū)間。故選A。

解法二：（判斷單調(diào)性法）當(dāng)0<W時(shí)，一京5W，所以/（%）在I），上單調(diào)遞增，故A正確；當(dāng)狂r<π

時(shí)，HY郎，所以段）在合，TC）上不單調(diào),故B不正確;當(dāng)兀VX碧時(shí)，^<χ-所以/）在卜,與J上

單調(diào)遞減，故C不正確；當(dāng)竽ɑ<2兀時(shí)，與：一專所以兀V）在（爭，2π）上不單調(diào)，故D不正確。故選A。

解法三：（特殊值法）因?yàn)榫o目<手:π,但/停∣=7si玲=7,/普；=7Sin竽<7,所以區(qū)間怎，兀;不是函數(shù)府）

的單調(diào)遞增區(qū)間，排除B：因?yàn)棣校计眨籍?dāng)＜芋，但/作∣=7sinπ=0,/晉∣=7Sin普=-%）,所以區(qū)間∣π,?j

不是函數(shù)段）的單調(diào)遞增區(qū)間，排除C;因?yàn)榱d‘^＜^＜2π,但號）=7SiIT^=-7Sin泮-7J,俘）=7Sin當(dāng)

=一7,所以區(qū)間浮，2π）不是函數(shù)4r）的單調(diào)遞增區(qū)間，排除D。故選A。

答案A

3.（2020.全國I卷）設(shè)函數(shù)yU）=co4cox+^∣在［-π,π］的圖象如圖所示，則力0的最小正周期為（）

A岫25C-D-

z**9Ub.6.31-/?2

解析由題圖知，/；一制=0,所以一尊o+*=—T+2E（A∈Z）,解得①=?^（A∈z）。設(shè)於）的最小正

周期為T,易知Γ＜2τr＜2T,所以襦＜2π＜含，所以1＜囪＜2,當(dāng)且僅當(dāng)2=0時(shí)，符合題意，此時(shí)①=|,所以T

=—=?o故選C。

CD?

答案C

4.（2019?全國Ill卷）設(shè)函數(shù)yU）=sin,x+哥m＞0）,已知危）在［0,2π］內(nèi)有且僅有5個(gè)零點(diǎn)。下述四個(gè)結(jié)論：

①/U）在（0,2π）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)；②/㈤在（0,2兀）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)；③/（x）在（0,用上單調(diào)遞增；④

ω的取值范圍是［號，制。其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.①④B.②③

C.①②③D.①③④

解析畫出KX）=Sin,X+§（Q?0）的示意圖，知①正確；對于②，在（0,2π）內(nèi)凡I）可能有2個(gè)極小值，也可

能有3個(gè)極小值，故②不正確；令凡T）=0,即S?+g=E（k∈Z）,x=?∣E-力|,攵=l,2,3,4,5時(shí)，y（x）分別取y

Γ24π.

----?r2λτi

24ττ24TΓ29兀29冗5co

軸右側(cè)的5個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)《=5時(shí)，x=w—滿足W—≤2π,且k=6時(shí)，1=飛一滿足W—＞2π,即〈

,5eυ5ωf5ω5ω29π

＞

1W5ST^2π,

號Ws＜∣∣時(shí)，貝x）在［0,2n］內(nèi)有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，故④正確;當(dāng)x∈（θ,制時(shí),ωx+∣∈［∣,?ω÷5）τ由于胎＜

+5端xfl+＞哥π＜E所以暫∏jω÷5）-（θ,3所以*x）在（0'部上單調(diào)遞增’故③正確。故選D。

八八Nq

IpJVV

答案D

5.（2020?北京高考）若函數(shù)＜X）=Sina+￠）+COSX的最大值為2,則常數(shù)8的一個(gè)取值為。

解析易知當(dāng)y=sin（x+G,y=cosx同時(shí)取得最大值1時(shí)，函數(shù)Kr）=Sin（x+g）+cosx取得最大值2,故

Sin（X+9）=COSX,則s=］+2E,A∈Z,故常數(shù)3的一個(gè)取值為

答案,符合2h+看AeZ都可以，琴案不唯一）

6.（2021?全國甲卷）已知函數(shù)危）=2COS（3X+O）的部分圖象如圖所示，則用=。

心「小、

卞?J智\;

解析解法一（五點(diǎn)作圖法）：由題圖可知和=腎一卜竽（T為加）的最小正周期），即丁=兀，所以萼=也

即69=2,故於）=2CoS（Zr+。）。點(diǎn)s"可看作"五點(diǎn)作圖法”中的第二個(gè)點(diǎn)，故2義殲0=5，得力=一聿，

即?=28曲一日,所以/用=2COSbXU）=_5。

解法二（平移法）：由題意知，一卜竽（T為危）的最小正周期），所以t=兀，∣^=π,即①=2。函

數(shù)y=2cos2x的圖象與X軸的一個(gè)交點(diǎn)是俘，0∣,對應(yīng)函數(shù)7U）=2cos（2x+e）的圖象與X軸的一個(gè)交點(diǎn)是肉，0∣,

所以危）=2COS（2X+R）的圖象是由.y=2cosIx的圖象向右平移全一；=各個(gè)單位長度得到的，所以ι∕U）=2cos（2x

ππ

π--

2--

+p)=2CoS%,所以/.26

答案一小

增分專練(一)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

I.函數(shù)J(X)=COS2次的最小正周期是()

A.2πB.π

解析危)=CoS22X=1+；S4'=TCOS4λ?+g,可得/(X)的最小正周期T=空=與。故選Co

答案C

2.在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)M在單位圓上按逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動，每12分鐘轉(zhuǎn)動一周，若點(diǎn)

則開始運(yùn)動3分鐘后，動點(diǎn)M所處位置的坐標(biāo)是()

D.

2'2.坐T

解析因?yàn)槊?2分鐘轉(zhuǎn)動一周，所以開始運(yùn)動3分鐘后，點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的角度為*X2π=，。點(diǎn)M的初始位

置坐標(biāo)為七，坐)，如圖所示，則動點(diǎn)M開始運(yùn)動3分鐘后所處的位置為M',其坐標(biāo)是(一坐，；)。故選C。

答案C

3.函數(shù).4x)=sin(2x+W]θWxW駕)的值域?yàn)?)

θ,?

B.

D.卜去θ]

C.[0,1]

解析因?yàn)棣?∈[θ,篙所以2x+^∈[^,制，所以一；WSin,因此，函數(shù)凡t)=sin(zr+T∣

OWXW言的值域?yàn)椴?，1

O故選A。

答案A

π

的單調(diào)遞增區(qū)間是()

,6π])

A.[θ,f]B?[?S

c?[r?]D.[?E,π]

解析y=2sin值一同=-2sin(2x一看)，令2r—*W∣2E+52E+雪，A∈Z,解得xE,+1,?π+寨

A∈Z,因?yàn)棣帧蔥0,π],所以x∈[^,刻。故選C。

答案C

5.(2021凍北三校聯(lián)考)已知函數(shù)/)=Asin(sr+0)(A>O,ω>0,?！丛~的圖象如圖，若即，x2∈(l,4),且

火為)+42=O(Xl≠m)，則件卜)

A.1B.O

C.TD.—

解析由題圖可知外)的圖象關(guān)于點(diǎn)||,(?對稱，因?yàn)殂?，X2∈(l,4),y(x∣)÷∕(x2)=0,所以.]'2=∣,則/

[W4=/{1)=0。故選B。

答案B

6.若危)=sinx+√5cosx在Lm,詞(,心0)上是增函數(shù)，則m的最大值為()

5π2π

Aa.不dB.y

π

D.

3

=*；Sinx+坐CoS%)=25也(工+§在［一

解析因?yàn)閒lx)=a?nx÷√3cosm,同?！?gt;0)上是增函數(shù)，所以一切

,冗、兀r,兀)冗?.,xa/5冗r)?！?..7t//.c..Tt,,,,,?,.Tt

+§2—2，且〃?+gW/。求得，〃<不，且〃Iw不所以mW不所以O(shè)VMW5。故機(jī)的最大l值為不。

答案C

7.(2021?成都診斷性檢測)已知銳角夕滿足由sin0-cos°=lo若要得到函數(shù)Kr)二:一出叭刀+⑺的圖象,

則可以將函數(shù)y=%in2x的圖象()

向左平移居個(gè)單位長度

A.

B.向左平移巖個(gè)單位長度

向右平移居個(gè)單位長度

C.

D.向右平移專個(gè)單位長度

SiG-：;。因?yàn)閍為銳角，所以夕=與。所以危)=；一

解析因?yàn)??∕5sin夕一COS9=2sin∣R-I；∣=ι,所以

r,2兀、

1-cosl2x+^ξ^

?第=JCoS(2x+,+野=-/in(2x+<=；sin(?！?x÷^∣=JSint2xπ

22+i

=∣sin^Λ?+j^πj?,所以將函數(shù)y=；Sin2x的圖象向左平移居個(gè)單位長度可得到函數(shù)凡0的圖象。故選A0

答案A

8.函數(shù)/)=2sin{s+加>0)的圖象的最近兩對稱軸之間的距離為當(dāng)

若該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)Q〃,0)中心對

稱，當(dāng)∕n∈[θ,2時(shí)m的值為()

A四π

A?6B.4

C.W5π

D.V2

解析因?yàn)楹瘮?shù)危)的圖象的最近兩對稱軸之間的距離為5所以7=2><尹兀(丁為啟)的最小正周期)，所

以口=半=2,所以/U)=2sin∣2r+W0由2x+*=E(Z∈Z),得文=竽一專(&CZ),當(dāng)女=1時(shí)，X=碧，故/〃=

碧。故選D0

答案D

9.(2021?昆明市診斷測試)若函數(shù)加)=sin∣ωx+我》0)的圖象向左平移衿單位長度后，所得圖象關(guān)于原

點(diǎn)對稱，則①的最小值為()

解析解法一：將人￥)的圖象向左平移與個(gè)單位長度后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)記為雙X),則g(x)=

ij/i+京÷^j=si?+如+；I則g(0)=0,即Sin限+：)

,因?yàn)間(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以g(%)為奇晶數(shù),

=0,所以多υ+￡=E(&∈Z),即①=-1+3Λ(kWZ),因?yàn)棰?gt;0,所以如m=/故選D。

解法二：將./(X)的圖象向左平移W個(gè)單位長度后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)記為g(x),8'j^(Λ?)=sin[ω[Λ?+^+j]

=SinleoX+如+哥，因?yàn)間(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以g(x)為奇函數(shù)，則爭o+；=E(A∈Z),即/=—1+3A(A

9

∈Z),因?yàn)閏υ>O,所以Gmin=笳故選D。

答案D

10.己知函數(shù)/(X)=Jcoss一坐Sins(M>0)在[0,π]內(nèi)的值域?yàn)閇-1,；],則?的取值范圍為()

?-?3]b?(o<3]

C.[0,I]D.(0,l]

解析函數(shù)/)=；CoSωχ-^2^s?nωx=cos^ωx÷^(ω>O),當(dāng)x∈[O,n]時(shí)，7U)∈[-1,；],所以一

IWCOS(<υx+爭則π≤cg+T<苧，解得*69≤*故①的取值范圍為百。

答案A

二、填空題

??.函數(shù).A%)=siι√%+小CoSX—芥∈卜)，卻的最大值是o

解析危)=1-cos2x÷^∕3cos%一(=-∣^COSΛ-￥，+1。因?yàn)閤∈∣0,共所以cos%∈[0,l],所以當(dāng)CoSX

=當(dāng)即X=熱，?取得最大值，最大值為1。

答案1

12.(2021?云南省統(tǒng)一檢測)己知段)=COS42ZLsin420r的最小正周期為π,則常數(shù)。的值等于。

解析/(?)=(cθs220^÷sin226tr)(cos22ar-sin220r)=Cos4ax,因?yàn)橛?的最小正周期是兀，所以jij=π?所

以α=±^o

答案土；

13.將函數(shù)4κ)=3sin,+?圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向右平移季個(gè)單位長度，得至IJ

函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)的解析式為o

解析將函數(shù)/)=3而,+習(xí)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，可得函數(shù)尸3sin,+m的圖

象，再向右平移聿個(gè)單位長度，可得函數(shù)y=3sin[2(x—聿j+3=3sin(2.L§的圖象，故g(x)=3sin(2r—普。

答案g(x)=3sin[2r一1

14.關(guān)于函數(shù)段)=sinx+就有如下四個(gè)命題：

①/U)的圖象關(guān)于y軸對稱；②/伏)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；③/U)的圖象關(guān)于直線X=W對稱；④危)的最小值

為2。

其中真命題的序號是.

解析由題意知/(%)的定義域?yàn)閧Hrz≠E,^∈Z},且關(guān)于原點(diǎn)對稱。又%)=sin(-X)+忑±g=—

卜iar+Vm)=-/Ir),所以函數(shù)O)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以①為假命題，②為真命題。因?yàn)閒11-λ')

=sin(f-χ)+-√-η=cosΛ+^,fg+xj=si∏(≡+xj+-≠-?=cos^+?,所以北+q=∕gr),

sιn∣2~~xlsm∣2'xI

所以函數(shù)4x)的圖象關(guān)于直線X=T對稱，③為真命題。當(dāng)SinX<0時(shí)，凡￥)<0,所以④為假命題。

答案②③

B級素養(yǎng)落實(shí)

15.設(shè)函數(shù)/)=小;而5+803(/>0),其圖象的一條對稱軸在區(qū)間《，定內(nèi)，且/U)的最小正周期大于

兀，則ω的取值范圍是()

A.&1]B.(0,2)

C.(1,2)D.[1,2)

解析段)=小sincαr+cos①x=2sin(s+部①>0),令8工+*=2π+;(A∈Z),解得％=強(qiáng)+箓%∈Z),由

于函數(shù)段)圖象的一條對稱軸在區(qū)間總，目內(nèi)，因此有親僉+空鄂=)成立，即然+1<①<6L+2(k∈Z),由

y(